求三角函数的值域(或最值)的方法

通 过 变 形 可 得 ： f ( x) = 1 a2 + b2 sin (2x + j ) ， 所 以 最 大 值 为 1 a2 + b2 = 1 ， 即
2
2
2
a2
+ b2
= 1 ①，再利用
f
æp çè 3
ö ÷ø
=
3 可得： - 1 a -
4
4
3b= 4
3
②，通过①②可解得：
4
ìa íîb
= =
例
4：设函数
f
(x)
=
sin x
+
cos 2x
，若
x
Î
éêë-
p 6
,
p 2
ù úû
，则函数
f
( x) 的最小值是______
思路：同例 4 考虑将解析式中的项统一，cos 2x = 1 - 2sin2 x = 1 - 2 sin x 2 ，进而可将 sin x
作为一个整体，通过换元来求值域。
解： f ( x) = sin x + cos 2x = sin x + 1 - 2 sin x 2
三角函数。观察可得 cos x 次数较低，所以不利于转化，而 sin2 x,cos 2x 均可以用 cos x 进
( ) ( ) 行表示，确定核心项为 cos x ，解析式变形为 y = cos x -
1 - cos2 x
-
2cos2 x - 1
7 +，
4
化简后为
y
=
- cos2
x
+
cos x
+
7 4
=
cos

４ 利用几何意义求值域
例 ４ 求 函数 ） ， ＝ —ｓ — ｌ ｎ ｘ 的值域．
。 ＣＯＳ 一
，
点评： 一 般 先 化 为 Ｙ＝Ａ ｆ （ ＋ ）＋ｋ的 形 式 ，
然后利 用三角 函数 的 图 象和 性 质 求 解 ， 此题 往 往 容
易忽 视 对 口的 讨 论
解 ： 。 ． 。 ） ＝ － ２ 口 （ 丢 ｃ 。 ｓ ２ ＋ 譬 ｓ ｉ ｎ ２ ） ＋ ２ 。 ＋ ６
‘
．
３
３ １ ≤ ’
＝ 一 ｓ ｉ ｎ （ ＋ 詈 ） ＋ ＋ ｂ ， ｘ ∈ ０ ， 号 】 ， ． ｓ ｉ ｎ ２ ＋ 詈 ） ∈ 卜 １ ， ・ 】 ．
《 数学之友＞
２ ０ １ ４年第 ２ ４ 期
பைடு நூலகம்
求解三角函数值域的几种常见方法
解 题 探 索
、
张
梁
（ 江苏省阜宁县第一高级中学 ， ２ ２ ４ ４ ０ ０ ）
三角函数是高中数 学的主要内容， 在历年高考
点评 ： 换元后 一定要 及 时确 定 ｔ 的范围， 即 注 意
中频频 出现 ， 特别是三角 函数最值 问题使学生更感 棘手． 如何找到解题途径 ， 培养学生的数学能力尤为
１ 利用 Ｙ ＝ Ａ ｆ （ Ｗ Ｘ ＋ ） ＋ ｋ的性质 求解
例１ 设 函数 ）＝ ２ ａ ｓ ｉ ｎ 一 ２ 口 ｃ ｏ ｓ ｘ ｓ ｉ ｎ ｘ＋ ａ
角， 求ｔ ａ Ｉ ｌ （ Ａ— Ｂ ） 的最大值． 解： ’ ． ‘ ｓ ｉ ｎ Ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ＝ ４ ｃ ｏ ｓ Ａ ｓ ｉ ｎ Ｂ’ ． ． ． ｔ ａ ｎ Ａ＝ ４ ｔ ａ ｎ Ｂ ．
） 一 ＝ ３ ａ＋ ２’ ） ＝ ｂ ，

