下载文档原格式
空间向量的应用教学设计钟山中学徐玉学一、教材内容分析：在空间直角坐标系中引入空间向量，是解决立体几何中图形的大小及位置关系等问题的一种理想的代数工具，使我们能用代数的观点和方法解决几何问题，用精确计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度，提高学生的学习效率。
二、学生学情分析：学生已经学习了空间向量的相关概念和性质，对空间向量知识有了一定的了解，所以课堂上可以多组织学生参与教学，通过自主探究主动发现应用空间向量解决距离问题的途径。
但是由于学生对向量数量积的几何意义的理解并不透彻，所以在实际教学中需要多加启发和引导。
三、教学目标：（一）知识与技能1.掌握空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离公式；2.理解运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的方法。
（二）过程与方法1.体验运用空间向量推导点到平面的距离和两平行平面的距离公式的过程；2.体验运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的过程。
（三）情感态度与价值观1.通过运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的学习过程，让学生体会立体几何问题代数化的转化思想，认识到运用空间向量解决立体几何问题的优越性。
2.培养学生理解和运用知识的能力以及代数运算能力。
aB O 'B四、教学重点、难点重点：运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离 难点：1.理解点到平面的距离与向量投影的关系； 2.转化思想的理解与运用。
五、教学策略在学生已有知识的基础上，通过引导和启发，组织学生进行自主探究，在探究过程中建构起空间距离与空间向量的联系，达到利用空间向量解决距离问题的目的。
六、教学过程（一）知识回顾 θ>=<b a b a,,.1其夹角、已知向量，则||||cos ,cos ||||b a b a b a b a⋅⋅=⋅=⋅θθb a ⋅的几何意义是||a与b 在a 方向上的投影的乘积 b 在a 方向上的投影O B ′=θcos ||b2. ),,(),,,(222111z y x b z y x a ==b a⋅=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 0=⋅⇔⊥b a b a3.如果非零向量n ⊥平面α，则称n为平面α的一个法向量。
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决计算空间距离问题。
在向量坐标化的基础上，将空间中点到线、点到面、两条平行线及二平行平面角的距离问题，首先转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决空间距离问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。
1.教学重点：理解运用向量方法求空间距离的原理2.教学难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法多媒体一、情境导学如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A 处，修建一个蔬菜存储库。
如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A 点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些? 答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离; 传统方法和向量法. 二、探究新知一、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 1.点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为μ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点.设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·μ)μ.点P 到直线l 的距离为PQ=√a 2−(a ·μ)2. 2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l ,m 之间的距离,可在其中一条直线l 上任取一点P ,则两条平行直线间的距离就等于点P 到直线m 的距离.点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.1.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E ,F 分别是C 1C ,D 1A 1的中点,则点A 到直线EF 的距离为 .答案:√1746解析:如图,以点D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1), FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),∴|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12+(−2)2+12=√6, ∴直线EF 的单位方向向量μ=√66(1,-2,1),∴点A 到直线EF 的距离d=√|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(−√66)2=√296=√1746.