(完整)八年级数学上几何证明中的辅助线添加方法

几何证明题辅助线基本方法几何证明题是数学中的一种重要题型，需要通过逻辑推理和几何知识来证明给定的几何关系。

在解决几何证明题时，辅助线是一种常用的策略，可以帮助我们简化问题、构建更简洁的证明过程。

本文将介绍几何证明题中常用的辅助线基本方法。

1. 平行辅助线法当我们需要证明两条线段平行时，可以在图形中引入一条辅助线来构建平行关系。

具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能存在平行关系的线段。

2. 在相应的位置引入一条辅助线。

3. 利用平行线的性质进行推理，证明所需的平行关系。

2. 相等辅助线法当我们需要证明两个线段相等时，可以通过引入一条相等的辅助线来简化证明过程。

具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能具有相等关系的线段。

2. 在相应的位置引入一条相等的辅助线。

3. 利用等边、等角等性质进行推理，证明所需的相等关系。

3. 垂直辅助线法当我们需要证明两条线段垂直时，可以通过引入一条垂直的辅助线来简化证明过程。

具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能具有垂直关系的线段。

2. 在相应的位置引入一条垂直的辅助线。

3. 利用垂直线的性质进行推理，证明所需的垂直关系。

4. 同位角辅助线法当我们需要证明两条直线的同位角相等时，可以通过引入同位角的辅助线来简化证明过程。

具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能存在同位角的直线。

2. 在相应的位置引入同位角的辅助线。

3. 利用同位角的性质进行推理，证明所需的同位角相等关系。

5. 其他辅助线方法除了上述介绍的常用辅助线方法外，还可以根据具体的几何证明题目选择其他辅助线的方法。

例如，可以利用中位线、角平分线、内切圆、外接圆等辅助线，根据题目要求灵活运用。

综上所述，几何证明题辅助线基本方法包括平行辅助线法、相等辅助线法、垂直辅助线法、同位角辅助线法等。

通过合理引入辅助线，可以帮助我们简化问题、构建更简洁的证明过程，提高解题效率。

在实际解题中，我们需要综合运用不同的辅助线方法，根据题目要求灵活选择适合的策略。

初中平面几何常见添加辅助线的方法平面几何是数学中的一个重要分支，通过在平面上描述和研究几何图形之间的关系和性质。

在解决平面几何问题中，添加辅助线是一种常见且有效的方法，可以帮助我们更好地理解和分析问题。

下面是初中平面几何常见的添加辅助线的方法：1.使用垂直辅助线：垂直辅助线是指与已知线段垂直的辅助线，可以用来分割和构造几何图形。

比如，在矩形中，可以通过连接矩形的对角线来构造一条垂直辅助线，从而将矩形分割为两个等腰直角三角形。

2.使用平行辅助线：平行辅助线是指与已知线段平行的辅助线，可以用来帮助构造平行线段和证明平行性质。

例如，在平行四边形中，可以通过连接相邻顶点和平行线段的端点来构造平行辅助线，从而证明平行四边形的对边相等。

3.使用角平分线：角平分线是指将一个角平分为两个等角的辅助线。

在解决涉及角的等分、相等或相似性质问题时，添加角平分线是非常有用的方法。

例如，在等腰三角形中，可以通过连结底边中点和顶角顶点的直线来构造角平分线，从而证明等腰三角形的顶角相等。

4.使用中线：中线是指连接一个几何图形的两边中点的辅助线。

在解决涉及几何图形的中点、平行四边形和三角形性质问题时，添加中线是一种常见的方法。

例如，在四边形中，可以通过连接相对边的中点来构造中线，从而证明中线互相平分。

5.使用高线：高线是指从多边形的一个顶点向对边所引的垂线。

在解决多边形的高、重心、垂心和外心问题时，添加高线是非常有用的方法。

例如，在三角形中，可以通过从一个顶点向对边引垂线来构造高线，从而证明高线汇聚于三角形的垂心。

6.使用辅助图形：有时，我们可以通过在平面上添加一些辅助图形来辅助解决几何问题。

例如，在求解平行四边形的面积时，可以通过添加一个垂直边和一个三角形来将平行四边形划分为两个高度相等的矩形，从而方便计算面积。

在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求来灵活地选择合适的辅助线方法。

添加辅助线不仅可以帮助我们更好地理解和分析问题，还可以提高解题效率和准确性。

