向量法求空间距离教案

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决计算空间距离问题。

在向量坐标化的基础上，将空间中点到线、点到面、两条平行线及二平行平面角的距离问题，首先转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决空间距离问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。

1.教学重点：理解运用向量方法求空间距离的原理2.教学难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法多媒体一、情境导学如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A 处，修建一个蔬菜存储库。

如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A 点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些? 答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离; 传统方法和向量法. 二、探究新知一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 1.点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为μ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点.设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·μ)μ.点P 到直线l 的距离为PQ=√a 2−(a ·μ)2. 2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l ,m 之间的距离,可在其中一条直线l 上任取一点P ,则两条平行直线间的距离就等于点P 到直线m 的距离.点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.1.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E ,F 分别是C 1C ,D 1A 1的中点,则点A 到直线EF 的距离为 .答案:√1746解析:如图,以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1), FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),∴|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(−2)2+12=√6, ∴直线EF 的单位方向向量μ=√66(1,-2,1),∴点A 到直线EF 的距离d=√|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(−√66)2=√296=√1746.二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 点到平面的距离已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为PQ=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|.点睛：1.实质上,n 是直线l 的方向向量,点P 到平面α的距离就是AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量QP⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度. 2.如果一条直线l 与一个平面α平行,可在直线l 上任取一点P ,将线面距离转化为点P 到平面α的距离求解. 3.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P ,可将两个平行平面的距离转化为点P 到平面β的距离求解.2.在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD 1C 的距离为 .答案: 83 解析:以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),C (0,2,0),D 1(0,0,4),B 1(2,2,4),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,4),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,0), 设平面AD 1C 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−2x +2y =0,−2x +4z =0.取z=1,则x=y=2,所以n =(2,2,1). 所以点B 1到平面AD 1C 的距离d=|n·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=83.三、典例解析例1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B 到直线A 1C 1的距离.解:以B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(4,0,1),C 1(0,3,1),所以直线A 1C 1的方向向量A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,3,0),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,1),所以点B 到直线A 1C 1的距离d=√|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=√10−(95)2=135.用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点: (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点; (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.延伸探究1 例1中的条件不变,若M ,N 分别是A 1B 1,AC 的中点,试求点C 1到直线MN 的距离.解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略). 则M (2,0,1),N (2,32,0),C 1(0,3,1),所以直线MN 的方向向量为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,−1)，MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,3,0), 所以点C 1到MN 的距离d=√|MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=2√28613. 延伸探究2 将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B 到A 1C 1的距离.解:以B 为坐标原点,分别以BA ,过B 垂直于BA 的直线,BB 1为x 轴,y轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则B (0,0,0),A 1(2,0,2),C 1(1,√3,2),所以A 1C 1的方向向量A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,0),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2), 所以点B 到直线A 1C 1的距离d=√|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=√8−(−1+3+02)2=√8−1=√7.例2 在三棱锥S-ABC 中,△ABC 是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC ,SA=SC=2√3M ,N 分别为AB ,SB 的中点,如图所示.求点B 到平面CMN 的距离.思路分析 借助平面SAC ⊥平面ABC 的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN 的法向量,再求距离. 解:取AC 的中点O ,连接OS ,OB.∵SA=SC ,AB=BC ,∴AC ⊥SO ,AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC ,平面SAC ∩平面ABC=AC , ∴SO ⊥平面ABC.又BO ⊂平面ABC ,∴SO ⊥BO.如图所示,分别以OA ,OB ,OS 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz ,则B (0,2√3,0),C (-2,0,0),S (0,0,2√2),M (1,√3,0),N (0,√3,√2). ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,0),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,0). 设n =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量, 则{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =3x +√3y =0,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =−x +√2z =0,取z=1, 则x=√2,y=-√6,∴n =(√2,-√6,1).∴点B 到平面CMN 的距离d=|n·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=4√23.求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法:d=|n·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|(n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点A的斜线段)跟踪训练1 在直三棱柱中,AA 1=AB=BC=3,AC=2,D 是AC 的中点.(1)求证:B 1C ∥平面A 1BD ;(2)求直线B 1C 到平面A 1BD 的距离.(1)证明:连接AB 1交A 1B 于点E ,连接DE. DE ∥B 1C,DE ⊂平面A 1BD}⇒B 1C ∥平面A 1BD.(2)解:因为B 1C ∥平面A 1BD ,所以B 1C 到平面A 1BD 的距离就等于点B 1到平面A 1BD 的距离.如图建立坐标系,则B 1(0,2√2,3),B (0,2√2,0),A 1(-1,0,3), DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,3), DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0), DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,3).设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),所以{2√2y =0,−x +3z =0,所以n =(3,0,1). 所求距离为d=|n·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=3√1010.金题典例 如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=90°,BC=2,CC 1=4,点E 在棱BB 1上,EB 1=1,D ,F ,G 分别为CC 1,B 1C 1,A 1C 1的中点,EF 与B 1D 相交于点H.(1)求证:B 1D ⊥平面ABD ;(2)求证:平面EGF ∥平面ABD ; (3)求平面EGF 与平面ABD 的距离.思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距. (1)证明:如图所示建立空间直角坐标系, 设AB=a ,则A 1(a ,0,0),B 1(0,0,0),C 1(0,2,0),F (0,1,0),E (0,0,1),A (a ,0,4),B (0,0,4),D (0,2,2), G (a2,1,0).所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,0,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2). 所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+0=0,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+4-4=0. 所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以B 1D ⊥AB ,B 1D ⊥BD.又AB ∩BD=B ,所以B 1D ⊥平面ABD.(2)证明:由(1)可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(-a ,0,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ==(0,2,-2),GF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a2,0,0),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(0,1,-1),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ==2GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ==2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以GF ∥AB ,EF ∥BD.A.12B.√24C.√22D.√32答案:B解析:建立坐标系如图,则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),O (12,12,1).∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1).设n =(1,y ,z )是平面ABC 1D 1的一个法向量, 则{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y =0,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =−1+z =0,解得y=0,z=1,∴n =(1,0,1).又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,−1),∴点O 到平面ABC 1D 1的距离为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|=12√2=√24.4.Rt △ABC 的两条直角边BC=3,AC=4,PC ⊥平面ABC ,PC=95,则点P 到斜边AB 的距离是 . 答案:3解析:以点C 为坐标原点,CA ,CB ,CP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A (4,0,0),B (0,3,0),P (0,0,95),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,3,0), AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,95), 所以点P 到AB 的距离d=√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=√16+8125−25625=3.5.棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是线段BB 1,B 1C 1的中点,则直线MN 到平面ACD 1的距离为 . 答案:√32解析:如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.则D (0,0,0),C (0,1,0),D 1(0,0,1),M (1,1,12),A (1,0,0),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1). 设平面ACD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−x +y =0,−x +z =0.令x=1,则y=z=1,∴n =(1,1,1).∴点M 到平面ACD 1的距离d=|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|=√32.故直线MN 到平面ACD 1的距离为√32.四、小结教学中主要突出了几个方面：一是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序，发展学生的数学建模思想和逻辑推理能力。

