八年级数学《全等三角形》证明题中常见的辅助线的作法

全等三角形中常见辅助线的作法一、倍长中线法。

1. 作法。

- 当遇到三角形中线时，可将中线延长一倍，连接相应顶点，构造全等三角形。

- 例如，在△ABC中，AD是BC边上的中线。

延长AD到E，使DE = AD，然后连接BE。

2. 原因。

- 因为BD = CD（AD是中线），∠BDE = ∠CDA（对顶角相等），DE = AD（所作辅助线），根据SAS（边角边）判定定理，可以证明△BDE≌△CDA。

- 这样做的好处是可以将分散的线段和角集中到新构造的全等三角形中，从而便于解决问题，比如可以将AC边转化为BE边，进而在新的三角形△ABE中研究线段之间的关系。

二、截长补短法。

1. 截长法。

- 作法。

- 在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段。

- 例如，在△ABC中，要证明AB = AC + CD（假设AC＜AB）。

在AB上截取AE = AC，然后连接DE。

- 原因。

- 截取AE = AC后，我们可以通过证明△ADE≌△ADC（如果有合适的条件，如AD 是角平分线，则可以利用SAS判定），得到DE = CD。

这样就将AB = AC+CD的证明转化为证明BE = DE的问题，将问题简化。

2. 补短法。

- 作法。

- 延长较短的线段，使延长后的线段等于较长的线段。

- 例如，在上述△ABC中，延长AC到F，使CF = CD，然后连接DF。

- 原因。

- 延长AC到F使CF = CD后，如果能证明△ABD≌△AFD（根据具体题目中的条件，可能利用AAS、ASA等判定定理），就可以将AB = AC + CD的证明转化为证明AB = AF的问题，通过构造全等三角形，把线段之间的关系进行转化，从而达到解题目的。

三、作平行线法。

1. 作法。

- 过三角形的一个顶点作某条边的平行线。

- 例如，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，要证明AD/AB = AE/AC。

过D作DF∥AC交BC于F。

2. 原因。

- 因为DF∥AC，根据平行线的性质，可得∠ADF = ∠A，∠AFD = ∠C，∠BDF = ∠B。

全等三角形是初中数学中的重要概念，掌握全等三角形的判断和性质是解决三角形问题的关键。

常用的辅助线作法可以帮助我们更好地理解和应用全等三角形的知识。

下面将对2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法进行总结。

一、三角形内部的辅助线作法：1.外切圆：对于一个三角形，可以在它的外面作出三个外接圆，然后通过外接圆的协调定理来判断和证明两个三角形全等。

2.角平分线：对于一个角，可以作出它的角平分线，然后利用角平分线的性质来判断和证明两个三角形全等。

3.中位线：对于一个三角形，可以连接它的两个顶点和中点，得到两条中位线。

根据中位线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。

4.高线：对于一个三角形，可以分别作出它的三条高线，然后根据高线的性质来判断和证明两个三角形全等。

5.角高线和中线：对于一个锐角三角形，可以连接其中一个角的顶点和对边的中点，得到一条角高线和一条中线。

根据角高线和中线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。

二、三角形外部的辅助线作法：1.外接圆和割线：对于一个三角形，可以通过外接圆和割线的性质来判断和证明两个三角形全等。

2.正弦定理和余弦定理：对于一个三角形，可以通过正弦定理和余弦定理来判断和证明两个三角形全等。

3.对称性和重叠法：对于一个三角形，可以利用对称性和重叠法来判断和证明两个三角形全等。

4.平移法和旋转法：可以通过平移法和旋转法来判断和证明两个三角形全等。

以上仅是2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法的总结，实际问题中可能还会有其他的辅助线作法。

在解决三角形问题时，选择合适的辅助线作法可以简化问题，提高解题效率。

同时，还需要对全等三角形的基本知识进行深入理解和掌握，不仅要掌握判断全等三角形的条件，还要熟练运用全等三角形的性质和定理。

教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点DC B A 再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值范围是1<AD<4ED F CB A例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB 与△ADG 中， BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG 故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE 应用：1、（09崇文二模）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰RtABD∆和等腰RtACE∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．ABC ∆EDCBA二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC解：（截长法）在AB 上取中点F ，连FD △ADB 是等腰三角形，F 是底AB 中点，由三线合一知DF ⊥AB ，故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE △ADE ≌△AFE （SAS ） ∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180°PQCBA∠AFE+∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， (1 )可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． ( 2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变D C BAED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。

本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。

一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。

这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。

相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。

相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。

相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。

相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。

这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。

二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。

解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。

由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。

因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。

又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。

求证： CD=AD+BC。

思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。

倍长中线专题初中阶段三角形有三条重要的、也是最基本的线段：三角形的高线、中线、角平分线。

三种线段各有其重要信息反馈，就中线而言，它具有的功能：①必有相等的线段②必有相等的面积③必有倍长中线构成全等。

本专题只讨论倍长中线的问题。

【基本原理】：如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至E点，使DE＝AD，得到△ADC≌△EDB。

口诀：图形有中线，倍长延中线，连接另一端，全等尽呈现。

【模型实例】：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F 点，AF=EF ，求证：AC=BE证明： 如图所示。

延长AD 至G 点，使DG=AD ，连接BG 。

在△ADC 与△GDB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BD GDB ADC GD AD∴△ADC ≌△GDB∴BG =AC ，∠1=∠G又因为AF=EF∴∠1=∠2=∠3∴∠3=∠G∴BG=BE （等角对等边）∴AC=BE②证全等①作倍长中线 ③列出需要用的结果④转化替代 ⑤得出结果【练习1】：如图，在在△ABC中，D为BC的中点，求证：AD+>AB2AC【练习2】：如图，在△ABC中，D为B C的中点,且AD是角平分线。

求证：AB=AC【练习3】：AD是△ABC的中线，分别以AB边、AC边为直角边向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD【练习4】：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于F点。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。

截长补短专题要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采用“截长补短”法。

①截长法：把较长的线段截取一段等于两较短线中的一条；②补短法：把两条较短的线段补成一条，再证与长线段相等。

【模型实例】：如图，△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C。

求证：AC=AB+BD 方法一：截长(利用角平分线构建全等三角形)分析：如图，在AC上截AE=AB，连接DE。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．DCBAEDFCB A一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CBA应用：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．CACBA二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB＝AD+BC 。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

ED F CBAD C BA全等三角形问题中常见的辅助线的作法三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.本题的关键是如何把AB,AC,AD三条线段转化到同一个三角形当中.解:延长AD到E,使DE=DA,连接BE.又∵BD=CD;∠BDE=∠CDA.∴⊿BDE≌⊿CDA(SAS),BE=AC=5.∵AB-BE<AE<AB+BE.(三角形三边关系定理)即7-5<2AD<7+5.∴1<AD<6.【经验总结:见中线,延长加倍.】例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.BE+CF >EF证明：延长FD到点G，使DG=DF，连接BG∵BD=CD，FD=DG，∠BDG=∠CDF∴△BDG≌△CDF∴BG=CF∵ED⊥FG∴EF=EG在△ABG中，BE+BG>EG∵BG =CF，EG=EF∴BE+CF >EF例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.即AD 平分∠BAE应用：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC所以AB=AN+BN=AC+BD3、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

D C BAED F CB A一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CBA应用：1、（09崇文二模）以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，（1）如图①当ABC线段AM与DE的数量关系是；∆绕点A沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）（2）将图①中的等腰Rt ABD问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．C二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。