初二几何辅助线添加方法几何辅助线是在解决几何问题时，通过添加额外的线段或线条来帮助我们更好地理解和解决问题。

在初二阶段的几何学中，辅助线的使用是非常重要的，可以帮助我们找到问题的关键点，简化问题的分析和解决过程。

下面将介绍几个常见的初二几何辅助线添加方法。

第一种方法是绘制垂直辅助线。

在解决一些关于垂直关系的问题时，我们可以通过添加垂直辅助线来辅助解题。

例如，在求两条平行直线之间的距离时，我们可以通过在两条直线上分别取一点，然后通过添加垂直辅助线来构建一个直角三角形，从而求出距离。

第二种方法是绘制平行辅助线。

在求两条直线平行或相交关系时，我们可以通过添加平行辅助线来辅助解题。

例如，在求两条平行线之间的距离时，我们可以通过添加一条与两条平行线相交的直线，然后构建一个平行四边形，从而求出距离。

第三种方法是绘制角平分线。

在解决涉及到角度的问题时，我们可以通过添加角平分线来辅助解题。

例如，在求一个角的角平分线时，我们可以通过画出这个角的两条边的延长线，然后通过它们的交点来构建角平分线。

第四种方法是绘制对称线。

在求对称形状或对称位置的问题时，我们可以通过添加对称线来辅助解题。

例如，在求一个图形的对称轴时，我们可以通过添加对称线来找到对称轴的位置。

除了上述介绍的四种常见的几何辅助线添加方法外，还有许多其他的方法。

例如，绘制中垂线来求三角形的垂心和外心，绘制角的角平分线来求多边形的内角和，等等。

每个问题都有其特定的解题方法和特定的辅助线添加方法。

总结起来，初二几何辅助线的添加方法是非常多样的。

通过合理地添加辅助线，可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。

在解题过程中，我们应该根据问题的特点和要求，选择合适的辅助线添加方法。

同时，多进行几何练习，多掌握不同的辅助线添加方法，可以提高我们的解题能力和思维灵活性。

几何证明例题及常见的添加辅助线方法几何证明是数学中的一个重要分支，通过使用几何定理和性质，以及一些常见的辅助线方法，来证明几何命题的正确性。

下面将提供几个几何证明的例题，并介绍一些常见的添加辅助线方法：1.证明等边三角形的高线与垂直平分线重合。

添加辅助线方法：连接等边三角形的顶点与底边的中点，将三角形分为两个等腰三角形。

然后，通过利用等腰三角形的性质，可以证明三角形的高线与垂直平分线重合。

2.证明等腰梯形的对角线垂直。

添加辅助线方法：在等腰梯形的两个腰上各取一个点，使得这两个点与梯形的底边相连，形成两个等边三角形。

通过证明这两个等边三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线垂直的结论。

3.证明一个四边形是平行四边形的充要条件是其对角线互相垂直。

添加辅助线方法：对四边形的两个对角线进行延长，连接延长线的交点与四边形的两个相邻顶点，形成两个三角形。

通过证明这两个三角形是直角三角形，可以得出对角线互相垂直的结论。

4.证明正方形的对角线互相垂直。

添加辅助线方法：连接正方形的相邻顶点，形成两个等腰三角形。

通过证明这两个等腰三角形的高线与底边的中线相垂直，可以得出对角线互相垂直的结论。

5.证明一个三角形的内心到三边的距离和边长的乘积是相等的。

添加辅助线方法：通过从三角形的顶点向内切圆引垂线，连接垂足与内心，形成三个小三角形。

通过证明这三个小三角形是相似三角形，可以得出内心到三边的距离和边长的乘积相等的结论。

以上是几个常见的几何证明例题及其对应的添加辅助线方法。

在几何证明中，添加辅助线是一种常用的方法，可以将原始图形分解成更简单的图形，以便于应用几何定理和性质进行证明。

但需要注意的是，添加辅助线时应选择合适的位置和方式，以确保辅助线的添加不会引入其他不必要的情况，更好地辅助证明目标命题的正确性。

立体几何中辅助线添加的5个策略：取中点、连接对角线等
立体几何中辅助线添加的5个策略：取中点、连接对角线等2022-05-17 16:43·师生成长高级研修院
立体几何中辅助线添加的5个策略：取中点、连接对角线、构造长（正）方体、作延长线、平行线
文/刘蒋巍
立体几何中有关线线、线面、面面位置关系的证明、求解以及一些探索性的问题大多需要通过添加辅助线来完成，巧妙添加辅助线是破解这一类题目的关键．通常有取中点、连接对角线、构造平行六面体（长方体、正方体等））、作延长或反向延长线、平行线等具体策略。

