空间向量点坐标求法

a (a1, a2, a3)( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
无罪，该负责任的是那些劝说我的人。世上有很多很好的鞋，但要看适不适合你的脚。在这里，所有的经验之谈都无济于事，你只需在半夜时分，倾听你脚的感觉。 看到好位赤着脚参加世界田径大赛的南非女子的风采，我报以会心一笑：没有鞋也一样能破世界纪录！脚会长，鞋却
不变，于是鞋与脚，就成为一对永恒的矛盾。鞋与脚的力量，究竟谁的更大些？我想是脚。只见有磨穿了的鞋，没有磨薄了的脚。鞋要束缚脚的时候，脚趾就把鞋面挑开一个洞，到外面去凉快。 脚终有不长的时候，那就是我们开始成熟的年龄。认真地选择一种适合自己的鞋吧！一
这是从远古传下来的手艺，博物馆描述猿人生活的图画，都绘着腰间绑着兽皮的女人，低垂着乳房，拨弄篝火，准备食物。可见烹饪对于女人，先于时装和一切其他行业。汤不一定鲜美，却要热；饼不一定酥软，却要圆。无论从爱自己还是爱他人的角度想，“食”都是一件大事。一个不
爱做饭的女人，像风干的葡萄干，可能更甜，却失了珠圆玉润的本相。 ? 我喜欢爱读书的女人。书不是胭脂，却会使女人心颜常驻。书不是棍棒，却会使女人铿锵有力。书不是羽毛，却会使女人飞翔。书不是万能的，却会使女人千变万化。不读书的女人，无论她怎样冰雪聪明，只有一
只脚是男人，一只脚是女人，鞋把他们联结为相似而又绝不相同的一双。从此，世人在人生的旅途上，看到的就不再是脚印，而是鞋印了。 削足适履是一种愚人的残酷，郑人买履是一种智者的迂腐；步履维艰时，鞋与脚要精诚团结；平步青云时切不要将鞋儿抛弃…… 当然，脚

空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述空间立体几何是数学中的一个重要分支，它研究三维空间中的几何结构和性质。

在空间立体几何中，线和面是两个基本的几何元素，线面交点坐标的求解是一个常见且重要的问题。

本文主要介绍了两种方法来求解线面交点的坐标：坐标法和向量法。

通过这两种方法，可以方便地求解线面交点的坐标，进而解决一些实际问题。

通过本文的学习，读者将能够掌握空间立体几何中线面交点坐标的求解方法，为进一步深入学习和应用空间几何提供了基础。

同时，本文还将探讨线面交点坐标的应用和展望，展示其在现实生活中的重要性和价值。

1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三部分。

引言部分将从概述、文章结构和目的三个方面介绍本文的主要内容和研究背景。

正文部分将分为三个小节，首先是关于空间立体几何概念的介绍，接着是详细讨论如何利用坐标法求解线面交点坐标的方法，最后则是向量法求解线面交点坐标的具体过程。

结论部分将总结本文的主要观点和研究成果，探讨该方法的应用前景，并进行最终的结语。

1.3 目的:本文旨在介绍如何利用空间立体几何中的坐标法和向量法来求解线面交点坐标的方法。

通过深入讨论这两种方法的原理和步骤，我们希望读者能够更加深入地理解空间几何中的相关概念，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。

通过掌握线面交点坐标求解的技巧，读者能够提升空间几何解题的效率和准确性，同时也能够为进一步学习和研究提供一定的参考和指导。

希望本文能够为读者提供一定的启发和帮助，让大家在空间几何学习中取得更好的成绩和收获。

2.正文2.1 空间立体几何概念空间立体几何是几何学中研究三维空间中图形与几何体的一门学科，是平面几何的延伸和拓展。

在空间立体几何中，我们不再局限于研究平面上的图形，而是考虑到三维空间中的物体和结构。

在空间立体几何中，我们研究的主要对象包括点、线、面和体。

点是空间中的一个位置，用于确定空间中的一个具体位置；线是由无数个点按照一定规律连成的直线段；面是由无数个点和线按照一定规律组成的平面图形；而体则是由无数个面组成的一个三维实体。

空间向量的坐标表示与几何应用在三维空间中，空间向量是研究物体运动和位置的重要工具。

为了准确地描述和计算空间向量，我们需要用坐标来表示它们。

本文将详细介绍空间向量的坐标表示方法，并探讨其在几何应用中的重要性。

一、坐标表示方法1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的表示空间向量的方法。

在直角坐标系中，我们以三个相互垂直的坐标轴为基准，分别表示x、y、z三个方向。

一个空间向量可以通过三个坐标值(x,y,z)来表示，分别表示它在x轴、y 轴和z轴上的投影长度。

例如，对于一个空间向量v，在直角坐标系中，我们可以表示为v=(x,y,z)。

2. 球坐标系球坐标系是另一种表示空间向量的方法，它是通过一个原点、一个偏离原点的距离、一个与z轴的夹角和一个与x轴的投影角来确定一个空间向量的位置。

在球坐标系中，一个空间向量的坐标通常表示为(r,θ,φ)，其中r表示向量到原点的距离，θ表示向量与z轴的夹角，φ表示向量在x-y平面上的投影与x轴的夹角。

二、坐标表示的几何应用1. 向量的加法与减法通过坐标表示，我们可以方便地对空间向量进行加法与减法运算。

只需将对应坐标相加或相减即可得到结果。

例如，对于向量v=(x1,y1,z1)和向量w=(x2,y2,z2)，它们的和可以表示为v+w=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。