二、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 点到平面的距离已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为PQ=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|.点睛：1.实质上,n 是直线l 的方向向量,点P 到平面α的距离就是AP⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量QP⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度. 2.如果一条直线l 与一个平面α平行,可在直线l 上任取一点P ,将线面距离转化为点P 到平面α的距离求解. 3.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P ,可将两个平行平面的距离转化为点P 到平面β的距离求解.2.在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD 1C 的距离为 .答案: 83 解析:以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (2,0,0),C (0,2,0),D 1(0,0,4),B 1(2,2,4),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,4),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,0), 设平面AD 1C 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−2x +2y =0,−2x +4z =0.取z=1,则x=y=2,所以n =(2,2,1). 所以点B 1到平面AD 1C 的距离d=|n·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=83.三、典例解析例1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B 到直线A 1C 1的距离.解:以B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(4,0,1),C 1(0,3,1),所以直线A 1C 1的方向向量A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,3,0),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,1),所以点B 到直线A 1C 1的距离d=√|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=√10−(95)2=135.用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点: (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点; (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.延伸探究1 例1中的条件不变,若M ,N 分别是A 1B 1,AC 的中点,试求点C 1到直线MN 的距离.解:如例1解中建立空间直角坐标系(图略). 则M (2,0,1),N (2,32,0),C 1(0,3,1),所以直线MN 的方向向量为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,−1)，MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,3,0), 所以点C 1到MN 的距离d=√|MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|MC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=2√28613. 延伸探究2 将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱,求点B 到A 1C 1的距离.解:以B 为坐标原点,分别以BA ,过B 垂直于BA 的直线,BB 1为x 轴,y轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则B (0,0,0),A 1(2,0,2),C 1(1,√3,2),所以A 1C 1的方向向量A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,0),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2), 所以点B 到直线A 1C 1的距离d=√|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||2=√8−(−1+3+02)2=√8−1=√7.例2 在三棱锥S-ABC 中,△ABC 是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC ,SA=SC=2√3M ,N 分别为AB ,SB 的中点,如图所示.求点B 到平面CMN 的距离.思路分析 借助平面SAC ⊥平面ABC 的性质,建立空间直角坐标系,先求平面CMN 的法向量,再求距离. 解:取AC 的中点O ,连接OS ,OB.∵SA=SC ,AB=BC ,∴AC ⊥SO ,AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC ,平面SAC ∩平面ABC=AC , ∴SO ⊥平面ABC.又BO ⊂平面ABC ,∴SO ⊥BO.