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一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究陈玉明【摘要】针对一类广义的Lorenz-Stenflo四维超混沌系统,基于中心流形及Hopf 分岔相关理论,研究了该系统在原点平衡点处发生的Hopf分岔行为,得到了系统在Hopf分岔点的特性,包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等,并借助数值模拟验证了理论分析的正确性.除此之外,借助数值模拟,发现该系统在某些特定参数下存在不同吸引子之间的共存现象,比如超混沌吸引子与周期吸引子共存,混沌吸引子与周期吸引子共存.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】6页(P43-48)【关键词】Lorenz型系统;超混沌;Hopf分岔;吸引子共存【作者】陈玉明【作者单位】广东技术师范学院数学与系统科学学院,广州510665【正文语种】中文【中图分类】O415.5;O19·基础数学·E. N. Lorenz在研究气象模型时, 在一类确定性系统中发现了类似于随机的动力学现象，即混动行为，并于1963年提出了首个混沌数理模型，Lorenz系统[1].由于混沌行为的特殊性，自从Lorenz系统被提出以后，大量来自于不同领域的数学家、物理学家及工程师们便对混沌的起源、混沌系统的特征与分岔行为、通向混沌的路径等各个方面，都展开了深入地研究[2-4].超混沌，作为另一种复杂动力学行为，它比混沌行为具有更强的复杂性以及更强的应用潜力.由于在自治常微分方程系统中要产生超混沌行为，必须要求系统维数至少为四维，因此，对四维超混沌系统的研究，尤其是对四维Lorenz型超混沌系统的研究，将显得尤为重要.在对混沌系统的研究中，系统分岔行为的研究是非常重要的一部分.随着系统平衡点稳定性的改变，即发生局部分岔行为，系统的局部动力学行为也会随之改变，甚至会引发系统全局动力学行为的变化.Hopf分岔是系统局部分岔中非常基本而又至关重要的一种，随着Hopf分岔的发生，将伴随着系统极限环的产生或者消失.在三维混沌系统的研究中，文献[5]研究了统一Lorenz型系统的Hopf分岔行为，该系统包含了Lorenz，Chen，Lu及Yang等大量的经典三维混沌系统，在此基础上，进一步对退化Hopf分岔的分析，该文献还发现了一种可通向混沌的路径.在四维超混沌系统的研究中，文献[6-8]分别研究了一类四维超混沌系统的Hopf分岔行为，得到了系统在Hopf分岔点的特性，包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等.混沌及超混沌系统的复杂性主要来源于混沌及超混沌吸引子的存在.一般情形下，相空间中只存在一个稳定的吸引子，除了其它吸引子(都为不稳定)本身外，从相空间中其它点出发的轨线都将趋向于那唯一的一个稳定的吸引子.然而一些研究者最近发现了很多特殊的系统[9-10]，在这些系统中存在着各种不同稳定吸引子的共存现象，这使得系统的相空间变得异常复杂，尤其是这些不同稳定吸引子的吸引盆的边界.在1996年，Stenflo沿着Lorenz模型的方向，提出了描述大气扰动的一个简单模型，其被称为Lorenz-Stenflo系统[11].该系统考虑了地球的旋转，黏度效应及热扩散效应等因素，该系统的方程为其中参数a是普朗特数，c是广义的雷利参数，及是地球旋转的角频率，κ是热耗散系数.基于上述的Lorenz-Stenflo系统，通过将该系统的参数可选取范围进行推广，本文考虑了如下的广义Lorenz-Stenflo系统其中参数满足a>0，b>0，cdrs≠0.当系统参数选取a=22.5，b=1.91，c=29.45，d=-2.86，r=0.23及s=9.64时，系统(1)具有超混沌吸引子，该吸引子所对应的Lyapunov指数为λLE1=0.1217,λLE2=0.0264,λLE3=0.0001,λLE4=-27.6416.该超混沌吸引子在空间的投影相图如图1所示.当系统参数满足(ar+s)(ar(c+d)+ds)≤0时，系统(1)只具有唯一平衡点E0(0,0,0,0).而当(ar+s)(ar(c+d)+ds)>0时，系统(1)除了具有原点平衡点E0之外，还将具有另外两个关于z轴对称的非原点平衡点其中w±=±.另外，当系统参数b=0时，系统(1)则存在一条平衡点直线，即z轴.针对四维广义Lorenz-Stenflo超混沌系统(1)，本文将研究该系统原点平衡点E0处发生的Hopf分岔行为，以及在某些特定参数下，研究系统不同吸引子之间的共存现象.针对一般的n维自治常微分方程系统(n>2)，下面首先介绍一下第一Lyapunov系数l1的计算方法.考虑如下的微分方程系统其中f(X,η)为Rn×Rs中的C∞类函数.假设系统(2)在参数条件η=η0之下具有平衡点X=X0，并且总是将变量X-X0记为进一步地，在参数条件η=η0之下，系统(2)可以被重写为其中‖‖4),以及并且对任意的i=1,2,…n，都有如下展开式成立其中的记号Bi以及Ci分别是向量函数B以及C的第i个分量.