返回 4.已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0，最小值为 -4，若实数a＞0，求a,b的值
【解题回顾】上述两题为y=asin2x+bsinx+c型的三角函数. 此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间 [-1，1]上的最值问题解决.
延伸·拓展
返回
5.在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上． (1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC的面积P与正方形面积Q (2)当θ变化时求P/Q的最小值．
能力·思维·方法
1．已知△ABC中， tan A 2 3 ,求使 y 4 2 2 sin B sin 2 B 取最大值时∠C的大小. 6
【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、 d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)
若 3+2cosx＜0，则x的范围是
2kπ+5π/6<x<2kπ+7π/6，k∈Z ；
若tanx≤1,则x的范围是___来自____________________； Z kπ-π/2<x≤kπ+π/4，k∈ 若sin2x＞cos2x，则x的范围是__________________________ kπ+π/4<x<kπ+3π/4，k∈Z 2.函数y=√3sinx+cosx,x∈[-π/6，π6]的值域是( D )
3 (A)[- ，3]
(B)[-2，2]
(C)[0，2] )
(D)[0， 3]
3.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( (A)1+√2 (B)√2-1 (C)2

标题：三角函数值域的求法及其应用
一、基本概念：
三角函数是描述周期性现象的关键工具，特别是一元函数微积分中的基本函数。

它们的值域，即能够表示的函数的取值范围，对于理解函数的性质和图形至关重要。

二、求值域的方法：
1. 观察法：根据三角函数的定义，我们知道正弦、余弦和正切函数的值域分别是-1 到1（包括-1，但不包括0），0 到正无穷（包括0），以及-π/2 到π/2（包括0，但不包括π/2 和-π/2）。

当已知函数的表达式时，可以通过观察函数的定义域和函数自身的性质来求值域。

2. 三角函数不等式法：可以利用三角函数的不等式来求值域，例如：对于正弦函数，有0 <= sin(x) <= 1。

3. 反函数法：对于反三角函数，如arcsin(x) 和arctan(x)，可以通过求其反函数的定义域来得到值域。

4. 换元法：对于某些复杂的三角函数，可以通过换元法将问题简化。

5. 判别式法：对于二次或高次方程的解，可以通过判别式小于或等于零来求出函数的值域。

三、例题解析：
【例题】求函数f(x) = 3sin(2x + π/6) 的值域。

解：首先，我们可以看出函数的定义域为R（即所有实数），且函数的周期性表现为sin(x) 的形式。

由于正弦函数的值域为-1 到1（包括-1，但不包括0），因此我们可以得出f(x) 的值域为[-3, 3]。

四、总结：
求三角函数值域的方法多种多样，观察法、三角函数不等式法、反函数法、换元法以及判别式法都是常见的方法。

理解这些方法并灵活运用，可以帮助我们更好地解决实际问题。

以上就是关于三角函数值域求法的介绍以及例题解析，希望对你有所帮助。

－ ｔ
当 ｓ ｘ＝ 一 ｉ ｎ １时 ， ＝ ． Ｙｉ ６
评 注 ： 果所 给 的 函数是 同名 不 同次或 可化 为 如
同名 不 同次及 其 它能够 进行 配方 的 形 式 ， 可采 用 此
方法． 此种 方法在 求 三 角 函数 的值 域 或 最值 问题 中 较 为 常见 ， 在 最后 讨论 值域 时 ， 但 往往 容 易忽略 自变 量 （ ｌ中以 ｓ ｘ为 自变量 ） 例 ｉ ｎ 的取 值 范 围 而 出现 错
・ ． ．
／
＿ ； ＋ 。 ＋ ｃｓ 。ｉ ｂｏ
ＣＯＳ ＋ ｊ Ｘ
， 一ｌ ＯＸ ． 且 ≤ＣＳ ≤１
＝ ｂ＋￣ ａ 口＋ ， ｂ＋（ ／ ４ Ⅱ一ｂ ｉ ２ ． ） ｓ ｘ ｎ
・
．
当 ＣＳ ＯＸ＝一ｌ时 ，一 ＝１ Ｙ ， 当 ＣＳ ＯＸ＝１ ， ： ． 时 Ｙ｜ ０ ｎ
的最大 值．
＞． ０解得÷≤ ≤ （≠ ） ｙ ３ｙ １．
Ｉ
将 Ｙ＝１ 人原方 程 解得 ｔ ０＝ 代 ａ ｎ ０∈Ｒ， 以 Ｙ＝ 所
解由 ＝ １ｃ ２ 导 ｃ 詈 ：）ｓ０ ＋ｓ ｓ ・ｓ ， ，ｉ （ 。 ｉ 。 ｎ ＝ ｎ ２
再 拆项 变形 得
１ 函数值． 是
所以 ） ３ ＝，ｉ ． 寺≤， ， ≤ 故Ｙ ３ ＝ Ｙ １
＋ ，
题， 分子、 分母的三角函数 同角、 同名 ， 类三角 函数一 这
般 先化为部分分式 ， 用三 角函数 的有 ｝去解 ． 再利 生
４ 换 元法
例 ４ 试 求 函数 Ｙ＝ｓ ｘ＋ＣＳ ｉ ｎ ＯＸ＋２ｉ ｃｓ ｓ ｘｏｘ＋２ ｎ 的最大 值 和最小值 ．
评 注 ： 用 三 角 函 数 的 有 界 性 如 ＩｉｘＩ １ 利 ｎ ≤ ， ｓ

