一次函数中k.b的作用

一次函数讲解一次函数是初中数学中最基础、最简单的函数之一。

它是一种线性函数，由一个常数和一个一次项组成。

在本文中，我们将深入探讨一次函数的定义、图像、性质、应用以及解题技巧。

一、定义一次函数也称为线性函数，其定义为：f(x) = kx + b，其中k 和b分别是常数，x是自变量，f(x)是因变量。

其中，k称为函数的斜率，b称为截距。

二、图像一次函数的图像是一条直线。

其中，斜率k表示这条直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线水平。

截距b表示直线与y轴的交点。

三、性质1.一次函数是一种线性函数，其图像是一条直线。

2.斜率k表示直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为0表示直线水平。

3.截距b表示直线与y轴的交点。

4.一次函数的自变量和因变量成正比例关系。

5.一次函数的定义域为实数集，值域为实数集。

四、应用1.物理学中，一次函数可以用来描述速度、加速度等物理量的变化规律。

2.经济学中，一次函数可以用来描述商品价格、销售量等经济变量的关系。

3.工程学中，一次函数可以用来描述电压、电流等工程量的变化规律。

4.统计学中，一次函数可以用来描述数据的线性趋势。

五、解题技巧1.求斜率k：斜率k可以通过两个点的纵坐标之差除以横坐标之差来求得。

2.求截距b：截距b可以通过直线与y轴的交点来求得。

3.求函数解析式：可以通过已知的两个点的坐标来求得函数解析式。

4.求函数值：可以直接代入自变量的值来求得函数值。

六、例题解析1.已知一次函数y = 2x + 3，求当x = 5时的函数值。

解：将x = 5代入函数中，得到y = 2 × 5 + 3 = 13。

因此，当x = 5时，函数值为13。

2.已知一次函数y = kx + 2，当x = 3时，y = 5；当x = 4时，y = 8。

求函数解析式。

解：根据已知条件，可以列出如下方程组：k × 3 + 2 = 5k × 4 + 2 = 8解得k = 1。

专题03 一次函数中的交点问题知识对接考点一、一次函数y=kx+b(k ≠0)中k,b 的符号对函数性质的影响 1.k 的符号决定函数的增减性: 当k>0时,y 随x 的增大而增大; 当k<0时,y 随x 的增大而减小.2.b 的符号决定函数的图象与y 轴交点的位置: 当b>0时,交点在y 轴的正半轴上; 当b=0时,交点在原点;当b<0时,交点在y 轴的负半轴上.专项训练一、单选题1．若2x =是关于x 的方程()00,0mx n m n +=≠>的解，则一次函数()1y m x n =---的图象与x 轴的交点坐标是（ ） A ．()2,0 B ．()3,0C ．()0,2D ．()0,3【答案】B 【分析】直线y =mx +n 与x 轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y =mx +n 的图象与x 轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y =-mx -n 的图象与x 轴的交点为（2，0），由于一次函数y =-mx -n 的图象向右平移一个单位得到y =-m （x -1）-n ，即可求得一次函数y =-m （x -1）-n 的图象与x 轴的交点坐标． 【详解】解：∵方程的解为x =2， ∵当x =2时mx +n =0；∵一次函数y =mx +n 的图象与x 轴的交点为（2，0）， ∵一次函数y =-mx -n 的图象与x 轴的交点为（2，0），∵一次函数y =-mx -n 的图象向右平移一个单位得到y =-m （x -1）-n ， ∵一次函数y =-m （x -1）-n 的图象与x 轴的交点坐标是（3，0）， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax +b =0 （a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y =ax +b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值．2．如图，一次函数y kx b =+的图象经过点(2,0)-，则下列说法正确的是（ ）A ．0k <B ．0b <C ．方程0kx b +=的解是2x =-D ．y 随x 的增大而减小【答案】C 【分析】利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限，∵k ＞0，b ＞0，y 随x 的增大而而增大，故ABD 错误； 又∵图象与x 轴交于（−2，0）， ∵kx ＋b ＝0的解为x ＝−2，故C 正确； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确从函数图象中获取信息，掌握一次函数的性质．3．如图，经过点()3,0B -的直线y kx b =+与直线42y x =+相交于点()1,2--A ，则420kx b x +<+<的解集为（ ）A ．