2. 向量的数量积与夹角坐标表示还可以用于计算向量的数量积和夹角。

向量的数量积可以通过坐标之间的乘积运算得到。

例如，对于向量v=(x1,y1,z1)和向量w=(x2,y2,z2)，它们的数量积可以表示为v·w=x1x2+y1y2+z1z2。

夹角可以通过向量的数量积公式求解：cosθ = (v·w) / (|v| |w|)其中，|v|和|w|分别表示向量v和w的模长。

3. 点与直线的相对位置通过点和直线的坐标表示，我们可以判断一个点与直线的相对位置关系。

以直线的方程和点的坐标为基础，我们可以计算点到直线的距离，从而判断点在直线上方、下方还是与直线相交。

向量的坐标表示在数学中，向量是一个具有大小和方向的量。

为了方便计算和分析，我们常常使用向量的坐标表示方法。

向量的坐标表示可以帮助我们更直观地理解和操作向量。

一、二维对于二维空间中的向量，我们可以使用横纵坐标来表示。

假设有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，那么向量v的坐标表示就是(x,y)。

例如，有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点，终点为点P(3,4)。

那么向量v的坐标表示为(3,4)。

二、三维对于三维空间中的向量，我们可以使用三个坐标轴来表示。

假设有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点(0,0,0)，终点为点Q(x,y,z)，那么向量u的坐标表示就是(x,y,z)。