策略1.有中点则再找中点
策略2.连接对角线
策略3.构造平行六面体、长方体、正方体等
策略4.作延长或反向延长线
策略5.作平行线
取中点、连接对角线、构造平行六面体（长方体、正方体等））、作延长或反向延长线、平行线，这5个策略，你学会了吗？。

初二做辅助线的技巧初二时学习数学，辅助线是一个非常重要的技巧。

辅助线可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。

下面我将介绍一些初二做辅助线的技巧。

我们来看一下如何在几何图形中使用辅助线。

在求解几何问题时，辅助线可以帮助我们找到一些隐藏的几何关系，从而简化问题。

比如，在求解平行线问题时，我们可以通过画一条与已知直线平行的辅助线，来找到与所求直线平行的线段。

通过这样的辅助线，我们可以很容易地得到所求的答案。

在代数中，辅助线同样可以发挥重要的作用。

比如，在解方程的过程中，我们可以通过引入一个新的变量来构造一个辅助方程，从而简化问题。

通过这个辅助方程，我们可以得到原方程的解。

在解决分数运算问题时，辅助线也是一个非常有用的工具。

当我们需要对两个分数进行比较或运算时，可以通过引入一个相同的分母来简化计算。

这个相同的分母就是我们引入的辅助线，通过它，我们可以将分数转化为整数，从而更方便地进行计算。

在解决几何问题时，辅助线还可以帮助我们证明定理。

通过引入一些辅助线，我们可以得到一些额外的几何关系，从而证明所要证明的定理。

这种方法在解决几何证明问题时非常常用。

除了上述的几种情况，辅助线还可以用于解决其他类型的数学问题。

无论是代数、几何还是其他数学领域，辅助线都是一个非常有用的工具。

通过合理地使用辅助线，我们可以将原来复杂的问题简化为易于理解和解决的问题。

初二做辅助线是一个非常重要的技巧。

通过合理地使用辅助线，我们可以更好地理解和解决各种数学问题。

在几何中，辅助线可以帮助我们找到隐藏的几何关系；在代数中，辅助线可以简化方程的解法；在分数运算中，辅助线可以简化计算；在几何证明中，辅助线可以帮助我们证明定理。

在解决其他类型的数学问题时，辅助线同样是一个非常有用的工具。

通过合理地使用辅助线，我们可以更好地理解和解决各种数学问题。

希望以上的介绍能够帮助到大家，提高大家的数学水平。

DCB A全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

北师大版八年级上册做辅助线的技巧做辅助线是解决几何问题时的常用技巧，它能够帮助我们在图形上找到有用的线段或角度，以便更好地解决问题。

下面是一些关于如何使用辅助线的技巧：1. 观察图形：在开始解题前，仔细观察给定的图形。

思考有哪些线段或角度可能对问题的解决有帮助。

2. 寻找平行线：如果你在题目中遇到了平行线，可以画上辅助线来更好地利用这一特性。

画一条与已知平行线相交的新线段，可以得到一对相似三角形或等腰三角形，从而导出更多信息。

3. 寻找直角：直角是几何问题中的常见形状。

如果你能够找到直角，可以通过画辅助线将其与其他线段相连，以便得到更多有用的信息。

4. 利用垂直角：垂直角是形成直角的两条相互垂直的线段之间的角。

如果你能够用辅助线将图形划分为垂直角，那么你可以利用垂直角的性质得到更多的信息。

5. 利用对称性：如果你在题目中遇到了对称图形，可以利用这一特性来画辅助线。

以对称中心为基准，将图形划分为对称部分，可以得到相等的线段或角度。

6. 运用相似三角形：相似三角形是几何问题中的关键概念之一。

通过寻找图中的相似三角形，可以利用辅助线来确定未知的长度或角度。

7. 定义新的中点或交点：如果题目中给定了几个点，但你需要找到其他点来连接或划分图形，可以通过画辅助线来定义新的中点或交点。

8. 反演法：有时，你可以通过反过来思考问题来更好地解决它。

如果你陷入困境，可以尝试找到一个新的角度或方法来解决问题。

综上所述，做辅助线是解决几何问题的重要方法之一。

通过观察图形，利用平行线、直角、垂直角、对称性等特点，结合相似三角形和运用新的点等技巧，我们能够更好地应用辅助线来解决问题，提高几何问题的解题能力。

几种证明全等三角形添加辅助线的方法在几何证明中，证明两个三角形全等是常见的任务之一、为了证明两个三角形全等，可以利用几何性质和辅助线的方法。

以下是几种常见的证明全等三角形添加辅助线的方法。

方法一：辅助线连接两个三角形的顶点和中点。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和中点来添加辅助线。

例如，可以连接点A和B的中点M，以及连接点D和E的中点N。

通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。

由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法二：辅助线连接两个三角形的顶点和底边中点。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和底边的中点来添加辅助线。

例如，可以连接点A和D的中点M，以及连接点B和E 的中点N。

通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。

由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法三：辅助线连接两个三角形的对应角的角平分线。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过连接每个三角形对应角的角平分线来添加辅助线。

通过连接辅助线，我们可以得到一些相似的三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得到一些相等的边和角。

通过观察这些相等的边和角，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法四：辅助线连接两个三角形的中垂线。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过连接每个三角形的边的中点，然后连接这些中点的垂线来添加辅助线。

八年级数学常用辅助线添加方法~倍长中线法中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法” 添加辅助线。