3x <-B ．31x -<<-C ．12x >-D ．112x -<<-【答案】D 【分析】由图象得到直线y =kx +b 与直线y =4x +2的交点A 的坐标（-1，-2），求出直线y =4x +2与x 轴的交点坐标，观察直线y =kx +b 落在直线y =4x +2的下方且直线y =4x +2落在x 轴下方的部分对应的x 的取值即为所求． 【详解】解：∵经过点B （-2，0）的直线y =kx +b 与直线y =4x +2相交于点A （-1，-2）， ∵直线y =kx +b 与直线y =4x +2的交点A 的坐标为（-1，-2）， ∵当x ＞-1时，kx +b ＜4x +2， 当x ＜-12时，4x +2＜0，∵不等式kx +b ＜4x +2＜0的解集为-1＜x ＜-12． 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =ax +b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 4．如图，若一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=的图象交(,3),(,2)A m B n -两点，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ，且5ABCS=，则不等式210k k x b x-+<的解集为（ ）A ．2x <-或01x <<B ．1x >或20x -<<C ．2x >或30x -<<D ．3x <-或02x <<【答案】D 【分析】根据题意可得21k k x b x+<，再由图象可得不等式的解集为x n <或0x m <<，根据(,3),(,2)A m B n -，可得CB 长为2，ABC 底边CB 上的高为m n -，然后由5ABCS =，可得5m n -=，根据反比例函数的特征可得32m n =-，可求出2,3m n ==-，即可求解．【详解】 解：由题知，210k k x b x -+<，即为21k k x b x+<， 由图象可知，不等式的解集为x n <或0x m <<， ∵(,3),(,2)A m B n -，∵CB 长为2，ABC 底边CB 上的高为m n -， ∵三角形的面积为12()52m n ⨯⨯-=，∵5m n -=，∵点(,3),(,2)A m B n -的图象在反比例函数2k y y=的图象上， ∵32m n =-，即23m n ， ∵5m n -=， ∵2,3m n ==-，∵不等式的解集为3x <-或02x <<． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数与不等式解集的关系，求出2,3m n ==-，利用数形结合的思想是解题的关键．5．一次函数2y x m =-+与2y x =+图象的交点位于第二象限，则m 的值可能是（ ） A ．-4 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】根据题意将两个函数联立方程组，再根据交点在第二象限列不等式组，即可求出m 的取值范围． 【详解】解：∵一次函数y ＝-2x +m 和y ＝x+2图象相交，∵22y x m y x =-+⎧⎨=+⎩，解得2343m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∵交点位于第二象限，∵203403m m -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩①②，解不等式∵得2m <， 解不等式∵得4m >-， ∵不等式的解集为42m -<<， ∵m 的值可能为1， 故选B ． 【点睛】本题考查了解不等式及两直线相交：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．6．如图所示，已知函数y ax b =+和y kx =的图象相交于点P ，则关于x ，y 的二元一次方程组y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是（ ）A ．42x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=-⎩C ．24x y =-⎧⎨=-⎩D ．42x y =-⎧⎨=-⎩【答案】D 【分析】由两个函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，从而可得方程组的解. 【详解】解：∵函数y ＝ax +b 和y ＝kx 的图象交于点P 的坐标为（-4，-2），∵关于x ，y 的二元一次方程组y ax by kx =+⎧⎨=⎩的解是42x y =-⎧⎨=-⎩．故选D ． 【点睛】本题考查的是利用函数的交点坐标确定方程组的解，明确交点坐标的含义与掌握数形结合的方法解题是关键.7．若直线2y kx k =++与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，则它与直线21y x =-交点的横坐标a 的取值范围为（ ）A ．32a <B ．