总复习《第11讲 函数的图象》
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第11讲 指数与指数函数1.根式 (1)根式的概念①若 ,则x 叫做a 的n 次方根,其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式,这里 叫做根指数, 叫做被开方数.②a 的n 次方根的表示:x n=a ⇒⎩⎨⎧x =n a ,当n 为奇数且n ∈N *,n >1时,x =±n a ,当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n =a (n ∈N *,且n >1). ②na n=⎩⎨⎧a ,n 为奇数,|a |=⎩⎨⎧a ,a ≥0,-a ,a <0,n 为偶数.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂:a mn =na m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1); ②负分数指数幂:a -mn =1a m n=1na m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1);③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 . (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈Q ); ②a r a s =a r -s(a >0,r ,s ∈Q ); ③(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q ); ④(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ). 3.指数函数的图象与性质 y =a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 值域性质过定点当x >0时,y >1; 当x <0时,0<y <1 当x >0时,0<y <1; 当x <0时,y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1.对于指数幂的运算,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:(1)必须是同底数幂相乘,指数才能相加; (2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 1.(2022·全国·高三专题练习)(1)计算120.75013110.027()81()369-----++-;(2)若11226x x -+22x x -+的值.2.(2022·全国·高三专题练习)化简下列各式(其中各字母均为正数).(1)()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭; (2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦; (4)12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅.[举一反三]1.(2022·全国·高三专题练习)计算:100.256361.5()87-⨯-+2.(2022·全国·高三专题练习)(1)计算:1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦;(2211113322a b ---3.(2022·全国·高三专题练习)已知11223a a -+=,求下列各式的值.(1)11a a -+;(2)22a a -+;(3)22111a a a a --++++.4.(2022·全国·高三专题练习)已知11223x x -+=,求22332223x x x x--+-+-的值.5.(2022·全国·高三专题练习)分别计算下列数值: (1)()110340.06416π----+ (2)已知16x x -+=,()01x <<,求221122x x x x---+.6.(2022·全国·高三专题练习)化简: (1)126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭(2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0,b >0). (3)312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.➢考点2 指数函数的图象及应用[名师点睛]1.对于有关指数型函数的图像问题,一般是从最基本的指数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像,数形结合求解. [典例]1.(2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测)函数()x x kf x a-=(0a >且1a ≠)的图象如图所示,则( )A .1,1k a >>B .1,1k a ><C .01,1k a <<<D .01,1k a <<>2.(2022·北京·高三专题练习)若函数()11x f x a -=-(0a >且1a ≠)的图像经过定点P ,则点P 的坐标是( ) A .(1,1)- B .(1,0) C .(0,0) D .(0,1)-[举一反三]1.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()25x f x a -=-(0a >且1a ≠)的图象过定点(),m n ,则不等式210x mx n +++<的解集为( ) A .()1,3B .()3,1--C .()(),31,-∞-⋃+∞D .()3,1-2.(多选)(2022·全国·高三专题练习)已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示,则()x g x a b =-的图象可能是( )A .B .C .D .➢考点3 指数函数的性质及其应用[名师点睛]1.比较指数式的大小的方法:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.2.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数的相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 1.(2022·天津河西·一模)设0.3log 0.2a =,0.30.2b =,log b c a =,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A .a b c << B .b a c << C .c a b <<D .c b a <<2.(多选)(2022·全国·高三专题练习)若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103,则a 的值可能是( ) A .12B .13C .3D .23.