三角函数最值与值域专题

通 过 变 形 可 得 ： f ( x) = 1 a2 + b2 sin (2x + j ) ， 所 以 最 大 值 为 1 a2 + b2 = 1 ， 即
2
2
2
a2
+ b2
= 1 ①，再利用
f
æp çè 3
ö ÷ø
=
3 可得： - 1 a -
4
4
3b= 4
3
②，通过①②可解得：
4
ìa íîb
= =
例
4：设函数
f
(x)
=
sin x
+
cos 2x
，若
x
Î
éêë-
p 6
,
p 2
ù úû
，则函数
f
( x) 的最小值是______
思路：同例 4 考虑将解析式中的项统一，cos 2x = 1 - 2sin2 x = 1 - 2 sin x 2 ，进而可将 sin x
作为一个整体，通过换元来求值域。
解： f ( x) = sin x + cos 2x = sin x + 1 - 2 sin x 2
三角函数。观察可得 cos x 次数较低，所以不利于转化，而 sin2 x,cos 2x 均可以用 cos x 进
( ) ( ) 行表示，确定核心项为 cos x ，解析式变形为 y = cos x -
1 - cos2 x
-
2cos2 x - 1
7 +，
4
化简后为
y
=
- cos2
x
+
cos x
+
7 4
=
cos