1.4.2用空间向量研究距离、夹角（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1. 能利用投影向量得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．2. 能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题．3. 结合一些具体的距离问题的解决，体会向量方法在研究距离问题中的作用，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.二、教学重难点1. （重点）利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．.2. （难点）利用投影向量统一研究空间距离问题.三、教学过程1.公式的推导1.1复习回顾【实际情境】如图，在空间中任取一点，作，.问题1：（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？【活动预设】学生回忆已学的概念、讨论交流．【预设的答案】（1）； （2）过点作垂直于直线，垂足为，向量即为向量在向量方向上的投影向量；（3），即，.【设计意图】投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向O OM = a ON = b b u a b u a b ||b u =b M 1MM ON 1M 1OMab 1=cos=cos |)|(OM θθ |a |u |u u =a |u a u 1=()OM a u u 1||=||OM a u x量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.1.2探究思考，提炼公式探究一：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P 是直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？【活动预设】结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接，得到向量在直线直线上的投影向量，表示投影向量，求.进而利用勾股定理，可以求出点到直线的距离.【预设的答案】如图，设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.【设计意图】学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程， 发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.问题2：若与直线垂直，点到直线【预设的答案】若与直线垂直，则.问题3：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及直线，l u A l l P l AP APl AQAQ ||AQ P l PQ AP = a AP l |cos |cos |()AQ PAQ PAQ =∠=∠= a |u a |u |u a u u Rt AQP △PQ ==AP l P l AP l 0= a u ||||PA PQ ==P l那么点应该如何确定？【预设的答案】 点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点的变化而变化，故点可以是直线上的任意一点.问题4：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？【预设的答案】不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.【设计意图】通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点到直线距离问题时，只需该点和直线上的任意一点确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.教师讲授：要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点到直线距离问题时，只需直线的方向向量及直线上的任意一点，这样得到参考向量或， 再求得直线的单位方向向量带入公式即可.问题5：求点到直线距离的主要有哪些方法？【预设的答案】(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.思考：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？【预设的答案】在其中一条直线上任取一点，将求两条平行直线之间的距离转化为求点到另一条直线的距离.【设计意图】根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.A A A l P l P l A P l l l A AP PA P P2探究二 已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点.过点作出平面的垂线，交平面于点.类比点到直线距离的研究过程，如何用向量表示？【预设的答案】如图,向量在直线上的投影向量是，且. 问题6：点到平面的距离应该怎样表示？【预设的答案】 . 【设计意图】 教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题7： 在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及平面，那么点应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点在平面内的投影以及垂线段？【预设的答案】点可以是平面内的任意一点.不需要找出点在平面内的投影以及垂线段.【活动预设】教师提出问题串，引导学生思考，加深对公式的理解，教师总结.αn A αP αP αl αQ AP QP APl QP |cos QP AP PAQ =∠ n ||n |P α|||||||||cos |||||AP QP AP PAQ ⋅=∠= n n n n P αA P αA αPα教师讲授：求解点到平面距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面的法向量及平面内的任意一点，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.【设计意图】 类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.思考：如果直线与平面平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？【预设的答案】 先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.【设计意图】 通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.问题8：求点到平面的距离主要有哪些方法？【预设的答案】 (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离.P αααA l α1111ABCD A B C D -E 11A B F AB B 1AC FC 1AEC【活动预设】学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点在直线上，因此，可以选择作为参考向量.事实上，可以选择直线上的任意一点和确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量不唯一.【预设的答案】解：以为原点， ，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，,,,,. （1） 取，，则 ，． 所以，点到直线． (2) 因为，所以，又面，面，所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离．设平面的法向量为，则 所以 所以取，则，,所以，是平面的一个法向量,又因为， A 1AC AB 1AC F 1AEC 1D 11D A 11D C 1D D x y z (1,0,1)A (1,1,1)B (0,1,1)C 1(0,1,0)C 1(1,,0)2E 1(1,,1)2F (0,1,0)AB = 1(1,1,1)AC =-- 1(0,,1)2AE =- 11(1,,0)2EC =- 1(1,,0)2FC =- 1(0,,0)2AF = (0,1,0)AB == a 11||1,1,1)AC AC ==-- u 21=a ⋅=a u B 1AC ==11(1,,0)2FC EC ==- 1//FC EC FC ⊄1AEC 1EC ⊂1AEC //FC 1AEC F 1AEC FC 1AEC 1AEC (,,)x y z =n 10,0.AE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩2,.y z x z =⎧⎨=⎩1z =1x =2y =(1,2,1)=n 1AEC 1(0,,0)2AF =所以点到平面的距离为即直线到平面【设计意图】通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问： 求两种距离的步骤是怎样的？【活动预设】学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.【预设的答案】点到直线的距离 ：第一步：建系，在直线上任取一点 (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标. 第二步： 依据图形先求出直线的单位方向向量.第三步：带入公式求解.点到面的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”；第二步：确定平面的法向量；第三步： 带入公式求值.【设计意图】总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3. 梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到F 1AEC ||||AF ⋅== n n FC 1AEC P l l A AP PA l u P αAP αn了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.四、课后作业1．在棱长为的正方体中，点到平面的距离等于_________；直线到平面的距离等于________；平面到平面的距离等于__________．2．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）ABCD3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．如图，在棱长为的正方体中，求平面与平面的距离．11111ABCD A B CD -A 1B C CD1AB 1DA 1CB l (2,3,1)A (0,1,1)=n ()4,3,2P l α()2,2,1=--n ()1,3,0A -α()2,1,4P -α1038310311111ABCD A B C D -1A DB 11D CB【设计意图】作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距离.这样可以使学生巩固课上所学习的知识，提升对公式的应用能力.。

