用向量法求空间距离

ABC Dmn1图向量法求空间距离向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。

1.异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在上的射影长，即||n d =证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==,||||)(⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++=||||||n n AB d ⋅==∴2平面外一点P 到平面α的距离如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即||n d =因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。

再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。

一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。

[例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。

图2A BC M N1A 1B1C 图3几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ，、)0,0,0(A)81,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则)2,0,0(),0,43,43(),81,41,43(1==-=AA AM MN ，设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有)0()1,1,3(8),81,83(81830434********>-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+=++-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥z zz z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是5521)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||22201011011=+-+-⋅==><⋅=AA n AA AA d [例2]如图5，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知2=AB ，,51=AA E 、F 分别为D D 1、B B 1上的点，且.11==F B DE （Ⅰ）求证：⊥BE 平面ACF ；（Ⅱ）求点E 到平面ACF 的距离.分析：题中几何体易找到共点且相互垂直的三个基向量，故可通过建立空间直角坐标系来达到解题目的。

向量法求空间距离（教师用）淄博五中 孙爱梅一．重点：掌握空间各种距离概念，并能进行他们之间的转化，能通过向量计算求出这些距离.二．难点：异面直线及点面距离求法.三．知识点及例题【知识点一】 两点的距离公式应用空间中两点的距离公式：A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，x 2），则｜AB →｜＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2.〖例1〗如图，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，棱长为1，｜AN ｜＝2｜CN ｜， ｜BM ｜＝2｜MC ′｜，求MN 的长.解：由题意得A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），C ′（0，1，1）∵｜AN ｜＝2｜CN ｜，∴N （13，23，0），又∵｜BM ｜＝2｜MC ′｜，∴M （13，1，23） ∴｜MN ｜＝（13－13）2＋（1－23）2＋（23－0）2＝53，即MN 的长为53. 注：此类题目直接套用公式，准确、迅速找到空间两点坐标是解题关键.【知识点二】通过向量求空间线段的长.｜a →｜＝a →2〖例2〗如图，在60°的二面角的棱上，有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长度.解：∵＜AC →，BD →＞＝60°，∴＜CA →，BD →＞＝120°，又∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →， 故有｜CD →｜2＝CD →2＝（CA →＋AB →＋BD →）·（CA →＋AB →＋BD →）＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，则CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，∴｜CD →｜2＝62＋42＋82－2×6×8×12＝68，∴｜CD →｜＝217.注：使用向量法对此题计算时，由于考虑到未知条件CD ，故应用已知的AB →，AC →，BD→三个向量将未知向时CD →表示出来，再利用｜CD →｜2＝CD →2这一知识解题.【知识点三】求点到平面距离｜AB →｜＝｜OA →｜｜c os ＜OA →，n →＞｜＝｜OA →·n →｜｜n →｜＝｜OA →，e →｜（其中n →为α的一→.〖例3〗正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求点F 到平面A 1D 1E的距离.解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线分别x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D 1－xyz . F （0，1，2），D 1（0，0，0），A 1（2，0，0），E （2，2，1），D 1A →＝（2，0，0），D 1E →＝（2，2，1）.设n →＝（x ，y ，z ）为平面A 1D 1E 的一个法向量，则n →·D 1A →＝0，且n →·D 1E →＝0， ⎩⎨⎧2x ＝0 2x ＋2y ＋z ＝0，则x ＝0，令z ＝2，y ＝－1，即n →＝（0，－1，2）， 又D 1F →＝（0，1，2），∴点F 到平面A 1D 1E 的距离.【思考】若G 、H 分别为D 1D ，AA 1中点，如何求平面A 1D 1与平面HGB 距离？ 思路：易证平面A 1D 1E ∥平面HGB ，只须求B 到平面AD 1E 的距离就可.d ＝｜D 1F →·n →｜ ｜n →｜＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜12＋22＝35＝355，即F 到面A 1D 1E 的距离为355. 注：①用向量求点面距离可避免了过点向面作距离的麻烦.②注意面面距离与点面距离的转化.l 1，l 2为异面直线，AB 为l 1，l 2公垂线估，C 、D 分别为l 1，l 2上任意两点，则异面直线l 1，l 2的距离d ＝｜AB →｜＝｜CD →｜·｜c os ＜CD →·n →＞｜＝｜CD →·n →｜ ｜n →｜＝｜CD →·e →｜（其中n →为公垂线AB 的一个方向向量，e →为公垂线AB 的一个单位方向向量）. 〖例4〗在直三棱柱ABD －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB 1＝1，直线B 1C 与平面ABC 所成的角为30°，试求异面直线A 1C 1与B 1C 距离.解：以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.∵B 1B ⊥平面ABC ，∴∠B 1CB 为B 1C 与平面ABC 所成角，∴∠B 1CB ＝30°， Rt △B 1BC 中，BB 1＝1，∴BC ＝3，又AB ＝1，Rt △BAC 中，ACA 1（0，0，1），C 1（0，1，1），A 1C 1→＝（0，1，0），B 1（1，0，1），C （0，1，0），B 1C →（－1，1，－1），且A 1B 1→＝（1，0，0），设n →＝（x ，y ，z ）为异面直线A 1C 1与B 1C 公垂线的一个方向向量，则n →·A 1C 1→＝0，n →·B1C →＝0⎩⎨⎧y ＝0 －x ＋y －z ＝0，∴y ＝0，令x ＝1，则z ＝－1，∴n →＝（1，0，－1）， 则两异面直线A 1C 1与B 1C 是距离d ＝｜A 1B 1→·n →｜ ｜n →｜＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜2＝22. 注：用向量求异面直线距离可避免做异面直线的公垂线段麻烦.课堂测试1、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为（ ） A ．58 B ．12 C ．23 D ．418，∠＝A ．62 B ．6 C ．12 D ．1443、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线AC 与BC 1间距离.4、正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，求点D1到BDE 的距离.1、如图，建立空间直角坐标系D－xyz，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上.①当2｜C1Q｜＝｜QC｜时，求｜PQ｜.②当点Q在棱CC1上移动时，探究｜PQ｜的最小值.2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，⑴求证：平面A1BC1∥平面ACD1；⑵求⑴中两个平面距离.。