新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题29 三角函数的值域和最值一、单项选择题1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－122．如果|x|≤π4，那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是( ) A.2－12 B ．－2＋12 C ．－1 D.1－223．(2021·湖北武汉联考)已知函数f(x)＝sin(π2x ＋π6)－2cos 2π4x －1，则f(x)在[0，2]上的最大值与最小值之和为( ) A ．－72 B ．－52 C ．0 D.124．(2020·贵阳市高三摸底)将函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上的最小值为( )A ．0B ．－12C ．－32 D ．－ 35．已知y ＝sinx ＋1sinx ，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值6．将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在[0，π2]上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．(2017·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.158．当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos2xcosxsinx －sin2x 的最小值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 二、多项选择题 9．(2021·山东青岛二模)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y ＝A sinωt (A>0，ω>0)，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝3|cosx|＋|sinx|，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是周期函数C ．f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增D ．f(x)的最大值为210．设函数f(x)＝sinωx ＋3cosωx ，x ∈R ，其中ω>0，在曲线y ＝f(x)与直线y ＝3的所有交点中，相邻交点距离的最小值为π6，则( )A ．f(x)的最大值为1B ．ω＝2 C ．f(x)的图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋π12，k ∈Z D ．f(x)的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12三、填空题与解答题11．(2017·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin 2x ＋3cosx －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．12．(2019·课标全国Ⅰ，理改编)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的下述四个结论中正确的是________(填正确结论的序号)．①f(x)是偶函数； ②f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.13．(2020·广州市调研)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，α.当α＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则α的取值范围是________．14．(2020·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1)m ＝________．(2)对任意a ∈R ，f(x)在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________． 15．已知函数f(x)＝sin3x ＋3cos3x ，x ∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．16．函数y ＝1sin2x ＋2cos2x 的最小值是________．17．(2020·上海华师大二附中期中)已知函数y ＝sinθcosθ2＋sinθ＋cosθ. (1)设变量t ＝sinθ＋cosθ，试用t 表示y ＝f(t)，并写出t 的取值范围； (2)求函数y ＝f(t)的值域．参考答案1．答案 B解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.2．答案 D解析 f(x)＝－sin 2x ＋sinx ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx －122＋54，当sinx ＝－22时，有最小值，f(x)min ＝24－22＝1－22. 3．答案 A解析 f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6－2cos 2π4x －1 ＝32sin π2x ＋12cos π2x －cos π2x －2＝32sin π2x －12cos π2x －2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6－2.当x ∈[0，2]时，π2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－1.即f(x)在[0，2]上的最大值为－1，最小值为－52，二者之和为－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－72.4．答案 D解析 将函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，得函数y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍，纵坐标不变，得函数g(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π12的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3时，4x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π4，因此当4x －π12＝－π2，即x ＝－5π48时，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上取得最小值－ 3.5．答案 B解析 令t ＝sinx ，t ∈(0，1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0，1]是一个减函数，则y 只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sinx ，得出sinx ＝1y －1，由sinx ∈(0，1]也可求出，故选B.6．答案 A解析 把函数f(x)＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位长度得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，∴π3＋φ＝k π.∵|φ|<π2，∴φ＝－π3.∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∴x ＝0时，f(x)min ＝－32.7．答案 A解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin(x ＋π3)，所以f(x)＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f(x)的最大值为65，故选A. 8．答案 D 解析 f(x)＝1－tan2x ＋tanx＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫tanx －122＋14， ∵0＜x ＜π4，∴0＜tanx ＜1.当tanx ＝12时，f(x)的最小值为4，故选D. 9．答案 ABD解析 本题考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法．函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝3|cos(－x)|＋|sin(－x)|＝3|cosx|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A 正确；因为f(x ＋π)＝3|cos(x ＋π)|＋|sin(x ＋π)|＝3|－cosx|＋|－sinx|＝3|cosx|＋|sinx|＝f(x)，所以π是f(x)的周期，故B 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f(x)可化为f(x)＝3cosx ＋sinx ＝2(32cosx ＋12sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，此时f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递减，故C 错误；由于π是函数f(x)的周期，故不妨取x ∈[0，π]研究其最值．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f(x)可化为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f(x)取得最大值2.当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f(x)＝－3cosx ＋sinx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sinx －32cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，得x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，2π3，所以当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f(x)取得最大值2，故当x ∈[0，π]时，f(x)取得最大值2，故D 正确．故选ABD. 10．答案 BCD解析 由题意可得f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，易知f(x)的最大值为2，A 错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝3，可得sin (ωx ＋π3)＝32，得到ωx ＋π3＝2kπ＋π3或ωx ＋π3＝2k π＋2π3，k ∈Z ，令k ＝0，可得x 1＝0，x 2＝π3ω，由|x 1－x 2|＝π6可得π3ω＝π6，解得ω＝2，所以B 正确；f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝kπ2＋π12，k ∈Z ，C 正确；令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，令k ＝0，得到－5π12≤x ≤π12，D 正确．故选BCD. 11．答案 1解析 本题主要考查三角函数的最值．由题意可得f(x)＝－cos 2x ＋3cosx ＋14＝－(cosx －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cosx ∈[0，1]．∴当cosx ＝32时，f(x)max ＝1.12．答案 ①④解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当π2<x<π时，f(x)＝sinx ＋sinx ＝2sinx ，∴f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x|与y ＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确． 13．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析 若－π6≤x ≤π3，则－π3≤2x ≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，即f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.若－π6≤x ≤α，则－π3≤2x ≤2α，－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.∵当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，∴要使f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，∴π6≤α≤π2，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. 14．答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1， 因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，f(x)max ＝2＋m ＋1＝3，所以m ＝0.(2)由(1)得f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，T ＝2π2＝π，在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.15．答案 (1)T ＝2π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ3－5π18，2kπ3＋π18(k ∈Z )(2)f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最小值－3，此时，x ＝－2π9或π3 f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最大值2，此时x ＝π18解析 因为f(x)＝sin3x ＋3cos3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π3.由2k π－π2≤3x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2kπ3－5π18≤x ≤2kπ3＋π18(k ∈Z )． 故函数f(x)的单调递增区间为[2kπ3－5π18，2kπ3＋π18](k ∈Z )． (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3，得3x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3，显然，当3x ＋π3＝－π3或3x ＋π3＝4π3，即x ＝－2π9或x ＝π3时，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最小值－3；当3x ＋π3＝π2，即x ＝π18时，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最大值2.16．答案 3＋2 2解析 y ＝1sin2x ＋2cos2x ＝sin2x ＋cos2x sin2x ＋2sin2x ＋2cos2x cos2x ＝3＋cos2x sin2x ＋2sin2xcos2x ≥3＋22， ∴y min ＝3＋2 2.17．答案 (1)y ＝t2－14＋2t [－2，2] (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，2＋24 解析 (1)∵t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴t ∈[－2，2]，t 2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ，∴sin θcos θ＝t2－12，∴y ＝f(t)＝sinθcosθ2＋sinθ＋cosθ＝t2－12（2＋t ）＝t2－14＋2t ，t ∈[－2，2]．(2)f(t)＝t2－14＋2t ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋2）2－4（t ＋2）＋3t ＋2 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋2）＋3t ＋2－4. ∵t ∈[－2，2]，∴t ＋2∈[2－2，2＋2]，则t ＋2＞0. ∵(t ＋2)＋3t ＋2≥2（t ＋2）·3t ＋2＝23，当且仅当t ＋2＝3t ＋2，即t ＋2＝3时取等号，∴函数f(t)的最小值为12×(23－4)＝3－2.当t ＝－2时，f(－2)＝2＋24，当t ＝2时，f(2)＝2－24，∴函数f(t)的最大值为2＋24.故函数y ＝f(t)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，2＋24.。