如图所示,分别以OA ,OB ,OS 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz ,则B (0,2√3,0),C (-2,0,0),S (0,0,2√2),M (1,√3,0),N (0,√3,√2). ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,0),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,0). 设n =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量, 则{CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =3x +√3y =0,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =−x +√2z =0,取z=1, 则x=√2,y=-√6,∴n =(√2,-√6,1).∴点B 到平面CMN 的距离d=|n·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=4√23.求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法:d=|n·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|(n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点A的斜线段)跟踪训练1 在直三棱柱中,AA 1=AB=BC=3,AC=2,D 是AC 的中点.(1)求证:B 1C ∥平面A 1BD ;(2)求直线B 1C 到平面A 1BD 的距离.(1)证明:连接AB 1交A 1B 于点E ,连接DE. DE ∥B 1C,DE ⊂平面A 1BD}⇒B 1C ∥平面A 1BD.(2)解:因为B 1C ∥平面A 1BD ,所以B 1C 到平面A 1BD 的距离就等于点B 1到平面A 1BD 的距离.如图建立坐标系,则B 1(0,2√2,3),B (0,2√2,0),A 1(-1,0,3), DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,3), DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0), DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,3).设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),所以{2√2y =0,−x +3z =0,所以n =(3,0,1). 所求距离为d=|n·DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=3√1010.金题典例 如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=90°,BC=2,CC 1=4,点E 在棱BB 1上,EB 1=1,D ,F ,G 分别为CC 1,B 1C 1,A 1C 1的中点,EF 与B 1D 相交于点H.(1)求证:B 1D ⊥平面ABD ;(2)求证:平面EGF ∥平面ABD ; (3)求平面EGF 与平面ABD 的距离.思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一个平面的距离,即点面距. (1)证明:如图所示建立空间直角坐标系, 设AB=a ,则A 1(a ,0,0),B 1(0,0,0),C 1(0,2,0),F (0,1,0),E (0,0,1),A (a ,0,4),B (0,0,4),D (0,2,2), G (a2,1,0).所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,0,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2). 所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+0=0,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+4-4=0. 所以B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以B 1D ⊥AB ,B 1D ⊥BD.又AB ∩BD=B ,所以B 1D ⊥平面ABD.(2)证明:由(1)可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(-a ,0,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ==(0,2,-2),GF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a2,0,0),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(0,1,-1),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ==2GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ==2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以GF ∥AB ,EF ∥BD.A.12B.√24C.√22D.√32答案:B解析:建立坐标系如图,则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),O (12,12,1).∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1).