2021届江西省高考理科数学总复习第11讲：函数的图象

专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一：由解析式选图（识图） 题型二：由图象选表达式 题型三：表达式含参数的图象问题 题型四：函数图象应用题 题型五：函数图像的综合应用【典例例题】题型一：由解析式选图（识图）例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数2ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域与奇偶性，排除A 、B 选项；结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x =，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以排除D 选项，选项C 符合. 故选：C.例3．（2022·天津·二模）函数sin exx xy =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===， 所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据()0,x π∈时，函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数，sin y x =也是奇函数，则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数，故排除选项B ，C ；因为)lnln y x ⎛⎫==，当0x >1x >恒成立，所以ln 0⎛⎫<恒成立， 且当()0,x π∈时，sin 0x >，所以当()0,x π∈时，()0f x <，故选项A 正确，选项D 错误， 故选：A ．例5．（2022·全国·模拟预测）函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解． 【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．例6．（2022·河北·模拟预测）函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称， ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=， ∴()f x 为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=， ∴排除选项D ， 故选：A .【方法技巧与总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式例7．（2022·全国·模拟预测）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（ ）A ．311log 0x y --=B ．321xx y-=C ．120x y --=D ．ln 1x y =-【答案】A 【解析】 【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】 由311log 0x y --=，得31log 1x y=-， 所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--， 化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的， 即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取1x =-，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误； 由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称， 显然与题中图象不符，所以选项D 错误， 故选：A.例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C.例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可以是（ ）A ．()()2211--=xxex y eB ．()21sin -=xxex y eC ．()()2211-+=xxex y eD ．()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】 【分析】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ，根据C 项函数没有零点，排除C 项，最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ；对于C ，当0x >时，22110,2-+>≥x xe x e x ，函数显然不存在零点，排除C ． 故选：B ．例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为( )A ．()sin πf x x x =B ．()()1πsin f x x x =-C ．()()sin π1f x x x =+D ．()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图象的对称性，结合AC 的奇偶性可排除AC ，根据已知图象f (0)=0可排除D ，从而正确可得B 为正确选项． 【详解】对于A ，()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==，故()sin πf x x x =为偶函数，图象应该关于y 轴对称，与已知图象不符；对于C ，()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数，故排除AC ； 对于D ，()01f =-，与已知图象不符，故排除D ．对于B ，()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=，故f (x )关于x =1对称，f (0)=0，均与已知图象符合，故B 正确． 故选：B ．例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（ ）A ．()cos f x x x =B ．()sin f x x x =C ．()sin cos f x x x x =+D ．()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对选项B 、C ：由函数()f x 为偶函数即可判断，对选项A ：函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==即可判断；对选项D ：函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解：由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对A ：因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==，故选项A 错误；对B ：因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，所以函数()f x 为偶函数，故选项B 错误；对C ：因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，故选项C 错误； 对D ：因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>，符合题意，故选项D 正确. 故选：D.例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()sin f x x =，()e e x x g x -=+，下图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．()()2f x g x +-B ．()()2f x g x -+C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x【答案】D 【解析】 【分析】根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择. 【详解】由图可知，图象对应函数为奇函数，且()011f <<； 显然,A B 对应的函数都不是奇函数，故排除；对C ：()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+，其为奇函数，且当1x =时，11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭，故错误；对D ：y =()()f xg x sin e e x xx-=+，其为奇函数，且当1x =时，sin110112e e<<<+，故正确. 故选：D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复；4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下，()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时，22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++；当0,0a c >>时，()f x 定义域为R 且为奇函数，在(0,)+∞上()0f x >，在上递增，在)+∞上递减，A 可能；当0,0a c <<时，()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数，在上()0f x >且递增，在)+∞上()0f x <且递增，B 可能；当0,0,0a b c =≠<时，22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠，此时()f x 为偶函数，若0b >时，在(上()0f x <(注意(0)0f <)，在(,)-∞+∞上()0f x >，则C 不可能；若0b <时，在(上()0f x >，在(,)-∞+∞上()0f x <，则D 可能； 故选：ABD（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D 选项，然后对a 的取值进行分类讨论，比如0a =，可判断A 可能，再对a 分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C 是否可能. 【详解】 因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数， 图象关于y 轴对称，所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数，只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时，函数2||11()||x f x x x x===，所以A 可能； ②当0a >时，2()xf x x a =+，()222()a x f x x a '-=+，所以()f x 在单调递增，在)+∞单调递减，所以C 可能； ③当0a <时，2()x f x x a =+，()222()0a x f x x a -'=<+，所以()f x 在单调递减，在)+∞单调递减，所以B 不可能； 故选:AC.（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC 【解析】 【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可. 【详解】 若a ＝0，则f (x )＝1x，图像为C ；若a ＞0，则f (x )定义域为{x |x ，f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，x ∈(－∞，时，f (x )＜0，x ∈(0)时，f (x )＞0，x ∈(0，f (x )＜0，x ∈＋∞)时，f (x )＞0，又x ≠0时，f (x )＝1a x x-，函数y ＝x －ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f (x )在(－∞，(0)，(0，∞)均单调递减，综上f (x )图像如A 选项所示； 若a ＜0，则f (x )定义域为R ，f (x )为奇函数，f (0)＝0， 当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0，当x ≠0时，f (x )＝1a x x-+，函数y ＝x ＋ax-时双勾函数，x ∈((),时，y 均单调递减，x ∈)(,,+∞-∞时，y 均单调递增，∴f (x )在((),单调递增，在)(,,+∞-∞单调递减，结合以上性质，可知B 图像符合.