2017_2018八年级数学上册综合训练与角有关的辅助线过程训练三天天练无答案新版新人教版

八上数学辅助线的添加浅谈一、添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线;2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循;举例如下：1平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键,是添与二条平行线都相交的等第三条直线2等腰三角形是个简单的基本图形：出现一点发出的二条相等线段时,往往要连结已知点补完整等腰三角形;3等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点,添底边上的中线；4直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点,往往添斜边上的中线;出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边,要添直角三角形斜边上的中线;５全等三角形：全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个相等角关于某一直线成轴对称,就可以添加辅助线构造轴对称形全等三角形；或添对称轴,对应点连线的中垂线即为对称轴;当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加辅助线构造中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线６特殊角直角三角形当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明二、基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：倍长中线法;有关三角形中线的题目,常将中线倍长构造全等三角形;方法2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质定理和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题;方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用角平分线、垂直平分线的性质定理进行转换;方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法进行转换,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段;2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下：1连对角线或平移对角线：2过顶点作对边的垂线构造直角三角形3连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.三、作辅助线的方法一：中点、中位线,延线,平行线;如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的;二：垂线、角平分线,翻转全等连;如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生;其对称轴往往是垂线或角的平分线;三：边边若相等,旋转做实验;如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生;其对称中心,因题而异,有时没有中心;故可分“有心”和“无心”旋转两种;四：面积找底高,多边变三边;如遇求面积,在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积,往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键;如遇多边形,想法割补成三角形；反之,亦成立;另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”;四、三角形中作辅助线的常用方法举例一、在证明三角形中多条线段的不等量关系时,若直接证不出来,可连接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如：例1：已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.证明：法一将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N,在△AMN 中,AM ＋AN ＞ MD ＋DE ＋NE;1 在△BDM 中,MB ＋MD ＞BD ； 2 在△CEN 中,CN ＋NE ＞CE ； 3 由1＋2＋3得：AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC法二：如图1-2, 延长BD 交 AC 于F,延长CE 交BF 于G,在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：AB ＋AF ＞ BD ＋DG ＋GF 三角形两边之和大于第三边1 GF ＋FC ＞GE ＋CE 同上………………………………2 DG ＋GE ＞DE 同上……………………………………3 由1＋2＋3得：AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC;二、在证明三角形中某些角的不等量关系时,如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点,求证：∠BDC ＞∠BAC;BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC 处于在外角的位置,∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E,这时∠BDC 是△EDC 的外角,A BCDEN M 11-图ABCDEF G21-图AD E G∴∠BDC ＞∠DEC,同理∠DEC ＞∠BAC,∴∠BDC ＞∠BAC 证法二：连接AD,并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角∴∠BDF ＞∠BAD,同理,∠CDF ＞∠CAD ∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC;注意：利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明;三、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如：例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线,且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF;分析：要证BE ＋CF ＞EF ,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF,EF 移到同一个三角形中,而由已知∠1＝∠2,∠3＝∠4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN,FN,EF 移到同一个三角形中;证明：在DA 上截取DN ＝DB,连接NE,NF,则DN ＝DC, 在△DBE 和△DNE 中：∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已知辅助线的作法ED ED DB DN ∴△DBE ≌△DNE SAS∴BE ＝NE 全等三角形对应边相等 同理可得：CF ＝NF在△EFN 中EN ＋FN ＞EF 三角形两边之和大于第三边 ∴BE ＋CF ＞EF;注意：当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的性质得到对应元素相等;四、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形; 例如：如图4-1：AD 为△ABC 的中线,且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 至M,使DM=DE,连接 CM,MF;在△BDE 和△CDM 中,AB CD E FN13-图1234ACE F1234∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MD ED CDM CD BD ∴△BDE ≌△CDM SAS又∵∠1＝∠2,∠3＝∠4 已知 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°平角的定义 ∴∠3＋∠2=90°,即：∠EDF ＝90° ∴∠FDM ＝∠EDF ＝90° 在△EDF 和△MDF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已证辅助线的作法DF DF FDM EDF MD ED∴△EDF ≌△MDF SAS∴EF ＝MF 全等三角形对应边相等∵在△CMF 中,CF ＋CM ＞MF 三角形两边之和大于第三边 ∴BE ＋CF ＞EF注：上题也可加倍FD,证法同上;注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构造全等三角形,使题中分散的条件集中;五、有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形; 例如：如图5-1：AD 为 △ABC 的中线,求证：AB ＋AC ＞2AD;分析：要证AB ＋AC ＞2AD,由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD,所以有AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD,左边比要证结论多BD ＋CD,故不能直接证出此题,而由2AD 想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去;证明：延长AD 至E,使DE=AD,连接BE,则AE ＝2AD ∵AD 为△ABC 的中线 已知 ∴BD ＝CD 中线定义 在△ACD 和△EBD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(辅助线的作法对顶角相等已证ED AD EDB ADC CD BD∴△ACD ≌△EBD SAS∴BE ＝CA 全等三角形对应边相等∵在△ABE 中有：AB ＋BE ＞AE 三角形两边之和大于第三边ABCDE15-图AEF∴AB ＋AC ＞2AD;练习：已知△ABC,AD 是BC 边上的中线,分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图5-2, 求证EF ＝2AD;六、截长补短法作辅助线;例如：已知如图6-1：在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上任一点;求证：AB －AC ＞PB －PC;分析：要证：AB －AC ＞PB －PC,想到利用三角形三边关系定理证之,因为欲证的是线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB －AC,故可在AB 上截取AN 等于AC,得AB －AC ＝BN, 再连接PN,则PC ＝PN,又在△PNB 中,PB －PN ＜BN,即：AB －AC ＞PB －PC;证明：截长法在AB 上截取AN ＝AC 连接PN , 在△APN 和△APC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已知辅助线的作法AP AP AC AN ∴△APN ≌△APC SAS∴PC ＝PN 全等三角形对应边相等∵在△BPN 中,有 PB －PN ＜BN 三角形两边之差小于第三边 ∴BP －PC ＜AB －AC证明：补短法 延长AC 至M,使AM ＝AB,连接PM, 在△ABP 和△AMP 中∵ ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已知辅助线的作法AP AP AM AB∴△ABP ≌△AMP SAS∴PB ＝PM 全等三角形对应边相等又∵在△PCM 中有：CM ＞PM －PC 三角形两边之差小于第三边 ∴AB －AC ＞PB －PC;七、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC ＝BD,AD ⊥AC 于A ,BC ⊥BD 于B, 求证：AD ＝BCA BCDNMP 16-图12分析：欲证 AD ＝BC,先证分别含有AD,BC 的三角形全等,有几种方案：△ADC 与△BCD,△AOD 与△BOC,△ABD 与△BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角;证明：分别延长DA,CB,它们的延长交于E 点, ∵AD ⊥AC BC ⊥BD 已知 ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° 垂直的定义 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE AAS∴ED ＝EC EB ＝EA 全等三角形对应边相等 ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC;当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件;八 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决; 例如：如图8-1：AB ∥CD,AD ∥BC 求证：AB=CD;分析：图为四边形,我们只学了三角形的有关知识,必须把它转化为三角形来解决; 证明：连接AC 或BD∵AB ∥CD AD ∥BC 已知∴∠1＝∠2,∠3＝∠4 两直线平行,内错角相等 在△ABC 与△CDA 中∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已证CA AC∴△ABC ≌△CDA ASA∴AB ＝CD 全等三角形对应边相等九、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长;例如：如图9-1：在Rt △ABC 中,AB ＝AC,∠BAC ＝90°,∠1＝∠2,CE ⊥BD 的延长于E ;求证：BD ＝2CE分析：要证BD ＝2CE,想到要构造线段2CE,同时CE 与∠ABC 的平分线垂直,想到要将其延长;证明：分别延长BA,CE 交于点F; ∵BE ⊥CF 已知DAEFA BCD 18-图1234ABCDE17-图O∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° 垂直的定义 在△BEF 与△BEC 中,∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BECASA ∴CE=FE=21CF 全等三角形对应边相等 ∵∠BAC=90° BE ⊥CF 已知∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC∴△ABD ≌△ACF AAS ∴BD ＝CF 全等三角形对应边相等 ∴BD ＝2CE十、连接已知点,构造全等三角形;例如：已知：如图10-1；AC 、BD 相交于O 点,且AB ＝DC,AC ＝BD,求证：∠A ＝∠D; 分析：要证∠A ＝∠D,可证它们所在的三角形△ABO 和△DCO 全等,而只有AB ＝DC 和对顶角两个条件,差一个条件,,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由AB ＝DC,AC ＝BD,若连接BC,则△ABC 和△DCB 全等,所以,证得∠A ＝∠D;证明：连接BC,在△ABC 和△DCB 中 ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(公共边已知已知CB BC DB AC DC AB∴△ABC ≌△DCB SSS∴∠A ＝∠D 全等三角形对应边相等十一、取线段中点构造全等三有形;例如：如图11-1：AB ＝DC,∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB;分析：由AB ＝DC,∠A ＝∠D,想到如取AD 的中点N,连接NB,NC,再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN,故BN ＝CN,∠ABN ＝∠DCN;下面只需证∠NBC ＝∠NCB,再取BC 的中点M,连接MN,则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM,所以∠NBC ＝∠NCB;问题得证;证明：取AD,BC 的中点N 、M,连接NB,NM,NC;则AN=DN,BM=CM,在△ABN 和△DCN 中DCBA110-图ODAN∵ ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN ∴△ABN ≌△DCN SAS∴∠ABN ＝∠DCN NB ＝NC 全等三角形对应边、角相等 在△NBM 与△NCM 中∵⎪⎩⎪⎨⎧)()()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB∴△NMB ≌△NCM,SSS ∴∠NBC ＝∠NCB 全等三角形对应角相等∴∠NBC ＋∠ABN ＝∠NCB ＋∠DCN 即∠ABC ＝∠DCB;五、巧求三角形中线段的比值例1. 如图1,在△ABC中,BD：DC＝1：3,AE：ED＝2：3,求AF：FC;解：过点D作DG如图2,BC＝CD,AF＝FC,求EF：FD解：过点C作CG如图3,BD：DC＝1：3,AE：EB＝2：3,求AF：FD;解：过点B作BG如图4,BD：DC＝1：3,AF＝FD,求EF：FC;解：过点D作DG如图5,BD＝DC,AE：ED＝1：5,求AF：FB;2. 如图6,AD：DB＝1：3,AE：EC＝3：1,求BF：FC;答案：1、1：10； 2. 9：1六、辅助线总结一、 由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等;对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种;①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线,构造对称图形如作法是在一侧的长边上截取短边; 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形;至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件;与角有关的辅助线一、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规律去尝试;下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍;如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE 、DF,则有△OED ≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件;如图1-2,ABAC;3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD,CE ⊥AB,AE=21AB+AD.求证：∠D+∠B=180 ;4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中,E 为CD 的中点,F 为BC上的点,∠FAE=∠DAE;求证：AF=AD+CF;图1-1BDBC已知：如图2-7,在Rt △ABC 中,∠ACB=90 ,CD ⊥AB,垂足为D,AE 平分∠CAB 交CD 于F,过F 作FH 21证：BD=2CE;分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形;例3．已知：如图3-3在△ABC 中,AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线,过顶点B 作BFAD,交AD 的延长线于F,于M;求证：AM=ME;分析：由AD 、AE 是∠BAC AF,从而BF2121图4-2图4-1ABBG已知,如图,∠C=2∠A,AC=2BC;求证：△ABC 是直角三角形;2．已知：如图,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,求证：DC ⊥ACCABA 图2-6ECD图3-2CE3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线,∠B=60°,求证：AC=AE+CD 4．已知：如图在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BD 是∠ABC 的平分线,求证：BC=AB+AD二、由线段和差想到的辅助线 口诀：线段和差及倍半,延长缩短可试验;线段和差不等式,移到同一三角去; 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法： 1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段;对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明;在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如：已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：法一将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N, 在△AMN 中,AM+AN>MD+DE+NE;1 在△BDM 中,MB+MD>BD ；2 在△CEN 中,CN+NE>CE ；3 由1+2+3得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+ECA BC D AEB D CABCD EN M 11-图AF法二：图1-2延长BD 交AC 于F,廷长CE 交BF 于G,在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF>BD+DG+GF 三角形两边之和大于第三边…1 GF+FC>GE+CE 同上2 DG+GE>DE 同上3 由1+2+3得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC;在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点,求证：∠BDC>∠BAC;BDC 与∠BAC 不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC 处于在外角的位置,∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E,这时∠BDC 是△EDC 的外角, ∴∠BDC>∠DEC,同理∠DEC>∠BAC,∴∠BDC>∠BAC 证法二：连接AD,并廷长交BC 于F,这时∠BDF 是△ABD 的 外角,∴∠BDF>∠BAD,同理,∠CDF>∠CAD,∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD,即：∠BDC>∠BAC;注意：利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明;有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如：例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF;BE+CF>EF,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF,EF 