假设系统(3)在其原点平衡点处的Jacobian矩阵A，具有一对具有非零虚部的纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，并且Jacobian矩阵A在该平衡点处的其它特征值都具有非零实部.令Tc为Jacobian矩阵A对应于特征值λ1,2的特征向量所张成的广义特征空间.令向量p,q∈Cn满足下列条件值得注意的是，空间Tc中的任意向量Y均可以表示成为其中v=<p,Y>∈C.为了能够通过变量v以及来将与特征值λ1,2=±iω0有关的这个二维中心流形参数化表示，特考虑如下这个形式上的嵌入其中系数ujk∈Cn，并且满足将表达式(6)代入系统(2)中，可得求解由等式(7)中项的系数所确定的线性方程组，可得复向量uij的表达式.因此，在二维中心流形上通过使用复变量v，系统(7)可以表示成如下形式:其中G21∈C.第一Lyapunov系数l1被定义为其中在如下的定理中，对系统(1)在平衡点E0处所发生的Hopf分岔进行了研究.定理1 令(a+r)(ad(c+d)+acr+d2r)<0，以及并且假设MN≠0成立，则当参数s穿过临界值s0= 时，系统(1)在平衡点E0处发生Hopf分岔.在临界参数值附近，系统还有如下的动力学性质:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的稳定周期轨;证明令X=(x,y,z,w)∈R4，η=(a,b,c,d,r,s)∈R6以及f(X,η)=(a(y-x)+sw,cx+dy-xz,-bz+xy,-x-rw),则系统(1)可被改写成系统(2).系统(1)在平衡点E0处的特征方程为假设方程(12)具有一对纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，即如下等式成立，-a(c+d)r-ds-(a-d+r)=0,-ω0(a(c+d-r)+dr-s+)=0,在参数条件s=s0之下，系统(1)在平衡点E0处的Jacobian矩阵为其所对应的特征值为λ1=iω0,λ2=-iω0,λ3=d-a-r,λ4=-b.经过繁琐地计算过程，可得如下的两个特征向量:其中G=-ac(r+iω0)2+(d-iω0)2(ω0-ir)2.向量p,q满足条件(5)，即由计算公式(4)，可得基于公式(13)，(14)及(15)，通过直接而繁琐地计算，可得B(q,q)=(0,0,2c(d-iω0)(-ir+ω0)2,0)T，S3=d(4d-b)++2i(b-d)ω0,S4=4d2+br++2i(b+r)ω0,S5=ar++s0+2i(a+r)ω0,S6=-+b(d-2iω0)+2id(2id+ω0),S7=-3ac+ad-4d2+-2i(a-d)ω0.再次使用公式(14)，(15)以及(16)，可计算得〈p,B(q,-u11)〉=,将上述三个等式代入(8)式中，可计算得第一Lyapunov系数为l1(s0)=Re[〈p,C(q,q,)〉-2〈p,B(q,-u11)〉+〈p,B(,u20)〉]=,当MN≠0时，有l1(s0)≠0，从而有平衡点E0处Hopf分岔的非退化条件成立.进一步,将验证平衡点E0处Hopf分岔的横截条件也成立.平衡点E0处的特征方程如(12)所示，即P(λ)=(b+λ)(ε0+ε1λ+ε2λ2+λ3)=0,其中ε0=-acr-adr-ds, ε1=-ac-ad+ar-dr+s, ε2=a-d+r.当参数s在临界值s0附近时，假设特征方程(12)具有特征值λ1,2=α±iβ，λ3=γ以及λ4=-b，其中α,β及γ为系统参数的实函数.将这些特征值代入方程(12)中，并且整理与α相关的部分，可得由于α|s=s0=0，将(17)式对参数s求偏导数，可得又由于从而，当a+r>0时，则有|s=s0<0，Hopf分岔的横截性条件成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为不稳定及稳定的.否则，当a+r<0时，则有|s=s0>0，Hopf分岔的横截性条件依然成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为稳定及不稳定的.综上所述，系统(1)限制在由平衡点E0的复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中时，具有如下的动力学行为:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的稳定周期轨;为了验证定理1中关于系统(1)平衡点E0处Hopf分岔理论结果的正确性，特给出了如下基于四阶Runge-Kutta方法的数值仿真结果.选择参数a=3,b=3,c=6.1,d=-3,r=1，根据定理1，可得s0=3.45，ω0=0.387 298>0及l1(s0)=-5.933 71<0，这意味着系统(1)在平衡点E0处的Hopf分岔能够产生出稳定的周期轨.由于a+r>0，当s<s0时，Hopf分岔产生稳定周期解，如图2(a)所示; 而当s>s0时，平衡点E0为稳定焦点，如图2(b)所示.选取恰当的系统参数，通过详细的数值分析，可发现系统(1)存在多种吸引子共存的现象，即同组参数条件下，系统(1)满足不同初始条件的解有可能呈现出完全不同的动力学行为.