故选：ABC.（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<， 当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=； 当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a-+∞上递增，且1y >， 此时选项B 符合题意； 当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点， 不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD.（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数()af x x x=+()a R ∈，则其图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】BC 【解析】 【分析】按照0a =，0a >，0a <讨论a 的取值范围，利用排除法解决. 【详解】 0a =，()(0)af x x x x x=+=≠，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；0a <时，y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增，ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增，两个增函数相加还是增函数，即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增，故D 选项错误，C 选项正确.；0a >时，由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选：BC.（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值，再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足； 当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC（多选题）例19．（2021·河北·高三阶段练习）函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】对a 的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时，()01f =，令21y x =+，易知，其在(),0-∞上为减函数，()0,∞+上为增函数，所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数，在()0,∞+上为减函数，故D 正确； 当0a <时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y <，当0x >且0x →时，0y <，所以()'0f x <，故A 正确；当0a >时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y >，当0x >且0x →时，0y >，所以()'0f x >，故B 正确；综上，()f x 的图象不可能为C. 故选：ABD.（多选题）例20．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ．【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.题型四：函数图象应用题例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ． 在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A例22．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H =⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例23．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．例24．（2021·山东济南·高三阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→)，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时，与О点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点О的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点О的距离越来越大.故选：D.例25．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP ＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图像是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分两段，当P点在AO之间时，当P点在OB之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知．【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确 故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．【方法技巧与总结】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型五：函数图像的综合应用例26．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【解析】 【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数， 故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.例27．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-， 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.例28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =，则()21y g t t mt ==++，作出函数()f x 的大致图象，如图所示，则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根， 则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.例29．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（ ） A ．0m >且0n > B ．0m <且0n > C ．01m <<且0n = D ．10m -<<且0n =【答案】C 【解析】 【分析】令()u f x =，利用换元法可得20u mu n ++=，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ，作出函数()f x 的图象，结合题意和图象可得10u =、2u m =-，进而得出结果. 【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的图象如下图所示：由于方程20u mu n ++=至多两个实根，设为1u u =和2u u =，由图象可知，直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =，则0n =，则方程20u mu +=的另一根为2u m =-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则10m -<-<，解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选：C.例30.（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩，若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解. 【详解】 不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩，若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点，则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】 【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点，求出直线与1()11f x x =--相切时的k ，进而得到有4个交点时k 的范围即可 【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点， 所以方程()()1f x k x =-有4个实数根，画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像，以及()1y k x =-，则两函数的图象有4个公共点．其中直线()1y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k当直线与()f x 相切时，联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩，22(12)40k k ∆=--=，可求出14k =，由图可知，当104x <<时，方程()()1f x k x =-有4个交点，故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理； （2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等．例32．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】 【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点，利用导数求得函数()g x 的极值，画出函数()g x 的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点，即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦． 故答案为：1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．例33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g （x ）＝2log x ，则函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出()y g x =与()y f x =的图象如图，由()()()0h x f x g x =-=可得，()()f x g x =，即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标， 由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点，即()h x 有3个零点． 故答案为：3例34．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根 故正确的是①②. 故答案为：①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解。