所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而利用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

倍长中线法最重要的一点：延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。

一、常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法如图在△ABC 中， AD 是 BC 边上的中线：图1方法一、延长 AD 到 E ，使 DE = AD ，连接 BE ：图2方法二、间接倍长：① 如图作CF⊥AD 于点 F ，作BE⊥AD 的延长线于点 E ，图3② 如图延长 MD 到 N 使 DN = MD ，连接 CN ，图4二、典型例题例题1、在△ABC 中，AB = 5 ， AC = 3 ，求中线 AD 的取值范围。

思路：用方法一（利用三角形中三边关系确定中线范围）例题2、已知在△ABC 中，AB = AC , D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于点 F ，且 DF = EF ，求证： BD = CE图5证明：过点 D 作DG∥AC 交 BC 于点 G图6∵ DG∥AC ∴ ∠GDF = ∠E ，∠DGB = ∠ACB∵ DF = EF ，∠DFG = ∠EFC∴ △DFG ≌ △EFC ∴ DG = CE∵ AB = AC ∴ ∠B = ∠ACB∴ ∠B = ∠DGB ∴ BD = DG = CE例题3、已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE = AC ，延长 BE 交 AC 于点 F ，求证：AF = EF图7证明：延长 AD 到点 G 使 ED = DG ，连接 CG图8∵ BD = DC , ED = GD , ∠BDE = ∠CDG∴ △BDE ≌ △CDG ∴ BE = CG ，∠BED = ∠G∵ BE = AC ∴ AC = CG ∴ ∠G = ∠CAG∵ ∠BED = ∠AEF ∴ ∠AEF = ∠FAE∴ AF = EF三、拓展提高（作业题）例题4、如图，在△ABC 中，AB ≠ AC ，D , E 在 BC 上，且 DE = EC , 过点 D 作DF∥BA ，交 AE 于点 F ，DF = AC 。

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。

思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。

解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。

又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。

在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。

因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。

结论得证。

总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。

变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。

解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。

因为EC为中线，所以AE＝BE。

在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。

所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。

又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。

因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。

在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。

结论得证。

2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。

解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。

因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。

初中数学各类几何题辅助线添加技巧►三角形中常见辅助线的添加1.与角平分线有关的（1）可向两边作垂线。

（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2.与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3.与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60°►四边形中常见辅助线的添加特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。

下面介绍一些辅助线的添加方法。

1.和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形（2）利用两组对边平行构造平行四边形（3）利用对角线互相平分构造平行四边形2.与矩形有辅助线作法（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.3.和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.（1）作菱形的高（2）连结菱形的对角线4.与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线5.与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形（4）延长两腰构成三角形（5）作两腰的平行线等►圆中常见辅助线的添加1.遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