具体可包括超混沌吸引子与周期吸引子的共存，混沌吸引子与周期吸引子共存等.固定参数a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64，对初始条件(51,-28,-96,76)，系统(1)的解将会收敛于一个周期解，其在y-z-w空间的投影如图3(a)所示，该周期吸引子所对应的Lyapunov指数为在同一组参数下，对于初始条件(42,-22,46,77)，系统(1)的解则收敛于一个超混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图3(b)所示，该超混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中存在着超混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图3(c)所示.在同一组参数下，对于初始条件(-57,-22,-6,-59)，系统(1)的解则收敛于一个混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图4(b)所示，该混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=12.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中则存在着混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图4(c)所示.【相关文献】[1] E.N. Lorenz. Deterministic non-periodic flow[J].J. Stmos. Sci.,1963,20:130-141.[2] M.W. Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos[M].New York: Elsevier Academic Press,2007.[3] L.P. Shilnikov, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev, et al. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics[M].Singapore:World Scientific,2001.[4] S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Second Edit[M].New York:Springer-Verlag,1990.[5] Q. Yang, Y. Chen. Complex dynamics in the unified Lorenz-type systems[J].Int. J. Bifurcat. Chaos,2014,24:1450055(30 pages).[6] Y. Chen, Q. Yang. Dynamics of a hyperchaotic Lorenz-type system[J].Nonlinear Dynam,2014,77:569-581.[7] 陈玉明.基于Lorenz型系统的四维超混沌系统的复杂动力学研究[D].广州:华南理工大学,2014.[8] 刘永建,程俊芳.四维超混沌Lorenz系统的Hopf分岔. 河南大学学报[J].2013,43(1):11-16.[9] Y. Chen, Q. Yang. A new Lorenz-type hyperchaotic system with a curve of equilibria[J].Math. Comput. Simulat.,2015,112:40-55.[10] Z. Wei. Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria[J].Phys. Lett. A,2011,376:102-108.[11] L. Stenflo. Generalized Lorenz equations for acoustic-gravity waves in the atmosphere[J].Phys. Scr.,1996,53:83-84.。
不可压缩流中二元机翼运动的Hopf分岔周碧柳;徐慧东;魏延;韩志军【摘要】机翼的颤振是一种典型的自激振动,它是由气动力、弹性力和惯性力的相互作用引起的一种气动弹性现象.本文研究了具有结构非线性刚度恢复力的机翼颤振的Hopf分岔问题.首先,利用连续时间的Hopf分岔显式临界准则分析了机翼颤振Hopf分岔的存在性,推导了第一李雅普诺夫系数的通项公式,为判定机翼Hopf 分岔的稳定性提供了依据.其次,分析了机翼颤振退化的余维二Hopf分岔的存在性条件,得到了满足条件的双参数分岔区域.然后,推导了第二李雅普诺夫系数的通项公式并结合中心流形降阶原理和同构变换进一步分析了余维二Hopf分岔的稳定性以及其局部开折问题.最后,通过推导第三李雅普诺夫系数分析了余维三Hopf分岔中心的稳定性.