设n =(1,y ,z )是平面ABC 1D 1的一个法向量, 则{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y =0,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =−1+z =0,解得y=0,z=1,∴n =(1,0,1).又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−12,−1),∴点O 到平面ABC 1D 1的距离为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|=12√2=√24.4.Rt △ABC 的两条直角边BC=3,AC=4,PC ⊥平面ABC ,PC=95,则点P 到斜边AB 的距离是 . 答案:3解析:以点C 为坐标原点,CA ,CB ,CP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A (4,0,0),B (0,3,0),P (0,0,95),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,3,0), AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,95), 所以点P 到AB 的距离d=√|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=√16+8125−25625=3.5.棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是线段BB 1,B 1C 1的中点,则直线MN 到平面ACD 1的距离为 . 答案:√32解析:如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.则D (0,0,0),C (0,1,0),D 1(0,0,1),M (1,1,12),A (1,0,0),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1). 设平面ACD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−x +y =0,−x +z =0.令x=1,则y=z=1,∴n =(1,1,1).∴点M 到平面ACD 1的距离d=|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||n|=√32.故直线MN 到平面ACD 1的距离为√32.四、小结教学中主要突出了几个方面：一是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序，发展学生的数学建模思想和逻辑推理能力。
空间几何向量法之点到平面的距离1.要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：(1) 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量； (2) 求出该平面的法向量；(3) 求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这就是该店到平面的距离。
uuuur r AB ?n例子： 点 A 到面的距离 dr （注： AB 为点 A 的斜向量， n 是 面的法向量，n点 B 是面内任意一点。
）2.求立体几何体积（向量法） 体积公式：1、柱体体积公式： V Sh.2、椎体体积公式： V1S.h33、球体体积公式： V4 R 33课后练习题例题：在三棱锥 B — ACD 中，平面 ABD ⊥平面 ACD ，若棱长 AC=CD=AD=AB=1，且∠ BAD=300，求点 D 到平面 ABC 的距离。
要求平面 外一点 P 到平面 的距离，可以在平面 内任取一点 A ，则点 P 到平面 的距离即为 d=| PA | |PA n ||PA n ||PA | |n ||n |建立如图空间直角坐标系，则A （21,0,0 ），B （321,0, 21 ）， C （ 0, 23 ,0 ）， D （ 21 ,0,0)∴ AC (21, 23,0), AB ( 23 ,0,12), DC ( 21 , 23,0)设 n =(x,y,z) 为平面n AB23 x21z的一个法向量，则21 x 23 yn AC∴ y 33 x, z3x ，可取 n ( 3,1,3)代入d|DC n |得， d33 39|n|2 2，即点 D 到平面 ABC 的距离是39 。
13 13131. 已知 A(2,3,1) 、 B(4,1,2) 、 C(6,3,7) 、 D( -5,-4,8)是空间不共面的四点 ,求点 D 到平面ABC 的距离 .解：设 n(x, y, z) 是平面 ABC 的一个法向量，则由ngAB 0 及 ngBC 1 0 ,得2x 2y z 0 y2 x3得 n (3,2,2) ,于是点 D 到平面 ABC 的距离为2x 2y 5z,取 x=3,z2 x3uuur r DA gn d= r =n4949 17 =.17172. 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， E 、 F 分别是 AB 和 AD 的中点， GC ⊥平面 ABCD ，且 GC=2 ，求点 B 到平面 EFG 的距离 .解： 建立如图 2 所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0) ，∴ GE =(2,4, -2),GF=(4,2,-2),BE=(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为n(x, y, z) ，则由ngGE 0 及 ngGF 2x+4y 2z 0 0 ，得2y 2z4xuuur rx=yg2 2 11(1,1,3) ,于是点BE nz ,取 y=1,得 nB 到平面 EFG 的距离为 d= r =.3yn11113.在棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1 中，求点 C 1 到平面 A 1 BD 的距离。