P0，12，现将 y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到的函数图象也过
点 P，则
√A.ω 的最小值为 2
B.ω 的最小值为 6
C.ω 的最大值为 2
D.ω 的最大值为 6
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依题意 f(0)＝sin φ＝12，0<φ<π2，φ＝π6， f(x)＝sinωx＋π6的图象向左平移π3个单位长度得到 g(x)＝sinωx＋π3＋π6＝sinωx＋π3ω＋π6，g(0)＝sinπ3ω＋π6＝12， 所以π3ω＋π6＝2k1π＋π6或π3ω＋π6＝2k2π＋56π， 即ω＝6k1或ω＝6k2＋2，其中k1，k2∈Z， 由于ω>0，所以ω的最小值为2.
跟踪演练3 (2022·湛江模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2，f π3＋x
＝f π3－x，f －π3＝0，且 f(x)在区间1π0，π2上有且只有一个极大值点，
33 则 ω 的最大值为__4___.
由题意知，－π3ω＋φ＝k1π， π3ω＋φ＝k2π＋π2，
k1，k2∈Z，
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若 x∈(0,2π)，则 ωx＋π6∈π6，2ωπ＋π6. 设 t＝ωx＋π6，则 t∈π6，2ωπ＋π6， 因为 2ωπ＋π6∈π6，176π， 所以函数 y＝sin t 在π6，2ωπ＋π6上的零点最多有 2 个. 所以f(x)在(0,2π)上的零点最多有2个.
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4.(2022·萍乡模拟)设函数 f(x)＝sin2x＋π4在区间a，a＋π3上的最大值为
M，最小值为 m，则 M－m 的最小值为
A.
2 2
√B.12
C.1－
2 2
2－1 D. 2