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2019(017)001【总页数】8页(P78-85)【关键词】退化Hopf分岔;Lyapunov系数;极限环;机翼【作者】周碧柳;徐慧东;魏延;韩志军【作者单位】太原理工大学力学学院,太原030024;太原理工大学力学学院,太原030024;太原理工大学力学学院,太原030024;太原理工大学力学学院,太原030024【正文语种】中文引言机翼的颤振是由气动力、弹性力和惯性力的相互作用引起的一种自激振动现象.作为一种典型的自激系统,机翼通过从气流中吸收能量,持续发生稳定或不稳定的振动,相应的产生良性颤振或不良颤振,其中的不良颤振可能会引起灾难性的后果.因此,对机翼的气动弹性行为的分析及预判显得十分重要.当飞行速度低于音速时,大部分研究主要考虑由结构的非线性弹性力引起的机翼颤振行为.早在19世纪50年代Woolston[1]和Shen[2]等人就研究了这种具有结构非线性机翼的颤振行为.Lee[3,4]和Liu[5]等人从理论和数值两方面进一步对具有结构非线性机翼的颤振行为做了深入的研究.O′Neil等人[6]从实验角度调查了极限环振荡的颤振边界问题并得到了与数值模拟一致的满意结果.随着分岔理论的不断深入,对结构非线性机翼运动的研究有了新的视角.从本质上来说,机翼颤振所产生的极限环主要来源于Hopf分岔.许多学者对机翼颤振的Hopf 分岔问题做出了不少有价值的研究成果.Zhao等人[7,8]建立了二元机翼颤振的动力学方程,为进一步的分岔研究提供了良好的开端.Zhang[9]等人研究了机翼系统的局部分岔行为,提出了降低颤振幅值和避免不稳定极限环运动的措施.Anton等人[10]建议了一种基于随机范式的新方法研究了参数不确定性对机翼系统Hopf分岔的影响.Wu等人[11]通过数值计算方法讨论了机翼系统极限环颤振的复杂分岔行为.Wu 等人[12]通过Gegenbauer多项式逼近法研究了不可压缩流中参数不确定性对二元机翼颤振特性的影响.Price[13]和Singh[14]采用描述函数法分别调查了系统在时域和频域上的颤振特性.Ding等人[15]研究了结构系数对机翼颤振Hopf分岔拓扑结构的影响,他们发现在适当的参数下系统能发生亚临界的Hopf分岔和超临界的Hopf分岔.Chen等人[16]通过改进等效的线性化方法研究了带有非线性阻尼机翼系统的颤振行为.Cui等人[17]提出了一种基于精细积分法的数值算法研究了带有间隙机翼系统的非线性气动弹性响应问题.Yang等人[18]研究了不同马赫数下带有间隙的气动弹性机翼的极限环振荡行为.以上研究都没有涉及到二元机翼颤振的退化Hopf分岔问题.本文研究了二元机翼颤振的余维一、余维二、余维三Hopf分岔以及相应的局部动力学行为.首先,基于二元机翼颤振的动力学方程研究了系统的Hopf分岔的存在性,并通过推导第一Lyapunov系数分析了分岔解的稳定性.然后,通过推导第二Lyapunov系数的表达式并使用中心流形-方式方法研究了二元机翼的余维二退化Hopf分岔.最后,通过推导第三Lyapunov系数并结合数值计算方法研究了余维三Hopf分岔的稳定性.1 数学模型和动力学方程本文考虑具有结构非线性刚度恢复力的两自由度机翼系统,其动力学方程为[7,19](1)其中,h表示机翼尖端上下沉浮高度,α表示机翼俯仰角,V表示广义气流速度,kα表示扭转结构弹性力,kα具有如下表达式kα(α)=k0+k1α+k2α2+k3α3+k4α4+o(α4)(2)令X=(x1,x2,x3,x4)T=(h,,α,,可得运动方程的标准形式为(X,ζ)=AX+ψ(X)(3)其中,ζ代表一个或多个系统参数,线性化矩阵A和非线性项ψ(X)分别如下:A=ψ(4)2 二元机翼的Hopf分岔2.1 Hopf分岔的存在性由于系统(3)是一个四维的系统,相应的雅克比矩阵的特征值虽然具有解析表达式,但形式很复杂,若使用传统的Hopf分岔临界准则通过检验特征值是否满足分岔的临界条件来分析Hopf分岔的存在性不太方便.这里,采用不直接依赖于特征值计算的Hopf分岔的显式临界准则来分析Hopf分岔的存在性.系统(3)有一个平衡点X*=(0,0,0,0),在平衡点X*处的线性化矩阵A对应的特征多项式为p(λ,ζ)= λ4+p1(ζ)λ3+p2(ζ)λ2+p3(ζ)λ+p4(ζ)(5)其中,ζ代表系统参数V 和 k0 中的任意一个.特征多项式系数pi(ζ) (i=1,…,4) 如下: p1(ζ)=0.8p2(ζ)=-0.15V+2.29k0+0.34p3(ζ)=-0.04V+1.14k0+0.04p4(ζ)=-0.02V+0.46k0(6)引理1[20] 系统(3)在ζ=ζ0会发生Hopf分岔,当且仅当满足下列条件:h1(ζ0)= 0.003V2-0.115Vk0-0.002V+0..010=0h2(ζ0)=-0.073V+0.686k0+0.229>0h3(ζ0)=-0.018V+0.457k0>0h4(ζ0)=-0.115V+1.567k0≠0h5(ζ0)=0.007V-0.115k0-0.002≠0(7)在引理1中,条件h1(ζ0)=0保证了线性化矩阵A恰好有一对共轭的复根位于虚轴上；条件hi(ζ0)>0(i=2,3)保证了除这对共轭的纯虚根以外的特征值全部位于虚轴的左半平面；条件hi(ζ0)≠0(i=4,5)确保了这对共轭的复根随参数的变化穿越虚轴的速度不等于零.