探究一次函数中k、b与图象的关系

第8讲 一次函数地图象与性质考点·方式·破译1．一次函数及图象：⑴形如y ＝kx ＋b （k ,b 为常数,且k ≠0）,则y 叫做x 地一次函数,当b ＝0,k ≠0时,y 叫做x 地正比例函数．⑵正比例函数y ＝kx （k ≠0）地图象是经过（0,0）,（1,k ）两点地直线,一次函数y ＝k x ＋b （k ≠0）是经过（0,b ），（－kb ,0）两点地直线．2．一次函数地性质：当k ＞0时,y 随自变量x 地增大而增大。

当k ＜0时,y 随x 地增大而减小．3．函数y ＝kx ＋b 中地系数符号,决定图象地大约位置地增减性．经典·考题·赏析【例１】（山东）函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中地图象可能是（）【解法指导】A 中①a ＞0,b ＞0,②b ＜0,a ＜0矛盾．B 中①a ＜0,b ＜0,矛盾．C 中①a ＞0,b ＞0②b ＞0,a ＝0矛盾．D 中①a ＞0,b ＜0②b ＜0,a ＞0,故选D ．【变式题组】01．（河北）如图所示地计算程序中,y 与x 之间地函数关系所对应地图象应为（）02．（安徽）已知函数y ＝kx ＋b 地图象如左图,则y ＝2kx ＋b 地图象可能是（）03．下面图象中,表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m ，n 为常数,则mn ≠0）地图象是（）【例２】（绍兴）如图,一次函数y ＝x ＋5地图象经过点P (a ,b )和Q （c ,d ）则a （c －d ）－b （c －d ）地值为_______．【解法指导】因为点P (a ,b ),Q （c ,d ）在一次函数图象上,∴b ＝a ＋5,d ＝c ＋5∴a －b ＝－5,c －d ＝－5,a （c －d ）－b （c －d ）＝（c －d ）（a －b ）＝（－5）×（－5）＝25【变式题组】01．如图一款直线l 经过不同三点A （a ,b ）,B （b ,a ）C （a －b ,b －a ）则直线l 经过（）A ．第二，四象限B ．第一，三象限C ．第二，三，四象限D ．第一，三，四象限02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A (2,3),B （5,4）C (－4,1)依次连接这三点,则（）A ．构成等边三角形B ．构成直角三角形C ．构成锐角三角形D ．三点在同一款直线上03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b 地图象经过点（0,1）,它与坐标轴围成地图是等腰直角三角形,则a 地值为_______．【例３】如图,已知正方形ABCD 地顶点坐标为A (1,1)，B (3,1)，C (3,3)，D (1,3),直线y ＝2x ＋b 交AB 于点E ,交CD 于点F ．直线与y 轴地交点为（0,b ）,则b 地变化范围是_____.【解法指导】直线y ＝2x ＋b 是平行于直线y ＝2x 地直线,当直线经过B 点时,b 最小,当x ＝3时,y ＝1∴1＝2×3＋b , b ＝－5当直线经过D 点时,b 最大,所以当x ＝1时,y ＝3∴3＝2×1＋b , b ＝1∴－5≤b ≤1【变式题组】01．线段y ＝－21x ＋a （1≤b ≤3）,当a 地值由－1增加到2时,该线段运动所经过地平面区域地面积为（）A ．6B ．8C ．9D ．1002．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P （－1,1）,Q (2,2),函数y ＝kx －1地图象与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ）,则实数k 地取值范围是_________.03．（济南）阅读下面地材料：在平面几何中,我们学过两款直线平行地定义．下面就两个一次函数地图象所确定地两款直线,给出它们平行地定义：设一次函数y ＝k 1x ＋b 1（k 1≠0）地图象为直线l 1,一次函数y ＝k 2x ＋b 2（k 2≠0）地图象为直线l 2,若k 1＝k 2,且b 1＝b 2,我们就称直线l 1与直线l 2平行．解答下面地问题：⑴求过点P （1,4）且与已知直线y ＝－2x －1平行地直线l 地函数表达式,并画出直线l 地图象。

《一次函数的图象和性质》教学设计一、回顾旧知，提出问题问题1：正比例函数的图象和性质是什么？学生回答：一般地，正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx.当k＞0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升, y随x的增大而增大;当k＜0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降, y随x的增大而减小.问题2：画函数图象的步骤是什么？学生回答：列表、描点、连线。