2022年新高考数学总复习：三角函数的值域与最值例 (1)函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域为__⎣⎡⎦⎤－3，13__. (2)(理)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的值域为__⎣⎢⎡0，2__. (文)函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )的值域为__[－2,2]__. (3)函数y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域为__⎣⎡⎦⎤0，34__. (4)(理)若x 是三角形的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值是( A ) A ．－12＋2B ．12＋2C ．1D ．2[解析] (1)解法一：y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－3，13. 解法二：由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－3，13. (2)(理)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3sin 2x ＋sin x cos x ＝3(1－cos 2x )2＋sin 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋32. (文)f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin (2x ＋π6)，值域为[－2,2]．(3)解法一：由y ＝1＋sin x3＋cos x得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y 2其中sin φ＝－y1＋y 2，cos φ＝11＋y 2. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3y －11＋y 2≤1，解得0≤y ≤34. 解法二：1＋sin x 3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎡⎦⎤0，34. (4)(理)由条件知0<x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤7π12，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，则－12＋2≤y <1，所以函数的最小值为－12＋ 2.故选A ．名师点拨求三角函数值域或最值的方法(1)y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]．(2)y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 可转化为关于cos x 的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c ·cos 2x――→利用二倍角公式降幂整理y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ――→辅助角公式y ＝A 2＋B 2sin(2x ＋φ)，再利用sin(2x ＋φ)的有界性求解，注意2x ＋φ的取值范围．(4)y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝a cos x ＋b c cos x ＋d 可反解出sin x ＝f (y )(或cos x ＝f (y ))由正、余弦函数的有界性(|f (y )|≤1)求解；y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d 可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin(x＋φ)＝yd －b a 2＋(yc )2利用三角函数的有界性求解．(5)y ＝f (sin x ±cos x ，sin x ·cos x )常用换元法，令t ＝sin x ±cos x ＝2sin(x ±π4)，则cos x sin x＝t 2－12⎝⎛⎭⎫或1－t 22，可化为关于t 的二次函数在某区间上的值域或最值． 〔变式训练3〕(1)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是__1__. (2)(理)(2021·黑龙江宜春二中月考)函数y ＝12＋sin x ＋cos x 的最大值是( D )A ．22－1 B ．－22－1 C ．1－22D ．1＋22(文)(2020·黑龙江宜春二中月考)函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值是( B ) A ．2－2 B ．2＋2 C ．2－2D ．－2－2(3)(2021·云南调研)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域是__2__. [解析] (1)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (2)(理)y ＝12＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∵2－2≤2＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＋2， ∴y ≤12－2＝1＋22，故选D ．(文)y ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2，故选B ．(3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝1－2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1，当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.。

3 π 又 y = 2sin 2 B + sin( 2B + ), 6 3 1 =1−cos 2B + sin 2B + cos 2B 2 2 π = sin( 2B − ) +1 6
能力·思维· 能力·思维·方法
π 4．已知△ABC中， tan A + = −2 − 3 ,求使 ．已知△ 中 求使 4 π 取最大值时∠C 的大小. 2 y = 2 sin B + sin 2 B + 取最大值时∠ 的大小 6
【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、 解题回顾】形如 d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Asin(2x+φ) 为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如 为常数 +B的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解另外， 的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解另外， 的式子 求最值时不能忽视对定义域的思考
π
能力·思维· 能力·思维·方法
π 4．已知△ABC中， tan A + = −2 − 3 ,求使 ．已知△ 中 求使 4 π 取最大值时∠C 的大小. 2 y = 2 sin B + sin 2 B + 取最大值时∠ 的大小 6 π
∴tan A = 3, A =
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5.试求函数 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值 的最大值和最小值. 试求函数 的最大值和最小值 又若x∈ ， 又若 ∈[0，π/2]呢? 呢 解题分析:对于 解题分析 对于 “sinx+cosx+2sinxcosx”形式的式子已经不能 形式的式子已经不能 解 令 “asinx+bcosx=√a ∈[ 2sin(x+φ)”统一变量 ： t 统一变量, 简单地利用 = sin x + cos x, 则t2+b− 2, 2], 统一变量,而必 之间的关系, 须利用换元寻找 “sinx+cosx”与 “sinxcosx”之间的关系,进而 与 之间的关系 统一变量. 统一变量. cos x = (sin x + cos x)2 −1= t 2 −1 又2sin x