常见的三种三角函数值域的求法三角函数是高中数学中常见的一个概念，它是指正弦函数、余弦函数和正切函数，这三个函数在计算中十分常用，下面将详细介绍三种三角函数值域的求法。

一、正弦函数值域的求法正弦函数的值域在[-1, 1]之间。

具体求法如下：1. 代数法：由正弦函数的定义可知，y=sin x，其中-1≤y≤1。

即y 的取值范围为[-1, 1]。

2. 图像法：正弦函数的图像在[-π/2,π/2]内单调递增，且满足y的取值范围为[-1, 1]。

3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于这段弧上点的y坐标。

而当角度为0和π时，y坐标分别为0和1，因此正弦函数的值域为[-1,1]。

二、余弦函数值域的求法余弦函数的值域在[-1,1]之间。

具体求法如下：1. 代数法：由余弦函数的定义可知，y=cos x，其中-1≤y≤1。

即y 的取值范围为[-1, 1]。

2. 图像法：余弦函数的图像在[0,π]内单调递减，且满足y的取值范围为[-1, 1]。

3. 单位圆法：我们知道，单位圆(x^2+y^2=1)在第一象限的一段弧上与x轴正半轴所夹的角的余弦值等于这段弧上点的x坐标。

而当角度为0和π/2时，x坐标分别为1和0，因此余弦函数的值域为[-1,1]。

三、正切函数值域的求法正切函数的值域为实数集。

具体求法如下：1. 代数法：由正切函数的定义可知，y=tan x，其中y可取遍所有实数。

因此，正切函数的值域为实数集。

2. 图像法：正切函数的图像在(π/2n,π/2n+1)(n∈Z)上有无限个垂直渐近线。

这说明正切函数可以取遍所有实数，因此正切函数的值域为实数集。

3. 应用法：正切函数在实际应用中十分重要，比如在三角定位中，我们经常需要根据已知的两条边求第三条边的长度，这时就需要用到正切函数。

正切函数值域为实数集，可以表示所有可能的长度。

综上所述，正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为实数集。

小结
1.本节课涉及到求函数值域(最值)的方法有： ①分离系数法
②反表示法
③判别式法 ④单调性法 ⑤数形结合法
小结
2.树立转化的数学思想锻炼发散思维能力.
排除法
1 y 2 sin x 1
3 sin x 1 y sin x 2
sin x y 2 cos x
y sin x sin x 3
课外练习1、2、3、4、 《数学之友》 P 70
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知道，爷哪里是查啥啊功课，这分明是要去安抚李姐姐。不过两各大麻烦都离开咯霞光苑，她也算是能清静清静，于是不咸不淡地赶快开口 道：“有姐姐陪着，妾身就不送爷咯。”第壹卷 第323章 后账壹回到烟雨园，淑清壹头倒在他の怀中：“爷，这就是您给妾身主持の公道 吗？就听吟雪那奴才の壹面之辞，妾身连开口の机会都没有，这让妾身の冤屈往哪儿伸啊！妾身就是再不讨爷の喜欢，但好歹也是各主子吧， 反倒被各奴才弄得没脸没面，妾身以后还有啥啊脸面继续在府里呆下去！”“你还没脸没面？爷连福晋都没理会，亲自把你送咯回来，是福 晋の脸面重要，还是壹各奴才の脸面重要？你真是越活越抽抽咯，瞧你比の那人，你不跟福晋比脸面，非跟各奴才比脸面。”淑清本来愤恨 不已地要跟他讨说法，谁知道才壹开口，竟被他壹句话就堵咯壹各哑口无言，半天找不出壹句话。可是她心中の那口气根本咽不下，怎么就 这么不明不白地让那各奴才逃咯处罚？“爷，您怎么会向着怡然居の人说话咯？您这是嫌弃妾身人老珠黄，比不得人家粉嫩水灵？”他被淑 清这番话气得恨不能骂她两句！先是跟奴才争脸面，现在又跟那主子争风吃醋，简直就是蠢到家咯！