302a <<C ．1342aD ．14a >【答案】C 【分析】由直线2y kx k =++与x 轴的交点可得21k<-．分两种情况讨论，即可得20k -<<．联立两条直线解析式即可得交点横坐标32ka k，由k 的范围即可确定出a 的范围． 【详解】解：直线2y kx k =++与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，0k ∴≠．令20y kx k ，解得：20k xk，即210k，得21k<-． ∵当0k >时，解得2k <-，与题设矛盾； ∵当0k <时，解得2k >-，所以20k -<<． 当直线2y kx k =++与直线21y x =-相交时，221kx kx ，解得：32kxk， 即32ka k， 又35(2)51222k k ak kk，20k ， 02k ， 224k，∴111422k ， ∴555422k ， ∴1531422k． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质与不等式的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点B （﹣6，0），且与正比例函数y ＝13x 的图象交于点A （m ，﹣3），若kx ﹣13x ＞﹣b ，则（ ）A ．x ＞0B ．x ＞﹣3C ．x ＞﹣6D ．x ＞﹣9【答案】D 【分析】先利用正比例函数解析式,确定A 点坐标;然后利用函数图像，写出一次函数y=kx+b （k≠0）的图像，在正比例函数图像上方所对应的自变量的范围. 【详解】解：把A （m ，﹣3）代入y ＝13x 得13m ＝﹣3，解得m ＝﹣9，所以当x ＞﹣9时，kx +b ＞13x ，即kx ﹣13x ＞﹣b 的解集为x ＞﹣9．故选D ． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.9．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式-kx+b>0的的解集为（ ）A ．x ＞-2B ．x ＜-2C ．2x ＞D ．2x ＜【答案】D 【详解】由函数y kx b =+和y kx b =-+的图象关于y 轴对称可由y kx b =+的图象得到函数y kx b =-+的图象如图所示，由图可知：函数y kx b =-+的图象位于x 轴之上的部分在点（2，0）的左侧， ∵不等式0kx b -+>的解集为：2x <. 故选D.【点睛】（1）函数y kx b =+和y kx b =-+的图象关于y 轴对称；（2）函数y kx b =+和y kx b =--的图象关于x 轴对称；（3）不等式0kx b +>的解集是函数y kx b =+的图象位于x 轴之上的部分图象所对应的自变量的取值范围；不等式0kx b +<的解集是函数y kx b =+的图象位于x 轴之下的部分图象所对应的自变量的取值范围.10．一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ＞﹣2D ．x ＜﹣2【答案】C 【分析】当y ＞0时，即函数图象在x 轴上方时对应的x 的取值范围，结合图象可求得答案． 【详解】解：由图象可知当x ＝﹣2时，y ＝0，且y 随x 的增大而增大， ∵当y ＞0时，x ＞﹣2， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了利用一次函数与x 轴的交点坐标求不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 二、填空题11．如果一次函数 y = ax + 4 与 y = bx - 2 的图象的交点在 x 轴上，那么经过点（1，1）的直线y =bax +c 的表达式为__．【答案】1322 y x=-+【分析】根据一次函数y =ax + 4 与y =bx - 2 的图象的交点在x 轴上可求出12ba=-，然后把(1，1)代入求出c即可．【详解】解：当y=0时，ax + 4=0 ，bx - 2=0，∵x=4a-，x=2b．∵y =ax + 4 与y =bx - 2 的图象的交点在x 轴上，∵4a-=2b，∵12ba=-，∵y =12-x +c，把(1，1)代入，得1=12-+c，∵c=32，∵1322y x=-+．故答案为：1322y x=-+．【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标，以及待定系数法求函数解析式，根据一次函数y =ax+ 4 与y =bx - 2 的图象的交点在x 轴上可求出12ba=-是解答本题的关键．12．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：∵k＜0；∵a＞0；∵关于x的方程kx﹣x＝a﹣b的解是x＝3；∵当x＜3时，y1＜y2中．则正确的序号有____．【答案】∵∵． 【分析】根据一次函数的性质对∵∵进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对∵进行判断；利用函数图象，当x ＜3时，一次函数y 1＝kx +b 在直线y 2＝x +a 的上方，则可对∵进行判断． 