例如，有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点，终点为点Q(1,2,3)。

那么向量u的坐标表示为(1,2,3)。

三、向量表示方法的应用向量的坐标表示方法在各个领域都有广泛应用。

以下是一些常见应用：1. 几何学：在几何学中，向量的坐标表示方法被用于描述线段、向量的长度和方向等概念。

通过向量的坐标表示，我们可以更方便地计算几何图形的属性。

2. 物理学：在物理学中，向量的坐标表示方法被用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。

通过向量的坐标表示，我们可以更精确地描述物体在空间中的运动状态。

3. 计算机图形学：在计算机图形学中，向量的坐标表示方法被广泛用于表示图像的位置、方向、形状等信息。

通过向量的坐标表示，我们可以实现计算机生成的三维图形和特效效果。

4. 统计学：在统计学中，向量的坐标表示方法被用于表示多维数据和样本。

通过向量的坐标表示，我们可以进行数据分析、模式识别等统计学方法。

总结：通过向量的坐标表示方法，我们可以更直观地理解和操作向量。

无论是二维向量还是三维向量，坐标表示都为我们提供了便利的计算和分析工具。

向量的坐标表示方法在几何学、物理学、计算机图形学和统计学等领域都有重要的应用。

掌握向量的坐标表示方法对于理解和应用相关概念都非常重要。

有序数组( a1, a2, a3)叫做 a 在
空间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
a =( a 1 , a2, a3)
z
a
k i Oj
A(a1,a2,
a3) y
x
；菲律宾签证 https:/// 菲律宾签证
;
；
马上就明白了。哈里被人领养了，而汤姆没有，他还依旧被留在孤儿院。 如何答复汤姆呢？摩罗·邦尼博士知道，最直截了当的办法，就是找一家愿意领养孩子的人，然后秘密地办理领养手续，待一切办好之后，给汤姆回信，说：汤姆，我的孩子！我真有点疏忽大意了，像您这样好的孩 子，是不应该没有爸爸妈妈的。明天我一定给您送去。 对于一个孤儿，上帝真的会这样答复吗？摩罗·邦尼博士心里非常矛盾。他想，对于一个从小失去依靠的人，要想让他知道上帝是公平的，绝不能用这种办法。经过深思熟虑，他给汤姆回了这么一封信。 亲爱的汤姆： 我不 期望您现在就读懂这封信，不过我还是想现在就告诉您，上帝永远是公平的。假若您认为我没有送给您爸爸妈妈，就是我的不公，这实在让我感到遗憾。我想告诉你：我的公平在于免费地向人类供应了三样东西：生命、信念和目标。 您知道吗？你们每一个人的生命都是免费得到的。到目 前为止，我没让任何一个人在生前为他的生命支付过一分钱。信念和目标与生命一样，也是我免费提供给你们的，不论你生活在人间的哪一个角落，不论你是王子还是贫儿，只要想拥有它们，我都随时让您们据为己有。 孩子，让生命、信念和目标成为免费的东西，这就是我在人间的公平 所在，也是我作为上帝的最大智慧。但愿有一天，您能理解。 您的上帝 这封信后来被刊登在《基督教科学箴言报》上，成为上帝最著名的公平独白，同时也使很多人第一次真正地认识了上帝 务实的李敖 ?你会说我的思想有一点老古板，我对你们清华大学早期的校友名字叫胡适的态 度，你们知道我是老牌的态度，在很早的时候胡适送给我1000块，我在大学捐了150万台币，相当于35万人民币，我是来还这个情，告诉大家，人间有情有义，可是人间也会疏财仗义，我的解释是钱拿出来才是事，光同情你是不可以的。 在帮助慰安妇的时候我把胡适送给我的字都义卖了。 因为二次世界大战，在中国，在朝鲜，在高丽，在台湾，在菲律宾，街上走的女孩子17、18岁抓着就跑，放在军营里面，给他们做性奴隶，不但集体乱奸，怀孕了把她绑在门板上动妇科手术，没有麻醉药，日本人是这样子对待我们的。后来日本人为了应付联合国，就说我们和解这件事情，就 是全世界对慰安妇每个人送50万新台币，相当于10几万人民币，台湾当时还剩下54个老太太，很可怜，有的眼睛看不到，有的路走不动，一身都是性病，没有人理她们。慰安妇的团体和他们说，这个钱不能要，日本人说原谅他们，这50万现金对她们太重要了，可是她们说不可以拿这个钱，为 了国家的尊严和个人的荣誉不可以拿这个钱。不拿可是心里觉得很难过，因为她们现在需要这个钱，我李敖实在看不过去，我站出来，我拿出100件收藏品，举行义卖，我们卖了100万美金，每个人发50万，条件就是你不能要日本鬼子的50万，你要我的50万，还定了一个规定，如果你拿了日本 的50万，这个50万要还我，最后日本人真这样了，但是我说不行，不能要日本人的钱。所以日本人是行不通的，至少在台湾保留了我们中国人的尊严。 我和大家讲，大家注意，我这个招不谈高调的，就是你道德劝说慰安妇不拿这个钱，不尽人情，老太太们实在要这个钱，她内心发生了天 人交战，什么办法，就是我的方法，这才是务实。你们只看到我张牙舞爪，骂张三和李四，你们没有看到我务实这一面，这是很重要的。今天的意思就是大家要务实，面对今天的中国问题和中国的前途，就是说中国才是我们真正努力的方向，真正努力的目标，真正献身的目标。 摘自《李 敖2005年9月23日清华大学演讲文字实录》 爱的遗赠 ?艾尔非常年轻的时候，就已经是一个娴熟的艺术家和制陶工人了。他有一个妻子和两个优秀的儿子。 一天晚上，他的长子感到胃部疼得厉害，但是艾尔和妻子都认为这只是普通的肠道疾病，而没有多加注意。可是男孩得的却是急性阑尾炎， 他在那天晚上意外地死去了。如果不是由于他的粗枝大叶，如果他能稍微意识到儿子病情的严重性，儿子的死本来是完全可以避免的。——在这样巨大的犯罪感的压制下，艾尔的情绪急剧地变坏了。 