他要是对水清真有那心思，还用等得到 现在？他这么假门假事地搞咯这各四堂会审，还不都是为咯安抚她李淑清才走の这各过场。现在淑清不但不领情，反而责怪他喜新厌旧，淑 清委屈，他更委屈！而且他最痛恨の就是后院诸人之间の争宠，于是留下“好自为之”四各字后，他直接就回咯书院。没有排字琦の老练圆 滑，没有水清の聪明智慧，直到他走咯以后，她都没有明白爷为啥啊走咯。从来没有为争宠费过心思の淑清，首各回合就是不战自败。壹回 到怡然居，吟雪急急地对水清说道：“仆役！您怎么不告诉爷，您の手，是因为扶锦茵格格才受の伤啊！”“吟雪，你白跟咯我两年多の时 间！今天这阵势，明摆着爷就是为咯给李侧福晋壹各说法，我若是说这手是因为扶大格格受の伤，谁能证明？李侧福晋还不更得以为我这是 存心跟她过意不去，故意伤咯手去诬告她。”“仆役，那，那您就白白地受咯伤，还落咯冤屈？”“冤屈不冤屈，其实，爷根本就没有这各 必要弄啥啊四堂会审，到时候问问锦茵格格不就全知道咯嘛。所以我才说，刚刚这各会审不过是走走过场而已。”听水清说完，吟雪却是扑 通壹下子跪在咯她の面前，让水清惊诧不已：“吟雪，你这是怎么咯？有啥啊话赶快起来再说也不迟。”“仆役，这全是奴婢の错！假如奴 婢不是去扶锦茵格格，也不会被李侧福晋寻咯仆役您の短处，还让您の手也伤咯，奴婢真是该死……”“好咯，好咯，瞧瞧你说の这都是啥 啊话！你不去扶，我不去扶，锦茵格格真の摔倒咯怎么办？那罪过不是更大咯？我の手伤咯，那也是我不小心弄の，跟你有啥啊关系，真是 の，你赶快好好地当差去，别净跟我这儿说这些没用の！”水清の话音刚落，只听月影进屋来禀报：“仆役，张太医来咯。”第壹卷 第 324章 锦茵今天是锦茵格格回门の日子。府里早早就准备妥当，按照规矩，郡主与额附双双向王爷和排字琦敬上谢恩茶。淑清作为格格の亲 额娘，也壹并受礼。礼毕之后，王爷吩咐秦顺领额附到他の书院等候，又让惜月和韵音几各人先行退下，单独将格格留咯下来。。待众人退 下后，屋子里只剩王爷、排字琦、淑清、水清四各主子。然后王爷又将除吟雪以外の所有奴才全都摒退到门外，连红莲都没能留下，更不要 说菊香咯。面对这各安排，锦茵莫名其妙，望向她阿玛の目光中充满咯疑惑不解の神情。对此，他也没有转弯抹角，而是开门见山：“茵茵， 今天是你回门の日子，见到你在婆家壹切都好，阿玛和你额娘都放心咯。”“阿玛，让您担心，女儿深感惭愧。女儿不能侍奉父母，还要父 母大人如此牵挂，实为不孝。女儿真恨不能够永远留在这府里，日日孝敬您们……”“你说の这叫啥啊傻话！男大当婚、女大当嫁，天经地 义の事情，难不成你壹辈子不嫁，留在府里侍奉我们？那不是害咯你壹辈子吗？趁现在额附不在，阿玛也要嘱咐你几句，你在府里是郡主， 嫁到婆家就是媳妇，好好孝敬公婆、姑嫂和睦才是正道儿。咱们这府里就你这么壹各格格，没人跟你争，也没人跟你抢，额娘和姨娘们全都 宠着你。阿玛确实是担心你啊，到咯婆家可就真の不壹样咯。那么多の太爷太婆、姑舅姨侄，全都要好生处着。不要总以为自己是郡主，想 怎么着就怎么着，丢咯规矩，就是丢咯脸面，就是丢咯咱们府里の脸面。”“女儿谨记阿玛の教诲。”“记得就好，当格格和当媳妇还是有 很大不壹样の，你是壹各好格格，阿玛希望你也能做壹各好媳妇，不要等以后哭哭啼啼の时候才想起今天阿玛说の这番话。好咯，这件事情 就先不说咯，阿玛问你壹件事情。成婚那天，听说差点儿摔咯各跟头，连鞋子都坏咯，那是怎么回事儿？”“回阿玛，是女儿走路不小心， 也不知怎么就踩上咯啥啊东西，可能是小石子吧。”“茵茵！你怎么能肯定不是别人推の你？”淑清壹听锦茵说是自己走路不小心，气得心 中直骂这各丫头是各大傻瓜。好好の平地路，怎么就能摔咯跟头？小石子？哪各奴才们当差这么不仔细，连石子都没有清理干净？王爷听咯 锦茵の回答，心里总算是踏实咯，可淑清仍是不依不饶の样子，竟然明目张胆地暗示格格有人推她，他不想在这件事情上纠缠得没完没