山西大学附中高二年级（上）数学导学设计 编号42用向量方法求空间距离【学习目标】会用向量方法求空间距离【学习重点】会用向量方法求空间距离【学习难点】会用向量方法求空间距离【学习过程】一． 导读空间中距离的向量求法：（1）两点),,(),,,(222111z y x B z y x A 间的距离==||AB d（2）已知点P 和直线l 上任一点A ，向量为直线l 的法向量，则点P 到直线l 的距离可表示为（3）已知点P 和平面α上任一点A ，向量n 为平面α的法向量，则点P 到平面α的距离可表示为二．导练1.如图，正方形ABEF ABCD ，的边长都是1，而且平面ABEF ABCD ，相互垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若)20(<<==a a BN CM .（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小？2.已知正方形ABCD 的边长为4，AD AB F E ,分别是，的中点，2=⊥GC ABCD GC ，且平面，求点B 到平面EFG 的距离.3.如图，已知斜三棱柱2,90,-111==︒=∠BC AC BCA C B A ABC ，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知.11AC BA ⊥(1)求证：BC A AC 11平面⊥；(2)求1CC 到平面AB A 1的距离.三．目标检测1.如图，已知在︒60的二面角中，βα-l -D l BD C l AC B A 于于⊥⊥∈∈,,,βα，并且====CD AB BD AC 则,5,2,12.在直三棱柱G F D EB CC BC ABC C B A ABC ,,,1,4,2,90,-11111===︒=∠分别为11111,,C A C B CC 的中点，D B EF 1与相交于点H .（1）求证：ABD BD 平面⊥1；（2）求证：ABD EGF 平面平面//；（3）求ABD EGF 与平面平面的距离.。

3.2 立体几何中的向量方法(空间距离的求法)【教学目标】1.理解空间距离（点到点，点与直线，点与平面，异面直线，直线与平面和平面到平面的距离）的 有关概念。

2.能借助向量的方法求空间的距离。

【知识梳理】向量法求距离的方法：（1）点面距离的向量公式：平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是在向量n 方向射影的绝对值，即||n n MP d =.（2）线面、面面距离的向量公式：（可转化为点面距离求解）（3）异面直线的距离的向量公式：设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是在向量n 方向射影的绝对值，即||n n MP d =.例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1.求：（1）A 、B 两点间的距离；解：设,,===,,1||||||<===（1）||=∴∴ A 、B （2）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为z y x ++=，由AB n ⊥得0z 3y 2x 30)()z y x (=++⇒=++⋅++①； 由CD n ⊥得0y 0b )c z b y a x (=⇒=⋅++②，令x=1，则由①、②可得z=-1，∴-=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为21||d ===⋅=. 【说明】对于图形是“斜”的，求夹角与距离的问题，虽然不便于建立空间直角坐标系，同样也可以利用平面的法向量转化为向量的计算问题.例2．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2，2==AD AB（1）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（2）求点E 到平面ACD 的距离.（1）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (-1，0，0)，C (0，3，0)，A (0,0,1),E (21,23,0),).0,3,1(),1,0,1(--=-=CD BA∴,42=∙=CD BA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.42arccos（2）解：设平面ACD 的法向量为n =(x,y,z ),则⎪⎩⎪⎨⎧=-∙=∙=--∙=∙,0)1,3,0(),,(,0)1,0,1(),,(z y x AC n z y x n ∴⎩⎨⎧=-=+.03,0z y z x 令y=1，得n=(-3,1,3)是平面ACD 的一个法向量.又),0,23,21(-=∴点E 到平面ACD 的距离h=.72173|||·|==n n EC 例3. 如图所示,已知四边形ABCD 、EADM 和MDCF 都是边长为a 的正方形,点P,Q 分别是ED 和AC 的中点.求:(1)P 点到平面EFB 的距离;(2)异面直线PM 与FQ 的距离. 解：建立空间直角坐标系，使得Ｄ（０，０，０）、 Ａ（a ，０，０）、Ｂ（a,a,0）,Ｃ(0,a,0)、Ｍ(0,0,a)、Ｅ(a,0,a)、Ｆ(0,a,a)，则由中点坐标公式得：P(2,0,2aa ),Q(0,2,2a a ).（1）设),,(z y x =是平面的法向量， 因为),,0().0,,(a a a a -=-=,0000z y x az ay ay ax EF n ==⇒⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅取x=y=z=1 则)1,1,1(= 又)2,0,2(a a =所以所求的距离为.33||a n d ==（2）设),,(z y x =是两异面直线的公垂线上的方向向量，则由),2,2(),2,0,2(a a a FQ a a PM --=-=得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-022022az y a x a z a x a，取x=1,可得：)1,1,1(-=e 而3||.),0,,0(=-=⋅=a a 所以所求的距离为a e d 33||==例4．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900，侧棱AA 1=2，D 、E 分别为CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ΔABD 的重心G ，求点A 1到平面AED 的距离. 解：如图建立以C 为原点的坐标系C-xyz ，设CA=2a,则A （2a ，0，0），B （0，2 a ，0）， D （0，0，1），E （a ，a ，1），A 1（2a ，0，2），)31,32,32(a a G )2,0,0(),0,1,1(),1,0,2(1==-=AA ， 设平面AED 的法向量为),,(z y x n =， 点A 1到平面AED 的距离为：362|)2()(22)(00|||222=+-+⋅+-⋅+⋅==x x x x x x n d例5．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E 、F 分别在A 1B 、B 1D 1上，且1111111,33A F AB B F B D ==⑴求证：EF//平面ABC 1D 1 ⑵求EF 与平面ABC 1D 1的距离解：⑴建立如图坐标系B-xyz ，则),3,3(),32,0,32(a aa F a a E ，故),,0(),0,0,(),3,3,3(1a a BC a aa a ==-=设),,(z y x n =是平面ABC 1D 1的法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001BC ⎩⎨⎧=+=⇒00az ay ax 令z=1得)1,1,0(-=，0)1,1,0()3,3,3(=-⋅-=⋅aa a ，⊥∴，故EF//平面ABC 1D 1⑵由（1）得：)32,0,32(a a BE =，32)1,1,0()32,0,32(aa a n BE =-⋅=⋅∴ 32a d ==∴ 【知识方法总结】1．理解空间各种距离的定义，并掌握它们之间相互转化，如异面直线间距离可转化到线面距离、面面距离，而线面距离、面面距离又可转化到点面距离求解。