2020-2021年新高三数学一轮复习考点：函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.本部分常结合函数的基本性质、导数、不等式等知识进行综合考查，多以选择题为主，难度中，高考命题频率比较高。

一、作函数的图象； 二、函数图象的辨识； 三、函数图象的应用。

【易错警示】1.图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错.2.明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.作函数的图象1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象―——————————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象―——————————―→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――————————————→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )――———————————————————→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―————————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图象――————————————→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【温馨提示】图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数． (2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 【典例】【例1】 作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.【例2】分别作出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)． (2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．函数图象的辨识函数图象的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【典例3】函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为()(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()解析 (1)法一 易知g (x )＝x ＋sin x x 2为奇函数，故y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象关于点(0，1)对称，排除C ；当x ∈(0，1)时，y >0，排除A ；当x ＝π时，y ＝1＋π，排除B ，选项D 满足.法二 当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A ，C ；又当x →＋∞时，y →＋∞，排除B ，而D 满足.(2)f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2，2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，排除选项A ，B ； 当x ≥0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ， 所以f ′(0)＝－1<0，f ′(2)＝8－e 2>0， 所以函数f (x )在(0，2)上有解，故函数f (x )在[0，2]上不单调，排除C ，故选D. 答案 (1)D (2)D【例4】函数f (x )＝(2x ＋2－x )ln|x |的图象大致为( )答案 B解析 ∵f (x )定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝(2－x ＋2x )ln|－x |＝(2x ＋2－x )ln|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当x ∈(0,1)时，2x ＋2－x >0，ln|x |<0，可知f (x )<0，排除A ，C.(2)设函数f (x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A．y＝f (|x|) B．y＝－|f (x)|C．y＝－f (－|x|) D．y＝f (－|x|)答案 C解析题图中是函数y＝－2－|x|的图象，即函数y＝－f (－|x|)的图象，故选C.函数图象的应用1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【典例】角度1研究函数的性质【例5－1】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.答案 C角度2 求不等式的解集【例5－2】 已知函数y ＝f (x )的图象是如图所示的折线ACB ，且函数g (x )＝log 2(x ＋1)”，则不等式f (x )≥g (x )的解集是( )A.{x |－1<x ≤0}B.{x |－1≤x ≤1}C.{x |－1<x ≤1}D.{x |－1<x ≤2}解析 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)， 作出函数g (x )图象如图，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}. 答案 C角度3 求参数的取值范围【例5－3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 解析 在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. 答案 (3，＋∞)[。