二、合作交流，探究新知例1. 画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.解：列表小组讨论，填下面的空：问题2：请大家在同一个直角坐标系中再画出一次函数y=-6x-5的图象，然后小组讨论填空。

一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到.（当b ＞0时，向 上 平移；当b ＜0时，向 下 平移）。

例2、用两点法画一次函数图像实践：用两点法在同一坐标系中画出函数y=2x －1 与y=－0.5x+1的图象．问题3：一次函数的图象是直线，故选择其上合适两点即可.一般选择（ ，0），和（0，b ）.问题4：探究:一次函数的性质当k>0时，直线y=kx+b （k,b 是常数，k ≠0）从左向右 上升 ，y 随x 的增大而 增大 ； 当k<0时，直线y=kx+b （k,b 是常数，k ≠0)从左向右 下降 ，y 随x 的增大而 减小 。

问题5：1. 在同一坐标系中作出下列函数的图象k b思考：k,b 的值跟图像有什么关系？ 2.在同一坐标系中作出下列函数的图象归纳：通过作以上一次函数的图像我们发现y=kx+b 中，k,b 的取值跟图像的关系如下：x3111-11- x三、课堂练习 练习1.下列一次函数中，y 的值随x 的增大而减小的有 （2）（4） （1） y=10x+9 （2） y=-0.3x+2 （3） (4) 练习2.已知一次函数y=(1－2k)x+k 的函数值y 随x 的增大而增大，且图象经过一、二、三象限，则k 的取值范围是 0<x<1/2. .练习3. 如果一次函数y=kx －3k+6的图象经过原点，那么k 的值为___2______。