几何证明题辅助线的技巧和方法
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用且有效的工具。

它可以帮助我们发现
隐藏的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。

以下是几种常见的辅助线技巧和方法，可用于解决几何证明题。

1. 平行线辅助线法：当题目涉及到平行线时，我们可以通过引入一条平行线作
为辅助线，从而构建出平行线之间的相似三角形或平行四边形。

这样，我们可以得出相应的角度和边的关系，进而证明几何问题。

2. 三角形中线辅助线法：三角形的中线是连接一个顶点与对应中点的线段。

通
过引入三角形中线作为辅助线，我们可以将原问题转化为直角三角形的性质或平行线的性质。

这种方法常常用于证明三角形的等边、等腰等性质。

3. 垂直线辅助线法：当题目涉及到垂直线时，我们可以通过引入一条垂直线作
为辅助线，从而构建出垂直角、直角三角形或平行四边形。

通过利用垂直线的性质，我们可以得到角度、边长等关系，进而解决问题。

4. 内切圆辅助线法：对于一个给定的三角形，可以通过引入其内切圆作为辅助线，来简化证明过程。

内切圆与三角形的的边相切于三个点，这些点可以提供有用的几何关系，如正方形的性质、垂直线的性质等。

5. 类似三角形辅助线法：当计算角度或证明形状相似时，引入类似三角形作为
辅助线可以大大简化证明过程。

通过找到两个或多个类似的三角形，我们可以得到两个三角形的边长比例，并据此解决问题。

总之，辅助线是几何证明中的有效工具，它们可以帮助我们发现关键的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。

通过灵活运用各种辅助线技巧和方法，我们可以更加轻松地解决各种几何证明题。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明DCBA全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

初中数学添加辅助线的方法汇总作辅助线的基本方法一：中点、中位线，延长线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心，因题而异，有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。

”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六：两圆相切、离，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、夕卜离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。