三角函数最大值最小值引言三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)等。

这些函数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

其中一个重要的问题就是如何确定三角函数的最大值和最小值。

本文将详细介绍三角函数的最大最小值及其求解方法。

正弦函数(sin)的最大最小值正弦函数是一个周期函数，它表达了一个圆的边缘点在坐标系中的y坐标值。

正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

可以通过以下推导来证明：首先，正弦函数在任意时刻的值都在-1和1之间，即 -1 ≤ sin(x) ≤ 1。

这是因为正弦函数是周期为2π的函数，而在一个周期内，它的值始终在-1和1之间。

其次，为了找到正弦函数的最大值和最小值，我们需要找到函数在一个周期内的关键点。

正弦函数的关键点就是最大值和最小值所对应的点。

在一个周期内，正弦函数的最大值出现在x = π/2 + 2πn 的点，最小值出现在x = -π/2 + 2πn 的点，其中n为整数。

综上所述，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

余弦函数(cos)的最大最小值余弦函数是正弦函数的补函数，它也是一个周期函数，定义域是实数集，值域也是[-1, 1]。

余弦函数的最大值和最小值与正弦函数相同。

可以通过以下推导来证明：余弦函数在任意时刻的值也都在-1和1之间，即 -1 ≤ cos(x) ≤ 1。

这是因为余弦函数也是一个周期为2π的函数，在一个周期内，它的值始终在-1和1之间。

与正弦函数类似，余弦函数的最大值出现在x = 2πn 的点，最小值出现在x = π + 2πn 的点，其中n为整数。

综上所述，余弦函数的最大值为1，最小值为-1。

正切函数(tan)的最大最小值正切函数是一个非周期函数，定义域不包括π/2 + kπ (其中k为整数)，值域是全体实数。

正切函数并没有最大值和最小值。

可以通过以下推导来证明：首先，正切函数的定义域是除去一些特殊点的全体实数。

＝

sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［ ， ），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋ ）在［ ，1）上单调递减，
2

3

所以 的取值范围为（

2，
6＋ 2
］.
2
＝
高中总复习·数学
2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
高中总复习·数学
解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝ ＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0， ］上的值域为[－1，2].故选D.
2
高中总复习·数学
2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值

三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型 （1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。

4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型， 可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法题型一 借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（ ） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（ ）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二 借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-， 故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+， 由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（ ） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三 借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣， 则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+， 所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________． 【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ， 所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四 分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（ ）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++， 因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+， 所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦， 即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-， 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（ ）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______． 【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。