移到同一个三角形中,而由已知∠1=∠2,∠3=∠4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN,FN,EF 移到同个三角形中;证明：在DN 上截取DN=DB,连接NE,NF,则DN=DC, 在△DBE 和△NDE 中： DN=DB 辅助线作法 ∠1=∠2已知 ED=ED 公共边AB CD E F G12-图ABCD E FN13-图1234∴△DBE ≌△NDESAS∴BE=NE 全等三角形对应边相等 同理可得：CF=NF在△EFN 中EN+FN>EF 三角形两边之和大于第三边 ∴BE+CF>EF;注意：当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素;截长补短法作辅助线;例如：已知如图6-1：在△ABC 中,AB>AC,∠1=∠2,P 为AD 上任一点求证：AB-AC>PB-PC;要证：AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三边关系,定理证之,因为欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB 上截取AN 等于AC,得AB-AC=BN,再连接PN,则PC=PN,又在△PNB 中,PB-PN<BN,即：AB-AC>PB-PC;证明：截长法在AB 上截取AN=AC 连接PN,在△APN 和△APC 中 AN=AC 辅助线作法 ∠1=∠2已知 AP=AP 公共边∴△APN ≌△APCSAS,∴PC=PN 全等三角形对应边相等 ∵在△BPN 中,有PB-PN<BN 三角形两边之差小于第三边∴BP-PC<AB-AC 证明：补短法延长AC 至M,使AM=AB,连接PM,在△ABP 和△AMP 中ABCDNMP 16 图12AB=AM 辅助线作法 ∠1=∠2已知 AP=AP 公共边 ∴△ABP ≌△AMPSAS∴PB=PM 全等三角形对应边相等又∵在△PCM 中有：CM>PM-PC 三角形两边之差小于第三边 ∴AB-AC>PB-PC;例1．如图,AC 平分∠BAD,CE ⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE;例2如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD,CE ⊥AB 于E,AD+AB=2AE,求证：∠ADC+∠B=180º例3已知：如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC,∠A=108°,BD 平分∠ABC;求证：BC=AB+DC;例4如图,已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AD 是∠CAB 的平分线,DM ⊥AB 于M,且AM=MB;求证：CD=21DB;1．如图,AB ∥CD,AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE,求证：AD=AB+CD;DECB AE BCDCM BDCA2.如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是过A 的一条直线,且B,C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E;求证：BD=DE+CE三、由中点想到的辅助线 口诀：三角形中两中点,连接则成中位线;三角形中有中线,延长中线等中线;在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质,然后通过探索,找到解决问题的方法;一中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1,AD 是ΔABC 的中线,则S ΔABD =S ΔACD =S ΔABC 因为ΔABD 与ΔACD 是等底同高的;例1．如图2,ΔABC 中,AD 是中线,延长AD 到E,使DE=AD,DF 是ΔDCE 的中线;已知ΔABC 的面积为2,求：ΔCDF 的面积;解：因为AD 是ΔABC 的中线,所以S ΔACD =S ΔABC =×2=1,又因CD 是ΔACE 的中线,故S ΔCDE =S ΔACD =1,因DF 是ΔCDE 的中线,所以S ΔCDF =S ΔCDE =×1=;∴ΔCDF 的面积为;二由中点应想到利用三角形的中位线ED CB A例2．如图3,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H;求证：∠BGE=∠CHE;证明：连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF,∵ME是ΔBCD的中位线,∴ME CD,∴∠MEF=∠CHE,∵MF是ΔABD的中位线,∴MF AB,∴∠MFE=∠BGE,∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE,从而∠BGE=∠CHE;三由中线应想到延长中线例3．图4,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长;解：延长AD到E,使DE=AD,则AE=2AD=2×2=4;在ΔACD和ΔEBD中,∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD,∴ΔACD≌ΔEBD,∴AC=BE,从而BE=AC=3;在ΔABE中,因AE2+BE2=42+32=25=AB2,故∠E=90°,∴BD===,故BC=2BD=2;例4．如图5,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线;求证：ΔABC是等腰三角形;证明：延长AD到E,使DE=AD;仿例3可证：ΔBED≌ΔCAD,故EB=AC,∠E=∠2,又∠1=∠2,∴∠1=∠E,∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形;D CB A EDF CBA四直角三角形斜边中线的性质例5．如图6,已知梯形ABCD 中,AB2：如图,△ABC 中,E 、F 分别在AB 、AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.3：如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 平分∠BAE.EDCB A中考应用09崇文二模以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE,M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．1如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是 ,线段AM 与DE 的数量关系是 ；2将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ0<θ<90后,如图②所示,1问中得到的两个结论是否发生改变 并说明理由．14-图A B CD EFM1234A BCDE 15-图DMCE AB BA D C86B E CDA ABCD EF25-图 AB DC EFDAEDCBAP QCBA二、截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 平分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC2：如图,AC ∥BD,EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA,CD 过点E,求证;AB ＝AC+BD3：如图,已知在ABC内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分别在BC,CA 上,并且AP,BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线;求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 平分ABC ∠,求证：0180=∠+∠C ACDBAP 21DCBA5:如图在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上任意一点,求证;AB-AC ＞PB-PC中考应用 08海淀一模三、平移变换为△ABC 的角平分线,直线MN ⊥AD 于为MN 上一点,△ABC 周长记为AP ,△EBC 周长记为BP .求证BP ＞AP .2：如图,在△ABC 的边上取两点D 、E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE.ED CB A四、借助角平分线造全等CBAFED CBA 1：如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O,求证：OE=OD2：06郑州市中考题如图,△ABC 中,AD ∠BAC,DG ⊥BC 且平分BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于明BE=CF 的理由；2如果AB=a ,AC=b ,求AE 、BE 的长.中考应用06北京中考如图①,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：1如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F ;请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；2如图③,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其它条件不变,请问,你在1中所得结论是否仍然成立 若成立,请证明；若不成立,请说明理由;五、旋转1：正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.2：D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F;当MDN ∠绕点D 转动时,求证DE=DF; 若AB=2,求四边形DECF 的面积;EDGFCBA第23题OPAMN EB CD FACEFBD图图图3.如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC ∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以D 为顶点做一个060角,使其两边分别交AB 于点M,交AC 于点N,连接MN,则AMN ∆的周长为 ；BCNM中考应用 07佳木斯已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点旋转,它的两边分别交AD DC ，或它们的延长线于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时如图1,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立 若成立,请给予证明；若不成立,线段AE CF ，,EF 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想,不需证明．西城09年一模已知2,PB=4,以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.1如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;2当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.图1A BC D E FMN 图2 A BC D E FMN 图3ABC D EF M N。