七：切线连直径，直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。

即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。

即直角与半圆互为辅助线。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。

初中数学辅助线1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目,常将中线加倍;含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题;方法2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题;方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理;方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段;2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下：1连对角线或平移对角线：2过顶点作对边的垂线构造直角三角形3连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形;它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决;辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有：1在梯形内部平移一腰;2梯形外平移一腰3梯形内平移两腰4延长两腰5过梯形上底的两端点向下底作高6平移对角线7连接梯形一顶点及一腰的中点;8过一腰的中点作另一腰的平行线;9作中位线当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的;通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键;作辅助线的方法一：中点、中位线,延线,平行线;如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的;二：垂线、分角线,翻转全等连;如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生;其对称轴往往是垂线或角的平分线;三：边边若相等,旋转做实验;如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生;其对称中心,因题而异,有时没有中心;故可分“有心”和“无心”旋转两种;四:造角、平、相似,和、差、积、商见;如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关;在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法：第一,造一个辅助角等于已知角；第二,是把三角形中的某一线段进行平移;故作歌诀：“造角、平、相似,和差积商见;”五：面积找底高,多边变三边;如遇求面积,在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积,往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键;如遇多边形,想法割补成三角形；反之,亦成立;另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”;初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难,难点就在辅助线;辅助线,如何添把握定理和概念;还要刻苦加钻研,找出规律凭经验;三角形图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;线段垂直平分线,常向两端把线连;线段和差及倍半,延长缩短可试验;线段和差不等式,移到同一三角去;三角形中两中点,连接则成中位线;三角形中有中线,延长中线等中线;四边形平行四边形出现,对称中心等分点;梯形问题巧转换,变为△和□;平移腰,移对角,两腰延长作出高;如果出现腰中点,细心连上中位线;上述方法不奏效,过腰中点全等造;证相似,比线段,添线平行成习惯;等积式子比例换,寻找线段很关键;直接证明有困难,等量代换少麻烦;斜边上面作高线,比例中项一大片;三角形中作辅助线的常用方法举例一．倍长中线1：已知△ABC,AD 是BC 边上的中线,分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图5-2, 求证EF ＝2AD; 二、截长补短法作辅助线;在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠ACB ＝2∠B,求证：AB ＝AC ＋CD; 三、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC ＝BD,AD ⊥AC 于A ,BC ⊥BD 于B, 求证：AD ＝BC 分析：欲证 AD ＝BC,先证分别含有AD,BC 的三角形全等,有几种方案：△ADC与△BCD,△AOD 与△BOC,△ABD 与△BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角; 证明：分别延长DA,CB,它们的延长交于E 点,∵AD ⊥AC BC ⊥BD 已知∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° 垂直的定义 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE AAS∴ED ＝EC EB ＝EA 全等三角形对应边相等 ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC;当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件; 四、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决; 例如：如图8-1：AB ∥CD,AD ∥BC 求证：AB=CD;分析：图为四边形,我们只学了三角形的有关知识,必须把它转化为三角形来解决; 证明：连接AC 或BD∵AB ∥CD AD ∥BC 已知∴∠1＝∠2,∠3＝∠4 两直线平行,内错角相等 在△ABC 与△CDA 中 ∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已证CA AC∴△ABC ≌△CDA ASA∴AB ＝CD 全等三角形对应边相等五、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长;例如：如图9-1：在Rt △ABC 中,AB ＝AC,∠BAC ＝90°,∠1＝∠2,CE ⊥BD 的延长于E ;求证：BD ＝2CE分析：要证BD ＝2CE,想到要构造线段2CE,同时CE 与∠ABC 的平分线垂直,想到要将其延长; 证明：分别延长BA,CE 交于点F;∵BE ⊥CF 已知∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° 垂直的定义在△BEF 与△BEC 中,ABC DEF25-图19-图DCBA E F 12A BCD18-图1234ABCD E17-图O∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE∴△BEF ≌△BECASA ∴CE=FE=21CF 全等三角形对应边相等∵∠BAC=90° BE ⊥CF 已知∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中∴△ABD ≌△ACF AAS ∴BD ＝CF 全等三角形对应边相等 ∴BD ＝2CE 六、连接已知点,构造全等三角形;例如：已知：如图10-1；AC 、BD 相交于O 点,且AB ＝DC,AC ＝BD,求证：∠A ＝∠D; 分析：要证∠A ＝∠D,可证它们所在的三角形△ABO 和△DCO 全等,而只有AB ＝DC 和对顶角两个条件,差一个条件,,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由AB ＝DC,AC ＝BD,若连接BC,则△ABC 和△DCB 全等,所以,证得∠A ＝∠D; 证明：连接BC,在△ABC 和△DCB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(公共边已知已知CB BC DB AC DC AB∴△ABC ≌△DCB SSS∴∠A ＝∠D 全等三角形对应边相等七、取线段中点构造全等三有形;例如：如图11-1：AB ＝DC,∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB; 分析：由AB ＝DC,∠A ＝∠D,想到如取AD 