不久之后，他的妻子也离开了他，留下他和6岁的小儿子相依为命，这使本来就已经很糟 的局面更加恶化。艾尔受不了这两件事给他带来了打击和痛苦，就妄图从酒精中寻求帮助和解脱，没过多久，他就变成了一个酒鬼。 随着对酒精的迷恋越来越深，艾尔所拥有的一切开始一点一点地失去了--他的家，他的土地，他的艺术作品，他的一切。最后，艾尔在旧金山的一家汽车旅 馆里孤独地死去了。 当我听到艾尔去世的消息后，我对他的蔑视也和世人对那些死后没给子孙留下任何遗产的人的蔑视一样。"这是一个多么彻底的失败者呀！"我心里这样想，"完全是浪费生命！" 随着时间的流逝，我开始对早年自己对艾尔的苛刻评断重新估价，因为，我认识了艾 尔现在已经成年的小儿子厄尼。他是我所知道的最仁慈最精细最富爱心的人之一。我观察着厄尼和他的孩子们，看见他们之间洋溢着丰富的关爱之情。我知道那种仁慈和爱心一定源自某处。 我很少听到厄尼谈论他的父亲。要为一个酒鬼辩护是多么困难啊。一天，我鼓起勇气问他，"有一 件事使我感到很迷惑，"我说，"我知道你主要由你的父亲抚养长大的。那么他究竟是如何使你成为这样一个非同一般的人的呢？" 厄尼平静地坐在那儿，仔细思索了一会儿，然后他说："从我记事起一直到我18岁离开家，父亲每天晚上都到我的房间里来，在我的面颊上吻一下，并且说：' 我爱你，儿子。'" 我的眼睛湿润了，我意识到我过去觉得艾尔是一个失败者的想法是多么的愚蠢。他虽然没给儿子留下了什么物质财富，但是他用一个父亲的仁慈和爱心，培养出了一个非常善良无私的儿子。 ? 给狗取个好名字 ? 我的朋友琴德太太，住在纽约白利斯德路，她刚雇好一个 女佣，告诉她下星期一开始来工作。琴德太大打电话给那女佣以前的女主人，那太太指这个女佣并不好。当那女佣来上班的时候，琴德太太说： "妮莉，前天我打电话给你以前做事的那家太太。她说你诚实可靠，会做菜，会照顾孩子，不过她说你平时很随便，总不能将房间整理干净。 我相信她说的是没有根据的，你穿的很整洁，这是谁都可以看出来的……我可以打赌，你收拾房间，一定同你的人一样整洁干净。我也相信，我们一定会相处得很好。" 是的，她们果然相处得非常好，妮莉不得不顾全她的名誉，所以琴德太太所讲的，她真的做到了。她把屋子收拾得干干 净净，她宁愿自己多费些时间，辛苦些，也不愿意破坏琴德太太对她的好印象。 包德文铁路机车工厂总经理华克伦，他说过这样的话："一般人，都会愿意接受指导，如果你得到他的敬重，并且对他的某种能力表示敬重的话。" 我们也可以这样说，如果你想改善一个人某方面的缺点， 你要表示出，他已经具有这方面的优点了。莎士比亚说： "如果你没有某种美德，就假定你有。"最好是"假定"对方有你所要激发的美德，给他一个美好的名誉去表现，他会尽其所能，也不愿意使你感到失望的。 雷布利克在她的《我和梅脱林克的生活》一书中，曾叙述一个低卑的比 利时女佣的惊人改变。 她这样写着：隔壁饭店里有个女佣，每天替我送饭菜来，她的名字叫洗碗的玛丽。因为她开始工作时，是厨房里的一个助手。她那副长相真古怪，一对斗鸡眼，两条弯弯的腿，身上瘦得没有四两肉，精神也是显得无精打采、迷迷糊糊的。 有一天，当她端着一 盘面来给我时，我坦白的对她这样说："玛丽，你不知你有内在的财富？" 玛丽平时似乎有约束自己感情的习惯，生怕会招来什么灾祸，不敢做出一点喜欢的样子，她把面放到桌上后，才叹了口气说："太太，我是从来不敢想到那些的。"她没有任何怀疑，也没有提出更多的问题，她只是回 到厨房，反复思索我所说的话，深信这不是人家开她的玩笑。 就从那天起，她自己似乎也考虑到那回事了；在她谦卑的心理，已起了一种神奇的变化。她相信自己是看不见的暗室之宝；她开始注意修饰她的面部和身体。她那原来枯萎了的青春，渐渐洋溢出青春般的气息来。 两个月 后，当我要离开那地方时，她突然告诉我，她就要跟厨师的侄儿结婚了。她悄悄的告诉我："我要去做人家的太太了！她向我道谢我只用了这样简短的一句话，就改变了她的人生。 雷布利克给"洗碗的玛丽"，一个美好的名誉，而那个名誉改变了她的一生。 当利士纳要影响在法国的美 国士兵的行为时，也用了同样的方法。哈巴德将军--一位最受人们欢迎的美国将军，他曾经告诉利士纳说，在他看来，在法国的二百万美国兵，是他所接触过最合乎理想、最整洁的队伍。 这是不是过份的赞许？或许是的。可是我们看利士纳如何应用它！ 利士纳说："我从未忘记把哈 巴德将军所说的话，告诉士兵们，我并没有怀疑这话的真实性，即使并不真实，那些士兵们知道哈巴德将军的意见后，他们会努力去达到那个水准。" 有这样一句古语："如果不给一条狗取个好听的名字，不如把它勒死算了。" 几乎包括了富人、穷人、乞丐、盗贼，每一个人都愿意竭 尽其所能，保持别人赠予他的"诚实"的美誉。 "星星监狱"狱长洛斯说： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚会、体面的绅士一样，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 那句话 太重要，太好了！我们不妨再说一遍： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚实、体面的绅士，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 所以，如果你要影响一个人的行为，而不引起他 的反感，记住这项规则，那是： 给人一个美名让他去保全。 ? 松下幸之助：为你配副好眼镜 ?每一个生意人都想赚钱，这是天经地义的事。可是，满脑子都是生意经，这只是一般人的想法。 很久以前，我曾接到一封从北海道的札幌市寄来的信件，内容大致如下："我是一位眼镜商 人，前几天，在杂志上看到了您的照片。因为您所配戴的眼镜不大适合脸形，希望我能为您服务，