八年级数学下册解法技巧思维培优专题14 一次函数图象与k、b的关系典例题型一单一一次函数图象判定1．（2019秋•陈仓区期末）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．【点睛】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论．【详解】解：在y＝﹣2x﹣1中，∵﹣2＜0，﹣1＜0，∴此函数的图象经过二、三、四象限，故选：D．2．（2019秋•沈河区期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣6（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．【点睛】一次函数y＝kx+b中，k的符号决定了直线的方向，b的符号决定了直线与y轴的交点位置，据此判断即可．【详解】解：∵一次函数y＝kx﹣6中，k＜0∴直线从左往右下降又∵常数项﹣6＜0∴直线与y轴交于负半轴∴直线经过第二、三、四象限故选：B．3．（2020•甘肃模拟）若实数k、b满足k+b＝0，且k＞b，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．【点睛】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【详解】解：因为实数k、b满足k+b＝0，且k＞b，所以k＞0，b＜0，所以它的图象经过一、三、四象限，故选：A．4．（2019秋•宿松县期末）关于x的一次函数y＝kx+k的图象可能是（）A．B．C．D．【点睛】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．【详解】解：当k＞0时，函数图象经过一、二、三象限，故B正确；当k＜0时，函数图象经过二、三、四象限．故选：B．5．（2019秋•竞秀区期末）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（）A．B．C．D．【点睛】先根据程序框图列出正确的函数关系式，然后再根据函数关系式来判断其图象是哪一个．【详解】解：根据程序框图可得y＝﹣x×（﹣3）﹣6＝3x﹣6，化简，得y＝3x﹣6，y＝3x﹣6的图象与y轴的交点为（0，﹣6），与x轴的交点为（2，0）．故选：D．6．（2020•长沙模拟）若式子√k−1+（k﹣1）0有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）A．B．C．D．【点睛】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0＝1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可．【详解】解：∵式子√k−1+（k﹣1）0有意义，∴k﹣1≥0，且k﹣1≠0，解得k＞1，∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，∴一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象如图所示：故选：B．7．（2020•包头一模）若代数式在实数范围内有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+2的图象可能是（）√2−kA．B．C．D．【点睛】先求出k的取值范围，再判断出2﹣k及k﹣2的符号，进而可得出结论．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，√2−k∴2﹣k≥0，且k≠2，解得k＜2，∴k﹣2＜0，2﹣k＞0，∴一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+2的图象过一、二、四象限．故选：C．8．（2019秋•裕安区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示y＜0的取值范围是（）A．x＜3B．x＞0C．x＜2D．x＞2【点睛】首先根据函数图象可得出y＝kx+b与x轴交于点（2，0），再根据y＜0时，图象在x轴下方，因此x的取值范围是x＞2．【详解】解：根据函数图象可得出y＝kx+b与x轴交于点（2，0），所以当y＜0时，x的取值范围是x＞2．故选：D．9．（2020•于洪区一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝1﹣x的图象是（）A．B．C．D．【点睛】观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可．【详解】解：一次函数y＝﹣x+1，其中k＝﹣1，b＝1，其图象为：，故选：A．典例题型二两个一次函数图象判定1．（2019秋•高邮市期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y=x2−k的图象大致是（）A．B．C．D．【点睛】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．【详解】解：A、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y=x2−k的图象，得k＞0，k值相互矛盾，故A错误；B、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y=x2−k的图象，得k＜0，故B正确；C、由函数y＝kx的图象，得k＞0，由y=x2−k的图象，得k＜0，k值相矛盾，故C错误；D、由函数y＝kx的图象的图象经过原点，故D错误；故选：B．2．（2020•拱墅区校级一模）直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝bx+k在同一坐标系中的大致位置是（）A．B．C．D．【点睛】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．【详解】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＜0，b、k的取值矛盾，故本选项错误；B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＞0，b的取值相矛盾，故本选项错误；C、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，k的取值相一致，故本选项正确；D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，k的取值相矛盾，故本选项错误；故选：C．3．（2019秋•邛崃市期末）一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．【点睛】由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．【详解】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，一次函数y＝mx+n的图象一、二、三象限，正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，一次函数y＝mx+n的图象一、三、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，C选项符合；（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，一次函数y＝mx+n的图象二、三、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，一次函数y＝mx+n的图象一、二、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，无符合项．故选：C．4．（2020•广西模拟）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①ab＜0；②函数y＝ax+d不经过第一象限；③函数y＝cx+b中，y随x的增大而增大；④3a+b＝3c+d．其中正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【点睛】仔细观察图象：①a的正负看函数y1＝ax+b图象从左向右成何趋势，b的正负看函数y1＝ax+b 图象与y轴交点即可；②观察函数图象可以直接得到答案；③观察函数图象可以直接得到答案；④根据两直线交点可以得到答案．【详解】解：由图象可得：a＜0，b＞0，c＞0，d＜0，∴ab＜0，故①正确；函数y＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②正确，函数y＝cx+b中，y随x的增大而增大，故③正确；∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，∴3a+b＝3c+d，故④正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：A．5．（2019秋•南山区期末）两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A．B．C．D．【点睛】根据一次函数图象的性质加以分析即可，一次项系数决定直线的走向，常数项决定直线与y轴的交点位置．【详解】解：根据一次函数的图象与性质分析如下：A．y1＝ax﹣b：a＞0，b＜0；y2＝bx﹣a：a＜0，b＜0．A错误；B．y1＝ax﹣b：a＞0，b＜0；y2＝bx﹣a：a＞0，b＜0．B正确；C．y1＝ax﹣b：a＞0，b＞0；y2＝bx﹣a：a＜0，b＜0．C错误；D．y1＝ax﹣b：a＞0，b＞0；y2＝bx﹣a：a＞0，b＜0．D错误；故选：B．6．（2019秋•南山区校级期中）把两个一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣a的图象在同一坐标系中画出，则可能是下面图象中的（）A．B．C．D．【点睛】分a＜0和a＞0两种情况判断两条直线经过的象限即可判断．【详解】解：当a＜0时，一次函数y＝ax+2经过一、二、四象限，一次函数y＝2x﹣a经过一、二、三象限；当a＞0时，一次函数y＝ax+2经过一、二、三象限，一次函数y＝2x﹣a经过一、三、四象限．故选：C．7．（2019秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d 【点睛】根据一次函数图象的性质分析．【详解】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且a＞b，c＞d，故选：B．8．（2019秋•达川区期末）函数y1＝|x|，y2=13x+43的图象如图所示，当y1＜y2时，x的范围是﹣1＜x＜2．【点睛】结合函数的图象确定自变量的取值范围即可．【详解】解：∵y1＜y2，∴y1＝|x|的图象位于y2=13x+43的图象下方，从函数图象可以得：当y1＜y2时，x的范围是﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜2．。