【详解】解：∵一次函数y 1＝kx +b 经过第一、二、三象限， ∵k ＜0，b ＞0，所以∵正确；∵直线y 2＝x +a 的图象与y 轴的交点在x 轴，下方， ∵a ＜0，所以∵错误；∵一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝x +a 的图象的交点的横坐标为3， ∵x ＝3时，kx +b ＝x ﹣a ，整理得kx ﹣x ＝a ﹣b ，所以∵正确； 当x ＜3时，y 1＝kx +b 图像在y 2＝x +a 图像的上方， ∵y 1＞y 2，所以∵错误． 故答案为∵∵． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键．13．如图，直线y x m =-+与()40y nx n n =+≠交点的横坐标为2-．则关于x 的不等式40x m nx n -+>+>的解集为______．【答案】42x -<<- 【分析】求出直线4y nx n =+与x 轴的交点，利用图象法即可解决问题； 【详解】解：直线y x m =-+与4(0)y nx n n =+≠的交点的横坐标为2-，∴关于x 的不等式4x m nx n -+>+的解集为2x <-，40ynxn时，4x =-，∴不等式40x m nx n -+>+>的解集为42x -<<-．故答案为：42x -<<-． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题． 14．一次函数y kx b =-的图象如图所示，则关于x 的不等式(1)0k x b -->的解集为______．【答案】3x < 【分析】根据题意，先把y kx b =-向右平移1个单位，得到(1)y k x b =--，则结合图象可确定(1)0k x b -->时，图象所在位置，进而可得答案．【详解】 解：根据题意，∵一次函数y kx b =-的图象与x 轴的交点为（2，0）， 把y kx b =-向右平移1个单位，得(1)y k x b =--， ∵(1)y k x b =--与x 轴的交点为（3，0）， ∵关于x 的不等式(1)0k x b -->的解集为3x <； 故答案为：3x <． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想进行分析．15．如图，点A 是一次函数21y x =+图象上的动点，作AC ∵x 轴与C ，交一次函数4y x =-+的图象于B ． 设点A 的横坐标为m ，当m =____________时，AB =1．【答案】43或23【分析】分别用m 表示出点A 和点B 的纵坐标，用点A 的纵坐标减去点B 的纵坐标或用点B 的纵坐标减去点A 的纵坐标得到以m 为未知数的方程，求解即可． 【详解】解：∵点A 是一次函数21y x =+图象上的动点，且点A 的横坐标为m ， ∵(,21)A m m + ∵AC ∵x 轴与C ， ∵(,0)C m ∵(,4)B m m -+ ∵1AB =∵|21(4)|1m m +--+= 解得，43m =或23故答案为43或23【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据A 点横坐标和点的坐标特征求得A 、B 点纵坐标是解题的关键． 三、解答题16．平面直角坐标系xOy 内，一次函数22y x =-经过点(1,)A m -和(,2)B n ． （1）求m ，n 的值；（2）求该直线与x 轴的交点坐标．【答案】（1）42m n =-⎧⎨=⎩；（2）(1,0)【分析】（1）分别将A 、B 两点代入一次函数22y x =-得到关于m ，n 的式子，即可作答； （2）借助依次函数与一元一次方程的关系进行求解，即将y =0代入函数即可作答． 【详解】解：（1）将(1)A m -，和(2)B n ，代入一次函数22y x =-中，得122222m n =-⨯-⎧⎨=-⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩故答案为：42m n =-⎧⎨=⎩；（2）令0y =，得022x =- 解得1x =该直线与x 轴的交点坐标为(10)，； 故答案为：(10)，． 【点睛】本题主要考考查了根据一次函数方程计算坐标中的未知量，以及一次函数与一元一次方程的关系，属于基础题．17．已知(),2A n -，()1,4B 是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）反比例函数的解析式是__________，一次函数的解析式是__________； （2）AOB 的面积是__________； （3）关于x 的不等式0mkx b x+-<的解集是__________． 【答案】（1）4y x=，22y x =+；（2）3；（3）2x <-或01x <<． 【分析】（1）根据题意先求出反比例函数解析式，可得到2n =- ，根据A 、B 两点，即可求出一次函数的解析式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，可得()0,2C ，从而得到AOB AOC BOC S S S =+△△△，即可求解； （3）根据图象可得，当2x <-或01x <<时，mkx b x+<，即可求解． 