ʏ郭小斌三角函数的最值或值域问题是三角函数中的一个重要知识点,也是同学们学习的一个难点㊂下面就求解三角函数的最值或值域中的常见思维方法进行归类总结,希望对同学们的学习有所帮助㊂一㊁借助辅助角公式化为正弦函数的有界性例1 函数f (x )=s i nx 3+c o s x3的最小正周期和最大值分别是( )㊂A .3π和2 B .3π和2C.6π和2D .6π和2利用辅助角公式结合三角函数的性质求解㊂由题设可得函数f (x )=2s i n x 3+π4,所以f x 的最小正周期为T =6π,最大值为2㊂应选C ㊂感悟:形如y =a s i n ωx +b c o s ωx +k 的三角函数,可设s i n φ=b a 2+b2,c o s φ=a a 2+b2,逆用和角公式得到y =A s i n (ωx +φ)+k ,再利用正弦函数的有界性求最值㊂变式1:已知函数f (x )=s i n 2x -s i n 2x -π6,x ɪR ,求函数f (x )在区间-π3,π4上的最大值和最小值㊂提示:由题意得f (x )=12s i n 2x -π6 ㊂因为x ɪ-π3,π4,所以2x -π6ɪ-5π6,π3 ,所以s i n 2x -π6 ɪ-1,32,所以12s i n 2x -π6 ɪ-12,34,所以函数f (x )在区间[-π3,π4]上的最大值为34,最小值为-12㊂二㊁利用换元法化为二次函数在区间上的最值例2 (1)函数y =c o s 2x +2s i n x -π2的最小值是㊂(2)函数f (x )=s i n x +c o s x +2s i n x c o s x ,x ɪ-π4,π4的最小值是㊂把握题设中的变量关系,换元化归为二次函数在区间上的最值问题求解㊂(1)由题意得函数y =c o s 2x -2c o s x =2c o s 2x -2c o s x -1㊂令t =c o s x ,t ɪ[-1,1],则原函数可化为g (t )=2t 2-2t -1=2t -122-32㊂当t =12,即c o s x =12时,g (t )取得最小值,其最小值为-32,即原函数的最小值为-32㊂(2)注意到2s i n x c o s x =(s i n x +c o s x )2-1的二次关系,设s i n x +c o s x =t ,则t =2s i n x +π4 ㊂因为x ɪ-π4,π4,所以x +π4ɪ0,π2,所以0ɤt ɤ1㊂所以原函数可化为g (t )=t 2+t -1,0ɤt ɤ1㊂因为函数g (t )的开口向上,对称轴为t =-12,当0ɤt ɤ1时单调递增㊂所以当t =0时,函数g (t )取得最小值为-1,即原函数的最小值为-1㊂感悟:形如y =a s i n 2x +b s i n x +k 的三角函数,设s i n x =t ,可化为关于t 的二次函数求值域㊂形如y =a s i n x c o s x +b (s i n x ʃc o s x )+c 的三角函数,设t =s i n x ʃc o s x ,可化为关于t 的二次函数求值域㊂利用换元02 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.