一次函数的定义一、引入共同特征：函数的关系式都是用含自变量的一次整式 二、归纳1、一次函数的定义：函数的关系式都是用含自变量的一次整式表示的函数。

式子表示：y ＝kx ＋b (k,b 为常数，k ≠0)条件：○1含自变量 ○2自变量的次数为1 ○3整式 特别地，当b=0,一次函数y=kx(k ≠0)叫正比例函数 注：（1）对于y ＝kx ＋b当k ≠0,b 为任意数时是一次函数 当k ≠0,且b=0时是正比例函数 (2)正比例函数是特殊的一次函数 一次函数不一定是正比例函数(3)若y 是x 的一次函数关系，则函数关系一定可表示为y ＝kx ＋b (k ≠0)形式,反过来，能化为y ＝kx ＋b (k ≠0)形式的函数一定是一次函数若y 是x 的正比例函数关系，则函数关系一定可表示为y ＝kx (k ≠0)形式,反过来，能化为y ＝kx (k ≠0)形式的函数一定是正比例函数 三、典例1、函数：○1y=2x ○2y=4x=3 ○3y=12○4y=3x +1 ○5y=3x+1 ○6y=ax ○7xy=3 ○82x+3y-1=0 ○9y=12x 2+1 ○10y=x2 ○11 y=x(x-4)-x 2 ○12 y=-5x 2_ 一次函数是__________ ___ 正比例函数是___________2、 关于x 的函数y=(5m-3)x 2-m+(m+n) (1) 当m 、n 为何值时，它是一次函数 (2) 当m 、n 为何值时，它是正比例函数。

3、 关于x 的函数3)3(3+--=-n xm y m(1) 当m 、n 为何值时，它是一次函数(2) 当m 、n 为何值时，它是正比例函数。

4、 已知y 与x-3成正比例，当x=4时，y=3(1) 写出y 与x 的函数关系式 (2) Y 与x 之间是什么函数关系。

(3) 当x=2.5时，求y 的值。

小结：1. y 与x 成正比例，则函数关系可设为y=kx(k ≠0)2. 成正比例不一定是正比例函数，但正比例函数一定成正比例。

教学 环节教师活动出示活动内容：学生活动 设计意图课题探究一次函数中的 k 、b 对其图象的影响授课时间2 0 1 7 . 0 4 . 1 9y=kx+b在同一坐标系里画出下列函 数的图象： 知 识 学生通过亲历“作图→观察→思考”的探究过程，联想、发现一次函数 画图→观察→议论 鼓励学生通过亲历 “作图→观 教 目 标 学 能 力目 目 标 标 德 育目 标 第一组： k>0，b>0 第二组： k>0，b<0→猜测→探究出结果 察→思考”的探究过程，积极 （如果学生有更加丰 主动地发现一次函数y=kx+b 图），并解决有关问题，培养学生的数形结合能力，发展形象思维。

探究 （适时引导学生的思考方向） 富的想象或是教师预 中的 k 、b 对其图象的影响 . 不 2. 充分加强图象识别与应用能力的培养，避免习惯的“代数化 ”倾向。

一次 出示活动内容：料之外的结论，只要 以老师的讲演代替学生的探 有道理，就应当给予 索，以培养学生通过亲自实践 函数 在同一坐标系里画出下列函 中的 数的图象： 给予学生足够的活动时间，不以老师的讲演代替学生的探索。

（培养学生通过亲自实践独立分析、解决问题的能力 .）肯定和鼓励 .）独立分析、解决问题的能力k 、b 第一组： k<0，b>0 对图 第二组： k<0，b<0象的 规律总结：（师生共同完成） 教 学 重 点 学生对图形的理解 .教 学 难 点 学生对图形的理解水平和解决过程中的表述水平。

影响1.根据直线 y=kx+b 在坐标系中的大致位置， 判断 k 、b 的正负情况；幻灯片“问题情境→建立数学模型→概念、规律、应用与拓展 ”2. 根据解析式 y=kx+b 中 k 、b 的正负，判断直线在对所探究的问题做出结论！坐标系中的大致位置 .教 学 模 式教 具课型探究活动练习片 3. （可能会有意外的收获：如对│ k │的分析、对平行的分析、增减性的分析等等 . ）教学 环节教师活动 学生活动 设计意图有针对性地做几道小练习，使学生对“ k 、b 是怎样影 巩固练习对规律（主要是前两条）的认 响一次函数的图象的”规律加以理解并知道该如何解 前几节课，我们用描点法绘出了一次函数的图象，通过观识加以巩固和理解 .决具体的问题 .察所绘图象，预感到解析式 y=kx+b 中的 k 、b 似乎控制了直线 开门见山 点明课题导言对于抛出的问题， 必须亲历探 究过程并做出合理的解释！ 养成科学的学习态度y=kx+b 在坐标系中的位置。