【详解】解：（1）∵(),2A n -，()1,4B 是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点， ∵4m = ，∵反比例函数解析式为4y x=； 把(),2A n -代入4y x =，得：42n-= ，解得：2n =- ， ∵()2,2A --，把()2,2A --，()1,4B 代入y kx b =+，得：224k b k b ⎧-+=-⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=⎩ ， ∵一次函数的解析式为22y x =+； （2）如图，设直线AB 交y 轴于点C ，当0x = 时，2y = ， ∵()0,2C ， ∵112212322△=+=⨯⨯+⨯⨯=AOB AOC BOCS SS； （3）根据图象可知：当2x <-或01x <<时，mkx b x+<， ∵不等式0mkx b x+-<的解集是2x <-或01x <<． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键．18．已知直线y x b =+和1y ax =-交于点P (−2，1)，则关于x 的方程1x b ax +=-的解为___________． 【答案】x =-2 【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解决问题．【详解】解：∵直线y=x+b和y=ax-1交于点P(−2，1)，∵当x=-2时，x+b=ax-1=1，即关于x的方程x+b=ax-1的解为x=-2．故答案为：x=-2．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．19．如图，直线l1经过点A(0，4)和C(12，﹣4)，点B的坐标为(8，4)，点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k（k≠0）经过点P，并与l1交于点M．（1）求直线l1的函数解析式；（2）若点M坐标为(1，103)，求APMS；（3）直线l2与x轴的交点坐标为，点P的移动过程中，k的取值范围是．【答案】（1）y＝﹣23x+4；（2）815；（3）(﹣2，0)，25≤k≤2．【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；（2）根据M点的坐标求出直线l2的解析式，确定P点的坐标，即可求出∵APM的面积；（3）根据直线l2的解析式，求出与x轴的交点即可，根据点P在AB上，分别与点A和点B重合时求出临界值即可确定k的取值范围．【详解】解：（1）∵直线l1经过点A（0，4）和C（12，﹣4），设直线l1的解析式为y＝sx+t，代入A点、C点坐标，得4124ts t=⎧⎨+=-⎩，解得234st⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∵直线l1的解析式为y＝﹣23x+4；（2）∵点M坐标为(1，103)，且点M在直线l2：y＝kx+2k（k≠0）上，∵k+2k＝103，∵k＝109，∵直线l2的解析式为y＝109x+209，∵点A(0，4)，点B (8，4)，∵AB//x，当y=4时，109x+209=4，∵x=85，∵P点的坐标为(85，4)，∵S∵APM＝12×(85﹣0)×(4﹣103)＝815；（3）∵直线l2：y＝kx+2k（k≠0），∵当y＝0时，k＝﹣2，∵直线l2与x轴的交点坐标为(﹣2，0)，∵点P在线段AB上，∵当点P与A点重合时，2k＝4，解得k＝2，当点P与B点重合时，8k+2k＝4，解得k＝25，∵k的取值范围是25≤k≤2，故答案为：(﹣2，0)，25≤k≤2．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，以及一次函数的性质，熟练使用待定系数法求解析式及用临界值法求取值范围是解题的关键．20．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）．（1）求直线AB的表达式；（2）若直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集．【答案】（1）y＝x+5；（2）点C的坐标为（﹣3，2）；（3）x＞﹣3【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；（3）根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣kx+b经过点A（﹣5，0）、B（﹣1，4），∵504k bk b-+=⎧⎨-+=⎩，解方程组得15kb=⎧⎨=⎩．∵直线AB的解析式为y＝x+5；（2）∵直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，∵524y xy x=+⎧⎨=--⎩，解得32xy=-⎧⎨=⎩．