a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3 )
a (a1,a2,a3 )( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a,b都不是零向量)
练习1:已知
a
(2,3,5),b
已知 A( x1, y1, z1 ) , B( x2, y2, z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
例1 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，点 M
是AB的中点，求 DB1 与 CM 所成的角的余弦值.
z
O
y
x
练习1：如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
对空间任一向量 a ,由空间
za
向量基本定理，存在唯一的有序实
A(a1, a2 , a3 )
数组 (a1, a2 , a3 ),使a a1i a2 j a3k. k
有序实数组 (a1, a2 , a3 ) 就
i Oj
y
叫做 a 在这一空间直角坐标系下 x 的坐标.
记为 a (a1,a2,a3 ) .
⑶已知 A(3,5, 7) , B(2,4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
练习 2: ⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 则 △ABC 的面积 S=_7__3__.
2
⑵ a (x, 2,1) , b (3, x2, 5) 且 a 与 b 的夹角为
结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)

| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D

空间向量坐标公式 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】7、空间向量与立体几何1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

（2）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z则212121(,,)AB x x y y z z =---。

3m-n= (5,-11,19) ,(2m)·(-3n)= 168

,
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=
间坐标系的转换.
二、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代
数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐
标及其运算.
探究新知
一、空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底 , , ,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它
们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.

1.3 空间向量及其坐标的运算1.空间向量的坐标表示(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x，y，z)．(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则OP的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.2．空间向量的坐标运算3．(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)a·a＝|a|2＝222 123 a a a++.3.空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则【题型精讲】考点一坐标的运算【例1】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设,x y R∈，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2)a x y===-，,ca c b⊥，则||a b+=（）A．B C．3D．4（2）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，3a b ⋅=则向量a 与bλ（0λ≠）的夹角为（ ）A ．6πB ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π 【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列向量中与向量()010a =，，平行的向量是（ ）A ．()100b =，， B ．()010c =-，，C ．()111d =--，，D ．()001e =-，，2．（2020·全国高二课时练习）已知向量()1,0,1a =，()2,0,2b =-，若()()2ka b a kb +⋅+=，则k 的值等于（ ）A ．1B ．35C ．25D ．153．（2020·广西北流市实验中学高一期中）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是( )A ．（2,1,3）B ．（﹣2,﹣1,3）C ．（2,1,﹣3）D ．（2,﹣1,﹣3）4．（2020·全国高二课时练习）已知(1,1,2),(6,21,2)a b m λλ=+=-.（1）若//a b ，分别求λ与m 的值；（2）若||5a =，且与(2,2,)c λλ=--垂直，求a .考点二 坐标运算在几何中的运用【例2】（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M ，N 分别是AA1，CB1的中点.（1）求BM ，BN 的长. （2）求△BMN 的面积.【玩转跟踪】1．（2020·天水市第一中学高二月考（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，2CA CB=，13CC CB=，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）.A． B．C． D ．2352．（2020·全国高二课时练习） 在直三棱柱ABO­A1B1 O1中，∠AOB ＝π2 ，AO ＝4，BO ＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B 的坐标．考点三 最值问题【例3】（2020·全国高二课时练习）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，则A ，B 两点的距离的最小值为（ ）B． C．D ．35【玩转跟踪】1．（2020·江西高安中学高一期中（理））已知()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．241,,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．58,1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．258,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知点(1,2,3)A ，(2,1,2)B ，(1,1,2)P ，(0,0,0)O ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为________________．。