三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。

例1 ：求函数y sinx的值域。

cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。

33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。

三角函数的值域和最值1.正弦函数y=sinx 定义域是R ，值域是[-1,1]，在x=2k π-π/2(k ∈Z)时取最小值-1，在x=2k π+π/2(k ∈Z)时，取最大值1 .2.余弦函数y=cosx 定义域是R ，值域是[-1，1]，在x=2k π(k ∈Z)时，取最大值1，在x=2k π+π(k ∈Z)时，取最小值-13.正（余）切函数y=tanx 定义域是(k π-π/2，k π+π/2)(k ∈Z)，值域是R ，无最值.4. asinx+bcosx 型函数)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a其中 ab arctan =ϕ，φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定) 练习题1．.若sin x ≥1/2，则x 的范围是____________________________；若√3+2cos x ＜0，则x 的范围是 ；若tanx ≤1,则x 的范围是________________________；若sin2x ＞cos2x ，则x 的范围是__________________________( 2k π+π/6≤x ≤2k π+5π/6，k ∈Z ；2k π+5π/6<x<2k π+7π/6，k ∈Z ；k π-π/2<x ≤k π+π/4，k ∈Z ；k π+π/4<x<k π+3π/4，k ∈Z )2．函数y=√3sin x+cos x,x ∈[-π/6，π/6]的值域是( ) D(A)[-√3，3] (B)[-2，2] (C)[0，2] (D)[0，√3]【x 有范围限制时，y 的范围要根据单调性得出】3．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( ) A(A)1+√2 (B)√2-1 (C)2 (D)24.设 0cos sin,cos sin 33<+=+ααααt ，则t 的取值范围是( ) B (A) ()()∞+-，，303 (B) [)02，-(C) ()()3101，， - (D) [)33，- 5．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间[a,b ]上是增函数，且f(a)=-M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b ]上( ) B(A)是增函数 (B)可以取得最大值M(C)是减函数 (D)可以取得最小值-M6．已知△ABC 中， 324tan --=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，求使⎪⎭⎫ ⎝⎛++=62sin sin 2y 2πB B 取最大值时∠C 的大小.【形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a 、b 、c 、d 为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)+B 的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解 另外，求最值时不能忽视对定义域的思考】7．试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.又若x ∈[0，π/2]呢？【此为sinx+cosx 与sinx·cosx 型.(注意与上例形式的不一样)，一般地，含有sinx+cosx,sinx-cosx ，sinx·cosx 的三角函数都可以采用换元法转化为t 的二次函数去解.但必须注意换元的取值范围.】【换元后，要研究定义域的变化，脱离定义域研究函数没有意义】8．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 【此为dx c b x a y ++=sin sin 型三角函数(分子、分母的三角函数同角同名)这类函数，一般用拆分法及三角函数的有界性去解.思考如何求1cos 21sin 2-+=x x y 的值域呢? 】 9．已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0，最小值为-4，若实数a ＞0，求a,b 的值【上述两题为y=asin2x+bsinx+c 型的三角函数.此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c 在闭区间[-1，1]上的最值问题解决.】10．.在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上．(1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC 的面积P 与正方形面积Q(2)当θ变化时求P /Q 的最小值．【此题为 xa x sin sin +型三角函数．当sin x ＞0且a ＞1时，不能用均值不等式求最值，往往用函数单调性求解】。

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长. 【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小； （2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当 时，由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos,cos 44x x m ⎛⎫= ⎪⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()1f B <≤，综上， ()f B的取值范围为⎛ ⎝⎦． 例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin cos ba c B C A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b c a +的取值范围.【答案】（1）3π（22b ca+<≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin cos b a c B C A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin B A B -，因为cos 0B ≠，故得sin A =ABC ∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b ca+的取值范围即可．试题解析： （1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin cos b a c B C A C --+=+，∴()()2cos sin cos ac B B C A C -+=+ ， ∴()()2cos sin ,B A B ππ--=-∴2cos sin B A B -=，∴23sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫+++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b ca+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的． 例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为2ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6 【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c c o s A a c o s B-+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号， 所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】 ，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值. 4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】 【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得 ，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯= 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值.试题解析：（1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC ∆面积的最大值为.8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 1⎡⎤⎣⎦.在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b c B C=，∴22sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S满足222a b c =+-． （1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【答案】（1）23π；（2）(tan C =0C π<<， 23C π∴=.（2）()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值； （2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围.（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由3040{ 202A A C A C πππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(S AcosC ∴+∈.12．【衡水金卷信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (3+(3.试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =， ∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。