14页辅助线-初二辅助线的作法例题及练习答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANDCB AEF A全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB A应用：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥ACCCBA2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD3、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

线段垂直平分线与三线合一：1.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，EF∥BC，且AE=AF，求证：DE=DF2.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D。

求证：∠BAC=2∠DBC3.如图，AB=AC，E是CA延长线上一点， AE=AF，试判断EF和BC的位置关系4.如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且AE＝CF．求证：△DEF是等腰直角三角形．倍长中线，构造全等：1.如图,BD平分∠ABC交AC于D,点E为CD上一点,且AD=DE,EF∥BC交BD于F. 求证：AB=EF.2.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF.求证：AC=BF.3．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.4.已知,如图,在△ABC中,点D为AB边上一点,在射线AB上找一点E,使AD=DE,过点E做BC∥EF,连接DF并延长交射线AC于点G.(1)当∠FDE与∠BAC互补时,线段AG=_________；(2)当EF=AG时,请求出∠AGD与∠BCA的比值,并证明你的结论；(3)若在(2)的条件下增加∠DEF=∠DFE请直接写出∠BAC外角与∠ACB的比值.截长补短法：1．如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，求证：BC ＝AB ＋CD.2.如图,在△ABC 中,∠BAC=120∘，AD⊥BC 于D ，且AB+BD=DC ，求∠C.3.如图，在△ABC 中，∠BAC=2∠B，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，求证：AC+AD=BC.4.已知：如图,在△ABC 中,∠B=60°，CE 、AF 是△ABC 的角平分线，交于点O. ①∠AOC= ° ②求证：AC=AE+CF.5.如图,已知AC∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB=AC+BD.OCD作平行，构造全等：1.已知，如图，在△ABC 中，AB=AC ，在AC 上取点E ，在AB 的延长线上取点D ，使BD=EC ，连接DE 交BC 于点F. 求证：DF=EF.2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 从点B 出发沿线段BA 移动(点P 与A ，B 不重合)，同时点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，点P ，Q 移动的速度相同，PQ 与边BC 相交于点D. (1)求证：PD ＝QD ；(2)过点P 作直线BC 的垂线，垂足为E ，当P ，Q 在移动的过程中，线段BE ，DE ，CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．3.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB,线段DE 经过点A ，交直线BC 于点P ，且PD=PE ，∠ABD 与∠ACE 互补。

人教版数学八年级上册：与角有关的辅助线基础练习1.如图，∠AOB=130°，OC⊥OB于点O，求∠AOC的度数．解：如图，∵OC⊥OB（已知）∴____________（垂直的定义）∵∠AOB=130°（已知）∴∠AOC=______-______=______-______=______（等式的性质）知识总结1.为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成________．2.辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立______和______之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况．3.辅助线的作用：①________________________________________________；②________________________________________________．4.添加辅助线的注意事项：____________________________．知识巩固1.如图，AB∥CD，∠E=27°，∠C=52°，则∠EAB的度数为______________．2.如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CD⊥CE．求证：AB∥CD．3.已知：如图，直线AB∥CD，∠EFG=130°，∠DGH=40°．你认为EF⊥AB吗？请说明理由．4.已知：如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点．求证：∠EPF=∠AEP+∠CFP．5.如图，l1∥l2，∠1=105°，∠2=40°，则∠3=___________．6.已知：如图，AB∥EF，∠B=25°，∠D=30°，∠E=10°，则∠BCD=________．7.已知：如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．求证：β=2α．8.已知：如图，CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC．求证：AB∥GF．9.已知：如图，在四边形ABDC中．求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C．【参考答案】 基础练习1.∠COB=90°∠AOB-∠COB130°-90°40°知识总结1.虚线2.已知，未知3.①把分散的条件转为集中②把复杂的图形转化为基本图形4.明确目的，多次尝试知识巩固1.79°2.证明：如图，延长DC到点G．∵CD⊥CE（已知）∴∠ECG=90°（垂直的定义）∵∠ACE=136°（已知）∴∠ACG=∠ACE-∠ECG=136°-90°=46°（等式的性质）∵∠BAF=46°（已知）∴∠ACG=∠BAF（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）3.解：EF⊥AB，理由如下：如图，延长EF交CD于点M．∵∠DGH=40°（已知）∠DGH=∠FGM（对顶角相等）∴∠FGM=40°（等量代换）∵∠EFG是△FGM的一个外角（外角的定义）∴∠EFG=∠FGM+∠FMG（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠EFG=130°（已知）∴∠FMG=∠EFG-∠FGM=130°-40°=90°（等式的性质）∵AB∥CD（已知）∴∠BNE=∠FMG=90°（两直线平行，同位角相等）∴EF⊥AB（垂直的定义）4.证明：如图，过点P作MN∥AB．∵CD∥AB（已知）∴AB∥MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠2+∠4=∠1+∠3（等式的性质）即∠EPF=∠AEP+∠CFP5.115°6.45°7.证明：如图，过点C作MN∥ED．∵AB∥ED（已知）∴MN∥AB∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1+∠D=180°，∠2+∠B=180°，∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵α=∠A+∠E（已知）∴α=180°（等量代换）∵β=∠B+∠C+∠D（已知）∴β=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°（等式的性质）∴β=2α（等式的性质）8.证明：如图，延长CB交FG于点M，延长FE交CM于点N．∵CD∥EF（已知）∴∠2=∠FNM（两直线平行，同位角相等）∵∠BMG是△FMN的一个外角（外角的定义）∴∠BMG=∠1+∠FNM=∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1+∠2=∠ABC（已知）∴∠BMG=∠ABC（等量代换）∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）9.证明：如图，延长BD交AC于点E．∵∠1是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠1=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BDC是△CDE的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠1+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠A+∠B+∠C（等量代换）11。

初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题-周末数学专题——三角形中的常用辅助线常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：BD=2CE。

2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。

解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：ΔABC 是等腰三角形。

∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。

解题后的思考：①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；②见中点即联想到中位线。

（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF 交BC于D，若EB=CF。

求证：DE=DF。

2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。

常见的辅助线的作法1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4. 垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