课题课型 新课型教学目标：1．理解点到平面的距离的概念．2．能灵活运用向量方法求各种空间距离．3．体会向量法在求空间距离中的作用． 教学重、难点：两点间的距离，点到平面的距离两异面直线间的距离，线面距、面面距向点面距的转化 教学方法：讲练结合教学内容：点到平面距离的求法如图，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，|BO →|＝|BA →|·cos ∠ABO ＝|BA →|·|BO →|·cos ∠ABO |BO →|.如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到B 点到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n ||n |.【例题精讲】例1 如图所示，在120°的二面角α -AB -β中，AC ⊂α，BD ⊂β且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A 、B ，已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．教学流程：【目标检测】1．在空间直角坐标系中，已知P(－1,0,3)，Q(2,4,3)，则线段PQ的长度为()．A．10B．5 C．29 D．342．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点A 到平面B1D1DB的距离为()．A．2B．2 C．22D．3223．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到面A1BC的距离为()．A．34B．32C．334D．34．空间直角坐标系中，已知A(2,3, 4)，B(－2,1,0)，C(1,1,1)，那么点C到线段AB中点的距离是________．5．如图，在120°的二面角的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8．求CD的长度．。

向量法求空间点到平面的距离教案【教学目标】1.了解空间点到平面的定义和距离的概念；2.掌握使用向量法求解空间点到平面的距离；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

【教学准备】1.教材：高中数学课本；2.工具：黑板、白板、彩色笔等。

【教学过程】一、导入（5分钟）1.教师在黑板上写出“空间点到平面的距离”这个问题，引导学生进行思考和讨论：a.你们见过或听说过空间点到平面的距离吗？b.你们对空间点到平面的距离有什么理解和想法？2.请几名学生发表自己的想法和看法，然后老师进行总结，引入本节课的学习内容。

二、概念解释（10分钟）1.教师向学生解释空间点到平面的定义和距离的概念，给出数学定义和几何解释，并通过图例进行说明。

2.通过讲解和解释后，教师带领学生一起回顾和掌握空间点和平面的基本概念和性质。

三、知识点讲解（20分钟）1.教师先通过几个简单的例题引导学生了解向量法求解空间点到平面的距离的基本思路和方法。

2.教师详细讲解向量法求解空间点到平面的距离的步骤和原理：a.给定空间内的一点P(x0,y0,z0)，平面的方程为Ax+By+Cz+D=0；b.过点P作平面的垂线PT，设垂足为T(x1,y1,z1)；c.则P点到平面的距离d为向量PT的模长，即d=，PT；d.向量PT的方向为向量n=(A,B,C)；e.推出向量PT的坐标表示为PT=(x1-x0,y1-y0,z1-z0)；f.由于向量PT与向量n垂直，所以向量PT与向量n的点积为0；g.即(A,B,C)·(x1-x0,y1-y0,z1-z0)=0；h.由此可以求得x1、y1、z1，并代入向量PT的代数表达式，进而得到向量PT的模长，PT；i.则P点到平面的距离d即为，PT。

3.通过几个具体的例题，帮助学生理解和掌握向量法求解空间点到平面的距离的步骤和方法。

四、实践演练（15分钟）1.教师设计几个实际应用的例题，让学生运用向量法求解空间点到平面的距离，并进行计算。

全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）《空间向量的应用—距离》教学设计一、教学内容解析本节课是参照新课标高中数学人教B版数学选修2-1第三章空间量与立体几何3.2.5距离一节．它是空间向量及其运算之后，将其方法在立体几何中的应用，属于概念性知识和程序性知识．本课虽篇幅不长，但从学生的角度讲仍占有较高的地位，是对以往所学知识的梳理、归纳和提升，使学生从另一个视角认识空间向量的应用．通过观察，思考，动手操作可使其深刻理解数学源于生活，应用于生活，进而产生浓厚的数学学习兴趣，体会综合几何法和向量方法各自的优势，在学习的过程中深刻体会类比思想、化归思想等数学思想方法，让学生初步形成数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等学科核心素养．这部分知识的学习，不仅对学生核心素养的形成起到巨大的促进作用，更让学生深刻体会程序化思想，以及寻找一些问题的通性通法。

教学重点：四种距离的概念，点到平面距离的求法．二、教学目标设置课程目标：在必修课程学习的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何图形中图形的位置关系和度量关系。

单元目标：本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何法的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。

课堂目标：通过本小节的教学，是学生达到以下要求：（1）理解图形F1与图形F2的距离的概念；（2）掌握四种距离的概念，会解决一些简单的距离问题．（3）学生能够独立用向量方法解决四类距离问题（4）学生能够利用数学抽象的方法发现生活中的距离问题；利用类比的方法总结并推广向量基本定理；利用化归的方法由点到平面的距离的向量解法推广到求直线与它平行平面、两平行平面的距离．三、学生学情分析教学主体——学生是普通高中二年级学生，已经掌握了立体几何初步以及空间向量与立体几何的基本内容．学生已经具有一定的观察、类比、化归、直观想象和逻辑推理的能力，具有初步的抽象思维和科学探究能力．学生在学习生活中可能已经遇到过求图形距离的相关事例，但对于空间向量求距离仍是比较陌生的．通过教师引导可以将学生已学过的空间向量知识应用到求解几何图形的距离上来，这是学生在老师的帮助下搭建图形距离与空间向量体系的桥梁。

一、教案基本信息1. 向量法求空间距离教案2. 适用课程：高等数学、空间解析几何等3. 教学目标：让学生掌握向量法求空间两点间的距离公式培养学生运用向量知识解决实际问题的能力提高学生对空间几何概念的理解和运用二、教学内容及课时安排1. 第一课时：向量法求空间两点间的距离公式介绍向量的概念回顾空间直角坐标系介绍两点间的向量表示距离公式的推导2. 第二课时：向量法求空间距离的例题讲解与练习利用距离公式解决简单问题引导学生运用向量法解决实际问题课堂练习与讨论3. 第三课时：向量法求空间距离在实际问题中的应用利用向量法求空间直线、平面与其他几何体的距离引导学生运用向量法解决实际工程问题课堂练习与讨论4. 第四课时：向量法求空间距离的拓展与应用空间向量的其他运算向量法在空间解析几何中的应用课堂练习与讨论5. 第五课时：总结与复习回顾本节课的主要内容巩固向量法求空间距离的知识点布置课后作业三、教学方法与手段1. 采用讲授法、案例分析法、讨论法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。