∵点C的坐标为（﹣3，2）；（3）由图可知，关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集是x＞﹣3．【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式求解、二元一次方程组的求解和一次函数与一元一次不等式的关系，准确计算是解题的关键．21．如图，直线13y x =+与直线243y mx =+交于点M （﹣1，2），与x 轴分别交于点A ，B ，与y 轴分别交于C ，D ．（1）根据图像写出方程组12343y x y mx =+⎧⎪⎨=+⎪⎩的解是__________．（2）根据函数图像写出不等式433x mx +≤+的解集_________．（3）求直线AC ，直线BD 与x 轴围成的∵ABM 的面积．【答案】（1）12x y =-⎧⎨=⎩；（2）1x ≤-；（3）5【分析】（1）二元一次方程组的解根据两条直线交点坐标即可求得； （2）将题干转化为12y y ≤，然后根据图像即可判断；（3）将点M （﹣1，2）代入243y mx =+求得m 的值，然后根据题意求出点A ，B 的坐标．然后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）根据题意，两直线交点为点M （﹣1，2），所以方程组的解为12x y =-⎧⎨=⎩；（2）由题意得，433x mx +≤+即为12y y ≤，根据图像可以判断出当1x ≤-时，12y y ≤，故答案为1x ≤-；（3）对于13y x =+，当0y =时，03x =+，解得3x =-，故A 点坐标为A （﹣3，0）， 将点M （﹣1，2）代入243y mx =+，得423=-+m ，解得23m =-，∵22433y x =-+，∵对于22433y x =-+，当0y =时，24033x =-+，解得2x =，故B 点坐标为B （2，0），∵5AB =，∵ABM 的高为2M h y ==， ∵1152522ABMSAB h ==⨯⨯=．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式，关键是掌握交点在本类题型中的重要意义，熟悉掌握一次函数的基本性质是解题的关键．22．如图，已知一次函数12y ax =+与21y x =-的图象交于点(2,1)A ，（1）求a 的值；（2）若点C 是直线21y x =-上的点且AC =C 的坐标； （3）直接写出210y y >>时，x 的取值范围．【答案】（1）12a =-；（2）(4,3)C 或(0,1)-；（3）24x <<【分析】（1）把点(2,1)A 代入12y ax =+，即可求解；（2）如图，设(,1)C x x -，作//CM y 轴，//AM x 轴交于M ，则ACM ∆是等腰直角三角形，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；（3）根据图像得出当210y y >>时，需要同时满足两个条件，21y y >和10y >，此时2,x ＞且,x ＜4问题得解．【详解】解：（1）∵交点(2,1)A 在直线1y 上 ∵221a += 解得12a =-；（2）如图，设(,1)C x x -作//CM y 轴，//AM x 轴交于M ， 则ACM ∆是等腰直角三角形，且2CM AM x ==-，则222(2)(2)x x -+-=， ∵2(2)4x -=，∵22x -=±∵4x =或0， ∵(4,3)C 或(0,1)-；（3）由图像得，当210y y >>时，x 的取值范围为：24x <<． 【点睛】本题考查了一次函数图象点的意义，数形结合思想，勾股定理，函数与不等式等知识点，综合性较强，理解好函数图象上点的意义，函数与不等式关系是解题关键． 23．如图，直线1:1l y x =+与直线22:3l y x a =-+相交于点(1,)p b ；（1）求出a,b 的值；（2）根据图象直接写出不等式2013x x a <+<-+的解集； （3）求出ABP ∆的面积.【答案】(1) a=83，b=2；（2）-1<x <1；（3）5.【分析】（1）把P 点坐标代入y=x+1可得b 的值，继而代入23y x a =-+可求a 的值；（2）根据两函数图象的交点坐标及y=x+1与x 轴的交点可得答案；（3）首先求出点A 、B 的坐标，由此计算AB 的长，再由点P 的坐标，即可计算出ABP ∆的面积． 【详解】解：（1）∵直线l 1：y=x+1过点P （1，b ）， ∵b=1+1=2；把点P （1，2）代入23y x a =-+中得a=8 3（2）∵y=x+1与x轴交于点（-1，0），∵在x=-1的左边x=1的右边的图象满足不等式2013x x a <+<-+，∵不等式2013x x a<+<-+的解集是-1<x<1（3）在2833y x=-+中，当y=0时，x=4∵点B的坐标是(4,0)又A（-1，0），∵AB=4+1=5，∵点P（1，2），∵ABP∆的面积为：12×5×2=5．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式即可．。