法求三角函数的值域或最值时,要注意新元的取值范围㊂变式2:函数y =c o s 2x +2s i n x 的最大值为㊂提示:设t =s i n x ,则t ɪ[-1,1]㊂原函数可化为f (t )=1-2t 2+2t =-2t -122+32,t ɪ[-1,1],所以当t =12时,函数f (t )取得最大值32,即原函数的最大值为32㊂三㊁化为反比例的复合函数在区间上的最值或有界性例3 函数f (x )=3s i n x -1s i n x +2的最大值是,最小值是㊂f (x )=3(s i n x +2)-7s i n x +2=3-7s i n x +2㊂因为s i n x ɪ[-1,1],所以s i n x +2ɪ[1,3],所以1s i n x +2ɪ13,1,所以-7s i n x +2ɪ-7,-73,所以3-7s i n x +2ɪ-4,23,即所求函数的最大值为f (x )m a x =23,最小值为f (x )m i n =-4㊂感悟:形如y =a s i n x +b c o s xc s i n x +d c o s x的三角函数,可化为反比例的复合函数在区间上的最值问题求解㊂变式3:函数y =3c o s x2+s i n x的值域为㊂提示:由y =3c o s x2+s i n x,可得y s i n x -3c o s x =-2y ,所以y 2+3s i n (x -φ)=-2y (φ为参数),所以-2yy 2+3ɤ1,解得-1ɤy ɤ1,即原函数的值域为[-1,1]㊂四㊁换元后化为对钩函数在区间上的值域例4 函数f (x )=2s in x c o s x +2s i n x +c o s x,x ɪ0,π2的最小值为㊂令t =s i n x +c o s x =2s i n x +π4 ㊂由x ɪ0,π2 ,可得x +π4 ɪπ4,3π4 ,所以t ɪ[1,2]㊂因为2s i n x c o s x =t 2-1,所以原函数可化为g (t )=t 2+1t =t +1t㊂显然函数g (t )在1,2 上单调递增,所以其最小值为2,即所求函数的最小值为2㊂感悟:熟练掌握对钩函数y =t +1t的单调性是解题的关键㊂变式4:已知函数f (x )=s i n 2x +(2-m )s i n x -m ㊂若关于x 的方程f (x )=0在区间π3,7π6上有解,求实数m 的取值范围㊂提示:由f (x )=0得s i n 2x +(2-m )㊃s i n x -m =0,即(s i n x +1)m =s i n 2x +2s i n x ㊂因为x ɪπ3,7π6,所以s i n x ɪ-12,1,则s i n x +1ʂ0,所以m =s i n 2x +2s i n x s i n x +1=(s i n x +1)2-1s i n x +1㊂令s i n x +1=t ,则t ɪ12,2,所以m =t 2-1t =t -1t ,t ɪ12,2㊂令g (t )=t -1t㊂因为函数y =t 和y =-1t在12,2 上都是增函数,所以函数g (t )=t -1t 在12,2 上是增函数㊂又因为g 12 =-32,g (2)=32,所以函数g (t )在12,2 上的值域为-32,32 ,即实数m 的取值范围是-32,32㊂作者单位:广东省惠州市惠城区教师发展中心(责任编辑 郭正华)12知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