2. 利用多媒体课件、黑板、模型等教学手段，直观展示空间几何图形，帮助学生更好地理解向量法求距离的过程。

四、教学评价1. 课后作业：检查学生对向量法求空间距离公式的掌握程度。

2. 课堂练习：观察学生在实际问题中运用向量法的熟练程度。

3. 学生互评：鼓励学生之间相互讨论、交流，提高解决问题的能力。

五、教学资源1. 教材：高等数学、空间解析几何等相关教材。

2. 多媒体课件：展示空间几何图形，直观地呈现向量法求距离的过程。

3. 模型：用于直观展示空间几何图形，帮助学生更好地理解向量法求距离的概念。

4. 课后作业：提供一定数量的练习题，巩固学生对向量法求空间距离的掌握程度。

六、教学过程设计导入新课通过一个实际问题引入：在空间中，如何计算两点之间的距离？回顾已学的传统方法（如坐标差求和后开方），并提出向量方法作为一种更一般的解决方案。

探究新知介绍向量表示两点间的距离，即使用坐标表示的向量差来求距离。

向量法求空间距离教案第一章：向量概念回顾1.1 向量的定义1.2 向量的表示方法1.3 向量的基本性质1.4 向量的运算规则第二章：空间直角坐标系2.1 空间直角坐标系的定义2.2 坐标轴之间的夹角2.3 点的坐标表示方法2.4 向量在坐标系中的表示第三章：向量坐标的计算3.1 向量坐标的定义3.2 向量坐标的计算方法3.3 向量坐标的几何意义3.4 向量坐标的运算规则第四章：空间两点间的距离4.1 空间两点间的距离定义4.2 空间两点间的距离计算方法4.3 空间两点间的距离公式推导4.4 空间两点间距离的特殊情况第五章：向量法求空间距离5.1 向量法求空间距离的定义5.2 向量法求空间距离的步骤5.3 向量法求空间距离的应用实例5.4 向量法求空间距离的扩展练习第六章：空间向量的加法与减法6.1 空间向量加法的定义与性质6.2 空间向量减法的定义与性质6.3 空间向量加法与减法的几何意义6.4 空间向量加法与减法的运算实例第七章：空间向量的数乘7.1 空间向量数乘的定义与性质7.2 空间向量数乘的几何意义7.3 空间向量数乘的运算规则7.4 空间向量数乘的应用实例第八章：空间向量的点积与叉积8.1 空间向量的点积定义与性质8.2 空间向量的叉积定义与性质8.3 空间向量的点积与叉积的几何意义8.4 空间向量的点积与叉积的运算规则第九章：空间距离的向量法应用9.1 空间点到直线的距离9.2 空间点到平面的距离9.3 空间两直线间的距离9.4 空间两平面间的距离第十章：综合练习与拓展10.1 综合练习题10.2 综合练习题答案解析10.3 向量法求空间距离的拓展应用10.4 向量法求空间距离的拓展练习题重点和难点解析一、向量概念回顾补充说明：向量是具有大小和方向的量，它可以用箭头表示。

向量的基本性质包括相等、相反、倍数等，向量的运算规则包括加法、减法和数乘等。

二、空间直角坐标系补充说明：空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成的，每个点在坐标系中都可以表示为一个有序实数对。

课题：向量法求空间的距离 使用时间： 2012-11- 10编制人：文吉洪 审核人： 审批人：[使用说明及学法指导]1、先精神读一遍教材，用红色笔进行勾画，再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答，时间不超过20分钟；2、限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A 完成所有题目，对于选做部分，BC 层可以不做；3找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； [学习目标]1、通过将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值运算，即借助向量法使解题模式化，用机械性操作把问题转化。

【课前预习】 一、预习导学：1、点到平面的距离(如图1)：平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 ，即d =||||n n MP ⋅.2、异面直线的距离(如图2)：设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是 ，即d =||||n n MP ⋅ 3、线到平面的距离(如图3)：平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是 ，即d =||||n n MP ⋅. 4、平面到平面的距离(如图4)：平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是 ，即d =||||n n MP ⋅. 二、预习检测1、如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO —A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为 .2、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为3、已知直线l 垂直平面α，而平面α的一个法向量为)5,3,2(-=→a ，则l 的一个方图1图3图4向向量为（ ）A )15,9,6(--B )15,9,6(-C )2,2,2(-D )2,2,2(-- 4、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，则点1A 到平面11D ABC 的距离为（ ） A2aB 22aC 42aD 32a[我的疑惑][课内探究] 探究点一：[例1] 如图5，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，求异面直线1AA 与1BD 的距离。

