八年级数学一次函数与几何综合(k,b的几何意义与特殊角)(人教版)(专题)(含答案)

初二函数专题4--一次函数k 、b 的几何意义1、一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是 ； 当0k >，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k >，0b <时，直线y kx b =+过 象限； 当0k <，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k <，0b <时，直线y kx b =+过 象限. (0)y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴的交点分别为 、 ；2、⑴如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么( ) A ．0k >，0b > B ．0k >，0b < C ．0k <，0b > D ．0k <，0b <⑵已知一次函数y kx b =+的图象经过(1x ，1y )和(2x ，2y )两点，且12x x <,12y y <，则( ) A ．0k > B ．0k <，0b > C ．0k <，0b < D ．0k <⑶已知一次函数y kx k =+，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限⑷如图，一次函数1y ax a=+的图象大致是( )A B C D⑸若0ab >，0bc <，则a ay x b c=--经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限 D3、已知一次函数(5)1y a x a =-+-的图象如图所示，则a4、若一次函数22222m m y x m --=+-的图象经过第一、二、三象限，求m 的值．5、若一次函数2(1)12ky k x =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是 ． 6、如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A.00k b >>， B.00k b ><， C.00k b <>， D.00k b <<，7、若11,A x y （），22(,)B x y 为一次函数，31y x =-的图象上的两个不同点，且120x x ≠，设111y M x +=，221y N x +=，则（ ）A. M N >B. M N <C. M N =D. 以上都不对8、已知点()()1242y y -，，，都在直线122y x =-+上，则12y y ，大小关系是（ ） A ．12y y > B. 12y y = C ．12y y < D ．不能比较 9、一次函数的图象过点()1,0，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式 ．10、已知一次函数的图象过点()0,3与()2,1，则这个一次函数y 随x 的增大而 ．11、⑴一次函数23y x =-的图象可以看成由正比例函数2y x =的图象向 (填“上”和“下”)平移 个单位得到的．⑴直线2(2)y x =-可以由直线2y x =向 平移 个单位得到的．⑶直线22y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是 .12、把函数2y x =的图像向右平行移动3个单位，求： ⑴ 平移后得到的直线解析式；⑵ 平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标．。

专题09 一次函数中k 、b 的意义[专题解读]一次函数y=kx+b 中的系数k 、b 的正负性,决定图像的大致位置、y 随x 的变化情况、与坐标轴的交点坐标以及直线的倾斜程度，是研究函数图像及性质的重要依据.熟悉并掌握k 、b 的意义，可以帮助我们更深刻地理解一次函数.思维索引例1.已知关于 x 的一次函数y =(6+3m )x +(n -4). (1)当m 、n 满足什么条件时，函数图象经过原点;(2)当m 、n 满足什么条件时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方;(3)当m 、n 满足什么条件时，y 随着x 的增大而减小，且不经过第三象限; (4)当m 、n 满足什么条件时，函数的图象平行于直线y =3x -3;(5)若n =2m ，则不论m 取何实数这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标.答案：(1) m≠-2, n=4; (2) m≠-2, n<4; (3) m<-2，n≥4; (4) m=-1, n≠1; (5)( 32,-8)例2.如图，直线y =(m +1)x +2(m -1) (m 为常数)与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B,△ABC 是等边三角形(其中A ,B ,C 为逆时针标注的三个点). (1)当x =-2时，求y 的值;(2)△ABC 中的AB 边不可能在第几象限?并说明理由.答案：(1) y=-4; (2) AB 不可能在第一象限素养提升1.两条直线y=ax+b 与y= bx+a 在同一直角坐标系中的图象位置可能是()A B C D2.在平面直角坐标系xOy 中，A (1, 1)，B (2，2)，一次函数y = -2x +b 与线段AB 有公共点，则b 的取值范围是( )A.3≤b ≤6B. 3≤b ≤4C. 1≤b ≤2D. -2≤b ≤-1答案:A3.已知一次函数y=ax-x-a +1 (a 为常数)，则其函数图象一定过象限( ) A.一、二 B.二、三 C.三、四 D.一、四 答案:D4.已知直线y =(m -3)x -3m +1不经过第一象限，则m 的取值范围是( ) A. m ≥31B. m ≤31 C. 31<m <3 D. 31≤m ≤3 答案:D5.一次函数y=kx +4的图象与x 轴正半轴、y 轴分别相交于点A ，B ,将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB ，若BC 所在直线解析式y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是( ) A. k <0 B. k <-1 C. -1<k <0 D. -1≤k <0 答案:B6.一次函数y =(m 2-3)x +(1-m )和y =(m +2)x +(m 2+m -5)的图象分别与y 轴交于点P 和Q ,这两点关于x 轴对称，则m 的值 是 答案:27.已知关于x 的一次函数y=mx +2m -7 (m≠0)在-1≤x ≤5上的函数值总是为正数，则m 的取值范围是 答案: m>78.已知一次函数y=kx+b ，当-3≤x ≤1 时，对应y 的值为1≤y ≤9，则k+b 的值为 答案: 9或19.已知一次函数y 1=kx +2 (k ≠0)和y 2=x -3. 当x <1时，y 1>y 2, 则常数k 的取值范围为 答案: -4≤k <0或0<k≤110. A (0, 1)，M (3，2)，动点P 从点A 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线l : y=-x+b 也随之移动，设移动时间为t 秒，当t =______时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上.答案: t=1或211.已知一次函数y＝（4m＋1）x－（m＋1）.（1）m为何值时，y随x的增大而增大？（2）m为何值时，图象经过第二、三、四象限？（3）m为何值时，与直线y＝－3x＋2平行？答案：（1）m＞－14；（2）－1＜m＜－14；（3）m＝－1.12.若两个一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0），y＝k2x＋b2（k2≠0），则称函数y＝（k1＋k2）x＋b1b2为这两个函数的组合函数.（1）一次函数y＝3x＋2与y＝－4x＋3的组合函数为 .（2）若一次函数y＝ax－2，y＝－x＋b的组合函数为y＝3x＋2，求a，b的值；（3）若一次函数y＝－x＋b与y＝kx－3的组合函数的图象不经过第三象限，求k、b的取值范围.答案：（1）y＝－x＋6；（2）a＝4，b＝－1；（3）k＜1，b≤0.13.已知关于x的一次函数为y＝（m－2）x＋6.（1）若函数y随x增大而增大，求m的取值范围；（2）当一2≤x≤4时，y≤10，求m的取值范围.答案：（1）m＞2；（2）2＜m≤3或0≤m＜2.14.已知关于x的一次函数y＝mx＋4m－2.（1）不论m取何实数这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标；（2）求原点到一次函数图象的最大值.答案：（1）（－4，－2）；（2）.15.在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD（A，B，C，D按照逆时针顺序排列），直线l:y＝kx＋3.（1）当直线l经过D点时，求k的值；（2）当直线l与正方形有两个交点时，直接写出k的取值范围.答案：（1）k＝1；（2）k＞－1；16.如图，已知一次函数y＝kx＋3（k＜0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，且0B＝20A，点P（a，b）是在该函数的图象上的一点.（1）求k的值；（2）若点P到x轴、y轴的距离之和等于2，求点P的坐标；（3）设a＝1－m，如果在两个实数a与b之间（不包括a和b）有且只有一个整数，求实数m的取值范围.答案：（1）k＝－2；（2）P（1，1）或（53,－13）：（3）－12≤m≤12，且m≠0.。