向量法求空间点到平面的距离（经典实用）
空间点到平面的距离是衡量两个物体之间距离的重要方式。
本文介绍基于向量法求空间点到平面的距离的方法。
关于向量法求空间点（P）到平面（S）的距离，首先，我们要了解的是，平面的方程可以描述为：
Ax+By+Cz+D=0
其中A、B、C、D是常数，x、y和z分别是空间中的点的坐标值。
接下来，利用向量法求解空间点到平面的距离，我们需要得到两个向量，一个是向量NP（由空间点到原点，即（0，0，0）的向量），另一个是平面的法向量N（由平面上任意一点至原点之间的单位向量），由此可知，距离d=|NP*N|/|N|
此外，可以注意到，有时正距离和负距离可以表示一个点到平面的关系。
正距离表示这个点在平面的一边，而负距离表示这个点在平面的另一边。
也就是说，若d>0时，表示点P在平面S的正侧；若d<0时，表示点P在平面S的反侧；当d=0时，代表点P在平面S上。
因此，基于向量法求解空间点到平面的距离需要考虑到空间点和平面法向量，并利用向量积运算计算出距离d，其中，若距离d>0,表示空间点在平面的正侧，若距离d<0，表示空间点在平面的反侧；当d=0时，表示空间点在平面上。
点到平面的距离空间向量求法概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在几何学中，计算点到平面的距离是一个常见的问题。
点到平面的距离可以用来描述点与平面之间的物理距离或者代数上的数值关系。
这个问题涉及到利用空间向量进行计算和分析。
本篇文章将详细介绍点到平面的距离空间向量求法，并概述相关定义、计算方法、实例分析以及数学推导和证明。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分：引言、正文、实例分析、数学推导和证明以及结论与应用展望。
在引言部分，我们将对文章内容进行概述，并介绍本篇文章的结构安排。
此外，我们还将解释点到平面距离问题的目标和重要性。
在正文部分，我们将详细讨论点到平面距离的定义以及两种常用的计算方法：垂直距离法和投影距离法。
我们将明确这些方法的原理和步骤，并提供具体示例来帮助读者更好地理解和应用这些方法。
在实例分析部分，我们将通过两个实例来对点在平面上和点在平面外两种情况进行深入分析。
通过具体的例子，我们将展示如何根据问题的不同情况选择合适的计算方法，并解释计算过程和结果的含义。
在数学推导和证明部分，我们将回顾基本向量运算、向量投影和正交性质等相关数学知识，并推导出点到平面距离的公式。
这一部分将为读者提供理论基础，并帮助他们更好地理解和应用点到平面距离的求解方法。
最后，在结论与应用展望部分，我们将总结全文内容并讨论关键观点。
同时，我们还将展望点到平面距离求解方法在实际应用中的潜力，并提出进一步研究方向建议。
1.3 目的本篇文章旨在深入介绍点到平面的距离空间向量求法。
通过阐述相关定义、计算方法、实例分析以及数学推导和证明，希望读者能够全面了解该问题背后的原理和应用。
此外，本文还旨在引起读者对于点到平面距离求解方法的兴趣，并为进一步研究提供启示和指导。
2. 正文:2.1 点到平面的距离定义点到平面的距离是指从给定点到平面上的垂直线段的长度。
这个距离可以用空间向量来表示和计算。
2.2 距离计算方法一：垂直距离法通过垂直距离法，我们可以通过点P到平面上任意一点Q所在直线的向量N（法向量）来计算点P到平面的距离。
向量法求空间点到平面的距离教案【教学目标】1.了解空间点到平面的定义和距离的概念；2.掌握使用向量法求解空间点到平面的距离；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
【教学准备】1.教材：高中数学课本；2.工具：黑板、白板、彩色笔等。
【教学过程】一、导入（5分钟）1.教师在黑板上写出“空间点到平面的距离”这个问题，引导学生进行思考和讨论：a.你们见过或听说过空间点到平面的距离吗？b.你们对空间点到平面的距离有什么理解和想法？2.请几名学生发表自己的想法和看法，然后老师进行总结，引入本节课的学习内容。
二、概念解释（10分钟）1.教师向学生解释空间点到平面的定义和距离的概念，给出数学定义和几何解释，并通过图例进行说明。
2.通过讲解和解释后，教师带领学生一起回顾和掌握空间点和平面的基本概念和性质。
三、知识点讲解（20分钟）1.教师先通过几个简单的例题引导学生了解向量法求解空间点到平面的距离的基本思路和方法。
2.教师详细讲解向量法求解空间点到平面的距离的步骤和原理：a.给定空间内的一点P(x0,y0,z0)，平面的方程为Ax+By+Cz+D=0；b.过点P作平面的垂线PT，设垂足为T(x1,y1,z1)；c.则P点到平面的距离d为向量PT的模长，即d=，PT；d.向量PT的方向为向量n=(A,B,C)；e.推出向量PT的坐标表示为PT=(x1-x0,y1-y0,z1-z0)；f.由于向量PT与向量n垂直，所以向量PT与向量n的点积为0；g.即(A,B,C)·(x1-x0,y1-y0,z1-z0)=0；h.由此可以求得x1、y1、z1，并代入向量PT的代数表达式，进而得到向量PT的模长，PT；i.则P点到平面的距离d即为，PT。
3.通过几个具体的例题，帮助学生理解和掌握向量法求解空间点到平面的距离的步骤和方法。
四、实践演练（15分钟）1.教师设计几个实际应用的例题，让学生运用向量法求解空间点到平面的距离，并进行计算。