函数的图形及其应用精测1．(2020·湖南省永州一中模拟)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )A B C D2.（2020·广东广雅中学模拟）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－23．(2020·江苏省淮安一中模拟)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )4．(2020·一中模拟)对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，23x ≤log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫13，1D.⎣⎡⎭⎫12，15.(2020·河南省安阳一中模拟)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <06．(2020·四川五校联考)函数f (x )＝tan x －x 3的部分图象大致为( )7.（2020·山东牟平一中模拟）若函数f(x)＝(ax2＋bx)e x的图象如图所示，则实数a，b的值可能为()A．a＝1，b＝2B．a＝1，b＝－2C．a＝－1，b＝2D．a＝－1，b＝－28．(2020·云南昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值9.（2020·江西金溪一中模拟）如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图象为()10．(2020·辽宁省葫芦岛一中模拟)若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)11．(2020·河南省新乡一中模拟)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(1，2)D ．(1,2)12．（2020·浙江杭州高级中学模拟）已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )A B C D13．(2020·沈阳市质量监测一)函数f (x )＝x 2－1e|x |的图象大致为( )A BC D14.(2020·辽宁省营口一中模拟)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．15.(2020·河北省石家庄二中模拟)函数f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数，其在(0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )sin x ＜0的解集为________．16．(2020·湖南省湘潭一中模拟)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．17．(2020·辽宁省本溪一中模拟)画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．18．(2020·山西省晋中一中模拟)已知函数f (x )＝2x ，x ∈R. (1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 19．（2020·天津实验中学模拟）画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．1．(2020·湖南省永州一中模拟)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )A B C D 【答案】B【解析】y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x，x ＜1， 易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1， 且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0.又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B.2.（2020·广东广雅中学模拟）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2【答案】C【解析】由图象可得，－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，解得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C ．3．(2020·江苏省淮安一中模拟)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x ) D ．y ＝ln(2＋x )【答案】B【解析】法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.]4．(2020·一中模拟)对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，23x ≤log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫13，1 D.⎣⎡⎭⎫12，1【答案】C【解析】若23x ≤log a x ＋1在⎝⎛⎭⎫0，13上恒成立，则0＜a ＜1，利用数形结合思想画出指数函数与对数函数图象(图略)，易得log a 13＋1≥23×13，解得13≤a ＜1，故选C.5.(2020·河南省安阳一中模拟)函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 【答案】C【解析】函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0， ∴c <0.令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)>0，∴b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba >0，∴a <0.故选C.6．(2020·四川五校联考)函数f (x )＝tan x －x 3的部分图象大致为( )【答案】A【解析】因为f (－x )＝tan(－x )－(－x )3＝－tan x ＋x 3＝－f (x )，故f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除B 、C ；f ′(x )＝1cos 2x－3x 2，则f ′(0)＝1>0，排除D ，故选A ． 7.（2020·山东牟平一中模拟）若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x 的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2 【答案】B【解析】令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a >1，又当x >－ba 时，f (x )>0，故a >0，结合选项知，a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B ．8．(2020·云南昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值 【答案】C【解析】如图，画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”知，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．9.（2020·江西金溪一中模拟）如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )【答案】D【解析】直线l在AD圆弧段时，面积y的变化率逐渐增大，l在DC段时，y随x的变化率不变；l在CB段时，y随x的变化率逐渐变小，故选D．10．(2020·辽宁省葫芦岛一中模拟)若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1,3)上的解集为()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)【答案】C【解析】作出函数f(x)的图象如图所示．当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)＞0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．11．(2020·河南省新乡一中模拟)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0＜a＜b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是() A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(1，2) D．(1,2)【答案】C【解析】作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．12．（2020·浙江杭州高级中学模拟）已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )A B C D 【答案】B【解析】y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x，x ＜1， 易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1， 且过点(1，0)，(0，1)，|f (x )|≥0. 又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B.13．(2020·沈阳市质量监测一)函数f (x )＝x 2－1e|x |的图象大致为( )A BC D【答案】C 【解析】因为y ＝x 2－1与y ＝e |x |都是偶函数，所以f (x )＝x 2－1e|x |为偶函数，排除A ，B ，又由x →＋∞时，f (x )→0，x →－∞时，f (x )→0，排除D ，故选C.14.(2020·辽宁省营口一中模拟)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．【答案】f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0【解析】当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14.故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0. 15.(2020·河北省石家庄二中模拟)函数f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数，其在(0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )sin x ＜0的解集为________．【答案】(－π，－1)∪(1，π)【解析】由题意知，在(0,4]上，当0＜x ＜1时，f (x )＞0，当1＜x ＜4时，f (x )＜0.由f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数可知，当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当－4＜x ＜－1时，f (x )＞0.g (x )＝sin x ，在[－4,4]上，当0＜x ＜π时，g (x )＞0；当π＜x ＜4时，g (x )＜0；当－π＜x ＜0时，g (x )＜0，当－4＜x ＜－π时，g (x )＞0.∴f (x )sin x ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＞0，sin x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＜0，sin x ＞0，则f (x )sin x ＜0在区间[－4,4]上的解集为(－π，－1)∪(1，π)．16．(2020·湖南省湘潭一中模拟)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．【解析】(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x 2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．17．(2020·辽宁省本溪一中模拟)画出下列函数的图象．(1)y ＝e ln x ；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．【解析】(1)因为函数的定义域为{x |x ＞0}且y ＝e ln x ＝x (x ＞0)，所以其图象如图所示．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝x －122－94； 当x ＜2，即x －2＜0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧（x －12）2－94，x ≥2，－（x －12）2＋94，x ＜2. 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．18．(2020·山西省晋中一中模拟)已知函数f (x )＝2x ，x ∈R.(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．【解析】(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．19．（2020·天津实验中学模拟）画出下列函数的图象．(1)y ＝e ln x ；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．【解析】(1)因为函数的定义域为{x |x ＞0}且y ＝e ln x ＝x (x ＞0)，所以其图象如图所示．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝x －122－94； 当x ＜2，即x －2＜0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧（x －12）2－94，x ≥2，－（x －12）2＋94，x ＜2. 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．。