人教版数学八年级下册19.2《一次函数图象与性质》教案一. 教材分析《一次函数图象与性质》是初中数学的重要内容，通过本节课的学习，使学生能够理解一次函数的图象和性质，能够运用一次函数解决实际问题。

本节课的内容在教材中起到承上启下的作用，为后续学习二次函数、反比例函数等函数内容奠定基础。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的定义，对函数有了初步的认识。

但学生在理解一次函数的图象和性质方面还存在一定的困难，需要通过实例分析，引导学生深入理解一次函数的图象和性质。

三. 教学目标1.了解一次函数的图象特征，能够描述一次函数图象的形状和位置。

2.理解一次函数的性质，能够解释一次函数图象的变换。

3.能够运用一次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.一次函数的图象特征和性质的理解。

2.一次函数图象的实际应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作一次函数图象和性质的相关课件，便于学生直观理解。

2.实例材料：准备一些实际问题，用于引导学生运用一次函数解决实际问题。

3.学生活动材料：准备一些练习题，用于学生在课堂上进行练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一次函数的定义，引导学生回顾一次函数的基本概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）利用课件展示一次函数的图象，引导学生观察图象的形状和位置，总结一次函数图象的特征。

3.操练（15分钟）通过实例分析，让学生动手操作，改变一次函数的斜率和截距，观察图象的变化，引导学生理解一次函数的性质。

4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结一次函数图象和性质的关系，每个小组派代表进行汇报，教师点评并总结。

5.拓展（10分钟）让学生运用一次函数解决实际问题，如线性规划、成本计算等，提高学生的数学应用能力。

19.2 突破专题一次函数与几何图形的面积-2022-2023学年八年级下册初二数学(人教版)引言一次函数是初中数学中的重要内容之一，也是学习代数的基础。

我们已经学过了一次函数的概念、性质和作图方法。

在本节课中，我们将学习如何运用一次函数的知识解决几何图形的面积问题。

一次函数的概念回顾一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数，a称为斜率，b称为截距。

一次函数的图像是一条直线。

我们已经学习了通过斜率和截距可以唯一确定一条直线，以及如何根据斜率和截距确定一次函数的解析式。

线段的长度在学习一次函数的基础上，我们可以将一次函数应用于几何图形的面积问题。

首先，我们来回顾一下线段的长度计算方法。

给定平面上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用勾股定理求出AB的长度。

设AB的长度为d，根据勾股定理，我们有：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)一次函数与矩形的面积矩形是一种简单的几何图形，它的面积可以用一次函数表示。

假设一条边与x轴平行，长度为a，另一条边与y轴平行，长度为b。

矩形的面积S可以表示为：S = a * b现在考虑一种特殊情况，假设矩形的一条边与x轴重合，长度为x，另一条边与一次函数y=ax+b相切，长度为y。

根据之前的知识，这条边的长度可以表示为：y = ax + b由于矩形的另一条边与y轴平行，长度为b，因此矩形的面积可以表示为：S = x * b将y=ax+b代入上式，得到：S = x * (y - ax - b)展开化简后得到：S = -ax^2 + (b-y)x这个式子描述了一条边与x轴重合的矩形的面积，其中a和b是一次函数y=ax+b的斜率和截距，x和y是矩形的边长。