三角函数的极值三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

这些函数在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

其中一个重要的概念是极值，即函数的最大值和最小值。

在本文中，将探讨三角函数的极值特性以及如何求解。

一、正弦函数的极值正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)，其中x为自变量。

正弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。

正弦函数的图像是一条连续的波形，具有无限多个极大值和极小值。

我们可以观察正弦函数的图像，发现它在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π的倍数时，取得极小值-1。

由此可知，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

除此之外，正弦函数在其他点上的取值介于-1和1之间。

二、余弦函数的极值余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。

余弦函数的定义域也是所有实数，值域同样在[-1, 1]之间。

余弦函数的图像形状与正弦函数相似，但相位不同。

与正弦函数类似，余弦函数也有无限多个极大值和极小值。

观察余弦函数的图像，可以发现它在自变量增大到2π的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极小值-1。

其他点上余弦函数的取值也落在-1和1之间。

三、正切函数的极值正切函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为tan(x)。

正切函数的定义域是所有实数，但在某些点上存在无穷大或无穷小的间断点。

正切函数的值域包含所有实数。

正切函数的图像呈周期性分布，并且在自变量增大到π/2的倍数时，取得无穷大的极大值；在自变量增大到π的倍数时，取得无穷小的极小值。

其他点上正切函数的取值没有特殊限制。

四、求解要求解三角函数的极值，我们可以首先观察它们的图像，确定函数的周期性和取值范围。

然后，通过求导数的方法，找到函数在定义域内的临界点。

最后，将临界点带入函数，求得对应的函数值，进一步确定最大值和最小值。

需要注意的是，某些三角函数在定义域的某些点上没有极值，而是趋于无穷大或无穷小。

三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2

求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的常用解题方法
一. 使用配方法求解三角函数的最值
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转变为二次函数也是求最值的通法之一，应该注意，整理成时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。

二. 使用化一法求解三角函数的最值
例2．求函数的值域。

剖析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数即可求得。

—2—
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分构成，此中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，所以需要大家娴熟掌握有关公式并灵巧运用。

三. 使用基本不等式法求解三角函数的最值
例3. 求函数的值域
—3—
解：
解：
四. 使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。

剖析：解本题的门路是用逆求将函数式变形，用 y 表示与 x 有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。

—4—
解：
—5—。

师说新语３３２０１９年第２５期求三角函数最值及值域常用的策略◎ 任彩霞/平遥现代工程技术学校三角函数的最值问题是三角函数中重要的一个知识点，题型较多、方法较碎，是同学们学习的一个难点，由于题型灵活，容易考查思维能力，因而也是高考中热点题型，现对三角函数最值求法中常见的策略加以归类，常用方法加以总结，以达快速正确求解。

一、利用三角函数的有界性求最值1、形如y=asinx+bcosx+c 型，引入辅助角公式化为22b a +sin(x+φ)+c ，再求值域。

例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+3π)的值域解：f(x)=2sinx+21cosx －23sinx=（2－23）sinx+21cosx=)sin()21()232(22φ++−x ，故f(x)∈[]2、形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型，通过降幂转化为Asinx+Bcosx ，再求值域。

例2、f(x)=23asinx·cosx-2asin 2x+1（a>0）的值域解：f(x)= 3asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+6π)-a+1∵a>0，sin(2x+6π)-a+1∴f(x)∈[-3a-1，a+1]二、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin 2x+bsinx+c 型，令sinx=t 转化为二次函数再求值域。

例3、k<-4，求y=cos 2x+k(cosx-1)的值域解：y=2cos 2x-1+kcosx-k y=2cos 2x+kcosx-k-1，设t=cosx ，t ∈[-1,1]则y=2t2+kt-k-1，对称轴x=－4k，由于k<-4，则－4k >1，故当t=1时，ymin=1，当t=－1时，ymax=1－2k ，即y ∈[1,1-2k]2、形如y=asinx·cosx+b （sinx ±cosx ）+c 型，令sinx ±cosx=t转化为二次函数在]2,2[−上的值域问题例4、求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx 的值域。

三角函数最值问题的十种常见解法三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。

解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和三角函数图像，而且还会用到三角函数的多种恒等变化。

同时，在三角函数的最值问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；常用公式1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。

2. 辅助角公式sin cos ),sin a x b x x ϕφφ+=+== 3．二倍角公式 αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

4．半角公式sin 2α=cos 2α=tan 2α= （sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+） 5. 万能公式22222tan1tan 2tan 222sin ,cos ,tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-题型一：sin y a x b =+或cos y a x b =+型函数策略：转化为一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法，即利用sin 1x ≤或cos 1x ≤便可求解，max min ,y a b y a b =+=-+。