由此可见,引理1中的条件(7)保证了线性化矩阵A具有一对纯虚根且这对纯虚根在参数扰动下穿越虚轴的速度不为零,其它另外两个根具有负实部. 基于条件(7),可得到如图1所示的Hopf分岔图.图1 系统(3)的Hopf分岔图Fig.1 Hopf bifurcation diagram of the system (3) 在图1中,绿色区域代表平衡点p0的稳定区域,该区域由不等式条件hi(ζ0)>0(i=2,3)以及h1(ζ0)>0得到；白色区域表示潜在的分岔参数域,该区域由不等式条件hi(ζ0)>0(i=2,3)以及h1(ζ0)<0得到；而在灰色区域,hi(ζ0)(i=2,3)中至少有一个不等式条件失效；红色曲线l1由等式h1(ζ0)=0得到,它表示Hopf分岔临界曲线；尽管灰色区域中的红色曲线能保证矩阵A具有一对共轭的纯虚数特征值,但不能保证其他特征值全部具有负实部；黑色虚线l4和l5由等式hi(ζ0)=0(i=4,5)得到,它表示这对复共轭特征值穿越虚轴的速度为零,即横截条件失败.因此,分岔参数的选择应该避开l4与l1的交点P1以及l5和l1的交点P2.2.2 Hopf分岔的方向和分岔极限环的稳定性在2.1节中保证系统(3)能产生Hopf分岔的基础上,分岔后出现的分岔极限环的稳定性取决于系统(3)的非线性项.本文使用投影法[21]通过推导第一李雅普诺夫系数来分析分岔解的稳定性.对于系统(3),通过坐标变换将分岔点ζ0和平衡点X*平移到零点,平移后的变量仍然使用X,参数变为ε=ζ-ζ0,于是,系统(3)变换成,ε)(8)将变换后的系统(8)在X=0处级数展开,有,ε(X,X)+,X,(X,X,X,X)+(X,X,X,X,X)+O(‖X‖6)(9)式(9)中A为系统(8)在平衡点和分岔点处的雅克比矩阵,即(0,0),A有一对复共轭特征值λ1,2(ε)满足λ1,2(0)=±iω0和dRe(λ1,2(ε))/dεε=0≠0,其余特征值λ3,4(ε)满足Re(λ3,4(0))<0.设q是A对应特征值λ1(0)=iω0的复特征向量,p是伴随矩阵AT对应特征值λ2(0)=-iω0的复特征向量,有下面的关系式Aq=iω0q, ATp=-iω0p(10)其中,p和q满足标准化形式<p,. 式(9)中的高阶项具有如下的一般形式:Bi(x,Ci(x,y,Di(x,y,z,Ei(x,y,z,u,(11)下面来推导第一李雅普诺夫系数,其表达式定义为[21](12)其中,G21=<p,H21>,H21=C(q,q,,h20)+2B(q,h11),h20=(2iω0I-A)-1B(q,q),h11=-A-1B(q,.由表达式(12)可知第一李雅普诺夫系数的推导仅需要(9)式中的高阶项B(X,X)和C(X,X,X),后面的高阶项D(X,X,X,X)和E(X,X,X,X,X)在研究退化的余维二和余维三Hopf分岔会用到.通过推导求得符合条件(10)的特征向量q和p的表达式如下:(13)其中,k0=0.065V+0.007+0....038V-0.16k0-0..15i-0.03iV+0.13ik0)ω0-0.00014V+0.00058k0+0.011]/[(-0.14V+0.58k0+0.057iω0)(0.27iω0+0.11)]由表达式(4)中的非线性项ψ(X)和表达式(11),推导得到,(14)(14)式中的k1和k2是参数,ξ3,η3和ρ3是变量.利用表达式(13)和(14),可求得h11和h20如下:其中,s1=0....26iω0,s2= 0...9...096iω0V-2.2iω0k0-0.098iω0+0.019V-0.47k0)(-0.7V+2.9k0+0.285iω0)2,s3=0.57iω0+0.s5=-0.14V+0.58k0-0.057iω0,s6=0.019V-0.47k0于是,由(13),(14)和(15),求得:(16)其中,s7=4.5iω0+0.,si(i=1…6)如上式所示.这样,系统(3)Hopf分岔后解的稳定性可以由下面的引理2来确定.引理2[21] 系统(3)的雅克比矩阵DXf(X*,ζ)在分岔点ζ=ζ0处有一对纯虚根λ1,2(ζ0)=±iω0,而其它特征值的实部Re(λ3,4(ζ0))<0,那么在ζ=ζ0处,当L1(V,k1,k2)<0(或L1(V,k1,k2)>0),从X*分岔出稳定的(不稳定的)极限环.其中,第一李雅普诺夫系数L1(V,k1,k2)具有下面的表达式:L1(V,k1,.ω0-4..7.2..27iω0+0.11))](17)使用表达式(17)可以得到一个三维曲面的第一李雅普诺夫系数图,如图2所示.图2 系统(3)的第一李雅普诺夫系数图Fig.2 The first Lyapunov coefficient diagram of the system (3)从图2可以看出,曲面的内侧对应于L1<0,曲面外侧对应于L1>0.若选择曲面内侧的参数,那么发生Hopf分岔后会产生一个稳定的极限环.