实例分析现在我们通过一个实例来进一步研究一次函数与几何图形的面积的关系。

问题：给定一次函数y=2x+1，求与函数y=2x+1以及y轴、x轴所围成的矩形的面积。

解答：根据之前的分析，我们已经知道，面积S可以表示为：S = -ax^2 + (b-y)x将题目中给定的一次函数y=2x+1的斜率和截距代入上式，得到：S = -2x^2 + (1-(2x+1))x展开化简后得到：S = -2x^2 + (1-2x)x继续化简得到：S = -2x^2 + x这个式子描述了与函数y=2x+1以及y轴、x轴所围成的矩形的面积。

专题09 一次函数与几何图形综合的七种考法类型一、面积问题例．如图，直线AB 的表达式为364y x =-+，交x 轴，y 轴分别与B ，A 两点，点D 坐标为()4,0-点C 在线段AB 上，CD 交y 轴于点E ．(1)求点A ，B 的坐标．(2)若CD CB =，求点C 的坐标．(3)若ACE △与DOE V 的面积相等，在直线AB 上有点P ，满足DOC △与DPC △的面积相等，求点P 坐标．∵CD CB =，∴DF BF =，∵点D 坐标为()4,0-，点B 的坐标为(∴12BD =，8OB =，∴6BF =，∴2OF =，∵DOC △与DPC △的面积相等，∴点O 和点P 到距离相等，此时OP ∥∴直线OP 的解析式为35y x =，联立得：36435y x y xì=-+ïïíï=ïî，解得：x y ì=ïïíï=ïî【变式训练1】如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．(1)填空：k =________；b =________；m =________；(2)在x 轴上是否存在一点E ，使BCE V 的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若动点P 在射线DC 上从点D 开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP ，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP △和ADP △的面积比为1:2？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）∵点P 在射线DC 上从点∴(2,0)D -，∵(2,2)C ，∴22(22)225CD =++=，∵点P 的运动时间为t 秒．②点P 在线段DC 的延长线上，∵ACP △和ADP △的面积比为1:∴12CP DP =，∴22545DP =´=，综上：存在t 的值，使ACP △和【变式训练2】在平面直角坐标系中，O 为原点，点()4,0A ，()2,0B -，()3,2C -，点D 是y 轴正半轴上的动点，连接CD 交x 轴于点E ．(1)如图①，若点D 的坐标为()0,2，求ACD V 的面积；(2)如图②，若12ABD ABC S S =V V ，求点D 的坐标．(3)如图③，若BDE ACE S S =△△，请直接写出点D 的坐标．【变式训练3】如图，平面直角坐标系中，直线AB ：13y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．过点()1,0E 且垂直于x 轴的直线DE 交AB 于点D ，P 是直线DE 上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式和点B 的坐标；(2)求ABP V 的面积（用含n 的代数式表示）；(3)当ABP V 的面积为2时，以PB 为边在第一象限作等腰直角三角形BPC ，求出点C 的坐标．，则90PEB BP CGB Ð=Ð=Ð=°，PB BC =，∴90PBE BPE Ð+Ð=°，90BPE CPG Ð+Ð=°，∴BPE CPG Ð=Ð，∴()AAS BEP PGC ≌V V ，∴2BE PG ==，2PE CG ==，∴点()3,4C ；②以PB 为底时，如图，过点C 作CG PE ^于点G ，作CH x ^轴于点H ，则90PGC CGE CHB PEB PCB Ð=Ð=Ð=°=Ð=Ð，CP CB =，∴90GCH PCB Ð=°=Ð，∴PCG BCH Ð=Ð，∴∴()AAS BCH PCG ≌V V ，∴BH PG =，CH CG =，∴BE BH PE PG +=-，即22BH BH +=-，∴0BH PG ==，∴点()3,2C ；综上，符合题意的点C 坐标为()5,2或()3,4或()3,2．类型二、最值问题例．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+¹的图像经过()4,0A 、()0,4B 两点．(1)k =______，b =______．(2)已知()1,0M -、()3,0N ，①在直线AB 上找一点P ，使PM PN =．用无刻度直尺和圆规作出点P （不写画法，保留作图痕迹）；②点P 的坐标为______；③点Q 在y 轴上，那么PQ NQ +的最小值为______．【答案】(1)1-，4；(2)①见解析；②()1,3；③5【详解】（1）解：将()4,0A 、()0,4B 代入()0y kx b k =+¹中，得：044k b b =+ìí=î，解得；14k b =-ìí=î，故答案为：1-，4；（2）①如图，点P 即为所求；【变式训练1】在平面直角坐标系中，已知直线l经过1,32Aæöç÷èø和()3,2B-两点，且与x轴，y轴分别相交于C，D两点．(1)求直线l的表达式；V的面积等于2时，求点E的坐标；(2)若点E在直线AB上，当ODE-的值最小，则点P的坐标为______；(3)①在x轴上找一点P，使得PA PB-的值最大，则点Q的坐标为______．②在x轴上找一点Q，使得QA QB【变式训练2】如图，一次函数2y x =+的图象分别与x 轴和y 轴交于C ，A 两点，且与正比例函数y kx=的图象交于点()1,B m -．(1)求正比例函数的表达式；(2)点D 是一次函数图象上的一点，且OCD V 的面积是4，求点D 的坐标；(3)点P 是y 轴上一点，当BP CP +的值最小时，若存在，点P 的坐标是______．取点C 关于y 轴的对称点C ¢，则PC PC =CP BP C P BP C B ¢¢\+=+³，即点P 位于C B ¢与x 轴的交点时，BP +∵点(2,0)C - ，【变式训练3】如图，在平面直角坐标系内，()3,4A -，()3,2B ，点C 在x 轴上，AD x ^轴，垂足为D ，BE x ⊥轴，垂足为E ，线段AB 交y 轴于点F ．若AC BC =，ACD CBE Ð=Ð．(1)求点C 的坐标；(2)如果经过点C 的直线y kx b =+与线段BF 相交，求k 的取值范围；(3)若点P 是y 轴上的一个动点，当PA PC -取得最大值时，求BP 的长．类型三、等腰三角形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，一次函数21y x =--的图像分别交x 轴、y 轴于点A 和B ．已知点C 的标为()3,0-，若点P 是x 轴上的一个动点．