第9讲向量法求空间距离、折叠及探索性问题1.会求空间中点到直线、点到平面的距离.2.会用向量法探究空间几何体中线、面的位置关系、角的存在条件与折叠问题.1.点P 到直线l 的距离设AP →＝a ，u 是直线l 的单位方向向量，则向量AP →在直线l 上的投影向量AQ →＝(a ·u )u .在Rt △APQ 中，由勾股定理，得PQ ＝|AP →|2－|AQ →|2＝□1a 2－（a ·u ）2.2.点P 到平面α的距离若平面α的法向量为n ，平面α内一点为A ，则平面α外一点P 到平面α的距离d ＝|AP →·n |n ||＝□2|AP →·n ||n |，如图所示.3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.()(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.()(3)直线l 平行于平面α，则直线l 上各点到平面α的距离相等.()(4)直线l 上两点到平面α的距离相等，则l 平行于平面α.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2.回源教材(1)已知平面ABC 的一个法向量为n ＝(1，2，1)，向量AF →＝(0，12，0)，则点F到平面ABC 的距离为.解析：由题意，点F 到平面ABC 的距离为|AF →·n ||n |＝|（0，12，0）·（1，2，1）|6＝66.答案：66(2)已知直线l 经过点A (2，3，1)，且向量n ＝(22，0，22)为l 的一个单位方向向量，则点P (4，3，2)到l 的距离为.解析：因为PA →＝(－2，0，－1)，且n ＝(22，0，22)为l 的一个单位方向向量，故点P 到l 的距离为d ＝|PA →|2－(PA →·n )2)＝5－（－2－22）2＝22.答案：22(3)已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离为.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1，0，0)，C 1(0，1，0)，D (0，0，1)，A (1，0，1)，所以DA 1→＝(1，0，－1)，DC 1→＝(0，1，－1)，AD →＝(－1，0，0)，设平面A 1C 1D 的一个法向量为m ＝(x ，y ，1)⊥DA 1→，⊥DC 1→，－1＝0，－1＝0，解＝1，＝1，故m ＝(1，1，1)，显然平面AB 1C ∥平面A 1C 1D ，所以平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离d ＝|AD →·m ||m |＝13＝33.答案：33利用空间向量求距离点到直线的距离例1如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为平面A 1ABB 1的中心，E 为BC 的中点，求点O 到直线A 1E 的距离.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1，0，1)，E (12，1，0)，O (1，12，12)，因为A 1E →＝(－12，1，－1)，u ＝A 1E →|A 1E →|＝(－13，23，－23)，取a ＝OA 1→＝(0，－12，12)，所以a 2＝12，a ·u ＝－23.所以点O 到直线A 1E 的距离为a 2－（a ·u ）2＝12－49＝26.反思感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量.(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.点到平面的距离例2如图，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，AD的中点，CG 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且CG ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为.解析：因为CG ⊥平面ABCD ，CD ，CB ⊂平面ABCD ，所以CG ⊥CD ，CG ⊥CB ，因为CD ⊥CB ，所以以C 为原点，CD ，CB ，CG 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，B (0，4，0)，E (2，4，0)，F (4，2，0)，G (0，0，2)，所以FE →＝(－2，2，0)，EG →＝(－2，－4，2)，BE →＝(2，0，0).设平面EFG 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，·FE→＝－2x ＋2y ＝0，·EG→＝－2x －4y ＋2z ＝0，令x ＝1，则m ＝(1，1，3)，所以点B 到平面EFG的距离为d＝|BE→·m|m||＝|21＋1＋9|＝21111.答案：21111反思感悟用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP→，α内两个不共线向量，平面α的法向量n).(4)求距离：d＝|AP→·n||n|.训练1如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(23，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4).∵N是CC1的中点，∴N(0，4，2).(1)AN→＝(0，4，2)，AB→＝(23，2，0)，则|AN→|＝25，|AB→|＝4，设点N到直线AB的距离为d1，则d1＝|AN→|2－(AN→·AB→|AB→|)2)＝20－4＝4.(2)设平面ABN的一个法向量为n＝(x，y，z)，·AB→＝23x＋2y＝0，·AN→＝4y＋2z＝0，令z＝2，则y＝－1，x＝3 3，即n＝(33，－1，2).易知C1N→＝(0，0，－2)，设点C1到平面ABN的距离为d2，则d2＝|C1N→·n |n| |＝|－4433|＝ 3.折叠问题例3(2024·苏北四市质检)已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB＝2，圆周上有C，D两点.如图，OC⊥AB，∠AOD＝π6，点P是BD︵上的动点.沿AB将纸片折为直二面角，并连接PO，PD，PC，CD.(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；(2)当三棱锥P-COD的体积最大时，求平面OPD与平面CPD夹角的余弦值.解：(1)因为AB ∥平面PCD ，AB ⊂平面OPD ，平面OPD ∩平面PCD ＝PD ，所以AB ∥PD ，又∠AOD ＝π6，所以∠ODP ＝∠OPD ＝π6，所以∠POD ＝2π3，又OD ＝OP ＝1，所以PD ＝ 3.(2)由题意知OC ⊥平面POD ，而S △DOP ＝12·OD ·OP ·sin ∠DOP ，所以当OD ⊥OP 时，三棱锥P -COD 的体积最大.易知OC ，OD ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，OC →，OP →，OD →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则C (1，0，0)，D (0，0，1)，P (0，1，0)，故PC→＝(1，－1，0)，DP →＝(0，1，－1).设平面CPD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z ).·n 1＝0，·n 1＝0，－y ＝0，－z ＝0，取y ＝1，得x ＝1，z ＝1，得平面CPD 的一个法向量为n 1＝(1，1，1).易知平面OPD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)，设平面OPD 与平面CPD 的夹角为θ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝33，所以平面OPD 与平面CPD 夹角的余弦值为33.反思感悟翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.训练2(2024·泉州模拟)如图①，在等腰直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB上的高，以CD 为折痕把△ACD 折起，使点A 到达点P 的位置，且∠PBD ＝60°，E ，F ，H 分别为PB ，BC ，PD 的中点，G 为CF 的中点(如图②).图①图②(1)求证：GH ∥平面DEF ；(2)求直线GH 与平面PBC 所成角的正弦值.解：(1)证明：连接BH ，与ED 相交于点M ，连接MF ，因为三角形ABC 是等腰直角三角形，CD 是斜边AB 上的高，所以AD ＝DB ，即PD ＝DB ，因为∠PBD ＝60°，所以△PBD 是等边三角形，因为E ，H 分别为PB ，PD 的中点，所以DE ，BH 是△PBD 的中线，BM ＝23BH ，因为F 为BC 中点，G 为CF 的中点，所以BF ＝23BG ，所以MF ∥GH ，因为MF ⊂平面DEF ，GH ⊄平面DEF ，所以GH ∥平面DEF .(2)因为CD ⊥DB ，CD ⊥DP ，DB ∩DP ＝D ，所以CD ⊥平面DBP .如图，过点D 作直线垂直平面BDC ，作空间直角坐标系，设PD ＝DB ＝DC ＝2，则C (0，2，0)，B (2，0，0)，P (1，0，3)，H (12，0，32)，G (12，32，0)，BC →＝(－2，2，0)，BP →＝(－1，0，3)，HG →＝(0，32，－32).