(2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测)已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩,则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.4.(2022·北京·高三专题练习)设()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≤时,()2xf x -=,若对任意的[],1x m m ∈+,不等式()()2f x f x m -≥恒成立,则正数m 的取值范围为( )A .m 1≥B .1mC .01m <<D .01m <≤5.(2022·重庆市朝阳中学高三开学考试)已知函数4()2x x ag x -=是奇函数,()()lg 101x f x bx =++是偶函数.(1)求a 和b 的值; (2)设1()()2h x f x x =+,若存在[0,1]x ∈,使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立,求实数m 的取值范围.[举一反三]1.(2022·天津·一模)设3ln 2a =,0.80.5b =,0.50.8-=c ,则,,a b c 的大小关系为( )A .c b a <<B .b a c <<C .a b c <<D .c a b <<2.(2022·山西吕梁·二模)已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ,则( )A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .c b a <<3.(2022·全国·高三专题练习)已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值,且()03-<f x a ,则实数a 的取值范围( ) A .[2,3)B .[1,3)C .[1,2)D .(1,3)4.(2022·上海市进才中学高三期中)设函数()2xf x =,若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立,则实数a 的取值范围为______.5.(2022·全国·高三专题练习)设函数()322x x f x x -=-+,则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________6.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()936=-⋅++x x f x m m ,若方程()()0f x f x 有解,则实数m 的取值范围是_________.7.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()x x f x a ka -=+(0a >且1a ≠)是定义在R 上的偶函数,且17(1)4f =. (1)求()f x 的解析式;(2)若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1,求m 的值.8.(2022·全国·高三专题练习)已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =.(1)求a 的值;(2)若函数()(21)()x g x f x k =++有零点,求实数k 的取值范围. (3)当(0,1)x ∈时,()22x f x m >-恒成立,求实数m 的取值范围.9.(2022·北京·高三专题练习)定义在D 上的函数()f x ,如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立,则称()f x 是D 上的有界函数,其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.(1)当2a =-时,求函数()f x 在()0,∞+上的值域,并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ (2)若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数,求实数a 的取值范围第12讲 指数与指数函数1.根式 (1)根式的概念①若x n =a ,则x 叫做a 的n 次方根,其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.②a 的n 次方根的表示:x n=a ⇒⎩⎨⎧x =n a ,当n 为奇数且n ∈N *,n >1时,x =±n a ,当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n =a (n ∈N *,且n >1). ②na n=⎩⎨⎧a ,n 为奇数,|a |=⎩⎨⎧a ,a ≥0,-a ,a <0,n 为偶数.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂:a mn =na m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1); ②负分数指数幂:a -mn =1a m n=1na m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1);③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈Q ); ②a r a s =a r -s(a >0,r ,s ∈Q ); ③(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q ); ④(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q ). 3.指数函数的图象与性质 y =a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 R 值域(0,+∞) 性质过定点(0,1)当x >0时,y >1; 当x <0时,0<y <1 当x >0时,0<y <1; 当x <0时,y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1.对于指数幂的运算,首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:(1)必须是同底数幂相乘,指数才能相加; (2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 1.(2022·全国·高三专题练习)(1)计算120.75013110.027()81()369-----++-;(2)若11226x x -+22x x -+的值. 【解】(1)120.75013110.027()81()369-----++-=0.3﹣1﹣36+33+111033-=-36+27+113-=-5.(2)若11226x x -+∴x 1x ++2=6,x 1x+=4,∴x 2+x ﹣2+2=16,∴x 2+x ﹣2=14.2.(2022·全国·高三专题练习)化简下列各式(其中各字母均为正数).