(1)A 的坐标是______，B 的坐标是______；(2)过点P 作y 轴的平行线交AB 于点M ，交BC 于点N ，当点P 恰好是MN 的中点时，求出P 点坐标．(3)若以点B 、P 、C 为顶点的BPC △为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P 点坐标．【变式训练1】直线8y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B C 、两点，且43OC OB =．(1)求OB 的长和k 的值：(2)若点A 是第一象限内直线8y kx =-上的一个动点，当它运动到什么位置时，AOB V 的面积是12？(3)在（2）成立的情况下，y 轴上是否存在点P ，使POA V 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（写过程）由题意得，12OB AD ´´=6OB =Q ，\解得，AD当21294OA OP =+==当397OA OP ==时，3P 当22AP OP =时，作2P H ^22AP OP =Q Q 2P 为线段OA 垂直平分线与【变式训练2】在平面直角坐标系中，直线MN 交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点()0,3N -，30Ð=°ONM ，作线段MN 的垂直平分线交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．(1)如图1，求直线MN 的解析式和A 点坐标；(2)如图2，过点M 作y 轴的平行线l ，P 是l 上一点，若ANP S =△P 坐标；(3)如图3，点Q 是y 轴的一个动点，连接QM 、AQ ，将MAQ V 沿AQ 翻折得到1M AQ △，当1M MN △是等腰三角形时，求点Q 的坐标．过T 作TS AM ^于S ，则AT ∴22333322AS æö=-=ç÷èø，同理2315Q P y x =--：，综上：()3,6P ，(3,P -（3）①如图，当MN MM =由轴对称的性质可得：AM ∵()223323AN =+=，∴()0,1Q ．②当1NM NM =时，如图，由23AN NM AM ===，∴ANM V 为等边三角形，此时Q ，N 重合，∴()0,3Q -；③当11M M M N =时，1M 在直线∵30OAB Ð=°，【变式训练3】如图，一次函数()0y kx b k =+¹的图象与x 轴交于点C ，与y 轴交于点()0,5A ，与正比例函数12y x =的图象交于点B ，且点B 的横坐标为2，点P 为y 轴上的一个动点．(1)求B 点的坐标和k 、b 的值；(2)连接CP ，当ACP △与AOB V 的面积相等时，求点P 的坐标；(3)连接BP ，是否存在点P 使得PAB V 为等腰三角形?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．③当PA PB =时，如图2，设(0,P m 22(5)PA m =-，1PH m =-，所以PB 所以222(5)(1)2m m -=-+，解得m类型四、直角三角形存在性问题例．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线AB :3y 4x b =+与直线AC ：9y kx =+交于点(2,)A n ，与x 轴分别交于点0()6,B -和点C ．点D 为线段BC 上一动点，将ABD △沿直线AD 翻折得到ADE V ，线段AE 交x 轴于点F ．(1)直线AC 的函数表达式．(2)当点D 在线段BO 上，点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标．(3)若DEF V 为直角三角形，求点D 的坐标．【变式训练1】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与直线11433y x =-+交于点C ．直线11433y x =-+与x 轴交于点D ，若点P 是线段AD 上的一个动点，点P 从点D 出发沿DA 方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A （到 A 停止运动）．设点P 的运动时间为s t ．(1)求点A 和点B 的坐标；△的面积为12时，求t的值；(2)当ACP△为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；(3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使ACP若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点()30A -，与y 轴交于点()06B ，，点C 是直线AB 上的一点，它的坐标为()4m ，，经过点C 作直线CD x ∥轴交y 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)已知点P 是直线CD 上的动点，①若POC △的面积为4，求点P 的坐标；②若POC △为直角三角形，请求出所有满足条件的点P 的坐标．②Q OCP Ð一定不是直角，当90OPC Ð=°时，点P 恰好在点D ，\()04P ，，当90POC Ð=°时，，由题可得221417OC =+=，2222416OP DP DP =+=+，()221CP DP =+，Q 222CP OC OP =+，\()2211716DP DP +=++，\16DP =，\()164P ，，综上所述，所有满足条件的点P 的坐标为()04，或()164P ，．【变式训练3】如图，已知函数1y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,1B -，与x 轴以及1y x =+的图象分别交于点C ，D ，且点D 的坐标为()1,n ．(1)则k =______，b =______，n =______；(2)关于x ，y 的二元一次方程组y =x +1,y =kx +b的解为______；(3)求四边形AOCD 的面积；(4)在x 轴上是否存在点P ，使得以点P ，C ，D 为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P 的坐标．①当P D DC ¢^时，22P C P D ¢¢=类型五、等腰直角三角形存在性问题例．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ^于D ，过B 作BE ED ^于E ．(1)求证：BEC CDA V V ≌．(2)模型应用：已知直线14:43l y x =+与y 轴交与A 点，将直线1l 绕着A 点顺时针旋转45°至2l ，如图2，求2l 的函数解析式．(3)如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为()8,6，A 、C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，设PC m =，已知点D 在第一象限，且是直线26y x =-上的一点，若APD △是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．