设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC·BC →＝0，·BP→＝0，2x ＋2y ＝0，x ＋3z ＝0，令x ＝3，则y ＝3，z ＝1，n ＝(3，3，1).设直线GH 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，HG →〉|＝|n ·HG →||n ||HG →|＝37×3＝77，故直线GH 与平面PBC 所成角的正弦值为77.探索性问题例4(2024·山东省实验中学月考)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△AB 1C为等边三角形，四边形AA 1B 1B 为菱形，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝3.(1)求证：AB 1⊥A 1C ；(2)线段CC 1上是否存在一点E ，使得平面AB 1E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：连接A 1B 与AB 1相交于点F ，连接CF ，如图①所示.图①∵四边形AA 1B 1B 为菱形，∴F 为AB 1的中点，BF ⊥AB 1.∵△AB 1C 为等边三角形，∴CF ⊥AB 1，又BF ，CF ⊂平面BFC ，BF ∩CF ＝F ，∴AB 1⊥平面BFC .又A 1C ⊂平面BFC ，∴AB 1⊥A 1C .(2)设O ，G 分别为AC ，AB 的中点，连接B 1O ，OG ，由(1)可知AB 1⊥BC ，又AC ⊥BC ，AB 1，AC ⊂平面AB 1C ，AB 1∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面AB 1C .又OG ∥BC ，∴OG ⊥平面AB 1C .∵△AB 1C 为等边三角形，∴B 1O ⊥AC ，故OG ，OC ，OB 1两两垂直.以O 为原点，OG →，OC →，OB 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图②所示的空间直角坐标系，则A (0，－2，0)，C (0，2，0)，B (3，2，0)，B 1(0，0，23)，O (0，0，0)，图②∵AB →＝A 1B 1→，BC →＝B 1C 1→，∴A 1(－3，－4，23)，C 1(－3，0，23).设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，则OE →－OC →＝λCC 1→，有OE →＝λCC 1→＋OC →＝λ(－3，－2，23)＋(0，2，0)＝(－3λ，2－2λ，23λ)，∴E (－3λ，2－2λ，23λ)，AE →＝(－3λ，4－2λ，23λ)，AB 1→＝(0，2，23).设平面AB 1E 的法向量n ＝(x ，y ，z )，·n ＝－3λx ＋（4－2λ）y ＋23λz ＝0，1·n ＝2y ＋23z ＝0，当λ≠0时，令z ＝3，则x ＝4λ－4λ，y ＝－3，即n ＝(4λ－4λ，－3，3).平面ABC 的一个法向量为OB 1→方向上的单位向量m ＝(0，0，1).若平面AB 1E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14，则有|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n |·|m |＝3（4λ－4λ）2＋9＋3＝14，则(4λ－4λ)2＝36，又0＜λ≤1，∴λ＝25.当λ＝0时，平面AB 1E 即平面AB 1C ，∵B 1O ⊥平面ABC ，B 1O ⊂平面AB 1C ，∴平面AB 1C ⊥平面ABC ，不满足题意.所以点E 存在，且CE ＝25CC 1.反思感悟1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.训练3(2024·淮北模拟)如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，侧面PAB 是等边三角形，BC ＝2AB ，AC ＝3AB ，PB ⊥AC .(1)求证：平面P AB ⊥平面ABCD ；(2)设Q 为侧棱PD 上的一点，四边形BEQF 是过B ，Q 两点的截面，且AC∥平面BEQF .是否存在点Q ，使得平面BEQF ⊥平面PAD ？若存在，求PQQD的值；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：在△ABC 中，因为BC ＝2AB ，AC ＝3AB ，所以AC 2＋AB 2＝BC 2，所以AC ⊥AB .又AC ⊥PB ，PB ∩AB ＝B ，且PB ，AB ⊂平面P AB ，所以AC ⊥平面PAB .又AC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .(2)假设存在Q ，使得平面BEQF ⊥平面P AD .取AB 的中点为H ，连接PH ，则PH ⊥AB ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以PH ⊥平面ABCD .以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB ＝2，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，D (－2，23，0)，P (1，0，3)，则AD →＝(－2，23，0)，AP →＝(1，0，3)，BD →＝(－4，23，0)，DP →＝(3，－23，3).设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面PAD 的法向量，1·AD →＝－2x 1＋23y 1＝0，1·AP →＝x 1＋3z 1＝0，令x 1＝3，则y 1＝1，z 1＝－1，所以n 1＝(3，1，－1).设DQ →＝λDP →，其中0≤λ≤1，则BQ→＝BD →＋DQ →＝BD →＋λDP →＝(3λ－4，23－23λ，3λ).连接EF ，因为AC ∥平面BEQF ，AC ⊂平面P AC ，平面PAC ∩平面BEQF ＝EF ，所以AC ∥EF .取与EF→同向的单位向量j ＝(0，1，0).设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面BEQF的法向量，则2·j ＝y 2＝0，2·BQ →＝（3λ－4）x 2＋23（1－λ）y 2＋3λz 2＝0，令x 2＝3λ，则z 2＝4－3λ，所以n 2＝(3λ，0，4－3λ).因为平面BEQF ⊥平面PAD ，所以n 1⊥n 2，所以n 1·n 2＝3λ＋3λ－4＝0，解得λ＝23.故在侧棱PD 上存在点Q ，使得平面BEQF ⊥平面PAD ，此时PQ QD ＝12.限时规范训练(五十五)1.某学校组织学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为四棱锥.在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，底面ABCD 是边长为2的正方形，且二面角P -BE -C 的余弦值为66.(1)求PD 的长；(2)求点C 到平面PEB 的距离.解：(1)由题意知DP ，DA ，DC 三线两两垂直.如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，E (1，0，0).设PD ＝a (a ＞0)，则P (0，0，a )，所以PB→＝(2，2，－a )，PE →＝(1，0，－a ).易知平面CBED 的一个法向量为n 1＝(0，0，1).设平面PBE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，n 2·PB →＝0，n 2·PE→＝0，2x ＋2y －az ＝0，x －az ＝0，取z ＝1，得x ＝a ，y ＝－a 2，即n 2＝(a ，－a2，1)为平面PBE 的一个法向量.则|cos 〈n 1，n 2〉|＝|11×a 2＋（－a2）2＋12|＝66，解得a ＝2(负值舍去)，故PD 的长为2.(2)由(1)得，n 2＝(2，－1，1)，CB →＝(2，0，0)，则点C 到平面PEB 的距离为|CB →·n 2||n 2|＝46＝263.2.如图，已知△ABC 为等边三角形，D ，E 分别为AC ，AB 边的中点，把△ADE 沿DE 折起，使点A 到达点P ，平面PDE ⊥平面BCDE ，若BC ＝4.求直线DE 到平面PBC 的距离.解：如图，设DE 的中点为O ，BC 的中点为F ，连接OP ，OF ，OB ，则OP ⊥DE ，因为平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE ∩平面BCDE ＝DE ，所以OP ⊥平面BCDE .因为在△ABC 中，点D ，E 分别为AC ，AB 边的中点，所以DE ∥BC .因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以DE ∥平面PBC .又OF ⊥DE ，所以以点O 为坐标原点，OE ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，P (0，0，3).B (2，3，0)，C (－2，3，0)，F (0，3，0)，所以PB→＝(2，3，－3)，CB →＝(4，0，0).设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，·PB→＝2x ＋3y －3z ＝0，·CB→＝4x ＝0，＝0，＝z ，令y ＝z ＝1，所以n ＝(0，1，1).因为OF →＝(0，3，0)，设点O 到平面PBC 的距离为d ，则d ＝|OF →·n ||n |＝32＝62.因为点O 在直线DE 上，所以直线DE 到平面PBC 的距离等于623.