重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型——每天30分钟7天掌握指数函数、对数函数与幂函数10大题型【命题趋势】指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。

考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、指数幂运算的一般原则1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。

二、对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。

2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式x y z a b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y z a b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解。

江西高考数学函数知识点数学是高考必考科目之一，而函数作为数学的一个重要分支，也是高考数学中的重要内容之一。

江西高考数学中的函数知识点主要包括函数的定义、图像与性质、函数的运算及复合函数等。

下面将对这些知识点进行详细介绍。

1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个特定的输入对应到一个唯一的输出。

函数的定义中有两个重要的要素：自变量和因变量。

自变量是函数中变化的量，而因变量则是自变量的取值经过函数处理后得到的结果。

通常，自变量用x表示，因变量用y表示。

函数的定义可以用数学表达式表示，例如y = f(x)。

2. 图像与性质函数的图像是函数在坐标平面上的表示，可以通过绘制函数的图像来研究函数的性质。

图像可以显示函数的增减性、奇偶性、周期性等特点。

例如，当函数的图像在某个区间上单调递增时，表示函数在该区间上的取值随自变量的增加而增加。

函数的性质也可以通过函数的图像来判断。

例如，当函数的图像关于y轴对称时，表示函数是偶函数；当函数的图像关于原点对称时，表示函数是奇函数。

3. 函数的运算函数的运算包括四则运算和复合运算。

四则运算指加法、减法、乘法和除法运算，可以对函数进行数值运算。

例如，给定两个函数f(x)和g(x)，它们的和为h(x) = f(x) + g(x)，它们的差为j(x) = f(x) - g(x)，它们的乘积为k(x) = f(x) * g(x)，它们的商为m(x) = f(x) /g(x)（其中g(x) ≠ 0）。