第3讲 空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。

知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )； (4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； (6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0； (7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则： (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB→|＝ (a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2 .名师导学【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是( ) A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【分析】点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点，即x ，z 不变，y 变为相反数． 【解答】解：点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点，即x ，z 不变，y 变为相反数，∴点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是(1，2-，3)．故选：B ．【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为( ) A ．(1-，2-，4)- B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)【分析】空间直角坐标系中，点关于y 轴对称，则y 值不变，x 和z 的值改变符号．【解答】解：空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，2-，4)关于y 轴对称的点为(1P '-，2-，4)-． 故选：A ．【例2-1】（钦州期末）已知(1a =，2，1)，(2b =，4-，1)，则2a b +等于( ) A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【分析】利用向量坐标运算性质即可得出．【解答】解：22(1a b +=，2，1)(2+，4-，1)(4=，0，3)， 故选：B ．【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值； (3)设|c |＝3，c ∥BC→，求c .【分析】对于(1)直接套两向量的夹角公式即可；对于(2)将向量垂直，转化为数量积为0求解；对于(3)利用共线向量求解．【解答】 (1)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1，|a |＝2，|b |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1010. (2)k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝k (1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，即2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.(3)∵c ∥BC→，又BC →＝(－2，－1,2)，∴设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，又|c |＝3， ∴(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝9，得λ＝±1. ∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ； (2)2a －3b ； (3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【分析】利用空间向量坐标运算公式计算即可. 【解答】(1)∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．∴a ＋b ＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a －3b ＝2(2，－1,3)－3(0，－1,2)＝(4，－2,6)＋(0,3，－6)＝(4,1,0)． (3)a ·b ＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7. (4)∵|a |＝22＋(－1)2＋32＝14， |b |＝02＋(－1)2＋22＝5， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝14－5＝9.【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )A.66 B ．－66C ．±66D ．±6【分析】利用向量数量积的计算公式变形和已知条件，将坐标带代入计算即可. 【解答】∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1,1)，∴cos 120°＝(OA →＋λOB →)·OB →|OA →＋λOB →||OB →|＝2λ2λ2＋1×2＝－12，可得λ<0，解得λ＝－66. 【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】先求出BC 中点D 的坐标，再代入两点间距离公式即可计算. 【解答】∵B (4，－3,7)，C (0,5,1)，∴BC 边上的中点D (2,1,4)．又A (3,3,2)， ∴|AD |＝(2－3)2＋(1－3)2＋(4－2)2＝3.【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为 ，||OM = ．【分析】点(a ，b ，)c 关于x 轴对称的点的坐标为(a ，b -，)c -，利用两点间距离公式能求出||OM ． 【解答】解：点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点， 点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1-，2-，3)-，||(OM =-．故答案为：(1-，2-，3)-名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(( ) A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)【分析】利用对称的性质和中点坐标公式直接求解．【解答】解：设空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(a ，b ，)c ， 则212122332abc +⎧=-⎪⎪-+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得4a =-，5b =，3c =， Q ∴点坐标为(4-，5，3)．故选：B ．2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为( ) A ．(3-，2-，1)- B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-【分析】根据点(A a ，b ，)c 关于xOy 平面的对称点为(A a '，b ，)c -，写出即可． 【解答】解：点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为(3A '，2，1)-．3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为( ) A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-【分析】点(a ，b ，)c 关于原点对称的点的坐标为(a -，b -，)c -． 【解答】解：点(1A ，2-，3)，∴点A 关于原点的对称点坐标为(1-，2，3)-．故选：B ．4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =--及(4,2,0)b =-则a b +等于( ) A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)【分析】根据空间向量的坐标运算，求和即可． 【解答】解：由向量(1,1,2)a =--，(4,2,0)b =-， 所以(3a b +=-，1，2)-． 故选：A ．5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a x b y c z a b c xyz =-==+=则的值为 ) A ．2±B ．2-C ．2D ．0【分析】利用空间向量运算法则、向量相等的性质直接求解．【解答】解：空间向量(1a =-，x ，1)，(3b =，1，)y ，(c z =，0，0)，a b c +=， (2∴，1x +，1)(y z +=，0，0)，∴21010z x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1x =-，1y =-，2z =， (1)(1)22xyz ∴=-⨯-⨯=．故选：C ．6．（丰台区期末）已知(2AB =，3，1)，(4AC =，5，3)，那么向量(BC = ) A ．(2-，2-，2)- B ．(2，2，2) C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)【分析】利用向量BC AC AB =-即可得出．【解答】解：向量(4BC AC AB =-=，5，3)(2-，3，1)(2=，2，2)，7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0) 【分析】利用空间点的对称性即可得出．【解答】解：由图形及其已知可得：点1B 的坐标为(4，5，3)，点1(0C ，5，3)关于点B 对称的点为(4-，5，3)-，点A 关于直线1BD 对称的点为1(0C ，5，3)，点(0C ，5，0)关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)． 因此ACD 正确． 故选：ACD ．8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b += ．【分析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点(x ，y ，)z 关于平面xoy 对称的点坐标为(x ，y ，)z -，可知答案．【解答】解：在空间直角坐标系中，两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，1b ∴=，4a =-， 413a b ∴+=-+=-． 故答案为：3-．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．【分析】在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原不的相反数，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，横、纵坐标均不变，竖坐标变为原不的相反数，再由两点间距离公式能求出||B C ''．【解答】解：在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为(1-，2-，3)-， 若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '， 则(1C '，1-，2)-，||B C ''∴故答案为：(1-，2-，3)-．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是 ；||OM = ．【分析】根据空间直角坐标系中，点(M x ，y ，)z 关于x 轴的对称点坐标是(M x '，y -，)z -； 以及两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是(1M '，1，1)-；||OM ．故答案为：(1，1，1)-11．（兴庆区校级期末）已知(2a =，3-，1)，(2b =，0，3)，(1c =，0，2)，则68a b c +-= ． 【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算即可．【解答】解：68(2,3,1)6(2,0,3)8(1a b c +-=-+-，0，2)(6=，3-，3)． 故答案为：(6，3-，3)．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，则a b += ． 【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解． 【解答】解：(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，∴(1a b +=-，1，5)．故答案为：(1-，1，5)．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，若2AB a =，则点B 的坐标是 ． 【分析】设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得(1x -，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标．【解答】解：点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，2AB a =， 设(B x ，y ，)z ，则(1x -，2y -，)(6z =，8，24)-， 解得7x =，10y =，24z =-，∴点B 的坐标(7，10，24)-．故答案为：(7，10，24)-．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，则||a b += 【分析】先利用向量坐标运算法则求出a b +，由此能求出||a b +． 【解答】解：向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，∴(4a b +=，3，12)， ∴||16913a b +=+．故答案为：13．15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''=，1，5)，求点B 的坐标．【分析】由题意可知AB B A A B ''''==-，且P 是线段AA '和BB '的中点，根据向量坐标运算性质即可得出． 【解答】解：由题意可知AB B A A B ''''==-，且P 是线段AA '和BB '的中点， 设(B x ，y ，)z ，则(1,3,3)(3,1,5)(3,1,5)AB x y z =+-+=-=--- 所以133135x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，解得428x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．∴点B 的坐标为(4-，2，8)-．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2) （1）求向量AB AC 与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．【分析】（1）(1AB =，1-，3)-，(2AC =-，2-，1)，计算可得cos ,||||AB ACAB AC AB AC <>=．（2）向量3AB AC AB k AC-+与向量垂直，可得22(3)()3(31)0AB AC AB k AC AB k AB AC k AC -+=+--=，即可得出．【解答】解：（1）(1AB =，1-，3)-，(2AC =-，2-，1)，2||1AB ==||3AC =．2233AB AC =-+-=-．∴cos ,||||3AB AC AB AC AB AC -<>===．（2）向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，∴22(3)()3(31)0AB AC AB k AC AB k AB AC k AC -+=+--=，311(31)(3)90k k ⨯+-⨯--=，解得2k =．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，求：()a b c -+、68a b c +-． （Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a 同向，且||214AB =． 【分析】（Ⅰ）利用空间向量运算法则能求出()a b c -+、68a b c +-．（Ⅱ）点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)，设点(B x ，y ，)z ，由向量AB 与a 同向，且||214AB =列出方程组能求出点B 坐标．【解答】解：（Ⅰ）向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，∴()(3a b c -+=，5，4)(2--，0，5)(1=，5，9)-．68(3a b c +-=，5，4)(12-+，0，18)(0-，0，16)(15=，5，2)-．（Ⅱ）点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)，设点(B x ，y ，)z ， 向量AB 与a 同向，且||214AB =，∴120123x y z -+⎧==>⎪-=， 解得1x =-，2y =，6z =，∴点B 坐标为(1-，2，6)．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b +，a b -，c 下的坐标为( ) A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,)22D ．51(,,1)22【分析】可设向量(1a =，0，0)，(0b =，1，0)，(0c =，0，1)；由此求出向量a b +、a b -，再设()()p x a b y a b zc =++-+，列方程组求出x 、y 和z 即可．【解答】解：设向量(1a =，0，0)，(0b =，1，0)，(0c =，0，1)； 则向量(1a b +=，1，0)，(1a b -=，1-，0)， 又向量(3p =，2，1)，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+， 则(3，2，1)(x y =+，x y -，)z ， 即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩， 解得52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在a b +，a b -，c 下的坐标为5(2，12，1)．故选：D ．2. （安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；11 / 11 (2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．【解析】(1)∵AP →∥BC →，∴设AP →＝λBC →，又BC →＝(3，－2，－1)，∴AP →＝(3λ，－2λ，－λ)，又|AP →|＝ 9λ2＋4λ2＋λ2＝214，得λ＝±2， ∴AP →＝(6，－4，－2)或AP →＝(－6,4,2)． 又A (0,2,3)，设P (x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝6，y －2＝－4，z －3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x －0＝－6，y －2＝4，z －3＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝－2，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6，z ＝5.∴P (6，－2,1)或(－6,6,5)．(2)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴∠BAC ＝60°.∴以AB →，AC →为邻边的平行四边行的面积 S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝14×32＝7 3.。