三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2

三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。

通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。

sinx换为cosx也可以。

③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。

④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。

⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。

cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。

或者转化成两点连线的斜率。

以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。

二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。

专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类一、重点题型目录【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域 【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数 【题型】六、五点法求三角函数的解析式 【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数 二、题型讲解总结【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在56x π=时取得最大值，则()f x 在[π,0]-上的单调增区间是（ ） A ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】D【分析】根据题意可得5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则可求出ϕ，由于0A >，所以利用正弦函数的性质可求出答案.【详解】解：因为函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在5π6x =取最大值所以5πsin 6A A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 62k k ϕ+=+∈，得ππ,Z 3k k ϕ=-+∈ 又因为π02ϕ-<< 所以π3ϕ=-， 所以π()sin (0)3f x A x A ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，得5ππ22,Z 66ππk x k k -+≤≤+∈， 所以()f x 的递增区间为()π5π2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[π,0]-上的单调增区间是π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：D ．例2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是（ ）A ．,112π⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答.【详解】在函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，由2,Z 62x k k πππ-=+∈得，,Z 23k x k ππ=+∈， 所以函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是(,1)(Z)23k k ππ+∈，显然B ，D 不满足，A 不满足，当0k =是，对称中心为(,1)3π，C 满足.故选：C例3．（2022·湖北·宜都二中高三期中）已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象可由()cos g x A x ω=图象向右平移π9个单位长度得到B ．()f x 图象的一条对称轴的方程为5π9x =-C ．()f x 在区间29π17π,3636⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()2f x ≥的解集为2k π2π2k π,()393k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】ABD【分析】根据函数的振幅、周期、及过点4,49π⎛⎫-⎪⎝⎭可求得π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 对于选项A ：利用函数图象的平移检验即可；对于选项B ：令ππ3π,62x k k +=+∈Z 可解得()f x 图象对称轴的方程,检验是否能取到5π9x =-即可. 对于选项C ：求出π9π5π3,644x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，验证正弦函数在9π5π,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭是否单调增.对于选项D ： 直接解三角不等式π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可获得答案.【详解】由题意知34ππ4,4918A T ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，解得2π3T =，所以2π3T ω==， 所以()4sin(3)f x x ϕ=+.又点4,49π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()f x 的图象上， 所以4π4sin 349ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以4π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ， 解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又||2ϕπ<，所以ϕ=π6， 所以π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将π()4cos34sin 32g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移π9个单位可得πππ4sin 34sin 3()926y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；令ππ3π,62x k k +=+∈Z ，解得ππ,93k x k =+∈Z ，令2k =-得5π9x =- 所以()f x 图象的对称轴的方程为5π9x =-.故B 正确； 当29π17π,3636x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π9π5π3,644t x ⎛⎫=+∈-- ⎪⎝⎭，sin y t =在9π5π,44t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不是单调递增的，故C 错误；令()2f x ≥，即π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π32π,666k x k k +≤+≤+∈Z ，解得2π2π2π,393k k x k ≤≤+∈Z ，即()2f x ≥的解集为2π2π2π,()393k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故D 正确. 故选：ABD.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()[]π4sin 2,π,03f x x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是________．【答案】7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用正弦函数的单调性以及整体代入的方法，求出()f x 的单调递增区间，结合[]π,0x ∈-，得出答案．【详解】由()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，当1k =-时，13π7π,1212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；又因为[]π,0x ∈-，所以()f x 的单调递增区间为7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心例5．（2023·全国·高三专题练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】先根据辅助角公式得到三个式子的和小于得到在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+三个值中，，再举出例子，得到三个值中，有2个值符合要求，故得到答案.【详解】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=>sin cos βγ+=+>sin cos 1γα+=<的个数最多有2个. 故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知()1cos cos 2222x x x f x ⎫=+-⎪⎭，若存在0ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式，不等式()205122f x m m ≤--在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上能成立等价于()2min 51,22f x m m -≤-求得()f x 的最小值后解不等式即可求解【详解】()21sin cos 2222x x xf x =+-1cos 11cos 222x x x x +=+-=+ cossin sin cos 66xx x π=+. sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0π ,33x π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解则 ()2min 51,22f x m m -≤-π,33x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ πππ,662x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1sin 126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ 当3x π=-时，()f x 取得最小值，ππ1sin 362f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以 2511,222m m --≥-解之得：52m或0m m ∴的取值范围是(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：B例7．