5. 用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60度或120 度的把该角添线后构成等边三角形.7. 角度数为30度、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、等腰三角形“三线合一”法1. 如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BD 于E ， 求证： CE= BD.中考连接：（2014?扬州，第 7题， 3分）如图，已知∠ AOB=60°，点 P 在边OAOP=12，点 M ，N 在边 OB 上， PM=PN ，若 MN=2，则 OM=（）A ．3B ．4C ． 5D ．6 二、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯”试题）已知，如图△则中线 AD 的取值范围是 ______ .例 2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在 AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较 BE+CF例 3、如图，△ ABC 中， BD=DC=A ，CE 是 DC 的中点，求证： AD 平分∠ BAE.ABC 中， AB=5，AC=3，与 EF 的大小DEC B中考连接：09 崇文）以的两边AB、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABC和等腰Rt ACE，BAD CAE 90 ,连接DE，M、N 分别是BC、DE的中点．探究：AM 与DE 的关系．（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图三、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ ABC中，∠ B=60°，△ ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=ODA B2、如图，已知点C 是∠ MAN 的平分线上一点，CE⊥AB 于E，B、D 分别在AM、AN 上，且AE= （AD+AB ）.问：∠1和∠2有何关系？中考连接：（2012年北京）如图①，OP是∠ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

与角有关的辅助线学生做题前请先回答以下问题问题1：辅助线的作用是什么？问题2：看到平行想什么？问题3：已知：如图，AB∥CD，∠A=60°，∠C=20°，则∠AEC=_____．拿到题以后，首先要读题标注，然后观察图形，分析思路，请概述你的思路．与角有关的辅助线（过程训练一）（人教版）一、单选题(共6道，每道16分)1.已知：如图，EF∥MN，∠CBD=125°，∠ACE=90°，求∠MDG的度数．解：如图，延长AB交MN于点P．∵EF∥MN（已知）∴∠ACE=∠DPB（两直线平行，同位角相等）∵∠ACE=90°（已知）∴∠DPB=90°（等量代换）∵∠CBD是△BDP的一个外角（外角的定义）∴∠CBD=∠1+∠DPB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠CBD=125°（已知）∴∠1=∠CBD-∠DPB=125°-90°=35°（等式的性质）___________________________横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∵∠1=∠MDG（已知）∴∠MDG=35°（等量代换）B.∴∠MDG=35°（等量代换）C.∵∠1=∠MDG（对顶角相等）∴∠MDG=35°（等量代换）D.∴∠MDG=35°（对顶角相等）2.已知：如图，AB∥CD，∠E=37°，∠D=60°，求∠ABE的度数．解：如图，延长AB交DE于点F．___________________________∵∠ABE是△BEF的一个外角（外角的定义）∴∠ABE=∠E+∠1（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠E=37°（已知）∴∠ABE=37°+60°=97°（等量代换）横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∵AB∥CD（已知）∴∠D=∠1=60°（两直线平行，同位角相等）B.∵AB∥CD（已知）∴∠D=∠1（两直线平行，同位角相等）∵∠D=60°（已知）∴∠1=60°（等量代换）C.∵AB∥CD（已知）∴∠D=∠1（两直线平行，同位角相等）∴∠1=60°（等量代换）D.∵∠D=∠1（两直线平行，同位角相等）∵∠D=60°（已知）∴∠1=60°（等量代换）3.已知：如图，∠AED＝∠A+∠B．求证：DE∥BC．证明：如图，延长DE交AB于点F．___________________________∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∵∠AED是△AEF的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠A+∠1（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1=∠B（已知）∴∠AED=∠A+∠B（等量代换）∴∠1=∠B（等式的性质）B.∵∠AED是△AEF的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠A+∠1（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠AED=∠A+∠B（已知）∴∠1=∠B（等式的性质）C.∵∠AED是△AEF的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠A+∠1（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1=∠B（等式的性质）D.∵DE∥BC（已知）∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠AED是△AEF的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠A+∠1（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠AED=∠A+∠B（等量代换）4.如图，AB∥CD，E，G分别是AB，CD上的点，∠EFG=90°，且GF平分∠CGE，已知∠1=30°，求∠AEF的度数．解：如图，延长EF交CD于点H．∵GF平分∠CGE（已知）∴∠2=∠1（角平分线的定义）∵∠1=30°（已知）∴∠2=30°（等量代换）________________________________∵AB∥CD（已知）∴∠AEF=∠3（两直线平行，内错角相等）∴∠AEF=60°（等量代换）横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∵∠EFG=90°（已知）∴∠2+∠3=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°（等式的性质）B.∵∠EFG=90°（已知）∴∠HFG=90°（平角的定义）∴∠2+∠3=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°（等式的性质）C.∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°（等式的性质）D.∵∠EFG=90°（已知）∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°（直角三角形两锐角互余）5.已知：如图，AB∥CD，若∠A=136°，∠ECD=134°，求∠AEC的度数．解：如图，延长DC交AE的延长线于点F．________________________________∵∠DCE=134°（已知）∴∠1=180°-∠DCE=180°-134°=46°（平角的定义）∵∠AEC是△CEF的一个外角（外角的定义）∴∠AEC=∠1+∠F=46°+44°=90°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）横线处应填写的过程恰当的是( )A.∵AB∥CD（已知）∴∠A+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠A=136°（已知）∴∠F=180°-∠A=180°-136°=44°（等式的性质）B.∵AB∥CD（已知）∴∠A+∠F=180°（同旁内角互补，两直线平行）∵∠A=136°（已知）∴∠F=44°（等式的性质）C.∵AB∥CD（已知）∴∠A+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠F=44°（等式的性质）D.∵AB∥CD（已知）∴∠A+∠F=180°（同旁内角互补，两直线平行）∴∠F=44°（等式的性质）6.已知：如图，AB∥CD，BE∥CF，∠D=25°，∠F=100°，求∠B的度数．解：如图，延长BE交CD于点G．∵BE∥CF（已知）∴∠2=∠F（两直线平行，同位角相等）∵∠F=100°（已知）∴∠2=100°（等量代换）_______________________横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∴∠1=55°（三角形的内角和等于180°）∵AB∥CD（已知）∴∠B=55°（两直线平行，内错角相等）B.∴∠1=180°-∠D-∠2=180°-25°- 100°=55°（三角形的内角和等于180°）∵AB∥CD（已知）∴∠B=55°（两直线平行，内错角相等）C.在△EGD中，∠D=25°，∠2=100°∴∠1=180°-∠D-∠2=180°-25°- 100°=55°（三角形的内角和等于180°）∵AB∥CD（已知）∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）∴∠B=55°（等量代换）D.∵∠D=25°（已知）∴∠1=55°（三角形的内角和等于180°）∵AB∥CD（已知）∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）∴∠B=55°（等量代换）。