复合运算是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

例如，给定两个函数f(x)和g(x)，它们的复合函数为h(x) = f(g(x))。

复合函数可以通过将g(x)的输出作为f(x)的输入来计算。

4. 函数的分类函数可以根据其图像和数学表达式的特点进行分类。

常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

线性函数是函数的图像为一条直线的函数，其数学表达式为y= ax + b（其中a和b为常数）。

2021届高考数学（理）考点复习函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，f(x1)－f (x2)x1－x2>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在D 上是增函数．减函数类似． 2．写出函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞)．1．（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 2．（2018·北京卷）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一）【解析】对于23()()2f x x =--，其图象的对称轴为32x =， 则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立， 但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.1．（2019•平谷区一模）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．1y x=B ．y lnx =C ．sin y x =D ．2x y -=【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，y lnx =，为指数函数，在区间(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于C ，sin y x =，为正弦函数，在(0,)+∞上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，12()2x x y -==，是指数函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意；故选B ．2．（2019•西城区一模）下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．22y x x =+ B ．12x y += C ．31y x =+D ．(1)||y x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，222(1)1y x x x =+=+-，其值域为[1-，)+∞，不符合题意； 对于B ，12x y +=，其值域为(0,)+∞，不符合题意；对于C ，31y x =+，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意； 对于D ，22,0(1)||,0x x x y x x x x x ⎧-=-=⎨-+<⎩，在区间1(0,)2上为减函数，不符合题意；故选C ．3．（2016•安庆三模）若函数2()||2f x x a x =++，x R ∈在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．11[3-，3]- B ．[6-，4]- C ．[3-，22]- D ．[4-，3]-【答案】B【解析】2()||2f x x a x =++，22()()||2||2()f x x a x x a x f x -=-+-+=++=，()f x ∴为实数集上的偶函数，由2()||2f x x a x =++在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，知()f x 在[3，)+∞上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴函数22(0)y x ax x =++>的对称轴[2,3]2a x =-∈，得[6a ∈-，4]-．故选B ．4．（2016•天津二模）若221,0()(1)(1),0axax x f x a a e x ⎧+=≠⎨-<⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．2]B ．[2,1)[2,)--+∞C ．(,2]2]-∞⋃D ．2(0,)[2,)3+∞【答案】C【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得22a0x 时，21y ax =+是增函数，0a ∴>又0x <时，2(1)ax a e -是增函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：12a <②函数的单调性是减函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得2a -或2a．0x 时，21y ax =+是减函数，0a ∴<又0x <时，2(1)ax a e -是减函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：2a - 综上所述，得(,2]2]a ∈-∞⋃故选C ．5．（2020春•天津期末）下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =-C ．1()f x x=-D ．()||f x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，()3f x x =-为一次函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，2()3f x x x =-为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C ，1()f x x=-为反比例函数，在(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于D ，()||f x x =-，当0x >时，()f x x =-，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 故选C ．6．（2019秋•武昌区期末）下列函数在(0,2)上是增函数的是( ) A ．2y x =- B ．12y x =-C ．21()2x y -=D ．12log (2)y x =-【答案】D【解析】对于A ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于B ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于C ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于D ，函数在(0,2)递增，符合题意； 故选D ．7．（2020春•郑州期末）函数2()2f x x lnx =-的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(1,1)-【答案】A【解析】函数2()2(0)f x x lnx x =->的导数为 2()2f x x x'=-， 令()0f x '<，解得01x <<． 即有单调减区间为(0,1)． 故选A ．8．（2020•北京模拟）下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =-- B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =【答案】C【解析】A ．2(1)y x =--的对称轴为1x =，为非奇非偶函数，不满足条件．B ．cos 1y x =+是偶函数，但在(0,)+∞内不是单调函数，不满足条件．C ．||2y lg x =+为偶函数，在(0,)+∞内单调递增，满足条件，D ．2x y =，(0,)+∞内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．故选C ．9．（2019春•武邑县校级期中）函数()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是( ) A ．02a < B ．04a <C ．4aD ．