(1)()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭; (2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦; (4)12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅. 【解】(1)原式()()21210523500125252-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-+416710*********=++=-;(2)原式11223233311111122633311233a b a b a a b b ab a b +-++---⎛⎫ ⎪⎝⎭===; (3)原式253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭1521335233435311010222⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;(4)原式111111111533223262361566a b a baba b-----+-⋅==⋅1a=. [举一反三]1.(2022·全国·高三专题练习)计算:100.256361.5()87-⨯-+【解】100.256361.5()87-⨯-+1111323334432()1(2)223()23-=⨯+⨯+⨯-, 113322()2427()33=++⨯-, 110=.2.(2022·全国·高三专题练习)(1)计算:1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦;(2211113322a b ---【解】(1)原式111123()4()4(0.25)34231310112101()[3()]31032333333-⨯-⨯--⨯-⎛⎫=-⨯+=-⨯+=-= ⎪⎝⎭; (2)原式11111111153322132623615661a b aba ba aa b-----+--⋅⋅==⋅==⋅. 3.(2022·全国·高三专题练习)已知11223a a -+=,求下列各式的值.(1)11a a -+;(2)22a a -+;(3)22111a a a a --++++. 【解】(1)将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=,所以117a a -+=.(2)将117a a -+=两边平方得22249a a -++=,所以2247a a -+=. (3)由(1)(2)可得22114716.171a a a a --+++==+++ 4.(2022·全国·高三专题练习)已知11223x x -+=,求22332223x x x x--+-+-的值.【解】设12x t =,则121x t-=,所以13t t +=,于是,333222321111x xt t t t t t -⎛⎫⎛⎫+=+=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,而2224242112x x t t t t -⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭,将13t t+=平方得22129t t ++=,于是2217t t +=,所以原式()2222221272471137131513t t t t t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 5.(2022·全国·高三专题练习)分别计算下列数值: (1)()110340.06416π----+ (2)已知16x x -+=,()01x <<,求221122x x x x---+.【解】(1)原式()()()11034340.423ππ--=--++-,()110.4123π--=-++-, 1π=-,(2)∵()()()221116x x x xx x x x -----=+-=-, ∴()()2211432,x x x x ---=+-=∵01x <<, ∴1x x --=-∴()2216x x x x ---=-=-又∵21112228x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭,∵01x <<,∴1122x x -+= ∴221122x x x x---+=12-.6.(2022·全国·高三专题练习)化简: (1)126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭(2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0,b >0). (3)312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【解】(1)原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ (2)原式=11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.(3)原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.➢考点2 指数函数的图象及应用1.(2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测)函数()x x kf x a-=(0a >且1a ≠)的图象如图所示,则( )A .1,1k a >>B .1,1k a ><C .01,1k a <<<D .01,1k a <<>【答案】D 【解析】因为(0)f k =-,由图得10k -<-<, 所以01k <<,所以排除AB ,因为由图象可知当x →+∞时,()0f x →, 所以1a >,所以排除C , 故选:D2.(2022·北京·高三专题练习)若函数()11x f x a -=-(0a >且1a ≠)的图像经过定点P ,则点P 的坐标是( ) A .(1,1)- B .(1,0) C .(0,0) D .(0,1)-【答案】B 【解析】因为01a =,所以当10x -=,即1x =时,函数值为定值0,所以点P 坐标为(1,0).另解:因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后,再向下平移1个单位长度得到,由x y a =过定点(0,1),所以()11x f x a -=-过定点(1,0).故选:B[举一反三]1.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()25x f x a -=-(0a >且1a ≠)的图象过定点(),m n ,则不等式210x mx n +++<的解集为( ) A .()1,3 B .()3,1-- C .()(),31,-∞-⋃+∞ D .()3,1-【答案】D 【解析】当2x =时,()220255154f aa -=-=-=-=-,故2,4m n ==-,所以不等式为2230x x +-<,解得31x -<<,所以不等式的解集为()3,1-. 故选:D2.