A
B
C D
m
n
1
图向量法求空间距离
向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。
1.异面直线n m 、的距离
分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在
n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离
d 等于在上的射影长，即|
|n d =
证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==,
|
|||)(⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++=
|
|||||n n AB d ⋅=
=∴
2平面外一点P 到平面α的距离
如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定
点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即|
|n d =
因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。
再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。
一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。
[例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2，
底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。
图2
A B
C M N
1
A 1
B
1
C 图3
几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ，
、)0,0,0(A
)81
,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则
)2,0,0(),0,4
3,43(
),8
1
,41,43(1==-
=AA AM MN ，
设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有
)0()1,1,3(8
),81,83(
8183
0434********>-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-==⇒=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+=++-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥z z
z z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n
向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是
5
5
21)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||2
2201011011=
+-+-⋅=
=><⋅=AA n AA AA d [例2]如图5，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知
2=AB ，,51=AA E 、F 分别为D D 1、B B 1上的点，且
.11==F B DE （Ⅰ）求证：⊥BE 平面ACF ；
（Ⅱ）求点E 到平面ACF 的距离.
分析：题中几何体易找到共点且相互垂直的三个基向量，故可通过建立空间直角坐标系来达到解题目的。
解：(Ⅰ)以D 为原点，以、、D D 1的正向分别为x 轴、y 轴、
z 轴建立空间直角坐标系，则
).4,2,2(),1,0,0(),5,0,0(),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(),0,0,0(1F E D C B A D
于是).1,2,2(),4,2,0(),0,2,2(--==-=
图5
A
B
C
D
F
E
1
A 1
B 1
C 1
D
,,,0,0AF BE AC BE ⊥⊥∴=⋅=⋅ 且,A AF AC = ∴⊥BE 平面ACF
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，为平面ACF 的一个法向量，
∴向量AE 在BE 上的射影长即为E 到平面ACF 的距离，设为d ，于是
,3
51)2()2(|
)1,2,2()1,0,2(||
||||||,cos |||222=+-+---⋅-=
⋅=><⋅=BE AE d
故点E 到平面ACF 的距离为.3
5
如果题中几何体不是长方体或正方体，则考察几何体中的线线垂直、线面垂直及面面垂直关系。
配套练习：
1、在三棱椎ABC S -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面⊥SAC 平面ABC ，22==SC SA ，M 为AB 的中点.
（1） 求证 SB AC ⊥；（2）求二面角A CM S --的大小； （3）求点B 到平面SCM 的距离.
分析： 如图6，以AC 中点O 为坐标原点, 以、、的正向分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系即可得出各相关点的坐标．
2、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E ，F
分别是AD ，BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求
（１）EF 的长；（２）折起后EOF ∠的大小 分析：如图7，以点O 为坐标原点，以、、的
正向分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为a 即可得
出各相关点的坐标．
A M
B
C
S
图6
图7。