作为一个算例,选取曲面内侧的一组参数V=4,k1=0.1,k2=0.5,通过选择ζ0附近合适的参数ζ,得到系统(3)的一个稳定的极限环,如图3所示.3 二元机翼的退化Hopf分岔第二节研究了系统(3)的非退化的Hopf分岔.这一节将通过推导第二李雅普诺夫系数和第三李雅普诺夫系数的表达式进一步来研究高余维情况下的退化Hopf分岔. 图3 在k0=0.415处系统(3)产生的一个稳定的极限环(外面的红色曲线)Fig.3 A stable limit circle of system (red curve) (3) at k0=0.4153.1 二元机翼的余维二Hopf分岔在满足引理1中条件(7)的情况下,余维二Hopf分岔意味着第一李雅普诺夫系数表达式(17)退化为零.因此,退化的余维二Hopf分岔的存在性条件还要求L1(V,k1,k2)=0.在2.2节中,图2中的曲面意味着第一李雅普诺夫系数L1(V,k1,k2)等于零,将这个曲面投影到由V和k2张成的平面,得到曲线η(见图4),这意味着曲线η上面的点满足L1(V,k2)=0.曲线η上面的点G是第二李雅普诺夫系数的表达式在V和k2张成的平面上的投影与曲线η的交点,这样G点也满足第二李雅普诺夫系数等于零,这意味着点G是一个余维三Hopf分岔点.将在下一小节进一步分析退化的余维三Hopf图4 系统(3)的退化Hopf分岔图Fig.4 Degenerate Hopf bifurcation diagram of the system (3)为了研究余维二Hopf分岔的稳定性,需要推导第二李雅普诺夫系数L2的表达式,其表达式定义为[21](18)其中,G32=〈p,H32〉(19)H32= 6B(h11,,,h20)+3B(q,,h31)+6C(q,h11,h11)+3C(q,,h20)+3C(q,q,,,h21)+,h20,,,h30)+D(q,q,q,6D(q,q,,h11)+3D(q,,,h20)+E(q,q,q,,(20)其中,h22= -A-1[D(q,q,,,,h11)+,,h20)+C(q,q,2B(h11,h11)+2B(q,,,h20)]h31= (2iω0I4-A)-1[3B(q,,h30)+3B(h20,h11)+3C(q,q,h11)+3C(q,,h20)+D(q,q,q,由表达式(4)中的非线性项ψ(X)和表达式(11),推导得到,(21)其中,k3和k4是参数,ξ3,η3,ρ3,θ3和ε3是变量.利用表达式(13),(16),(20)和(21),通过推导可得(22)其中,hijk是hij第k个元素,qi是q第i个元素.系统(3)退化余维二Hopf分岔的局部开折可由下面的引理3来确定.引理3[22] 对于系统(3),在第一李雅普诺夫系数退化为零的情况下,第二李雅普诺夫系数具有下面的表达式:.4h113h213+0.+2..7q3h223+1....(23)那么,退化余维二Hopf分岔的局部开折类型可由表达式(23)的符号来确定.对于图4上的曲线η,上面的G点将其分为上下两段,上面一段意味着第二李雅普诺夫系数L2>0,下面一段意味着第二李雅普诺夫系数L2<0.不同符号的L2对应不同的局部开折.3.2 二元机翼的余维三Hopf分岔所谓余维三Hopf分岔点,即第一和第二李雅普诺夫系数同时退化消失.为了方便研究,将第一和第二李雅普诺夫系数投影到由k1和k2所张成的平面(V=4),如图5所示.在图5中,红色曲线r1表示第一李雅普诺夫系数L1=0,蓝色曲线r2表示第二李雅普诺夫系数L2=0,曲线r1和r2的交点Q是一个余维三Hopf分岔点.运用数值计算方法,可算出点Q点的坐标为,(0.138401,0.049878).图5 系统(3)的退化余维三Hopf分岔点Fig.5 Degenerate co-dimension three Hopf bifurcation point of the system (3)为研究余维三Hopf点的稳定性,采取数值方法来计算第三李雅普诺夫系数.选取参数k3=0.8,k4=0.5,数值计算Q点处相对应量的表达式如下:,(24)根据第三李雅普诺夫系数L3的定义[21],,H43>(25)由表达式(24)中的p和H43以及表达式(25),求得L3=-0.000363,由L3<0,可知余维三Hopf是稳定的.4 结论本文研究了二元结构非线性机翼余维一,余维二和余维三的Hopf分岔及其稳定性.基于不直接依赖特征值特性的显式Hopf分岔临界准则给出了Hopf分岔的存在性条件.推导获得了第一李雅普诺夫系数的表达式,基于此表达式分析了余维一Hopf 分岔的稳定性.基于第一李雅普诺夫系数退化的条件,得到了退化的余维二Hopf分岔的双参数分岔区域.推导获得了第二李雅普诺夫系数的表达式,基于此表达式并运用中心流形降阶原理和同构变换分析了余维二Hopf分岔的稳定性.通过数值计算第三李雅普诺夫系数分析了余维三Hopf分岔及其稳定性.参考文献【相关文献】1 Woolston D S, Runyan H L. 