4a【答案】D【解析】根据题意，函数()af x x x=+，其导数222()1a x a f x x x -'=-=， 若()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，则22()0x a f x x -'=在(2,)+∞上恒成立，则有2a x 在(2,)+∞上恒成立， 必有4a ， 故选D ．10．（2019秋•东海县期中）函数1()f x x=的单调减区间是( ) A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-， 分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数， 当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数； 综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞； 故选D ．11．（2019秋•钟祥市校级期中）函数||1y x =-的单调递减区间为( ) A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】当0x 时，||11y x x =-=-，此时函数为增函数， 当0x <时，||11y x x =-=--，此时函数为减函数， 即函数的单调递减区间为(,0)-∞， 故选B ．12．（2019秋•金凤区校级期中）下列函数在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．2||y x = B ．1y x =C ．1()2x y =D ．2y x x =-【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2,02||2,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩，在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于B ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意； 对于C ，1()2x y =，为指数函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于D ，2y x x =-，为二次函数，在1(0,)2上单调递减，不符合题意；故选A ．13．（2019秋•赫章县期中）下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是( ) A ．2()3f x x x =-- B ．()14x f x =+ C ．()(2)f x lg x =+ D ．()|21|f x x =-+【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2()3f x x x =--，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x =-，在[1-，)+∞上单调递减，符合题意；对于B ，()14x f x =+，在R 上为增函数，不符合题意； 对于C ，()(2)f x lg x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于D ，121,2()|21|121,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪=-+=⎨⎪+<-⎪⎩，在1(1,)2--上为增函数，不符合题意；故选A ．14．（2019秋•香坊区校级月考）已知函数21()2x f x x +=+，则函数()y f x =的单调增区间是( ) A ．(,)-∞+∞B ．(,2)-∞-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,2)-∞-和(2-．)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数213()222x f x x x +-==+++，其导数23()(2)f x x '=+， 易得在区间(,2)-∞-和(2,)-+∞上，()0f x '>， 即函数()f x 在区间(,2)-∞-和(2-．)+∞为增函数， 故选D ．15．（2019春•温州期中）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则( ) A ．12m >B ．12m <C ．12m >-D ．12m <-【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数， 则有210m -<，解可得12m <， 故选B ．16．（2019•湖南模拟）定义在R 的函数3()f x x m =-+与函数32()()g x f x x x kx =++-在[1-，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2，)+∞C ．[2-，2]D ．(-∞，2][2-，)+∞【答案】B【解析】根据题意，函数3()f x x m =-+，其定义域为R ，则R 上()f x 为减函数，322()()g x f x x x kx x kx m =++-=-+在[1-，1]上为减函数， 必有12kx =，解可得2k ， 即k 的取值范围为[2，)+∞； 故选B ．17．（2019秋•金台区期中）函数221()2x x y -+=的单调递增区间是( )A ．[1-，)+∞B ．(-∞，1]-C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]【答案】C【解析】令22t x x =-+， 则1()2t y =，由22t x x =-+的对称轴为1x =，可得函数t 在(,1)-∞递增，[1，)+∞递减， 而1()2t y =在R 上递减，由复合函数的单调性：同增异减，可得函数221()2x x y -+=的单调递增区间是[1，)+∞，故选C ．18．（2019秋•天津期中）函数254y x x =-+( ) A ．5[,)2+∞B ．5[,4)2C ．[4，)+∞D ．5[1,),[4,)2+∞【答案】C【解析】令2540x x -+， 解得：4x 或1x ，而函数254y x x =-+的对称轴是：52x =， 由复合函数同增异减的原则，故函数254y x x =-+[4，)+∞， 故选C ．19．（2019秋•项城市校级月考）下列函数中，在区间(0,1)上是递增函数的是( ) A ．|1|y x =+ B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A【解析】A ．(0,1)x ∈时，|1|1y x x =+=+，∴该函数在(0,1)上是递增函数，；所以该选项正确B ．3y x =-是一次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误；C ．1y x=是反比例函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误； D ．24y x =-+是二次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误．故选A ．20．（2019•西湖区校级模拟）函数()2f x lnx x =-的定义域为___________；单调递减区间是___________．【答案】(0,)+∞；1(2，)+∞【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞；112()2xf x x x-'=-=， 令()0f x '<，得12x >， ∴函数的单调递减区间为1(2，)+∞．故答案为：(0,)+∞；单调递减区间为1(2，)+∞．21．（2019•西湖区校级模拟）函数42y x x=+的单调递增区间为___________，值域为___________． 【答案】(,2)-∞和(2，)+∞，(-∞，42][42-，)+∞ 【解析】24()20f x x '=->，解得2x >或2x <-函数42y x x=+的单调递增区间为(,2)-∞和(2，)+∞，单调递减区间为[2-0)，(02]，即函数在2x =-(2)42f -=-，在2x =处有极小值(2)42f = 所以函数的值域为(-∞，42][42-，)+∞．故答案为：(,2)-∞和(2)+∞，(-∞，42][42-，)+∞．22．（2018•浙江模拟）已知函数已知函数222,2()1,2x x x f x log x x ⎧-+⎪=⎨->⎪⎩，则(f f （4）)___________；函数()f x 的单调递减区间是___________．【答案】1，[1，2]【解析】f （4）2log 411=-=； (f f ∴（4）)f =（1）21211=-+⨯=；2x 时，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =；()f x ∴在[1，2]上单调递减； ()f x ∴的单调递减区间为[1，2]．