(多选)(2022·全国·高三专题练习)已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示,则()x g x a b =-的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】AC【解析】解:令()()()0f x x a x b =--=,解得1x a =、2x b =,根据二次函数图形可知,a 、b 两个数一个大于1,一个大于0且小于1,①当1a >,01b <<时,则()x g x a b =-在定义域上单调递增,且()001g a b b =-=-,即()001g <<,所以满足条件的函数图形为C ;②当1b >,01a <<时,则()x g x a b =-在定义域上单调递减,且()0010g a b b =-=-<,所以满足条件的函数图形为A ; 故选:AC➢考点3 指数函数的性质及其应用1.(2022·天津河西·一模)设0.3log 0.2a =,0.30.2b =,log b c a =,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A .a b c << B .b a c << C .c a b << D .c b a <<【答案】D【解析】由指数函数的性质,可得...030002021<<=,所以01b <<, 根据对数的运算性质,可得0.30.3log 0.2log 0.31a =>=,所以1a >, 由01b <<,1a >,所以log log 10b b c a =<=,即0c <, 所以c b a <<. 故选:D2.(多选)(2022·全国·高三专题练习)若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103,则a 的值可能是( )A .12B .13C .3D .2【答案】BC【解析】当1a >时,函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递增函数,当1x =时,max y a =,当1x =-时,1min y a -=,所以1103a a -+=,即231030a a -+=,解得3a =或13a =, 因为1a >,所以3a =;当01a <<时,函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递减函数,当1x =时,min y a =,当1x =-时,1max y a -=,所以1103a a -+=,即231030a a -+=,解得3a =或13a =, 因为01a <<,所以13a =.综上可得,实数a 的值为3或13.故选:BC3.(2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测)已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩,则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】①当2x ≤时,11x -≤,()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增,()()20f x f ∴≤=,又()()()1120f x f f -≤<=, ()()10f x f x ∴+-<恒成立;②当23x <≤时,112x <-≤,()3120f x x x =--=-<, 又()()120f x f -≤=,()()10f x f x ∴+-<恒成立;③当34x <≤时,213x <-≤,()314f x x x =--=-,()1413f x x x -=--=-;()()110f x f x ∴+-=-<恒成立;④当4x >时,13x ->,()314f x x x =--=-,()1415f x x x -=--=-,()()1290f x f x x ∴+-=-<,解得:92x <,942x ∴<<; 综上所述:不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为:9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.4.(2022·北京·高三专题练习)设()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≤时,()2xf x -=,若对任意的[],1x m m ∈+,不等式()()2f x f x m -≥恒成立,则正数m 的取值范围为( )A .m 1≥B .1mC .01m <<D .01m <≤【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x ≤时,()2xf x -=,则当0x ≥时,0x -≤,()()2xf x f x =-=,故对任意的R x ∈,()2x f x =, 对任意的[],1x m m ∈+,不等式()()2f x f x m -≥恒成立,即222x x m -≥,即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立,且m 为正数,则()2x x m ≥-,可得2x m ≤,所以,12m m +≤,可得m 1≥. 故选:A.5.(2022·重庆市朝阳中学高三开学考试)已知函数4()2x x ag x -=是奇函数,()()lg 101x f x bx =++是偶函数.(1)求a 和b 的值; (2)设1()()2h x f x x =+,若存在[0,1]x ∈,使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立,求实数m 的取值范围.【解】解:(1)因为函数4()2x x ag x -=是奇函数,所以(0)0g =得1a =,则41()2x x g x -=,经检验()g x 是奇函数.又()()lg 101xf x bx =++是偶函数,所以(1)(1)f f -=得12b =-,则()1()lg 1012xf x x =+-,经检验()f x 是偶函数,∴112a b ==-,.(2)()()lg 101x h x =+,lg(109)(lg(109))lg[101lg(1010)m h m m +⎤+=+=+⎦,则由已知得,存在(]0,1x ∈,使不等式lg(1010)()m g x >+成立,因为411()222x x x x g x -==-,易知()g x 单调递增,∴max 3()(1)2g x g ==,∴323lg(1010)lg102m +<==∴1010m +<所以1m <,又109010100m m +>⎧⎨+>⎩,解得910m >-,所以9110m -<<.[举一反三]1.(2022·天津·一模)设3ln 2a =,0.80.5b =,0.50.8-=c ,则,,a b c 的大小关系为( )A .c b a <<B .b a c <<C .a b c <<D .c a b <<【答案】C 【解析】3ln ln e 12<=,0.800.50.51<=,0.500.80.81->=,c a ∴>,c b >;31ln22==,0.8110.50.52>=,b a ∴>;a b c ∴<<.故选:C.2.(2022·山西吕梁·二模)已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ,则( )A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .c b a <<【答案】B【解析】因为函数34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减,故3143344⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b . 