△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写
出下列点的坐标。
(1) A1 、 B1 、A、 D1；
(2) G;
射影法
z D
C
（1）A1 (2, -2, 0 ) 、 B1 (2, 2, 0 ) 、A
B
A(2,0, 2 3 )、 D1 (0, -2, 0 )
(2) G 4, 0, 2 3
3 3
A1
a
求空间直角坐标下 点的坐标的方法
广西玉林高中
1
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面 ABCD是矩形，AB=4, AD=2, 平行六面体高为 2 3 ，
a
顶点 D在底面 A1B1C1D1的 射影 O是 C1D1中 点，设 △AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写 出下列点的坐标。
点C0到达平面外C点的位置。若 求二面角A – BD –C的大小。 60°
a
解析：如图A(1, 0, 0) B(0, 1, 0)∵ CB ⊥ DB
∴ 可设 C（x, 1, z )（ z >0)
z
∵
，
x
解得 x= ，z = ∴ C（ ,1,
y
B
11
)
如图，四面体ABCD中，CA=BC=CD= BD=2，
公式法
D1 O
C1
x
y
6
例 在 平 行 六 面 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 底 面
ABCD是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为 2 3 ，
a
顶点 D在底面 A1B1C1D1的 射影 O是 C1D1中 点，设
△AB1D1的重心G，建立适当空间直角坐标系并写

求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
5
例5 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1