评析:①必须注意字母a 的符号对最值的影响;②必须注意自变量x 对最值的影响。

例1：求函数2cos 1y x =-的值域巩固：求sin()cos 6y x x π=-，(,)43x ππ∈的值域题型二：sin cos y a x b x =+型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

03
CHAPTER
三角函数值域的应用
三角函数值域在数学领域中有着广泛的应用，例如在解决代数方程、不等式、微积分等问题时，需要利用三角函数值域的性质和特点。
三角函数值域的求解有助于理解函数的性质和图像，进一步掌握函数的极限、连续性、可导性等重要概念。
在物理领域中，许多物理量可以用三角函数来表示，例如角度、振动、波动等。这些物理量都有一个对应的三角函数值域，因此三角函数值域的求解在物理中有重要的应用。
将三角函数表达式与单位圆上的点坐标关联起来，通过观察单位圆或三角函数图像，直观地确定函数的最大值和最小值，从而得出函数的值域。
将三角函数表示为参数方程的形式，通过参数的范围求得函数的值域。
将三角函数表示为参数方程，如正弦函数可以表示为直角三角形中的对边与斜边的比值，通过分析参数的变化范围，确定函数的值域。
例如，在振动和波动的研究中，三角函数值域的求解可以帮助我们理解振幅、频率、相位等物理量的变化规律。
04
CHAPTER
三角函数值域的特殊情况
0°和30°、45°、60°和90°等特殊角度的三角函数值具有特定的值域，可以通过查表或计算得出。
例如，sin(30°)=1/2，cos(45°)=√2/2，tan(60°)=√3等。
05
CHAPTER
三角函数值域的扩展知识
1
2
3
三角函数具有对称性，即对于函数f(x)，存在一个点P(a,b)，使得f(x)=f(2a-x)或f(x)=f(a+x)。
对称性定义
正弦函数和余弦函数具有轴对称性，正切函数具有中心对称性。
常见三角函数的对称性
在求三角函数值域时，可以利用其对称性将函数值分布在一个对称区间内，从而简化计算。

A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
答案A
解析因为0≤x≤9，所以－ ≤ － ≤ ，所以－ ≤sin ≤1，则－ ≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－ .
跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝sin ，其中x∈ ，若f(x)的值域是 ，则实数a的取值范围是．
答案
解析∵x∈ ，∴x＋ ຫໍສະໝຸດ ，∵当x＋ ∈ 时，f(x)的值域为 ，
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－ 时，ymin＝－ － .
∴函数的值域为 .
三角函数的值域
求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
例1(1)函数y＝cos 2x＋2cosx的值域是()
A．[－1,3]B.
C. D.
答案B
解析y＝cos 2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2 2－ ，因为cosx∈[－1,1]，所以原式的值域为 .
(2)函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()
∴由函数的图象(图略)知， ≤a＋ ≤ ，
∴ ≤a≤π.
(2)(2018·通辽质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为．
答案
解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝ ，且－ ≤t≤ .

6
62
........ ........
f ( ) 3 ........................
62
6
可看出最大值为 y 3sin = 3，最小值为
因此，值域为 [ 2 , 2] 6 2
y 3sin( )=- 3，
62
33
1 小练习
正弦、余弦，正切
求下列三角函数的值域：
y cos(x ), x [ , ]
3
3
设x =，y cos , [2 , 4 ]
3
33
值域为[1, 3 ] 2
y 2sin(x ), x [0, ]
4
设x =，y 2sin , [ , 3 ]
4
44
值域为[ 2,1]
y tan(x ), x [ , ]
3
32
设x =，y tan , [0, ]
3
y cos x, x [ , ] 3
y tan x,
x [ , ]
3
....
........
值域为[1, 1] 2
y 2sin x, x [ , ] 3
值域为[ 3, 0]
........
y 2sin x,
x
[
,
]
3
......
值域为[0, 2]
与左边相反值域为[2，0]
2 三角函数
重点
非标准函数值域求解
3
解：
画出标准图 画图
标出范围
பைடு நூலகம்
标点
檫去多余图像
檫图
难
........
....................... f ( ) 1
2