因为3433344433334444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以c b <.又34331443331444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以a c <.综上a c b <<, 故选B.3.(2022·全国·高三专题练习)已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值,且()03-<f x a ,则实数a 的取值范围( ) A .[2,3) B .[1,3) C .[1,2) D .(1,3)【答案】C【解析】由函数()f x 在0(0,)x ∈+∞处取得最小值得()()0f x f x ≥,则0a >且002x a=> 当0x <时1233()2x a a f x +=>,又()20222a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以203222a a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩,得1a ≥.又()03-<f x a ,所以32af a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,即12332a a a -+<,整理得1221a -+>,102a -+>,解得2a <. 综上,12a ≤<. 故选:C .4.(2022·上海市进才中学高三期中)设函数()2xf x =,若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立,则实数a 的取值范围为______.【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解:由()()22f a x f x +-≥,得2222a x x +-≥,两边同除2x , 即2222a x x -≥+⨯,又222x x -+⨯≥222x x -=⨯, 即12x =[]0,4∈时取等号,所以3222a ≥=,所以32a ≥.故答案为:3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5.(2022·全国·高三专题练习)设函数()322x x f x x -=-+,则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________ 【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ,()()322x x f x x f x --=--=-,所以函数()f x 是奇函数,并由解析式可知函数()f x 是增函数,原不等式可化为()()213f x f -<-,所以213x -<-,解得1x <-,故x 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为:(),1-∞-6.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()936=-⋅++x x f x m m ,若方程()()0f x f x 有解,则实数m 的取值范围是_________.【答案】4,)+∞【解析】由题意得:99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解 令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解,即2(2)10m t t -=+有解,显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y ++∴==++≥,当且仅当14y y =,即y4,)m ∴∈+∞故答案为:)4,∞⎡+⎣.7.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()x xf x a ka -=+(0a >且1a ≠)是定义在R 上的偶函数,且17(1)4f =. (1)求()f x 的解析式;(2)若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1,求m 的值. 【解】(1)因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 所以()()x x x x f x a ka f x a ka ---=+==+,整理得()()10x xk a a ---=,所以1k =,又因为17(1)4f =,可得117(1)4f a a =+=,所以4a =或14a =, 所以()44x xf x -=+.(2)由(1)可知()4422x x xm g x m x-=+-⋅+211(2)(2)222x x x xm =---+ 令122xx u =-,则2()2h u u mu =-+. 因为函数122xxu =-在[0,)+∞上是增函数,所以0u ≥, 因为函数()()2[0,)2xxmg x f x m =-⋅++∞上的最小值是1, 所以函数()h u 在[0,)+∞上的最小值是1. 当0m ≥时,2min()()2124m m h u h ==-+=,解得2m =或2m =-(舍去);当0m <时,min ()(0)21h u h ==≠,不合题意,舍去. 综上,2m =.8.(2022·全国·高三专题练习)已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =.(1)求a 的值;(2)若函数()(21)()x g x f x k =++有零点,求实数k 的取值范围. (3)当(0,1)x ∈时,()22x f x m >-恒成立,求实数m 的取值范围. 【解】解:(1)对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+,由4(0)102f a =-=+, 解得2a =,故42()1122221xxf x =-=-++. (2)若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点, 则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点,10k ∴->,解得1k <. (3)当(0,1)x ∈时,()22x f x m >-恒成立,即212221x xm ->-+恒成立. 令2x t =,则(1,2)t ∈,且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++.由于121t t ++ 在(1,2)上单调递减,∴1212712216t t +>+=++,76m ∴.即7,6m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 9.