的中点N,连接NB,NC,再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN,故BN ＝CN,∠ABN ＝∠DCN;下面只需证∠NBC ＝∠NCB,再取BC 的中点M,连接MN,则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM,所以∠NBC ＝∠NCB;问题得证;证明：取AD,BC 的中点N 、M,连接NB,NM,NC;则AN=DN,BM=CM,在△ABN 和△DCN 中 ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN∴△ABN ≌△DCN SAS∴∠ABN ＝∠DCN NB ＝NC 全等三角形对应边、角相等 在△NBM 与△NCM 中∵⎪⎩⎪⎨⎧)()()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB∴△NMB ≌△NCM,SSS ∴∠NBC ＝∠NCB 全等三角形对应角相等∴∠NBC ＋∠ABN ＝∠NCB ＋∠DCN 即∠ABC ＝∠DCB; 二 由角平分线想到的辅助线D BA110-图O 111-图D CBAM N口诀：图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等;对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种; ①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线,构造对称图形如作法是在一侧的长边上截取短边;通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形;至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件; 与角有关的辅助线 一、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规律去尝试;下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍; 如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE 、DF,则有△OED ≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件; 1-2,AB 21如图图1-2ADBCEF图2-1ABCDE F图示3-1ABCD HE如图所示,在直角梯形ABC D 中,∠A ＝90°,AB ∥DC,AD ＝15,AB ＝16,BC ＝17. 求CD 的长. 解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E.又AB ∥CD,所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17,CD ＝BE. 在R t △DAE 中,由勾股定理,得AE 2＝DE 2－AD 2,即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.例2如图,梯形ABCD 的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC 的取值范围;解：过点B作BM)(2121CH BGBC GH EF --==512=⨯=BE ED BD DH 6251252DHBC)(AD ABCD =⨯=⨯+=∴梯形S 25252522222100)25()25(AE CE AC ==+=+15cm20cm12cmDCEACD ABD S S S ∆∆∆==DBEABCD S S ∆=梯形2222DH AC DH DE EH -=-=9121522=-=1612202222=-=-=DH BD BH )(15012)169(21212cm DH BE S DBE =⨯+⨯=⋅=∆150cA B DC E Hm 如图所示,四边形ABCD 中,AD 不平行于BC,AC ＝BD,AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状,并证明你的结论.解：四边形ABCD 是等腰梯形. 证明：延长AD 、BC 相交于点E,如图所示. ∵AC ＝BD,AD ＝BC,AB ＝BA, ∴△DAB ≌△CBA. ∴∠DAB ＝∠CBA. ∴EA ＝EB.又AD ＝BC,∴DE ＝CE,∠EDC ＝∠ECD.而∠E ＋∠EAB ＋∠EBA ＝∠E ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°, ∴∠EDC ＝∠EAB,∴DC ∥AB.又AD 不平行于BC,∴四边形ABCD 是等腰梯形. 三、作对角线即通过作对角线,使梯形转化为三角形;例9如图6,在直角梯形ABCD 中,AD//BC,AB ⊥AD,BC=CD,BE ⊥CD 于点E,求证：AD=DE; 解：连结BD,由AD//BC,得∠ADB=∠DBE ； 由BC=CD,得∠DBC=∠BDC; 所以∠ADB=∠BDE;又∠BAD=∠DEB=90°,BD=BD, 所以Rt △BAD ≌Rt △BED, 得AD=DE;四、作梯形的高 1、作一条高例10如图,在直角梯形ABCD 中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC ⊥BD,垂足为F,过点F 作EF//AB,交AD 于点E,求证：四边形ABFE 是等腰梯形;证：过点D 作DG ⊥AB 于点G,则易知四边形DGBC 是矩形,所以DC=BG; 因为AB=2DC,所以AG=GB;从而DA=DB,于是∠DAB=∠DBA;又EF//AB,所以四边形ABFE 是等腰梯形; 2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD 中,AD//BC,AB=CD,∠ABC=60°,AD=3cm,BC=5cm, 求：1腰AB 的长；2梯形ABCD 的面积．解：作AE ⊥BC 于E,DF ⊥BC 于F,又∵AD ∥BC, ∴四边形AEFD 是矩形, EF=AD=3cm ∵AB=DC∵在Rt △ABE 中,∠B=60°,BE=1cmA B C D A B C D E A B C D E F∴AB=2BE=2cm,cm BE AE 33==∴2342)(cm AEBC AD S ABCD =⨯+=梯形例12如图,在梯形ABCD 中,AD 为上底,AB>CD,求证：BD>AC;证：作AE ⊥BC 于E,作DF ⊥BC 于F,则易知AE=DF; 在Rt △ABE 和Rt △DCF 中, 因为AB>CD,AE=DF;所以由勾股定理得BE>CF;即BF>CE; 在Rt △BDF 和Rt △CAE 中 由勾股定理得BD>AC 五、作中位线1、已知梯形一腰中点,作梯形的中位线;例13如图,在梯形ABCD 中,AB//DC,O 是BC 的中点,∠AOD=90°,求证：AB ＋CD=AD;证：取AD 的中点E,连接OE,则易知OE 是梯形ABCD 的中位线,从而OE=21AB ＋CD ①在△AOD 中,∠AOD=90°,AE=DE 所以AD OE 21=②由①、②得AB ＋CD=AD;2、已知梯形两条对角线的中点,连接梯形一顶点与一条对角线中点,并延长与底边相交,使问题转化为三角形中位线;例14如图,在梯形ABCD 中,AD//BC,E 、F 分别是BD 、AC 的中点,求证：1EF//AD ；2)(21AD BC EF -=;证：连接DF,并延长交BC 于点G,易证△AFD ≌△CFG则AD=CG,DF=GF由于DE=BE,所以EF 是△BDG 的中位线 从而EF//BG,且BG EF 21=因为AD//BG,AD BC CG BC BG -=-=所以EF//AD,EF )(21AD BC -=3、在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的;例15、在梯形ABCD 中,AD ∥BC, ∠BAD=900,E 是DC 上的中点,连接AE 和BE,求∠AEB=2∠CBE;解：分别延长AE与BC ,并交于F点∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F两直线平行内错角相等∠AED=∠FEC 对顶角相等DE=EC E点是CD的中点∴△ADE≌△FCE AAS∴ AE=FE在△ABF中∠FBA=900且AE=FE∴ BE=FE直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∴在△FEB中∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE例16、已知：如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,E是CD中点,试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系解：AE=BE,理由如下：延长AE,与BC延长线交于点F．∵DE=CE,∠AED=∠CEF,∠DAE=∠F∴△ADE≌△FCE∴AE=EF∵AB⊥BC, ∴BE=AE．ABDCEF。