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）《空间向量的应用—距离》教学设计一、教学内容解析本节课是参照新课标高中数学人教B版数学选修2-1第三章空间量与立体几何3.2.5距离一节．它是空间向量及其运算之后，将其方法在立体几何中的应用，属于概念性知识和程序性知识．本课虽篇幅不长，但从学生的角度讲仍占有较高的地位，是对以往所学知识的梳理、归纳和提升，使学生从另一个视角认识空间向量的应用．通过观察，思考，动手操作可使其深刻理解数学源于生活，应用于生活，进而产生浓厚的数学学习兴趣，体会综合几何法和向量方法各自的优势，在学习的过程中深刻体会类比思想、化归思想等数学思想方法，让学生初步形成数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等学科核心素养．这部分知识的学习，不仅对学生核心素养的形成起到巨大的促进作用，更让学生深刻体会程序化思想，以及寻找一些问题的通性通法。
教学重点：四种距离的概念，点到平面距离的求法．二、教学目标设置课程目标：在必修课程学习的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何图形中图形的位置关系和度量关系。
单元目标：本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何法的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
课堂目标：通过本小节的教学，是学生达到以下要求：（1）理解图形F1与图形F2的距离的概念；（2）掌握四种距离的概念，会解决一些简单的距离问题．（3）学生能够独立用向量方法解决四类距离问题（4）学生能够利用数学抽象的方法发现生活中的距离问题；利用类比的方法总结并推广向量基本定理；利用化归的方法由点到平面的距离的向量解法推广到求直线与它平行平面、两平行平面的距离．三、学生学情分析教学主体——学生是普通高中二年级学生，已经掌握了立体几何初步以及空间向量与立体几何的基本内容．学生已经具有一定的观察、类比、化归、直观想象和逻辑推理的能力，具有初步的抽象思维和科学探究能力．学生在学习生活中可能已经遇到过求图形距离的相关事例，但对于空间向量求距离仍是比较陌生的．通过教师引导可以将学生已学过的空间向量知识应用到求解几何图形的距离上来，这是学生在老师的帮助下搭建图形距离与空间向量体系的桥梁。
一、教案基本信息1. 向量法求空间距离教案2. 适用课程：高等数学、空间解析几何等3. 教学目标：让学生掌握向量法求空间两点间的距离公式培养学生运用向量知识解决实际问题的能力提高学生对空间几何概念的理解和运用二、教学内容及课时安排1. 第一课时：向量法求空间两点间的距离公式介绍向量的概念回顾空间直角坐标系介绍两点间的向量表示距离公式的推导2. 第二课时：向量法求空间距离的例题讲解与练习利用距离公式解决简单问题引导学生运用向量法解决实际问题课堂练习与讨论3. 第三课时：向量法求空间距离在实际问题中的应用利用向量法求空间直线、平面与其他几何体的距离引导学生运用向量法解决实际工程问题课堂练习与讨论4. 第四课时：向量法求空间距离的拓展与应用空间向量的其他运算向量法在空间解析几何中的应用课堂练习与讨论5. 第五课时：总结与复习回顾本节课的主要内容巩固向量法求空间距离的知识点布置课后作业三、教学方法与手段1. 采用讲授法、案例分析法、讨论法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2. 利用多媒体课件、黑板、模型等教学手段，直观展示空间几何图形，帮助学生更好地理解向量法求距离的过程。
四、教学评价1. 课后作业：检查学生对向量法求空间距离公式的掌握程度。
2. 课堂练习：观察学生在实际问题中运用向量法的熟练程度。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互讨论、交流，提高解决问题的能力。
五、教学资源1. 教材：高等数学、空间解析几何等相关教材。
2. 多媒体课件：展示空间几何图形，直观地呈现向量法求距离的过程。
3. 模型：用于直观展示空间几何图形，帮助学生更好地理解向量法求距离的概念。
4. 课后作业：提供一定数量的练习题，巩固学生对向量法求空间距离的掌握程度。
六、教学过程设计导入新课通过一个实际问题引入：在空间中，如何计算两点之间的距离？回顾已学的传统方法（如坐标差求和后开方），并提出向量方法作为一种更一般的解决方案。
探究新知介绍向量表示两点间的距离，即使用坐标表示的向量差来求距离。
用空间向量研究距离问题教案
课程名称：空间向量与距离问题
目标：
1. 学生能理解和掌握空间向量的基本概念和计算方法。
2. 学生能够利用空间向量解决距离问题。
教学内容：
一、空间向量的基本概念
-空间向量的定义及表示方法
-空间向量的运算性质：加法，减法，数乘，标积，叉积等
-特殊的空间向量（零向量，单位向量）
二、利用空间向量解决距离问题
-向量形式的距离公式：两个点之间的距离等于这两个点对应向量的模长之差的绝对值-利用向量形式的距离公式求解两点间的距离
-利用向量形式的距离公式求解直线与平面，平面与平面之间的距离
-通过实例，使学生了解并熟悉空间向量在解决实际问题中的应用
教学过程：
一、复习导入
对上节课学习的内容进行简单的回顾和总结，然后引入本节课的主题——空间向量。
二、新知识讲解
教师详细讲解空间向量的概念，运算性质以及向量形式的距离公式，并提供一些例题让学生练习。
三、课堂活动
组织学生分组讨论并解决几个有关空间向量的实际问题，鼓励他们相互协作和交流，提高他们的分析和解决问题的能力。
四、小结与作业
回顾本节课所学的主要内容，强调关键知识点。
布置相关的课后习题，以巩固学生的学习成果。
教学评价：
通过观察学生的课堂参与度，小组讨论的表现，完成课堂练习和课后作业的情况，来评估学生对空间向量的理解程度以及能否利用向量解决实际问题的能力。
教师姓名 学生姓名 教材版本 人教版学科名称 数学年 级高一上上课时间2012.课题名称 利用向量解决立体几何教学目标 1掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法； 2.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用 教学重点向量运用方法。