(2022·北京·高三专题练习)定义在D 上的函数()f x ,如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立,则称()f x 是D 上的有界函数,其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.(1)当2a =-时,求函数()f x 在()0,∞+上的值域,并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔(2)若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数,求实数a 的取值范围.【解】(1)当2a =-时,()24222(213)x x x f x =-⨯-=--,令2,x t =由(0,)x ∈+∞, 可得(1,)t ∈+∞,令()2)1(3g t t =--,有()3g t >-,可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞ 故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;(2)由题意有,当(),0x ∈-∞时,24222,x x a -≤+⋅-≤ 可化为0424x x a ≤+⋅≤ 必有20x a +≥且422x x a ≤-, 令2x k =,由(),0x ∈-∞,可得()0,1k ∈, 由20x a +≥恒成立,可得0a ≥, 令()()401h t t t t=-<<, 可知函数()h t 为减函数,有()413h t >-=, 由422x x a ≤-恒成立, 可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数, 则实数a 的取值范围为[]0,3。
第11讲 函数复习专题2.函数图象与零点(教师)一、教学目标:1.会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的关系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.3.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解二、重点难点:1.函数图像及运用2.函数零点与方程关系三、教学方法:“一学二记三应用” 四、知识梳理:(1)描点法作函数图象,应注意在定义域内依据函数的性质,选取关键的一部分点连接而成.(2)图象变换法,包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.的图像的画法:先画时,再将其关于对称,得轴左侧的图像. 的图像画法:先画的图象,然后位于轴上方的图象不变,位于轴下方的图象关于 轴翻折上去. 的图象关于对称;的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为;关于轴对称的函数解析式为;关于原点对称的函数解析式为.(3)熟记基本初等函数的图象,以及形如的图象五.课前评估:1.[2022·重庆六校联考]函数f (x )=sin πxx2的大致图象为( )0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位)向右平移个单位)0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位)向下平移个单位)11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会,横坐标缩短为原来的)图像上所有点的纵坐标不会,横坐标伸长为原来的)1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会,纵坐标伸长为原来的)图像上所有点的横坐标不会,纵坐标缩短为原来的A )()f x 0x ≥()y f x =y y ()f x()y f x =x x x ()()f a x f a x +=-()y f x =x =a ()()f a x f a x +=--()y f x =(a,0)()y f x =x (y f x =-)y (-y f x =)-(-y f x =)1y x x=+xyf x () = x +1x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案:D 解析:易知函数f (x )=sinπxx 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0},只有选项D 满足, 2.[2022·福州质检]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y =e x 关于y 轴对称,则f (x )的解析式为( )A .f (x )=e x +1B .f (x )=e x -1C .f (x )=e -x +1D .f (x )=e -x -1答案:D 解析:与y =e x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y =e -x .依题意,f (x )的图象向右平移1个单位长度,得y =e -x 的图象,∴f (x )的图象是由y =e -x 的图象向左平移1个单位长度得到的,∴f (x )=e -(x +1)=e -x -1.3.[2022·全国卷Ⅱ]函数f (x )=e x -e -xx 2的图象大致为( )A BCD答案:B 解析:∵ y =e x -e -x是奇函数,y =x 2是偶函数,∴ f (x )=e x -e -xx 2是奇函数,图象关于原点对称,排除A 选项.当x =1时,f (1)=e -e -11=e -1e>0,排除D 选项.又e>2,∴ 1e <12,∴ e -1e>1,排除C 选项.故选B.题型一 识图与辨图例1(1)(2022年高考浙江卷)在同一直角坐标系中,函数y =1x a ,y =log a (x +12)(a >0,且a ≠1)的图象可能是答:D(2)在同一直角坐标系中,函数()2f x ax =-, ()()log 2a g x x =+(0a >,且1a ≠)的图象大致为( )A. B. C. D.(3)(2022年高考全国3卷)函数3222x xxy -=+在[]6,6-的图像大致为 A . B .C .D .答:B(4)(2022年高考全国1卷)函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A .B .C .D .答:D课堂练习1:(1)(内江市高中2022届第一次模拟考试题)函数()()21=ln 2x f x x e -+-的图象大致是( )2sin cos ++x xx xA. B C. D.答:C (2).(2022届吉林省五地六校联考高三考前适应卷)已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】B 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠,()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数,关于y 轴对称,排除D ;当()0,1x ∈时,220x x -+>,ln 0x <,可知()0f x <,排除,A C .