空间向量各种距离求法在空间中，有多种方法可以计算向量之间的距离，其中一些常用的方法包括：1. 欧几里德距离（Euclidean Distance）：欧几里德距离是最常见的距离度量方式，它是两个向量之间的直线距离。

对于两个n维向量X和Y，欧几里德距离的计算公式如下：d(X, Y) = sqrt((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)2. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：曼哈顿距离又称为城市街区距离，它是两个向量在每个维度上差值的绝对值之和。

对于两个n维向量X和Y，曼哈顿距离的计算公式如下：d(X, Y) = |x1-y1| + |x2-y2| + ... + |xn-yn|3. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）：切比雪夫距离是两个向量在所有维度上差距的最大值。

对于两个n维向量X和Y，切比雪夫距离的计算公式如下：d(X, Y) = max(|x1-y1|, |x2-y2|, ..., |xn-yn|)4. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）：闵可夫斯基距离是欧几里德距离和曼哈顿距离的一般化，参数p控制了距离的形状。

对于两个n维向量X和Y，闵可夫斯基距离的计算公式如下：d(X, Y) = (|x1-y1|^p + |x2-y2|^p + ... + |xn-yn|^p)^(1/p)5. 向量余弦相似度（Cosine Similarity）：向量余弦相似度用于衡量两个向量之间的夹角。

对于两个n维向量X和Y，向量余弦相似度的计算公式如下：similarity(X, Y) = (X·Y) / (||X|| * ||Y||)其中，X·Y表示向量的点积，||X||和||Y||表示向量的模长。

以上是几种常见的空间向量距离度量方法，根据不同的应用场景和需求，选择合适的距离度量方法进行计算即可。