教 学 过 程备 注一、课前准备复习1：已知()()1,2,0,0,1,1,A B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学探究一：点到平面的距离的求法问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n 表示d ? 分析:过P 作PO ⊥α于O ,连结OA ,则d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠ ∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n .∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉| ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉| =|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉=||||PA n n ⋅αnA ⋅O⋅P⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则D. =||||PA n n ∙ 试：在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，求点'C 到平面''A BCD 的距离.三、典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,PD DC a ==,2AD a =,M N 、分别是AD PB 、的中点,求点A 到平面MNC 的距离.APD C BMN小结：求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例 2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=,E 是AB 的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.四、当堂检测1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''ACDB 的距离是 .6. 如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.7. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE .⑴ 计算DE 的长；⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.课后小结上课情况：课后需再巩固的内容：配合需求家 长学管师学科组长审批教研主任审批。
向量法求空间点到平面的距离一、向量法求空间点到平面的距离在工程技术领域，空间点到平面的距离是一个非常重要的概念。
它涉及到很多实际问题，如建筑设计、机械设计等。
为了解决这个问题，我们需要运用向量法。
本文将从理论和实践两个方面来探讨向量法求空间点到平面的距离的方法和应用。
我们来了解一下向量法的基本原理。
向量法是一种通过计算向量的数量积来求解问题的数学方法。
在求空间点到平面的距离时，我们需要先找到空间点的坐标和平面的方程。
然后，根据向量法的原理，计算空间点到平面的距离。
接下来，我们将详细介绍向量法的具体步骤。
我们需要找到空间点的坐标和平面的方程。
空间点的坐标通常用(x, y, z)表示，而平面的方程可以用Ax + By + Cz + D = 0表示。
其中，A、B、C是平面的法向量，D是平面方程中的常数项。
在得到了空间点的坐标和平面的方程后，我们就可以开始计算空间点到平面的距离了。
具体步骤如下：1. 计算空间点到平面上的任意一点的向量。
这个向量的坐标为(x2 x1, y2 y1, z2 z1)。
2. 计算这个向量与平面法向量的点积。
点积公式为：(x2 x1) * A + (y2 y1) * B + (z2z1) * C。
3. 将点积的结果除以平面法向量的模长乘以法向量的模长。
这样就得到了空间点到平面的距离。
二、向量法求空间点到平面的距离的应用向量法求空间点到平面的距离在工程技术领域有着广泛的应用。
下面，我们通过几个实例来说明这一点。
1. 在建筑设计中，设计师需要确定一个建筑物的结构是否稳定。
这时，他们可以利用向量法求出建筑物的关键部位到支撑结构的距离。
如果距离小于一定值，那么建筑物的结构就是稳定的；反之，则需要进行调整。
2. 在机械设计中，工程师需要确定一个零件的位置是否合适。
这时，他们可以利用向量法求出零件到其他部件的距离。
如果距离合适，那么零件就可以安装在这个位置；否则，就需要重新设计。
3. 在地理信息系统(GIS)中，研究人员需要分析地表地形的高度变化。
《点到平面的距离》讲义在空间几何中，点到平面的距离是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论研究中有着关键的地位，还在实际的工程、物理等领域有着广泛的应用。
我们先来理解一下什么是点到平面的距离。
想象有一个平面，就好像是一张无限延展的平坦的纸，然后有一个点，这个点在空间中独立存在。
点到平面的距离，简单来说，就是这个点到平面的最短长度。
那如何去求得这个距离呢？这就需要用到一些数学知识和方法。
一种常见的方法是利用向量。
假设平面的方程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋D ＝ 0 ，点的坐标为（x₀, y₀, z₀) 。
首先，我们要找到平面的一个法向量 n ＝（A, B, C) 。
然后，从这个点到平面上任意一点（x, y, z) 构成一个向量 m ＝（x x₀, y y₀, z z₀) 。
点到平面的距离 d 就可以通过向量的点积和法向量的模长来计算。
具体公式为：d ＝｜（Ax₀＋ By₀＋ Cz₀＋ D) ／√（A²＋ B²＋ C²)｜为了更好地理解这个公式，我们来举个例子。
假设有平面 2x ＋ 3y z ＋ 1 ＝ 0 ，点的坐标为（1, 2, 3) 。