∵45BAC Ð=°，∴ABC V 为等腰直角三角形，由（1）得：CBD BAO V V ≌∴BD AO =，CD OB =，∵直线4:4l y x =+，∴()626122AE x =--=-由（1）得：ADE DPF △△≌∴DF AE =，即1228x x -=-，解得：4x =；∴()4,2D ；∴266212BF x x =--=-；同（1）得，APB PDF △≌△∴8AB PF ==，PB DF ==∴()88BF PF PB x =-=--=∴21216x x -=-，解得：283x =；∴2838,33D æöç÷èø；【变式训练1】综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，点C 是线段OA 的中点，点D 与点C 关于y 轴对称，作直线BD ．(1)求A ，B 两点的坐标；(2)求直线BD 的函数表达式；(3)若点P 是直线BD 上的一个动点．请从A ，B 两题中任选一题作答．我选择______题．A ．如图2，连接AP ，CP ．直接写出ACP △为直角三角形时点P 的坐标．B ．如图3，连接CP ，过点P 作PQ x ^轴于点Q ．直接写出CPQ V 为等腰直角三角形时点P 的坐标．【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，直线1:3AB y x b =-+交y 轴于点()0,1A ，交x 轴于点B ．直线1x =交AB 于点D ，交x 轴于点E ，P 是直线1x =上一动点，且在点D 的上方，设()1,P n ．(1)求直线AB 的解析式；(2)当2ABP S =△时，在第一象限内找一点C ，使BCP V 为等腰直角三角形，求点C 的坐标．∵1x =时，12133y x =-+=，P 在点∴23PD n =-，∴12PAB APD BPD S S S PD AM =+=×+V V V ∵2ABP S =△，3∵90,45CPB EPB Ð=°Ð=°，∴45NPC EPB Ð=Ð=°．又∵90,CNP PEB BP PC Ð=Ð=°=，∴CNP BEP ≌V V ，∴2PN =NC =EB =PE =，∴224NE NP+PE ==+=，∴()3,4C ；若90,PBC BP BC Ð=°=，如图，过点C 作CF x ^轴于点F ．∵90,45PBC EBP Ð=°Ð=°，∴45CBF PBE Ð=Ð=°．又∵90,CFB PEB BC BP Ð=Ð=°=，∴CBF PBE ≌V V ．∴2BF CF PE EB ====，∴325OF OB BF =+=+=，∴()5,2C ；若90,PCB CP EB Ð=°=，如图，∴45CPB EBP Ð=Ð=°，∵,,CP EB CPB EBP BP BP =Ð=Ð=，∴PCB PEB ≌V V ，∴2PC CB PE EB ====，∴()3,2C ；∴点C 的坐标是()3,4或()5,2或()3,2．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AP 交x 轴于点(),0P p ，与y 轴交于点()0,A a ，且a ，p ()230a +=．(1)求直线AP 的解析式；(2)如图1，直线2x =-与x 轴交于点N ，点M 在x 轴上方且在直线2x =-上，若MAP △的面积等于6，请求出点M 的坐标；(3)如图2，已知点()2,4C -，若点B 为射线AP 上一动点，连接BC ，在坐标轴上是否存在点Q ，使BCQ △是以BC 为底边，点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．∵MD AP P ，MAP △的面积等于∴DAP V 的面积等于6，∴162A DP y ××=，即12DP ×∴4DP =，∴()3,0D -，y∴,33OE t BE t ==-，∵BCQ △是以BC 为底边的等腰直角三角形，∴BQ CQ =，90BQC Ð=∴90BQE NQC Ð=°-Ð=又∵BEQ QNC Ð=Ð，∴()AAS BEQ QNC V V ≌，∴BG t =，33OG t =-，∴BT t =，33OT t =-，同②可证CFQ QTB V V ≌∴QF BT t ==，QT CF =∴OQ OT QT OF =+=+∴52t =，∴513422OQ =+=，类型六、平行四边形存在性问题例．在平面直角坐标系xOy 中，直线36y x =+分别与x 、y 轴相交于A 、B 两点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ．连接BC 交x 轴于点D ．(1)求点C 的坐标；(2)P 为x 轴上的动点，连接PB ，PC ，当PB PC -的值最大时，求此时点P 的坐标．(3)点E 在直线AC 上，点F 在x 轴上，若以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点F 的坐标；【答案】(1)点C 的坐标为()4,2-(2)()6,0P (3)点F 的坐标为()17,0-或()13,0或()23,0【详解】（1）解：令0y =，则2x =-，()2,0A \-，令0x =，则6y =，()0,6B \，26OA BO \==，，过点C 作CH x ^轴于H ，9090CAD BAO BAO ABO ÐÐÐÐ+=°+=°Q ，，CAD ABO ÐÐ\=，90AHC BOA ÐÐ\==°，由旋转得AB AC =，()AAS ABO CAH \V V ≌，26CH OA AH BO \====，，4OH AH OA \=-=，\点C 的坐标为()4,2-；（2）作点C 关于x 轴的对称点C ¢，连接BC ¢延长交x 轴于点P ，则点P 就是所求的最大值点，\()4,2C ¢设直线BC ¢的解析式为y kx b =+，\642b k b =ìí+=î，解得16k b =-ìí=î，6y x \=-+，()6,0P \；（3）()()()2,04,20,6A C B --Q ，，，设直线AC 的解析式为y mx n =+，则2042m n m n -+=ìí+=-î【变式训练1】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点(),0A m ，与y 轴交于点()0,B n ，且m n ，满足：()260m n n ++-=．(1)求：AOB S V 的值；(2)D 为OA 延长线上一动点，以BD 为直角边作等腰直角BDE V ，连接EA ，求直线EA 与y 轴交点F 的坐标；(3)在（2）的条件下，当2AD =时，在坐标平面内是否存在一点P ，使以B E F Р、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点Р的坐标，若不存在，说明理由．∵EDB △为等腰直角三角形，∴,90DE DB EDB =Ð=°，∴18090EDG ODB Ð+Ð=°-。