与角有关的辅助线学生做题前请先回答以下问题问题1：辅助线的作用是什么？问题2：看到平行想什么？问题3：已知：如图，AB∥CD，∠A=60°，∠C=20°，则∠AEC=_____．拿到题以后，首先要读题标注，然后观察图形，分析思路，请概述你的思路．与角有关的辅助线（过程训练一）（人教版）一、单选题(共6道，每道16分)1.已知：如图，EF∥MN，∠CBD=125°，∠ACE=90°，求∠MDG的度数．解：如图，延长AB交MN于点P．∵EF∥MN（已知）∴∠ACE=∠D PB（两直线平行，同位角相等）∵∠ACE=90°（已知）∴∠DPB=90°（等量代换）∵∠CBD是△BDP的一个外角（外角的定义）∴∠CBD=∠1+∠DPB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠CBD=125°（已知）∴∠1=∠CBD-∠DPB=125°-90°=35°（等式的性质）___________________________横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∵∠1=∠MDG（已知）∴∠MDG=35°（等量代换）B.∴∠MDG=35°（等量代换）C.∵∠1=∠MDG（对顶角相等）∴∠MDG=35°（等量代换）D.∴∠MDG=35°（对顶角相等）2.已知：如图，AB∥CD，∠E=37°，∠D=60°，求∠ABE的度数．解：如图，延长AB交DE于点F．___________________________∵∠ABE是△BEF的一个外角（外角的定义）∴∠ABE=∠E+∠1（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠E=37°（已知）∴∠ABE=37°+60°=97°（等量代换）横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∵AB∥CD（已知）∴∠D=∠1=60°（两直线平行，同位角相等）B.∵AB∥CD（已知）∴∠D=∠1（两直线平行，同位角相等）∵∠D=60°（已知）∴∠1=60°（等量代换）C.∵AB∥CD（已知）∴∠D=∠1（两直线平行，同位角相等）∴∠1=60°（等量代换）D.∵∠D=∠1（两直线平行，同位角相等）∵∠D=60°（已知）∴∠1=60°（等量代换）3.已知：如图，∠AED＝∠A+∠B．求证：DE∥BC．证明：如图，延长DE交AB于点F．___________________________∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∵∠AED是△AEF的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠A+∠1（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1=∠B（已知）∴∠AED=∠A+∠B（等量代换）∴∠1=∠B（等式的性质）B.∵∠AED是△AEF的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠A+∠1（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠AED=∠A+∠B（已知）∴∠1=∠B（等式的性质）C.∵∠AED是△AEF的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠A+∠1（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠1=∠B（等式的性质）D.∵DE∥BC（已知）∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠AED是△AEF的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠A+∠1（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠AED=∠A+∠B（等量代换）4.如图，AB∥CD，E，G分别是AB，CD上的点，∠EFG=90°，且GF平分∠CGE，已知∠1=30°，求∠AEF的度数．解：如图，延长EF交CD于点H．∵GF平分∠CGE（已知）∴∠2=∠1（角平分线的定义）∵∠1=30°（已知）∴∠2=30°（等量代换）________________________________∵AB∥CD（已知）∴∠AEF=∠3（两直线平行，内错角相等）∴∠AEF=60°（等量代换）横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∵∠EFG=90°（已知）∴∠2+∠3=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°（等式的性质）B.∵∠EFG=90°（已知）∴∠HFG=90°（平角的定义）∴∠2+∠3=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°（等式的性质）C.∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°（等式的性质）D.∵∠EFG=90°（已知）∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°（直角三角形两锐角互余）5.已知：如图，AB∥CD，若∠A=136°，∠ECD=134°，求∠A EC的度数．解：如图，延长DC交AE的延长线于点F．________________________________∵∠DCE=134°（已知）∴∠1=180°-∠DCE=180°-134°=46°（平角的定义）∵∠AEC是△CEF的一个外角（外角的定义）∴∠AEC=∠1+∠F=46°+44°=90°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）横线处应填写的过程恰当的是( )A.∵AB∥CD（已知）∴∠A+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠A=136°（已知）∴∠F=180°-∠A=180°-136°=44°（等式的性质）B.∵AB∥CD（已知）∴∠A+∠F=180°（同旁内角互补，两直线平行）∵∠A=136°（已知）∴∠F=44°（等式的性质）C.∵AB∥CD（已知）∴∠A+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠F=44°（等式的性质）D.∵AB∥CD（已知）∴∠A+∠F=180°（同旁内角互补，两直线平行）∴∠F=44°（等式的性质）6.已知：如图，AB∥CD，BE∥CF，∠D=25°，∠F=100°，求∠B的度数．解：如图，延长BE交CD于点G．∵BE∥CF（已知）∴∠2=∠F（两直线平行，同位角相等）∵∠F=100°（已知）∴∠2=100°（等量代换）_______________________横线处应填写的过程最恰当的是( )A.∴∠1=55°（三角形的内角和等于180°）∵AB∥CD（已知）∴∠B=55°（两直线平行，内错角相等）B.∴∠1=180°-∠D-∠2=180°-25°- 100°=55°（三角形的内角和等于180°）∵AB∥CD（已知）∴∠B=55°（两直线平行，内错角相等）C.在△EGD中，∠D=25°，∠2=100°∴∠1=180°-∠D-∠2=180°-25°- 100°=55°（三角形的内角和等于180°）∵AB∥CD（已知）∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）∴∠B=55°（等量代换）D.∵∠D=25°（已知）∴∠1=55°（三角形的内角和等于180°）∵AB∥CD（已知）∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）∴∠B=55°（等量代换）附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