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In:39th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference and Exhibit(AIAA),Long Beach:CA,199820 Liu W M. Criterion of Hopf bifurcation without using eigenvalues. Journal of Mathematical Analysis and Applications,1994,182(1):250～25521 Sotomayor J, Mello L F, Braga D D C. Hopf bifurcations in a Watt governor with a spring. Journal of Nonlinear Mathematical Physics,2008,15:288～29922 Kuznetsov Y A. Elements of applied bifurcation theory. New York: Springer-Verlag,1998。
强背景噪声振动信号中滚动轴承故障冲击特征提取作者：刘湘楠赵学智上官文斌来源：《振动工程学报》2021年第01期摘要：針对机械早期故障引起的冲击特征微弱，易受强背景信号和噪声的干扰而难以提取的问题，提出一种奇异值分解（Singular Value Decomposition， SVD）差分谱与S变换相结合的微弱冲击特征提取方法。
将原始信号构造成Hankel矩阵，采用SVD对重构矩阵进行分解;利用奇异值差分谱确定降噪阶次进行降噪;采用S变换对降噪后的信号进行时频分析，提取信号中的微弱冲击特征信息。
通过数值仿真和实际轴承故障数据的对比，表明该方法可有效辨别轴承振动信号中故障引起的早期微弱冲击特征，为轴承故障诊断提供先验信息。
关键词：故障诊断; 滚动轴承; 冲击特征; 奇异值分解; S变换中图分类号： TH165+.3; TH133.33; TN911.7 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2021）01-0202-09DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2021.01.023引言滚动轴承是旋转机械设备中广泛使用的零部件之一，也是旋转机械最主要的故障来源之一[1]。
在实际运行过程中由于工况复杂、过载、安装精度差及润滑不良等原因，滚动轴承外圈、滚动体及内圈等部件容易发生故障，进而影响机械系统整体运行的安全性和可靠性[2]。
滚动轴承产生故障时，工作过程中会产生突变的冲击力，该冲击信号的频率即为损伤点撞击轴承元件的频率[3]。
滚动轴承振动信号蕴含了大量的运行状态信息，表现为非线性和非平稳性的调制信号，对振动信号进行分析，可有效获取振动信号中所包含的轴承故障引起的冲击特征信息。
但由于旋转机械设备结构复杂以及工作条件的多样性，各种激励源产生的信号相互耦合，导致滚动轴承故障引起的冲击特征常常淹没在强背景信号和噪声中，比较难以识别，特别是早期故障信号，在强噪声背景下轴承振动信号故障冲击特征信息微弱，更加难以提取[4‑5]。
NCDC2012——第九届全国动力学与控制学术会议论文编号：NCDC2012-B XX-XXX（请在红色位置标明稿件的分类编号A, B, C, ...）一类几何非线性系统的Hopf分岔研究韩彦伟1，曹庆杰1,2(1. 哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨150001；2. 石家庄铁道大学数理系，石家庄 050043)摘要：几何非线性是科学与工程应用中经常遇到的一类重要的非线性现象。
其中，Physical Review E, 74,(2006)046218一文中提出一类由于几何构型引起的几何非线性动力系统已经被广泛研究，该类系统具有从光滑动力学行为向不连续动力学行为光滑转迁的无理非线性动力学现象。
Hopf 分岔是一种重要的动态分岔现象，若系统发生Hopf分岔，则系统参数在分岔值附近变化时，系统平衡点的稳定性发生改变，并在平衡点的小领域内产生周期解（极限环）。
本文对该类几何非线性振子进行了Hopf分岔分析。
首先，利用泰勒级数对原系统逼近并进行五次截断，引入Van del Pol阻尼扰动得到五次非线性Lienard系统。
其次，应用Hopf分岔理论，分析得到了系统在突变点附近的三个分岔曲面：单Hopf、双Hopf和三Hopf分岔曲面。
系统平衡点稳定性在分岔曲面上发生改变，并在平衡点附近出现单极限环、双极限环共存和三极限环共存等行为。
最后，采用四阶Runge-Kutta法进行数值模拟，给出系统单极限环出现、双极限环共存和三极限环共存的相图。
通过数值模拟，验证了理论分析的结果正确性。