题型二 图象初等变换例2 (1)(江西省红色七校2022届高三第一次联考理科数学科试题)设,则函数的图象的大致形状是( )答:B(2)已知图①中的图象对应的函数为y =f (x ),则在下列给出的四个选项中,图②中的图象对应的函数只可能是( )A .y =f (|x |)B .y =|f (x )|C .y =f (-|x |)D .y =-f (|x |)答案:C 解析:由图②知,图象关于y 轴对称,对应的函数是偶函数.对于A ,当x >00a >()y x x a =-时,y=f(|x|)=f(x),其图象在y轴右侧与图①的相同,不符合,故错误;对于B,当x>0时,对应的函数是y=f(x),显然B错误;对于D,当x<0时,y=-f(-x),其图象在y轴左侧与图①的不相同,不符合,故错误;所以C选项是正确的.(3)已知函数,则函数的大致图象是()A. B. C. D.解析】,函数在处图象有跳跃点,选项AC错误;当(4).若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为()答案:C解析:要想由y=f(x)的图象得到y=-f(x+1)的图象,需要先将y=f(x)的图象关于x轴对称得到y=-f(x)的图象,然后向左平移1个单位长度得到y=-f(x+1)的图象,根据上述步骤可知C正确.(5)[2022·咸宁模拟]已知a>0,且a≠1,函数y=a x与y=log a(-x)的图象可能是图中的()答案:B解析:通解因为y=a x与y=log a x互为反函数,而y=log a x与y=log a(-x)的图象关于y轴对称,根据图象特征可知选B.优解首先,曲线y=a x只可能在x轴上方,曲线y=log a(-x)只可能在y轴左边,从而排除A,C;其次,y=a x与y=log a(-x)的增减性正好相反,排除D,选B.(6)(提高)函数的部分图象大致为()A. B. C. D.【解析】分析:分析函数的奇偶性,以及是函数值的符号,利用排除法即可得到答案.解:由题意,函数满足,所以函数为奇函数,图象关于轴对称,排除B 、D ;又由当时,函数,排除C ,故选A.[规律方法] 识图常用方法:(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图像的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图像特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题. 课堂练习2.(1).函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【解析】根据函数表达式得到,故函数是奇函数,排除D 选项,当x 趋向于正无穷时,函数值趋向于0,并且大于0,排除B ;当x 从左侧趋向于1时,函数值趋向于负无穷,故排除 C.故答案为:A. (2) 函数的图象可能是( )A. B. C. D. 【解析】试题分析:化简函数的解析式,判断函数的对称性,利用函数的值判断即可. 详解:函数f (x )==,可知函数的图象关于(2,0)对称,排除A ,B .当x <0时,ln (x ﹣2)2>0,(x ﹣2)3<0,函数的图象在x 轴下方,排除D ,故选:C .题型三 零点判断与运用例3 (1)[2022·南昌调研]函数f (x )=2x +ln 1的零点所在的大致区间是( ) A .(1,2) B .(2,3) C .(3,4) D .(4,5)答案:B 解析:易知f (x )=2x +ln 1x -1=2x-ln(x -1)在(1,+∞)上单调递减且连续,当1<x <2时,ln(x -1)<0,2x>0,所以f (x )>0,故函数f (x )在(1,2)上没有零点.f (2)=1-ln1=1,f (3)=23-ln2=2-3ln23=2-ln83,8=22≈2.828>e ,所以8>e 2,即ln8>2,所以f (3)<0.所以f (x )的零点所在的大致区间是(2,3),故选B.(2).[2022·山东枣庄模拟]函数f (x )=x 12-⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A .0B .1C .2D .3 答案:B解析:在同一直角坐标系中作出函数y =x 12与y =⎝⎛⎭⎫12x的图象,如图所示.由图知,两个函数图象只有一个交点,所以函数f (x )的零点只有1个.故选B. a c 若()2019()()f x x a x b =---的零点为c ,d ,则下列不等式正确的是( ) A . a c b d >>> B .a b c d >>> C.c d a b >>> D .c a b d >>>答:由()2019()()f x x a x b =---,又()()2019f a f b ==,c ,d ,为函数()f x 的零点,且a b >,c d >,所以可在平面直角坐标系中作出函数()f x 的大致图像,如图所示,由图可知c a b d >>>,故选D.(4) [2022·河南省实验中学模拟]已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,log 2x ,x >0,则函数y =f (f (x ))-1的图象与x 轴的交点个数为( )A .3 B .2 C .0 D .4答案: A 解析:y =f (f (x ))-1=0,即f (f (x ))=1.当f (x )≤0时,得f (x )+1=1,f (x )=0. 所以log 2x =0,得x =1;由x +1=0,得x =-1.当f (x )>0时,得log 2f (x )=1, 所以f (x )=2.由x +1=2,得x =1(舍去);由log 2x =2,得x =4. 综上所述,函数y =f (f (x ))-1的图象与x 轴的交点个数为3.故选A. (5) (提高)已知函数,则函数的零点个数是( )A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【解析】分析:令 函数的零点个数问题的根的个数问题.结合图象可得的根,方程有1解,有3解,有3解.从而得到函数的零点个数详解:令函数的零点个数问题的根的个数问题.即 的图象如图,结合图象可得的根方程 有1解,有3解,有3解.综上,函数的零点个数是7.故选A.(6)(提高) 定义在实数集上的函数满足,当时,,则函数的零点个数为__________.【解析】分析:先根据函数的奇偶性与周期性画出函数的图象,以及的图象,根据的图象在上单调递增函数,当时,,当时,的图象与函数无交点,结合图象可知有个交点.详解:定义在上的函数,满足,上的偶函数,因为满足,函数为周期为的周期函数,且为上的偶函数,因为时,,所以,在上递增,且值域为,根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象,如图,根据的图象在上单调递增函数,当时,,当时,的图象与函数无交点,结合图象可知有个交点,故答案为.课堂练习3:(1)已知函数f (x )=1x -a为奇函数,g (x )=ln x -2f (x ),则函数g (x )的零点所在区间为( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(2,3) D .(3,4)解:由函数f (x )=1x -a为奇函数,可得a =0,则g (x )=ln x -2f (x )=ln x -2x ,所以g (2)=ln2-1<0,g (3)=ln3-23>0,所以g (2)·g (3)<0,可知函数的零点在(2,3)之间。