与角有关的辅助线本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

学生做题前请先答复以下问题问题1：辅助线的作用是什么？问题2：看到平行想什么？问题3：：如图，AB∥CD，∠A=60°，∠C=20°，那么∠AEC=_____．拿到题以后，首先要读题标注，然后观察图形，分析思路，请概述你的思路．与角有关的辅助线〔过程训练一〕〔人教版〕一、单项选择题(一共6道，每道16分)1.：如图，EF∥MN，∠CBD=125°，∠ACE=90°，求∠MDG的度数．解：如图，延长AB交MN于点P．∵EF∥MN〔〕∴∠ACE=∠DPB〔两直线平行，同位角相等〕∵∠ACE=90°〔〕∴∠DPB=90°〔等量代换〕∵∠CBD是△BDP的一个外角〔外角的定义〕∴∠CBD=∠1+∠DPB〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕∵∠CBD=125°〔〕∴∠1=∠CBD-∠DPB=125°-90°=35°〔等式的性质〕___________________________横线处应填写上的过程最恰当的是( )A.∵∠1=∠MDG〔〕∴∠MDG=35°〔等量代换〕B.∴∠MDG=35°〔等量代换〕C.∵∠1=∠MDG〔对顶角相等〕∴∠MDG=35°〔等量代换〕D.∴∠MDG=35°〔对顶角相等〕2.：如图，AB∥CD，∠E=37°，∠D=60°，求∠ABE的度数．解：如图，延长AB交DE于点F．___________________________∵∠ABE是△BEF的一个外角〔外角的定义〕∴∠ABE=∠E+∠1〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕∵∠E=37°〔〕∴∠ABE=37°+60°=97°〔等量代换〕横线处应填写上的过程最恰当的是( )A.∵AB∥CD〔〕∴∠D=∠1=60°〔两直线平行，同位角相等〕B.∵AB∥CD〔〕∴∠D=∠1〔两直线平行，同位角相等〕∵∠D=60°〔〕∴∠1=60°〔等量代换〕C.∵AB∥CD〔〕∴∠D=∠1〔两直线平行，同位角相等〕∴∠1=60°〔等量代换〕D.∵∠D=∠1〔两直线平行，同位角相等〕∵∠D=60°〔〕∴∠1=60°〔等量代换〕3.：如图，∠AED＝∠A+∠B．求证：DE∥BC．证明：如图，延长DE交AB于点F．___________________________∴DE∥BC〔同位角相等，两直线平行〕横线处应填写上的过程最恰当的是( )A.∵∠AED是△AEF的一个外角〔外角的定义〕∴∠AED=∠A+∠1〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕∵∠1=∠B〔〕∴∠AED=∠A+∠B〔等量代换〕∴∠1=∠B〔等式的性质〕B.∵∠AED是△AEF的一个外角〔外角的定义〕∴∠AED=∠A+∠1〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕∵∠AED=∠A+∠B〔〕∴∠1=∠B〔等式的性质〕C.∵∠AED是△AEF的一个外角〔外角的定义〕∴∠AED=∠A+∠1〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕∴∠1=∠B〔等式的性质〕D.∵DE∥BC〔〕∴∠1=∠B〔两直线平行，同位角相等〕∵∠AED是△AEF的一个外角〔外角的定义〕∴∠AED=∠A+∠1〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕∴∠AED=∠A+∠B〔等量代换〕4.如图，AB∥CD，E，G分别是AB，CD上的点，∠EFG=90°，且GF平分∠CGE，∠1=30°，求∠AEF的度数．解：如图，延长EF交CD于点H．∵GF平分∠CGE〔〕∴∠2=∠1〔角平分线的定义〕∵∠1=30°〔〕∴∠2=30°〔等量代换〕________________________________∵AB∥CD〔〕∴∠AEF=∠3〔两直线平行，内错角相等〕∴∠AEF=60°〔等量代换〕横线处应填写上的过程最恰当的是( )A.∵∠EFG=90°〔〕∴∠2+∠3=90°〔直角三角形两锐角互余〕∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°〔等式的性质〕B.∵∠EFG=90°〔〕∴∠HFG=90°〔平角的定义〕∴∠2+∠3=90°〔直角三角形两锐角互余〕∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°〔等式的性质〕C.∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°〔等式的性质〕D.∵∠EFG=90°〔〕∴∠3=90°-∠2=90°-30°=60°〔直角三角形两锐角互余〕5.：如图，AB∥CD，假设∠A=136°，∠ECD=134°，求∠AEC的度数．解：如图，延长DC交AE的延长线于点F．________________________________∵∠DCE=134°〔〕∴∠1=180°-∠DCE=180°-134°=46°〔平角的定义〕∵∠AEC是△CEF的一个外角〔外角的定义〕∴∠AEC=∠1+∠F=46°+44°=90°〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和〕横线处应填写上的过程恰当的是( )A.∵AB∥CD〔〕∴∠A+∠F=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∵∠A=136°〔〕∴∠F=180°-∠A=180°-136°=44°〔等式的性质〕B.∵AB∥CD〔〕∴∠A+∠F=180°〔同旁内角互补，两直线平行〕∵∠A=136°〔〕∴∠F=44°〔等式的性质〕C.∵AB∥CD〔〕∴∠A+∠F=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∴∠F=44°〔等式的性质〕D.∵AB∥CD〔〕∴∠A+∠F=180°〔同旁内角互补，两直线平行〕∴∠F=44°〔等式的性质〕6.：如图，AB∥CD，BE∥CF，∠D=25°，∠F=100°，求∠B的度数．解：如图，延长BE交CD于点G．∵BE∥CF〔〕∴∠2=∠F〔两直线平行，同位角相等〕∵∠F=100°〔〕∴∠2=100°〔等量代换〕_______________________横线处应填写上的过程最恰当的是( )A.∴∠1=55°〔三角形的内角和等于180°〕∵AB∥CD〔〕∴∠B=55°〔两直线平行，内错角相等〕B.∴∠1=180°-∠D-∠2=180°-25°- 100°=55°〔三角形的内角和等于180°〕∵AB∥CD〔〕∴∠B=55°〔两直线平行，内错角相等〕C.在△EGD中，∠D=25°，∠2=100°∴∠1=180°-∠D-∠2=180°-25°- 100°=55°〔三角形的内角和等于180°〕∵AB∥CD〔〕∴∠B=∠1〔两直线平行，内错角相等〕∴∠B=55°〔等量代换〕D.∵∠D=25°〔〕∴∠1=55°〔三角形的内角和等于180°〕∵AB∥CD〔〕∴∠B=∠1〔两直线平行，内错角相等〕∴∠B=55°〔等量代换〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