第23讲一次函数与几何大综合【板块一】探求点的坐标或坐标关系题型一 求点的坐标【例1】已知一次函数y ＝2kx －3k ＋12(k ≠0). (1)不论k 为何值，函数图象必过一定点，求定点的坐标；(2)如图1，设(1)中的定点为P ，C 为y 轴正半轴上一点，∠CPO ＝45°，求S △CPC ； (3)如图2，若k ＝14-，函数图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，在直线AB 上是否存在点Q ，使25QA QB =?若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.图1针对练习11.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点O 是AB 的中点，直线l ：y ＝kx －2k ＋4过定点C ，交x 轴于点E . (1)求正方形ABCD 的边长；(2)如图2，在直线l 上有一点N ，CN ＝12AB ，连接AN ，点M 为AN 的中点，连接BM ，求线段BM 的长度的最小值，并求出此时点N 的坐标.图1图22.已知一次函数y ＝－3x ＋3的图象与x 轴、y 轴交于点A ，B ，点C (3，0). ⑴求线段AB 的长度；(2)点G 和点B 关于x 轴对称，点P 在直线CG 上，若△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标.图2图1【板块二】 字母系数求解析式或解析式中的的值题型二求解析式或字母系数的值【例2】在平面直角坐标系中，已知点A （a ，0），C （0，b ）且a ，b 满足(a ＋1)2＝0.⑴直接写出:a ＝_______，b ＝_______；(2)如图1，点B 为x 轴正半轴上的一点:BE ⊥AC 于点E ，交y 轴于点D 连接OE ，若OE 平分∠AEB ，求直线BE 的解析式；(3)如图2，在(2)的条件下，点M 为直线BE 上的一动点:连接OM ，将线段OM 绕点M 逆时针旋转90°，点O 的对应点为N ，当点M 运动时，判断点N 的运动路线是什么图形，并说明理由.图2图1针对练习21.在平直角坐标系中，直线y ＝ax ＋b 与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，且a ，b 满足a ＋3，不论k 为何值，直线l :y ＝kx －2k 都经过x 轴上一定点A .⑴a ＝____，b ＝_____；点A 的坐标为________.(2)如图1，当k ＝1时，将线段BC 沿某个方向平移，使点B ，C 对应的点M ，N 恰好分别在直线l 和直线y ＝2x －4上，请你判断四边形BMNC 的形状，并说明理由；⑶图2，当k 的取值发生变化时，直线l ：y ＝kx －2k 绕着点A 旋转，当它与直线y ＝ax ＋b 相交的夹角为45°时，求出相应的k 的值.图22.如图，直线l 1：y ＝2kx ＋4k ＋4交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，经过点B 的直线l 2：y ＝x ＋4k ＋4交x 轴于点C .⑴若A (4，0)，求两直线的解析式；⑵直线 y ＝－2x 交直线l 1于点M ，，交直线l 2于点N ，若S △MNB ＝S △NCO 求BMAB的值； ⑶直线x ＝k 交l 1于点D ，交l 2于点E ，若2DE －kAC ＝5，求k 的值.图2图1针对练习21．在平面直角坐标系中，直线y ＝ax ＋b 与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，且a ，b 满足a ＋3，不论k 为何值，直线l ：y ＝kx 一2k 都经过x 轴上一定点A ． (1)a ＝ ，b ＝ ；点A 的坐标为 ；(2)如图1，当k＝1时，将线段BC沿某个方向平移，使点B，C对应的点M，N恰好分别在直线l和直线y＝2x －4上，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；(3)如图2，当k的取值发生变化时，直线l：y＝kx－2k绕着点A旋转，当它与直线y＝ax＋b相交的夹角为45°时，求出相应的k的值．图1 图22．如图，直线l1：y＝2kx＋4k＋4交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，经过点B的直线l2：y＝x＋4k＋4交x轴于点C．(1)若A(4，0)，求两直线的解析式；(2)直线y＝－2x交直线l1于点M，交直线l2于点N，若S△MNB＝S△NCO，求BMAB的值；(3)直线x＝k交l1于点D，交l2于点E，若2DE一kAC＝5，求k的值．【板块三】探求点的轨迹模型三探求点的轨迹【例3】在平面直角坐标系中，点A(0，8)、C(8，0)，四边形AOCB是正方形，点D（a，0）是x轴正半轴上的一动点，∠ADE＝90°，DE交正方形AOCB的外角的平分线CE于点E．（1）点D(a，0)在x轴正半轴上运动，点P在y轴上，若四边形PDEB为菱形，求直线PB的解析式；（2）连接AE，点F是AE的中点，当点D在x轴正半轴上运动时，点F到CE的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．针对练习32．已知直线l 1:y ＝mx －4m 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线l 2:y ＝nx －12m ，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，交l 1于点E （1）求点A 坐标；（2）如图1，若B 为线段AE 中点，求证：EC ＝EA ；（3）如图2，P （0，t ），将线段P A 绕点P 逆时针方向旋转90°至PF ，连接AF ，OF ，求OF ＋AF 的最小值．【板块四】 探求线段关系题型四 探求线段关系【例4】 直线y ＝kx －2k 交x 轴于点B ，交y 轴于点A（1）当k ＝－2时，①点P 为直线AB 上的一动点，求OP 的最小值；②若点Q 为x 轴上的一点，∠QAB ＝45°，求点Q 坐标；（2）若直线CD :Y ＝22kk x -交AB 于点D ，点C 的横坐标为－1，求AD ACBD-针对练习41．已知点C （0，－2），直线l :y ＝kx －2k ，无论k 取何值，直线总经过点B ． (1)求定点B 的坐标；(2)若直线BC 关于x 轴对称后再向上平移5个单位得到直线B 1C 1，如图，点G （1，a ）和H (6，b )是直线B 1C 1上的两点，点P (m ，n )为第一象限内(G ，H 两点除外)的一点，且mn ＝6，直线PG 和PH 分别交y 轴M ，N 两点，问线段OM ，ON 有什么数量关系?请证明．2．如图1，直线AB 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，OA ＝OB ． (1)当AB＝AB 的解析式；(2)如图2，直线y ＝kx 交直线AB 于点C ，点D 是AB 上的一点，过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线交直线y ＝kx 于点E ，F ，若CF ＝2CE ，求k 的值；图1 图2。