一次函数的图像和性质教学反思篇一：一次函数图像教学反思一次函数图像教学反思一次函数图像>教学反思（一）教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图像的对应关系应让学生动手去实践，去发现，对一次函数的图象是一条直线应让学生自己得出。

在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一条直线”，很快做出一次函数的图像。

在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力。

根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整.如第一环节：探究新知，固然可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求，甚至部分学生形成一定的认知障碍，因此该环节也可以直接开门见山，直切主题，如提出问题：一次函数的代数形式是y=kx+b，那么，一个一次函数对应的图形具有什么特征呢？今天我们就研究一次函数对应的图形特征—本节课是学生首次接触利用数形结合的思想研究一次函数图象和性质，对他们而言观察对象、探索思路、研究方法都是陌生的，因而在教学过程中我通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，引导学生观察一次函数的图像，探讨一次函数的简单性质，逐步加深学生对一次函数及性质的认识。

本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题。

本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础。

由于这节课的知识容量较大，而且内容较难，我们所用的学案就能很好地帮助学生消化理解该知识，。

在教学过程中，让学生亲自动手、动脑画图的方式，通过教师的引导，学生的交流、归纳等环节较成功地完成了教学目标，收到了较好的效果。

但还存在着不尽人意的地方，由于课的内容容量较大，对于有些知识点，如“随着x值的增大，y 的值分别如何化？”，本应给学生更多的时间练习、讨论，以帮助理解消化该知识，但由于时间紧，学生的这一活动开展的不充分。

深刻理解一次函数中k 与b 的含义我们知道，一次函数y=kx+b （其中k,b 为常数，且k ≠0）的图象是过两点(0,k)和(kb ,0)的一条直线.当k>0时，直线经过第一、三象限；当k<0时，直线经过第二、四象限.当b>0时，直线与纵轴的正半轴相交；当b<0时，直线与纵轴的负半轴相交；当b=0时，直线经过原点.并且，当k>0时，y 随x 的增大而增大；当k<0时，y 随x 的增大而减小.这些都是数学书上明确写出来的.在实际应用中，k 与b 的含义并非仅此而已.一、k 、b 的符号与直线的位置 对于正比例函数y=kxk 的符号 k>0 k<0 直线位置 第一、三象限第二、四象限对于一次函数y=kx+b k,b 符号k>0, b>0k>0, b<0k<0, b>0k<0, b<0直线位置第一、二、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、三、四象限例1.直线y= －2x+3不经过第几象限？解析：由k<0,b>0可知，此直线经过第一、二、四象限.故此直线不经过第三象限.例2.已知一次函数y=kx+b 的图象不经过第三象限.试判断k,b 的符号.解析：根据题意可知，直线y=kx+b 在平面直角坐标系中的位置可以分为以下两种情况：⑴如图1，直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，此时，k<0,b>0； ⑵如图2，直线y=kx+b 经过第二、四象限，此时，k<0,b=0. 综上所述，可知，k,b 的符号为：k<0,b ≥0.二、k 的大小与函数值的增减速度一次函数y=kx+b 中，k 越大，直线越陡峭，函数值增减速度越快；k 越小，直线越平缓，函数值增减速度越慢；k=0时，直线与横轴平行，函数值保持不变，此时，函数值没有增减变化. 例3.如图，请举出一个实际情境来进行描述它.解析：结合本题图象，可以考虑利用距离、时间、速度来对此进行描述.解：王爷爷早晨外出散步.他从家里出发以慢速匀速行走，到了报亭前，他看了一会儿报纸，然后以快速匀速回到家里.则王爷爷离家的距离s(m)与行走时间t(min)的函数关系 可以用来描述此图象.三、k 的值与实际应用问题在利用一次函数解决实际问题中，如果函数值逐渐增大，那么k>0；如果函数值逐渐减少，那么k<0；如果函数值保持不变，那么例3图t / mins / m ox y o xy o 图⑴ 图⑵例2图k=0；如果两个一次函数y 1=k 1x+b 1与y 2=k 2x+b 2的增减速度相同，那么21k k =.例4.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； 图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 解：（1）900；（2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． （3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ， 所以慢车的速度为90075(km /h)12=； 当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，（第28题）ABC DOy /km 90012 x /h4所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4=，所以快车的速度为150km/h ．（4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)⨯=，所以点C 的坐标为(6450)，．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得225900.k b =⎧⎨=-⎩， 所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-． 自变量x 的取值范围是46x ≤≤．（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ．把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =．此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ．。