如图(1)，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点.将△AEF 沿EF 翻折至△A 1EF ，得到四棱锥A 1-EFCB ，P 为A 1C 的中点，如图(2).图(1)图(2)(1)求证：FP ∥平面A 1BE ；(2)若平面A 1EF ⊥平面EFCB ，求直线A 1F 与平面BFP 所成的角的正弦值.解：(1)证明：如图，取A 1B 的中点Q ，连接PQ ，EQ ，又P 为A 1C 的中点，则PQ ∥BC ，且PQ ＝12BC .又EF ∥BC ，且EF ＝12BC ，所以PQ ∥EF ，且PQ ＝EF ，则四边形EFPQ 为平行四边形，则FP ∥EQ .又FP ⊄平面A 1BE ，EQ ⊂平面A 1BE ，所以FP ∥平面A 1BE .(2)取EF 的中点O ，BC 的中点G .由平面A 1EF ⊥平面EFCB ，且交线为EF ，知A 1O ⊥平面EFCB ，此时，OA 1，OE ，OG 两两垂直，以O 为坐标原点，OE ，OG ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(0，0，3)，F (－1，0，0)，B (2，3，0)，C (－2，3，0).由P 为A 1C 的中点，得P (－1，32，32)，则A 1F →＝(－1，0，－3)，FB →＝(3，3，0)，FP →＝(0，32，32).设平面BFP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·FP→＝0，·FB →＝0，＋32z ＝0，＋3y ＝0.令x ＝1，则y ＝－3，z ＝3，故n ＝(1，－3，3).设直线A 1F 与平面BFP 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈A 1F →，n 〉|＝|n ·A 1F →||n ||A 1F →|＝|－1－3|7×4＝277，故直线A 1F 与平面BFP 所成的角的正弦值为277.4.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝π2，BC ＝CD ＝2，AD ＝5，DE ⊥AB ，垂足为点E .将△AED 沿DE 折起，使点A 到点P 的位置，且PE ⊥EB ，连接PB ，PC ，点M ，N 分别为PC ，EB 的中点，连接CN ，ND ，DM ，MN .(1)求证：MN ∥平面PED ；(2)求二面角D -MN -C 的正弦值.解：(1)证明：如图，取PB 的中点Q ，连接MQ ，NQ .因为AB ∥CD ，∠ABC ＝π2，DE ⊥BE ，所以四边形BCDE 为正方形.因为点M ，N ，Q 分别为PC ，BE ，PB 的中点，所以MQ ∥BC ∥ED ，NQ ∥PE .又DE ，PE ⊂平面PED ，MQ ，NQ ⊄平面PED ，所以MQ ∥平面PED ，NQ ∥平面PED .因为MQ ∩NQ ＝Q ，MQ ，NQ ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面PED .因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面PED .(2)由题意知PE ⊥EB ，PE ⊥ED ，DE ⊥EB .因为AD ＝5，DE ＝BC ＝2，所以AE ＝AD 2－DE 2＝1，即PE ＝1.以E 为坐标原点，EB ，ED ，EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则D (0，2，0)，M (1，1，12)，N (1，0，0)，C (2，2，0)，则DM→＝(1，－1，12)，DN →＝(1，－2，0)，CM →＝(－1，－1，12)，CN →＝(－1，－2，0).设平面DMN 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，·DM→＝0，·DN →＝0，－y ＋12z ＝0，－2y ＝0.令x ＝2，得y ＝1，z ＝－2，所以m ＝(2，1，－2).设平面CMN 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，·CN →＝0，·CM→＝0，x 1－2y 1＝0，x 1－y 1＋12z 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝2，z 1＝2，所以n ＝(2，－1，2).所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝4－1－49×9＝－19，所以二面角D -MN -C 的正弦值为1－（－19）2＝459.5.如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝5.(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱P A上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：∵平面P AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB ⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，PA∩AB＝A，∴PD⊥平面PAB.(2)取AD中点O，连接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.又PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD.∵CO⊂平面ABCD，∴PO⊥CO.∵AC＝CD，∴CO⊥AD.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系，易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0).则PB→＝(1，1，－1)，PD →＝(0，－1，－1)，PC →＝(2，0，－1)，CD →＝(－2，－1，0).设n ＝(x 0，y 0，1)为平面PDC 的一个法向量，·PD →＝0，·PC→＝0，y 0－1＝0，x 0－1＝0，0＝－1，0＝12，即n ＝(12，－1，1).设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，PB →〉|＝|n ·PB→|n ||PB→||＝|12－1－114＋1＋1×3|＝33，∴直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33(3)设M 是棱PA 上一点，则存在λ∈[0，1]使得AM→＝λAP →，∴点M (0，1－λ，λ)，BM→＝(－1，－λ，λ).∵BM ⊄平面PCD ，要使BM ∥平面PCD ，当且仅当BM→·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(12，－1，1)＝0，解得λ＝14，∴在棱PA 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.6.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，底面是边长为4的正三角形，PA ＝2，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点.(1)求证：平面BEF ⊥平面PAC ；(2)在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC 所成角的正弦值为155若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：∵△ABC 是正三角形，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC .又PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BE .∵PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，∴BE ⊥平面PAC .∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC .(2)存在.由(1)及已知得P A ⊥BE ，PA ⊥AC ，∵点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴EF ∥PA ，∴EF ⊥BE ，EF ⊥AC .又BE ⊥AC ，∴EB ，EC ，EF 两两垂直.以E 为坐标原点，以EB ，EC ，EF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0，－2，0)，P (0，－2，2)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，BP →＝(－23，－2，2)，AB→＝(23，2，0).设BG →＝λBP →＝(－23λ，－2λ，2λ)，λ∈[0，1]，∴AG→＝AB →＋BG →＝(23(1－λ)，2(1－λ)，2λ)，BC →＝(－23，2，0)，PC →＝(0，4，－2)，设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·BC→＝0，·PC →＝0，23x ＋2y ＝0，y －2z ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝23，∴n ＝(1，3，23).由已知得155＝|AG →·n |AG →||n ||，即155＝43416（1－λ）2＋4λ2，解得λ＝12或λ＝1110舍去)，故λ＝12，∴存在满足条件的点G ，点G 为PB 的中点.。