一次函数K与b的意义

一次函数K与b的意义

尹敏华

一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-b/k,0)的一条直线.

一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的点满足函数关系式,满足函数关系式

的点都在直线上.

在一次函数y=kx+b(k≠0)中,

当k>0,b>0时,则图象过一,二,三象限.

当k>0,b<0时,则图象过一,三,四象限.

当k<0,b>0时,则图象过一,二,四象限.

当k<0,b<0时,则图象过二,三,四象限.

当k>0时,y随x的增大而增大.图像经过一、三象限.

当k<0时,y随x的增大而减小.图像经过二、四象限.

当b>0时,图象与y轴的交点在x轴的上方.

当b<0时,图象与y轴的交点在x轴的下方.

在x轴上的点,y=0,则kx+b=0,则x=-b/k.点的坐标为(-b/k,0).

在y轴上的点,x=0,则b=y.点的坐标为(0,b).

例：教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水，假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接水量都是相等的，两个放水管同时打开时，它们的流量相同，放水时先打开一个水管，过一会儿，

再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着，饮水机的存水量与放水时间

的函数关系如图所示：

（1）求出饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系式。

（2）如果打开第一个水管后2min时，恰好有4个同学接完水，则前22个同学接完水共需要几分钟？

（3）按（2）的放法，求出在课间10min内班级最多有多少个同学能及时接完水？

分析：先审清题意，用待定系数法求出两段解析式。再利用斜率k的几何意义，验证所求结果。

解：（1）设线段AB为：，把A（0，18），B（2，17）分别代入可得：

即

所以线段AB为：

。

设线段BC为：，把B（2，17），C（12，8）分别代入可得：

即

所以线段BC为：

。

注：在求线段AB时，由b的几何意义可知：b=18，验证所得结果。

（2）误解：一个水管2分钟可接满4个同学，则一个水管1分钟可接满2个同学；二个水管1分钟可接满4个同学，所以22个同学中，前4个同学用时2分

钟，后18个同学用时分钟，所以共需要分钟。

误解原因：根据第（1）问中所求结果可知，

则，

就是说，在单位时间内打开一个水管和打开两个水管时的出水量不是1：2，所以解答错误。

正解一：前4个同学共接水：

水，

则每人需水量为：，

所以22个同学共需要水量为：，

所以22个同学接完水后的存水量为：

，

则对于线段BC：，可令，则有：

，

即分钟。

正解二：利用斜率k的几何意义来求解，斜率k<0表示存水量在下降，其绝对值0.9表示存水量每分钟减少0.9L。所以22个同学中，前4个同学用时2分钟，

后18个同学用时0.25分钟，所以共用时分钟。

（3）令x=10，则存水量

，

则放水量为：，

所以人数为：人。

本题中：斜率k<0表示存水量在下降，其绝对值表示存水量每分钟减少了多少。

练习：如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定，水注满烧杯后，继续注水，直到注满水槽），水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是（）

分析：先审清题意，本题中的时间可分为三个段。第一段从注水开始到水注满烧杯结束，在这段时间内水槽的水面高度为零；第二段时间从水槽内有水开始到高度上升到烧杯的高度为止，在这段时间内水槽内水的高度迅速增加；第三段时间从水到烧杯高度开始到水槽内的水注满结束，在这段时间内水槽内的水的高度缓慢增加。所以在图象上表示为第一段时间内高度为零，可先排除C答案和D答案。再看A答案和B答案，由于第三段时间内水高上升的速度要比第二段时间内上升的缓慢，在图象上表示为第三部分要比第二部分平缓，所以应选择B答案。另外：若水先注入水槽中，水的高度h与时间t的关系如何？或在上述两种情况下，烧杯中水的高度h与时间t的关系大致如何？。

小结：从上面两个习题可以看出真正理解斜率k与b的几何意义是非常重要的，它有助于我们抓住问题的本质，在解决有关问题时能够快速的达到目的。