与角有关的辅助线创作人：历恰面日期：2020年1月1日学生做题前请先答复以下问题问题1：看到平行想什么？问题2：a，b，c是同一平面内的三条直线，假如a∥b，b∥c，那么a∥c，理由是什么？问题3：：如图，AB∥EF，∠B=25°，∠D=30°，∠E=10°，那么∠BCD=_____．拿到题以后，首先要读题标注，然后观察图形，分析思路．请概述你的思路．与角有关的辅助线〔过程训练二〕〔人教版〕一、单项选择题(一共5道，每道20分)1.，如图，AB∥CD，∠B=40°，∠D=20°，求∠BED的度数．解：如图，过点E作FH∥AB，∵AB∥CD〔〕∴CD∥FH∥AB〔平行于同一条直线的两条直线互相平行〕___________________________横线处应填写上的过程最恰当的是( )A.∴∠1=∠B，∠2=∠D〔两直线平行，内错角相等〕∴∠1=40°，∠2=20°〔等量代换〕∴∠BED=∠1+∠2=40°+20°=60°〔等量代换〕B.∴∠1=∠B=40°，∠2=∠D=20°〔两直线平行，内错角相等〕∴∠BED=∠1+∠2=40°+20°=60°〔等量代换〕C.∴∠1=∠B，∠2=∠D〔两直线平行，内错角相等〕∵∠B=40°，∠D=20°〔〕∴∠1=40°，∠2=20°〔等量代换〕∴∠BED=∠1+∠2=40°+20°=60°〔等量代换〕D.∴∠1=∠B〔两直线平行，内错角相等〕∵∠B=40°〔〕∴∠1=40°〔等量代换〕∵∠2=∠D〔〕∠D=20°〔〕∴∠2=20°〔等量代换〕∴∠BED=∠1+∠2=40°+20°=60°〔等量代换〕2.如图，AB∥CD，∠1=70°，∠2=60°，求∠B的度数．解：如图，过点G作HK∥AB，______________________________∴∠3=180°-∠2-∠4=180°-60°-70°=50°〔平角的定义〕∴∠B=180°-∠3=180°-50°=130°〔等式的性质〕横线处应填写上的过程最恰当的是( )A.∵AB∥CD〔〕∴CD∥HK∥AB〔平行于同一条直线的两条直线互相平行〕∴∠B+∠3=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∵∠1=∠4，∠1=70°〔〕∴∠4=70°〔等量代换〕∵∠2=60°〔〕B.∵AB∥CD〔〕∴∠1=∠4〔两直线平行，内错角相等〕∠B+∠3=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∵∠1=70°〔〕∴∠4=70°〔等量代换〕C.∵AB∥CD〔〕∴CD∥HK∥AB〔平行于同一条直线的两条直线互相平行〕∴∠1=∠4=70°〔两直线平行，内错角相等〕∠B+∠3=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∵∠2=60°〔〕D.∵AB∥CD〔〕∴CD∥HK∥AB〔平行于同一条直线的两条直线互相平行〕∴∠1=∠4〔两直线平行，内错角相等〕∠B+∠3=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∵∠1=70°〔〕∴∠4=70°〔等量代换〕∵∠2=60°〔〕3.，如图，AB∥CD，E是AC上一点，∠B=30°，∠D=60°．求证：BE⊥ED.证明：如图，______________________________∴∠BED=∠1+∠2=30°+60°=90°〔等量代换〕∴BE⊥ED〔垂直的定义〕以上空缺处所填最恰当的是( )A.过点E作EF∥AB∵AB∥CD〔〕∴CD∥EF∥AB〔平行于同一条直线的两条直线互相平行〕∴∠B=∠1，∠D=∠2〔两直线平行，内错角相等〕∴∠1=30°，∠2=60°〔等量代换〕B.过点E作EF∥AB∵AB∥CD〔〕∴CD∥EF∥AB〔平行于同一条直线的两条直线互相平行〕∴∠B=∠1，∠D=∠2〔两直线平行，内错角相等〕∵∠B=30°，∠D=60°〔〕∴∠1=30°，∠2=60°〔等量代换〕C.过点E作EF∥AB∥CD∴∠B=∠1，∠D=∠2〔两直线平行，内错角相等〕∵∠B=30°，∠D=60°〔〕∴∠1=30°，∠2=60°〔等量代换〕D.过点E作EF∥AB∴CD∥EF∥AB〔平行于同一条直线的两条直线互相平行〕∴∠B=∠1，∠D=∠2〔两直线平行，内错角相等〕∵∠B=30°，∠D=60°〔〕∴∠1=30°，∠2=60°〔等量代换〕4.：如图，CE平分∠ACD，点G是AB上一点，GF∥CE．假设∠1=60°，∠2=20°，求∠BAC的度数．解：如图，过点A作HK∥GF.∵GF∥CE〔〕∴CE∥HK∥GF〔平行于同一条直线的两条直线互相平行〕______________________________∵∠1=60°〔〕∴∠4=60°〔等量代换〕∴∠BAC=∠3+∠4=20°+60°=80°〔等量代换〕横线处应填写上的过程最恰当的是( )A.∴∠2=∠3=20°，∠4=∠5〔两直线平行，内错角相等〕∵CE平分∠ACD〔〕∴∠1=∠5=60°〔角平分线的定义〕B.∴∠2=∠3=20°〔两直线平行，内错角相等〕∵CE平分∠ACD〔〕∴∠1=∠5〔角平分线的定义〕∵∠4=∠5〔〕∴∠4=∠1〔等量代换〕C.∴∠2=∠3，∠4=∠5〔两直线平行，内错角相等〕∵∠2=20°〔〕∴∠3=20°〔等量代换〕∵CE平分∠ACD〔〕∴∠1=∠5=60°〔角平分线的定义〕D.∴∠2=∠3，∠4=∠5〔两直线平行，内错角相等〕∵∠2=20°〔〕∴∠3=20°〔等量代换〕∵CE平分∠ACD〔〕∴∠1=∠5〔角平分线的定义〕∴∠1=∠4〔等量代换〕5.：如图，AB∥CD，∠B=30°，∠BEF=120°，∠EFD=130°，求∠D的度数．解：如图，过点E作MN∥AB，过点F作PQ∥AB，∴MN∥PQ〔平行于同一条直线的两条直线互相平行〕∵AB∥CD〔〕∴MN∥CD，PQ∥CD〔平行于同一条直线的两条直线互相平行〕即AB∥MN∥PQ∥CD______________________________∴∠3=∠BEF-∠1=120°-30°=90°〔等式的性质〕∴∠4=180°-∠3=180°-90°=90°〔等式的性质〕∵∠EFD=130°〔〕∴∠2=∠EFD-∠4=130°-90°=40°〔等式的性质〕∴∠D=40°〔等量代换〕横线处应填写上的过程最恰当的是( )A.∴∠B=∠1，∠D=∠2〔两直线平行，内错角相等〕∠3+∠4=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∵∠B=30°〔〕∴∠1=30°〔等量代换〕∵∠BEF=120°〔〕B.∴∠B=∠1〔两直线平行，内错角相等〕∠D=∠2〔两直线平行，同位角相等〕∠3+∠4=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∴∠1=30°〔等量代换〕∵∠BEF=120°〔〕C.∴∠B=∠1，∠D=∠2〔两直线平行，内错角相等〕∠3+∠4=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕∴∠1=30°〔等量代换〕∠3=90°〔等式的性质〕∠4=90°〔等式的性质〕∠2=40°〔等式的性质〕D.∴∠B=∠1〔两直线平行，内错角相等〕∵∠B=30°〔〕∴∠1=30°〔等量代换〕∵∠D=∠2〔两直线平行，内错角相等〕∠3+∠4=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日创作人：历恰面日期：2020年1月1日。