一次函数与几何综合（k，b的几何意义与特殊角）（人教版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，点A、C都在一次函数上，点B、D在x轴上，且△OAB、△BCD都是等腰直角三角形，则直线BC的解析式为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合2.已知，将直线PQ绕点顺时针旋转105°所得直线的表达式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合3.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到，则点的坐标是( )A.)B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，以OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上的任意一点(OC2)，连接BC，以BC为边在第四象限内作等边三角形CBD．直线AD与y轴交于点E，则直线AE的解析式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合5.如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，将△ABO沿着AB翻折，得到△ABC，则点C的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(-4，0)，点P为边AB 上一点，沿CP折叠正方形，折叠后的点B落在平面内的点B′处.已知直线CB′的斜率为，直线CP的表达式是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合。

一次函数与几何综合（k，b的几何意义一）（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，点B，C分别在直线y=3x和直线y=kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且，则k的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义2.如图，点B，C分别在两条直线和上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为( )A.2B.C. D.1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数k的几何意义3.如图，已知点A的坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点B，C，连接AC，，则点B的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义4.如图，直线AP的解析式为，且点P的坐标为（4，2），PA=PB，则点B的坐标是( )A.（5，0）B.（6，0）C.（7，0）D.（8，0）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：k的几何意义5.如图，已知一条直线经过A（0，2），B（1，0）两点，将这条直线向左平移，与x轴、y 轴分别交于点C，点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转6.已知点，B（0，0），，AE平分∠BAC，交BC于点E，则直线AE的函数表达式是( )A. B.y=x-2C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转7.如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C逆时针旋转30°交x轴于点D，则直线CD的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数、坐标、几何三角通道互转。

一次函数与几何综合（k，b的几何意义）（人教版）（专题）一、单选题(共8道，每道10分)1.如图，点B，C分别在直线y=3x和直线y=kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且，则k的值是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略2.如图，点B，C分别在两条直线和上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为( )A.2B.C. D.1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：略3.如图，直线AP的解析式为，且点P的坐标为（4，2），PA=PB，则点B的坐标是( )A.（5，0）B.（6，0）C.（7，0）D.（8，0）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略4.如图，已知一条直线经过A（0，2），B（1，0）两点，将这条直线向左平移，与x轴、y 轴分别交于点C，点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略5.已知点，B（0，0），，AE平分∠BAC，交BC于点E，则直线AE的函数表达式是( )A. B.y=x-2C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：略6.如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系的第一象限内，使AB落在x轴正半轴上，直线经过点C，与x轴交于点E，若点A的坐标是(1，0)，则四边形AECD的面积是( )A.4B.6C.10D.16答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略7.如图，已知直线与直线相交于点F，分别交x轴于点E，G，矩形ABCD顶点C，D分别在直线上，顶点A，B都在x轴上，且点B与点G 重合，则长方形ABCD的面积为( )A.12B.18C.24D.32答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：略8.正方形……按照如图所示的方式放置，点……和点……分别在直线l和x轴上，已知点(1，1)，(3，2)，则的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：∵(1，1)，(3，2)∴(0，1)，(1，2)，∴∴直线l的斜率为1，由此可得，图形中所有的三角形都是等腰直角三角形，∵(1，1)，(3，2)，(7，4)可以看作，，∴的坐标为．故选A试题难度：三颗星知识点：略。