首先，平面的法向量 n ＝（2, 3, －1) 。
然后，将点的坐标代入 Ax₀＋ By₀＋ Cz₀＋ D 中，得到 2×1 ＋3×2 3 ＋ 1 ＝ 6 。
法向量的模长√（2²＋ 3²＋（－1)²) ＝√14 。
所以，点到平面的距离 d ＝｜6 ／√14| ＝ 6 ／√14 。
除了利用向量，我们还可以通过体积的方法来求点到平面的距离。
假设有一个四面体，其中一个顶点就是我们要研究的点，另外三个顶点是平面上的三个不共线的点。
通过这个四面体的体积以及平面上三个顶点所构成的三角形的面积，就可以求出点到平面的距离。
具体来说，四面体的体积 V 可以通过海伦公式或者其他方法求出。
三角形的面积 S 也有相应的计算公式。
学习必备 欢迎下载
向量法求空间点到面距离（教案）
新课导入：
我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？
对！绕过去。
在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点
用另一种方法解决。
我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是
一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。
一、复习引入：
1、 空间中如何求点到面距离？
方法1、直接做或找距离；
方法2、；等体积
方法3、空间向量。
2、向量数量积公式
a ·
b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角）
二、向量法求点到平面的距离
教材分析
重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤
难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量
教学目的
1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。
2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。
3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
学习必备欢迎下载
学习必备 欢迎下载
若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ∆
ABO COS ∠•
•
如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为
BO
因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一
条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的
数量积的绝对值再除以法向量的模
思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩即340320x y x z -+=⎧⎨-+=⎩ ∴3432y x z x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD
的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y
z = 2202420
11(,,1)33
n EF n EG
x y x y n ⊥⊥-=⎧∴⎨--+=⎩∴=，
学习必备欢迎下载
点评：斜线段也可以选择BF或者BC都行。
练习1、(06年福建高考题)如图4，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，，求点E到平面ACD的距离.
解：由题设易知AO⊥BD，OC⊥BD，∴OA=1，OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90︒，即OA⊥OC.
以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, ,0),D(-1,0,0),∴
E(
1
2
AD=(-1,0,-1), AC=(0, ,-1), ED=(-
3
2
,0).
设平面ACD的一个法向量为)
,
,
(z
y
x
n=，则由AD0
n=及AC0
n=，得x z0
z0
+=
⎧⎪
-=
⇒
x=-z
y=z
3
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
,取得n),于是点E到平面ACD的距离为
d=
D
E n
n
=
3
=
7
.
板书设计
一、复习
|BE|211
11
n
d
n
⋅
∴==
练习2、如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,
BC,求点P到面PBC的距离.（答案
2
2
=
d）
）
的距离。
（答案
到平面
，求点
，且
，若棱长
平面
平面
中
课下作业、在三棱锥
13
39
30
1
,
=
=
∠
=
=
=
=
⊥
-
d
ABC
D
BAD
AB
AD
CD
AC
ACD
ABD
ACD
B
学习必备 欢迎下载
a ·
b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） a 在b 上的投影d=a cos θ=b
b a • 二、点到平面的距离
B 到面的距离
小结：向量法求点到面距离三步
（1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量
（2）求出该平面的一个法向量
（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模 教学后记：
优点：1.从实际经验引导学生将生活经验用于学习，转换思维；
2.由例题整理步骤，理清思路，便于学生理解；
3.学生掌握很好。