一次函数的性质与k、b的关系函数的学习，标志着数学思想方法的重大转变——由常量教学到变量教学，而函数的相关知识，更使数学研究的对象，理论，方法都发生了根本的转变，所以中学阶段函数的重要性勿庸置疑，函数教学中数形结合的思考问题方式，在学生现有的认知体系中，想要顺利的学习它，有着相当的难度。

一次函数是学生进入初中阶段后学习的第一个具体函数，学会对其性质的研究方法，对后续学习其它函数具有指导意义。

下面就一次函数的性质与k、b的关系，谈谈我的具体作法。

一、一次函数y = kx + b可看作把直线y = kx平移得到的：当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移。

数形结合的研究函数图象与性质一般按如下三步走：画函数图象－由图象观察函数的性质－用数学语言描述这些性质。

让学生通过画图，观察，直观地发现结论，这样既能充分调动学生主动学习的积极性，又可以在自己身体力行的实践中，从自己亲身经历的探索思考过程中获得体验。

在本环节中，我让学生在同一平面直角坐标系中画出了① y = - 2x ② y = -2x + 3 ③ y = 3x ④ y = 3x + 3的图象，通过图象同学们很容易发现，①与②互相平行，③与④互相平行，①与③交于y轴的同一点上，②与④交于y轴的同一点上。

为什么会这样呢？学生经过讨论交流，发现①与②互相平行，③与④互相平行，这是因为这两组直线的k值相等；①与③交于y轴的同一点上，②与④交于y轴的同一点上。

这时它们的k值不等，而b 值却相同。

那么这是巧合还是具有一般性呢？再举几组类似的例子验证一下，由学生说出k值相等，b值不等的三条直线和b值相等，k值不等的三条直线，通过画图来验证结论的正确性。

这时学生的好奇心和学习的主动性被充分调动起来，这样循序渐进，由浅入深，让学生体会到“数与形”是紧密联系的，同时也深切体会到一次函数中，k、b的取值对函数的性质的影响。

对于这一性质的实际运用，我给出了这样两道例题：（1）把直线y = -2x + 3向下平移4个单位得到直线。

一次函数—— k 、b 与图像的关系【知识要点】1．一次函数解析式)0(≠+=k b kx y 中两个特征量的几何意义（1）b 是直线b kx y +=与y 轴交点的纵坐标，反映直线与y 轴交点的位置； 当0>b 时，直线与y 轴的正方向相交； 当0=b 时，直线过原点；当0<b 时，直线与y 轴的负方向相交．（2）k 反映直线b kx y +=从左到右的升降趋势以及直线的倾斜程度； 当0>k 时，直线从左到右上升；当0<k 时，直线从左到右下降．||k 越大，直线与x 轴相交所成的锐角越大． 2、一次函数y=kx+b 的图像与k 、b 的符号关系如下表：【典型例题】例1（1）已知一次函数3)2(-+-=m x m y 的图像经过第一、三、四象限，求m 的取值范围．（2）已知一次函数y=（6+3m ）x+（n －4）。

求：○1m 为何值时，y 随x 的增大而减小；○2m 、n 分别为何值时，函数图像经过原点；○3m 、n 满足什么条件时，函数图像不经过第二象限。

例2（1）直线y kx b =+，经过一、二、四象限，到直线y bx k =-的图象只能是（ ）（2）设b ＞a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在平面直角坐标系内，则有一组a 、b 的取值，使得下列四个图中的一个为正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（3）当ab >0，ac <0，直线0ax by c ++=不通过的象限是（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限例3、已知abc ≠0，且p acb bc a c b a =+=+=+，那么直线y=px+p 一定经过（ ）。

A ．第一、二象限 B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限ABC D例4(1)已知一次函数的图象经过不同的点A （a ，b ）和点B （b ，a ），问这个 函数图象可能经过哪几个象限？（2）如果一条直线l 经过不同的三点A （a ，b ），B （b ，a ）， C （a －b ，b －a ），那么，直线l 经过（ ）。