考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题——代几综合，明确中考风向标◆类型一一次函数与面积问题1．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________．2．如图，直线y＝－2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.【易错7】(1)求A，B两点的坐标；(2)过B点作直线BP与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．3．如图，直线y＝－x＋10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为(8，0)，点P(x，y)是在第一象限内直线y＝－x＋10上的一个动点．(1)求△OPA的面积S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．◆类型二一次函数与三角形、四边形的综合4．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(－1，1)，顶点B在第一象限，若点B在直线y＝kx＋3上，则k的值为________．第4题图第5题图5．(2016·温州中考)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是()A．y＝x＋5 B．y＝x＋10C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10◆类型三一次函数与几何图形中的规律探究问题6．(2017·安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y 轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n－1B n顶点B n的横坐标为________．第6题图第7题图7．★(2016·潍坊中考)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形A n B n C n C n－1，使得点A1，A2，A3，…在直线l上，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是________．参考答案与解析1．16解析：如图，∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝BC2－AB2＝4，∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x －6上，∴2x －6＝4，解得x ＝5.即OA ′＝5，∴CC ′＝AA ′＝5－1＝4.∴S ▱BCC ′B ′＝CC ′·CA ＝4×4＝16.即线段BC 扫过的面积为16.2．解：(1)令y ＝0，则－2x ＋3＝0，解得x ＝32；令x ＝0，则y ＝3，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，点B 的坐标为(0，3)．(2)由(1)得点A ⎝⎛⎭⎫32，0，∴OA ＝32，∴OP ＝2OA ＝3，∴点P 的坐标为(3，0)或(－3，0)，∴AP ＝OP －OA ＝32或AP ＝OP ＋OA ＝92，∴S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×92×3＝274或S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×32×3＝94.综上所述，△ABP 的面积为274或94. 3．解：(1)∵点P 在直线y ＝－x ＋10上，且点P 在第一象限内，∴x >0且y >0，即－x＋10>0，解得0<x <10.∵点A (8，0)，∴OA ＝8，∴S ＝12OA ·|y P |＝12×8×(－x ＋10)＝－4x ＋40(0<x <10)．(2)当S ＝10时，即－4x ＋40＝10，解得x ＝152.当x ＝152时，y ＝－152＋10＝52，∴当△OP A 的面积为10时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫152，52.4．－2 5.C6．2n ＋1－2 解析：由题意得OA ＝OA 1＝2，∴OB 1＝OA 1＝2，B 1B 2＝B 1A 2＝4，B 2A 3＝B 2B 3＝8，∴B 1(2，0)，B 2(6，0)，B 3(14，0)….∵2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…∴B n的横坐标为2n ＋1－2.故答案为2n ＋1－2.7．(2n －1，2n －1) 解析：∵y ＝x －1与x 轴交于点A 1，∴点A 1的坐标为(1，0)．∵四边形A 1B 1C 1O 是正方形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴点B 1的坐标为(1，1)．∵C 1A 2∥x 轴，点A 2在直线y ＝x －1上，∴点A 2的坐标为(2，1)．∵四边形A 2B 2C 2C 1是正方形，∴A 2B 2＝A 2C 1＝2，∴点B 2的坐标为(2，3)，同理可得点B 3的坐标为(4，7)．∵B 1(20，21－1)，B 2(21，22－1)，B 3(22，23－1)，…，∴点B n 的坐标为(2n －1，2n －1)．（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

提高专题：一次函数与几何综合题型一：一次函数与面积问题1、坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路： ①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：同底等高）．2、坐标系中面积问题的处理方法举例①割补求面积（铅垂法）：底相同，高运算2△APB S ah =12△APB S ah =②转化求面积：如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．例1、如图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则△AOB 的面积为___________．l 1l 2专题精讲例2、如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=4.5，则k=__________．【对应练习】1、如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于A，B两点，C(1，2)，x轴上是否存在点P，使S△ABP=S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：一次函数与几何存在性问题一、等腰三角形存在性问题方法总结二、直角三角形存在性问题方法总结三、四边形动点问题例1、（等腰三角形存在性问题）如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且43 OCOB.（1）求点B的坐标和k的值．（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.例2、（直角三角形存在性问题）如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，34OBOA，点C是直线y=kx+3上与A，B不重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，是否存在点C 使△BCD与△AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．例3、（平行四边形存在性问题）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．【对应练习】1、如图，直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．2、如图，在平面直角坐标系xOy ，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A ，两直线与x 轴分别交于点B 和点C ，D 是直线AC 上的一个动点，直线AB 上是否存在点E ，使得以E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．注：OA 为对角线时，OE ∥AD ，结果与①同。