关键词：几何非线性；五次非线性；Hopf分岔；多极限环共存；Runge-kutta算法Hopf bifurcation for a geometrical nonlinear systemHAN Yan-wei1, CAO Qing-jie2(1.School of Astronautics, Harbin Institute and Technology, Harbin 150001, China;2. Department of Mathematics and Physics, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China)Abstract: Geometrical nonlinearity is an important nonlinear phenomenon in science and technology. A geometrical system called SD oscillator in the paper (Physical Review E, 2006, 74: 046218) proposed and extensively studied, which with irrational nonlinearities having smooth and discontinuous dynamics. Hopf bifurcation is an important dynamical bifurcation, the periodic solution (limit cycle) happen at the equilibrium point when the system parameter varying at the bifurcation value. In this paper, we investigated the Hopf bifurcation of the geometrical nonlinear system. Firstly, the Lienard system was derived by using truncation of Taylor series of original system and introducing Van der Pol damping,. Secondly, we used the Hopf theory to study the single, double and triple Hopf bifurcation surface near the catastrophe point. Lastly, multiple limit cycle phase diagram is performed four-order Runge-Kutta method is chosen to simulate the system in, numerical simulation results are given to support the theoretical predictions.Key words: key word 1; key word 2; key word 3; key word 4; key word 51 引言几何非线性是当代科学技术与工程应用中经常遇到的重要非线性因素，与材料非线性、接基金信息：国家自然科学基金资助项目(11072065, 10872136).作者简介：韩彦伟(1980 - )，男，博士研究生，从事非线性动力学研究，E-mail: hanyanweihyw@;曹庆杰(1955 - )，男，博士，教授，从事非线性动力学研究，E-mail: q.j.cao@.触非线性构成工程应用研究中的三大非线性问题。
一类含间隙机械振动系统的概周期运动与混沌摘 要：本文研究了一个有双质量和间隙的振动系统。
对该系统的动力学研究主要围绕非共振和弱共振情况中周期运动的Hopf 分岔。
建立了该振动系统的Poincare 映射。
用分析法研究了一个有冲击周期运动的稳定性。
确定了霍普夫分岔数值 及一个有冲击的周期运动的冲击条件。
运用中心流形定理，得到Poincare 映射的 余维二维二分岔，用常规模式理论进行了常规区分。
通过霍普夫分岔在2R 定 点的理论，分析了冲击振动的局部动态特性。
用各种数值方法验证了理论分析。
通过数值模拟获得了影响混沌周期运动的研究道路。
关键词：振动冲击；间隙；Hopf 分岔；概周期运动；混沌 1.简介任何时候当一个振动系统的成分与不平障碍物相撞或互相撞击的时候，就会产生冲击震荡。
这种冲击系统存在于很多工程应用中，尤其是机械制造和含有间隙的机器中。
这些冲击产生非线性或非持续性，使得冲击系统可以表现出丰富且复杂的动态行为。
近年来，机械系统的冲击动力学成为许多学者研究的课题，同时他们提出了很多新的理论问题。
Natsiavas [1]分析了自主存在与和谐刺激下的二自由度分段线性系统，获得了概周期运动，并通过数据方法获得了冲击混沌的研究道路。
Chatterjee 和Mallik [2]研究了单自由度自主存在有减震器的振荡器的概周期冲击振动。
Budd [3]研究了一个与单边控制的的单自由度冲击振动系统，证明如果恢复系数少于1，概周期运动不能在系统中发生。
谢建华[4]研究了单自由度系统与单边振幅限制的余维二分岔并发现了Hopf 二周期冲击轨道。
罗冠伟和谢建华[5,6]考虑了无阻尼的二自由度碰撞振动系统，在无共振、弱共振和强共振情况中研究了单冲击周期运动的概周期运动。
本文主要研究了存在两个质量块和一个间隙的冲击振动系统。
主要是专门研究无共振和弱共振情况中碰撞振动系统周期运动Hopf 。
首先，选择了有一个间隙的冲击振动系统的Poincare 映射来建立Poincare 截面，然后分析和研究了这个冲击振动系统的周期运动。