一次函数的内部原理及应用1. 什么是一次函数一次函数，也称为线性函数，是数学中的一种基本函数。

它的特点是函数表达式中只包含一个自变量，并且自变量的最高次数为1。

一次函数的一般形式为：y = kx + b其中，x为自变量，k为斜率，表示函数的变化速率，b为截距，表示函数与y轴的交点。

2. 一次函数的原理2.1 斜率斜率是一次函数的重要参数。

斜率k表示了函数图像在横轴方向上的变化速率。

斜率的计算公式为：k = Δy / Δx其中，Δy表示y轴上的变化量，Δx表示x轴上的变化量。

斜率可以表示函数图像的倾斜情况，如果斜率为正，则表示函数图像向上倾斜；如果斜率为负，则表示函数图像向下倾斜；如果斜率为零，则表示函数图像是水平的。

斜率还可以用来判断两点之间的关系，如果一个点的x坐标增加1，而对应的y坐标增加k，那么这两点就在同一条直线上。

2.2 截距截距b表示一次函数与y轴的交点。

截距的计算公式为：b = y - kx其中，x和y表示一次函数上的一个点的坐标。

截距可以用来确定函数图像在y轴上的位置。

3. 一次函数的应用一次函数在现实生活中有许多应用，下面列举几个常见的应用场景：3.1 距离与速度的关系在物理学中，一次函数可以用来描述物体的位移与时间的关系。

如果物体的速度是匀速的，那么位移和时间之间的关系可以用一次函数表示。

假设物体在时刻t=0的位置为x0，在时刻t=1的位置为x1，则位移Δx等于两个位置之间的距离差。

假设物体的速度是v，则有Δx = v * Δt。

因此，位移和时间之间的关系可以表示为：Δx = vt其中，Δx表示位移，v表示速度，t表示时间。

这个一次函数可以用来计算物体在某个时间点的位置。

3.2 成本与产量的关系在经济学中，一次函数可以用来描述成本与产量的关系。

假设某个公司的总成本是固定成本加上可变成本的和。

固定成本是不随产量的变化而变化的，而可变成本是随着产量变化的。

设固定成本为b，可变成本的单位产量成本为k，则总成本C与产量x的关系可以表示为：C = kx + b其中，C表示总成本，x表示产量。

深刻理解一次函数中k 与b 的含义我们知道，一次函数y=kx+b （其中k,b 为常数，且k ≠0）的图象是过两点(0,k)和(kb ,0)的一条直线.当k>0时，直线经过第一、三象限；当k<0时，直线经过第二、四象限.当b>0时，直线与纵轴的正半轴相交；当b<0时，直线与纵轴的负半轴相交；当b=0时，直线经过原点.并且，当k>0时，y 随x 的增大而增大；当k<0时，y 随x 的增大而减小.这些都是数学书上明确写出来的.在实际应用中，k 与b 的含义并非仅此而已.一、k 、b 的符号与直线的位置 对于正比例函数y=kxk 的符号 k>0 k<0 直线位置 第一、三象限第二、四象限对于一次函数y=kx+b k,b 符号k>0, b>0k>0, b<0k<0, b>0k<0, b<0直线位置第一、二、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、三、四象限例1.直线y= －2x+3不经过第几象限？解析：由k<0,b>0可知，此直线经过第一、二、四象限.故此直线不经过第三象限.例2.已知一次函数y=kx+b 的图象不经过第三象限.试判断k,b 的符号.解析：根据题意可知，直线y=kx+b 在平面直角坐标系中的位置可以分为以下两种情况：⑴如图1，直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，此时，k<0,b>0； ⑵如图2，直线y=kx+b 经过第二、四象限，此时，k<0,b=0. 综上所述，可知，k,b 的符号为：k<0,b ≥0.二、k 的大小与函数值的增减速度一次函数y=kx+b 中，k 越大，直线越陡峭，函数值增减速度越快；k 越小，直线越平缓，函数值增减速度越慢；k=0时，直线与横轴平行，函数值保持不变，此时，函数值没有增减变化. 例3.如图，请举出一个实际情境来进行描述它.解析：结合本题图象，可以考虑利用距离、时间、速度来对此进行描述.解：王爷爷早晨外出散步.他从家里出发以慢速匀速行走，到了报亭前，他看了一会儿报纸，然后以快速匀速回到家里.则王爷爷离家的距离s(m)与行走时间t(min)的函数关系 可以用来描述此图象.三、k 的值与实际应用问题在利用一次函数解决实际问题中，如果函数值逐渐增大，那么k>0；如果函数值逐渐减少，那么k<0；如果函数值保持不变，那么例3图t / mins / m ox y o xy o 图⑴ 图⑵例2图k=0；如果两个一次函数y 1=k 1x+b 1与y 2=k 2x+b 2的增减速度相同，那么21k k =.例4.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； 图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 解：（1）900；（2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． （3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ， 所以慢车的速度为90075(km /h)12=； 当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，（第28题）ABC DOy /km 90012 x /h4所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4=，所以快车的速度为150km/h ．（4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)⨯=，所以点C 的坐标为(6450)，．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得225900.k b =⎧⎨=-⎩， 所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-． 自变量x 的取值范围是46x ≤≤．（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ．把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =．此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ．。