D1F1
z

A1B1 ，求
4
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
D
O
A
E1 B1
C B
B(1 , 1Βιβλιοθήκη , 0),E1
1
,
3 4
,
1

证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底
建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
对空间任一向量 a ,由空间
za
向量基本定理，存在唯一的有序实
A(a1 , a2 , a3 )
数组 (a1 , a2 , a3 ),使a a1i a2 j a3k. k
有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) 就
i Oj
y

空间向量的所有公式。

空间向量的所有公式1. 向量的定义公式如果 A 和 B 是两个点，则向量 A B 可以用坐标表示为AB = (Bx - Ax)i + (By - Ay)j + (Bz - Az)k2. 向量的模长公式向量的模长表示向量的大小，可以使用以下公式计算|AB| = sqrt((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2 + (Bz - Az)^2)3. 向量的加法公式设向量 A = (Ax, Ay, Az) 和 B = (Bx, By, Bz)，则 A + B 的结果可以表示为A +B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k4. 向量的减法公式设向量 A = (Ax, Ay, Az) 和 B = (Bx, By, Bz)，则 A - B 的结果可以表示为A -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k5. 向量的数量积公式向量的数量积可以使用以下公式计算A ·B = |A| |B| cosθ其中 |A| 和 |B| 分别表示 A 和 B 的模长，θ 表示两个向量之间的夹角6. 向量的向量积公式向量的向量积可以使用以下公式计算A ×B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k7. 向量的投影公式向量的投影表示一个向量沿着另一个向量的方向的分量，可以使用以下公式计算projAB = (A · B) / |B|其中 A 表示被投影向量，B 表示投影方向8. 向量的夹角公式向量的夹角可以使用以下公式计算cosθ = (A · B) / (|A| |B|)θ = acos((A · B) / (|A| |B|))其中 A 和 B 表示两个向量，θ 表示两个向量之间的夹角这些是空间向量的基本公式。

根据这些公式，可以进行向量的计算、分解等操作。

空间向量垂直公式坐标公式空间向量是三维空间中的向量，由三个实数表示，通常写作（x，y，z），其中x，y，z分别代表向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

两个向量的垂直性是指它们之间的夹角为90度，也就是说它们的内积为零。

内积是通过将两个向量对应分量相乘，并将结果相加而得到的标量。

对于空间向量u（u1，u2，u3）和v（v1，v2，v3），它们的内积可以表示为：u·v=u1v1+u2v2+u3v3两个向量垂直的条件是u·v=0。

为了更好地理解空间向量的垂直性，我们可以使用坐标公式。

两个向量垂直的条件可以转化为以下方程组：u1v1+u2v2+u3v3=0这是一个线性方程组，有无穷多个解。

我们可以通过任意选取u1，u2和u3的值，然后计算对应的v1，v2和v3的值，来得到满足条件的垂直向量。

例如，假设我们选择u1=1，u2=2和u3=3，那么方程组变为：v1+2v2+3v3=0我们可以选择v1=1，v2=-1和v3=1，这样满足方程组的条件。

所以向量（1，2，3）和（1，-1，1）是垂直的。

另外，我们还可以使用向量的几何性质来判断两个向量是否垂直。

如果两个向量的方向互相垂直，那么它们是垂直向量。

这可以通过观察向量的方向余弦来判断。

向量（x1，y1，z1）和（x2，y2，z2）的方向余弦可以表示为：cosθ = (x1x2 + y1y2 + z1z2) / √(x1² + y1² + z1²) √(x2² + y2² + z2²)其中θ是两个向量之间的夹角。

如果方向余弦为0，即cosθ = 0，那么它们是垂直向量。

总结起来，空间向量的垂直性可以通过内积公式和坐标公式判断。

两个向量垂直的条件是它们的内积为零，即u·v=0。

另外，两个向量的方向余弦为零也意味着它们是垂直的。

通过选择不同的分量值，我们可以获得满足条件的垂直向量。

探•知1究识梳 在理空间直角坐标系Oxyz中, 对空间任意一点A, 或任意一个向量OA, 你能
借助几何直观确定它们的坐标( x, y, z)吗 ? 事实上,如图1.3 5,过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面, 依次交
x轴、y轴和z轴于点B, C, D, 可以证明OA
z
在x轴、y轴和z轴上的投影向量分别为
以
1 3
OA,
1 4
OC ,
1 2
OD 为单位正交基底,
建立如图所示的空间直角坐
标系Oxyz.
(1) 写出D, C, A, B四点的坐标z ;
(2) 写出向量AB, BB, AC, AC 的坐标.
D
C
A O
B
C y
A x
B 图1.3-6
•向2 量运算的坐 标表示
探究 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出 空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐 标表示是完全一致的．
例如，我们有：
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去 起点坐标．
•向2 量运算的坐 标表示
类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
当b 0时, a // b a b a1 b1, a2 b2,a3 b3( R);
C1
A1
E1
B1
M
DO
C y
A练习4】如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CA ＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
5 课堂小结
不属于∉