故答案为：1，[1，2]．23．（2017•河东区一模）已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】[3,3]-【解析】由题意知，32()1f x x ax x =-+--， 则2()321f x x ax '=-+-，32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数， 2()3210f x x ax ∴'=-+-在R 上恒成立， 则△2(2)4(3)(1)0a =-⨯-⨯-，解得33a-，∴实数a 的取值范围是[3,3]-，故答案为：[3,3]．24．（2016•永康市模拟）设函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，若(f f （1）)4a =，则实数a =___________，函数()f x 的单调增区间为___________． 【答案】2，(0,)+∞【解析】函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，可得f （1）2=，(f f （1）)f =（2）424a a =+=， 解得2a =；21,1()22,1x x x f x x x ⎧+=⎨+>⎩的增区间为(0,1)[1，)+∞(0,)=+∞．故答案为：2，(0,)+∞25．（2019秋•徐汇区校级期中）函数2()2f x x x =-+的单调递增区间为___________． 【答案】(-∞，1]【解析】根据题意，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，是开口向下的二次函数，其对称轴为1x =， 故()f x 的单调递增区间为(-∞，1]；故答案为：(-∞，1]．26．（2019秋•香坊区校级月考）函数224y x x =--+的值域是___________，单调递增区间是___________．【答案】[0，2]；[2，4]【解析】根据题意，函数224y x x =-+设24t x x =-+，必有240t x x =-+，解可得04x ， 必有04t ，则2042x x -+，则有02y ，即函数的值域为[0，2]；又由24t x x =-+，必在区间[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，则函数()f x 的递增区间为[2，4]；故答案为：[0，2]；[2，4]．27．（2019春•江阴市期中）已知2()(2)2f x x m x =-++在[1，3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】0m 或4m【解析】根据题意，2()(2)2f x x m x =-++为二次函数，其对称轴为22m x +=， 若()f x 在[1，3]上是单调函数，则有212m +或232m +， 解可得0m 或4m ，即m 的取值范围为0m 或4m ； 故答案为：0m 或4m ．28．（2018秋•驻马店期末）已知()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数，则不等式2()(2)2x xf e f --的解集是___________．【答案】[2，6]【解析】根据题意，()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数， 则22()(2)2122x x x xf e f e ---⇒--，解可得：26x ，即不等式的解集为[2，6]； 故答案为：[2，6]．29．（2019秋•秦州区校级月考）已知函数|1|1()()2x f x -=，则()f x 的单调递增区间是___________．【答案】(,1)-∞【解析】1|1|11()11()()2221x x x x f x x ---⎧⎪==⎨⎪<⎩；()f x ∴在(,1)-∞上单调递增；即()f x 的单调递增区间为(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞．30．（2019秋•思明区校级期中）函数()|2|f x x x =-的单调减区间为___________． 【答案】[1，2]【解析】当2x >时，2()2f x x x =-， 当2x 时，2()2f x x x =-+，这样就得到一个分段函数222,2()2,2x x x f x x x x ⎧->=⎨-+⎩．2()2f x x x =-的对称轴为：1x =，开口向上，2x >时是增函数； 2()2f x x x =-+，开口向下，对称轴为1x =， 则1x <时函数是增函数，12x <<时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1，2]． 故答案为：[1，2]．31．（2018秋•定远县期末）若函数()|2|(4)f x x x =--在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】2152a【解析】函数(2)(4)(2)()|2|(4)(2)(4)(2)x x x f x x x x x x --⎧=--=⎨--<⎩ ∴函数的增区间为(,2)-∞和(3,)+∞，减区间是(2,3)．在区间(5,41)a a +上单调递减，(5a ∴，41)(2a +⊆，3)，得25413a a ⎧⎨+⎩，解之得2152a故答案为：2152a．32．（2019•西湖区校级模拟）已知函数22();[1,)x x af x x x++=∈+∞（1）若12a =，求函数()f x 的最小值．（2）求函数()f x 的单调区间． 【解析】（1）1()22f x x x=++，在区间2[)+∞上单调递增，所以()f x 在[1，)+∞上是增函数， 所以7[()](1)2min f x f ==（2）22()2,[1,)x x a af x x x x x++==++∈+∞当0a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当0a >时，()f x 在)a 上递减，在(,)a +∞递增，所以 ①1,01a a <时，()f x 在[1，)+∞上是增函数；②当1a >时，()f x 在a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数； 综上所述，当1a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当1a >时，()f x 在)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数． 33．（2019秋•秦淮区校级期中）（1）求函数()1f x x x =-+ （2）求函数212log (21)y x x =-++的单调区间．【解析】（11(0)x t t +=，则21x t =-， 所以21(0)y t t t =--，因为抛物线21y t t =--开口向上，对称轴为直线12t =， 所以当12t =时，y 取得最小值为54-，无最大值，所以函数()f x 的值域为5[,)4-+∞．（2）设221t x x =-++．令2210x x -++>，解得1212x <+ 所以函数212log (21)y x x =-++的定义域为(12，12)，2(1)2t x =--+，对称轴方程为1x =，221t x x ∴=-++在(12，1)上为单调增函数，而在(1,12)+上为单调减函数，因为12log y t =为单调减函数，∴函数212log (21)y x x =-++的单调增区间为(1,12)+，单调减区间为(12，1)．34．（2018秋•合肥期末）已知函数1()22x x f x =-． （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于x 的不等式2(log )f x f <（1）． 【解析】（1）1()22(2)()2x x x x f x f x --=-=--=-，则函数()f x 是奇函数， 则当0x 时，设120x x <，则2112121212121122()()22222222x x x x x x x x x x f x f x --=--+=-+121212221(22)22x x x x x x -=-，120x x <，12122x x ∴<，即12220x x -<，12221x x >，则12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 则()f x 在[0，)+∞上是增函数， ()f x 是R 上的奇函数， ()f x ∴在R 上是增函数．（2）()f x 在R 上是增函数，∴不等式2(log )f x f <（1）等价为不等式2log 1x <，即02x <<．即不等式的解集为(0,2)．。