几何证明常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等．1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3、遇到角平分线在三种添辅助线的方法．（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形．（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形．4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”．5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．例题精讲第一部分：常见构造全等三角形方法例1、已知：如图，在四边形ABCD中，BC AB>，AD CD=，BD平分ABC∠．求证：180A C∠+∠=︒．例2、已知：如图所示，△ABC中，90C∠=︒，AC BC=，AD DB=，AE CF=．求证：DE DF=．相关练习：D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM、DN分别交BC、CA于点E、F．（1）当MDN∠绕点D转动时，求证：DE DF=；（2）若2AC=，求四边形DECF的面积．FEC AMD第二部分：倍长中线作法 【夯实基础】例：△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD CD =．求证：AB AC =．【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CD【经典例题】例1、△ABC 中，5AB =，3AC =，求中线AD 的取值范围．例2、已知在△ABC 中，AB AC =，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF EF =．求证：BD CE =．例3、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ．求证：AF EF =．例4、已知：如图，在△ABC 中，AB AC ≠，D 、E 在BC 上，且DE EC =，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF AC =． 求证：AE 平分BAC ∠．例5、已知CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是△ABD 的中线．求证：C BAE ∠=∠．第 1 题图ABFDECEDCBA【融会贯通】1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，BAE EAF ∠=∠，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论．2、如图，AD 为△ABC 的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．3、已知：如图，△ABC 中，90C ∠=︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分BAC ∠交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ．求证：CT BE =．备选例题例1、如图，AD ∥BC ，EA 、EB 分别平分DAB ∠、CBA ∠，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．FEABCDDABCMTE例2、以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 、Rt △ACE ，90BAD CAE ∠=∠=︒，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当△ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt △ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒（090θ<<）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．自我测试1、在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH AC =，则ABC ∠= ．2、如图，已知AE 平分BAC ∠，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，36BAE ∠=︒，那么BED ∠= ．第2题 第3题3、如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，给出三个论断：①DE EF =；②AE CE =；③FC ∥AB ，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是 ．4、如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若5AB =，3AC =，则AD 的取值范围是 ．第4题 第5题 第6题5、如图，在△ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒．AD 平分BAC ∠，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足．则结论：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4．6、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，AB AD >，下列结论中正确的是（ ）A ．AB AD CB CD ->-； B ．AB AD CB CD -=-；C ．AB AD CB CD -<-； D ．AB AD -与CB CD -的大小关系不确定． 7、考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（ ）． A ．4个； B ．3个； C ．2个； D ．1个．8、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且1()2AE AB AD =+,求ABC ADC ∠+∠的度数．9、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE CF +与EF 的大小关系，并证明你的结论．10、如图，已知2AB CD AE BC DE ===+=，90ABC AED ∠=∠=︒，求五边形ABCDE 的面积．11、如图，在△ABC 中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠． 求证：AC AE CD =+．12、如图，已知90ABC DBE ∠=∠=︒，DB BE =，AB BC =． （1）求证：AD CE =，AD ⊥CE ；（2）若△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则（1）中结论是否仍成立?请证明．。

八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法数学组 田茂松八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成。

有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。

为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。

常见辅助线的作法有以下几种：1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

常见辅助线的作法举例：例1 如图1,//AB CD ，//AD BC . 求证：AD BC =.分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。

证明：连接AC （或BD ）∵//AB CD , //AD BC （已知）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等）在ABC ∆与CDA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已证CA AC∴ABC ∆≌CDA ∆（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等）例2 如图2,在Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，12∠=∠，CE BD ⊥的延长于E .求证：2BD CE =.分析：要证2BD CE =，想到要构造线段2CE ，同时CE 与ABC ∠的平分线垂直，想到要将其延长。