（2022·湖南·高三开学考试）若函数()22cos f x x x m ++在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6，则下列结论正确的是（ ） A ．5π512f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2π是函数()f x 的一个周期C ．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()4c f x c <<+恒成立，则实数c 的取值范围是[)2,3D ．将函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 是一个偶函数 【答案】BD【分析】先根据三角恒等变换整理得()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，以π26x +为整体，结合正弦函数图像与性质运算求解，并运用图像平移处理求解判断．【详解】()2π2cos cos212sin 216f x x x m x x m x m ⎛⎫++=+++=+++ ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ7π2,666x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当π6x =时，()f x 的最大值为6，即3m =，所以5π412f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项A 不正确； ∵()f x 的最小正周期2ππ2T ==，则2π是函数()f x 的一个周期，选项B 正确； 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()36f x ≤≤，所以不等式()4c f x c <<+恒成立，则364c c <⎧⎨<+⎩，解得23c <<，选项C 不正确；函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()πππ2sin 242sin 242cos24662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()g x 是一个偶函数，选项D 正确. 故选：BD ．例8．（2023·广东·高三学业考试）已知函数22()cossin 22x xf x a =--，R a ∈ (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，求a 的取值范围．【答案】(1)22[]k k πππ-， ，k ∵Z (2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解即可.（1）22()cos sin cos 22x xf x a x a =--=- 当22k x k πππ-≤≤ ，k ∵Z 时，()f x 单调递增，∵函数()f x 的单调递增区间为22[]k k πππ-，，k ∵Z ． （2）函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，也就是cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解．∵当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1cos ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．∵a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域例9．（2023·全国·高三专题练习）若将()sin 214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A1 B ．2C 1D ．2【答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，再求()g x 在闭区间上的最值【详解】因为()si 1442n g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()min 1g x =． 故选：C例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x < D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立【答案】ACD【分析】利用正弦型函数的周期公式求周期判断A ，利用正弦型函数的对称性可判断B ，利用正弦型函数的单调性可判断C ，利用正弦型函数的值域可判断D.【详解】∵函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期22T ππ==，所以()()f x f x π+=恒成立， 故A 正确；又2sin 216f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 11663f πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2sin 11663f πππ⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6666f f ππππ⎛⎫⎛⎫+≠--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象不关于原点对称，故B 错误；当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，所以22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()1,3f x ⎤∴∈⎦，又)213>，即min max 2()()f x f x >，所以对123,,[,],32x x x ππ∀∈有132()()()f x f x f x +>成立，故D 正确.故选：ACD.例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，点D 位于以AB 为直径的半圆上（含端点A ，B ），ABC 是边长为2的等边三角形，则AD CB ⋅的取值可能是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．4【答案】BC【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示求AD CB ⋅，化简求其范围，由此可得结论. 【详解】如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,，(0,C .令()cos ,sin D θθ，其中0θπ≤≤，则()cos 1,sin AD θθ=+，(1,CB =，所以cos 12sin 16AD CB πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭.因为0θπ≤≤，所以7666πππθ≤+≤，所以1sin 126πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以[]2sin 10,36AD CB πθ⎛⎫⋅=++∈ ⎪⎝⎭.故选：BC.例12．（2023·全国·高三专题练习）函数()ππsin 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______．【答案】2【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到()2cos f x x =，从而求出最大值.【详解】()πππππsin cos 36362f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππcos 2sin 2sin 2cos 33362x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 的最大值为2 故答案为：2【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3x π=时()f x 取得最小值C ．()f x 关于3x π=对称 D ．512x π=时()f x 取得最大值 【答案】D【分析】结合二倍角正弦公式和辅助角公式化简()f x ，再结合正弦函数性质判断各选项.【详解】因为()2sin cos f x x x x =，所以()sin 2f x x x =，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，A 错误，2sin 22333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BC 错误，552sin 2212123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A．1 B ．1C ．1D ．3【答案】C【分析】利用换元法，令sin cos t x x =+，则原函数可化为21y t t =+-，再根据二次函数的性质可求得其最大值【详解】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[t ∈，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[t ∈，对称轴为12t =-，所以当t =时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为211=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为1 故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．3【答案】C【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到1()sin(2)26f x x π=+-，然后再求其在区间[,]42ππ上的最大值．【详解】解：因为2()sin cos f x x x x =，所以1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．例16．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）已知函数()3sin 222f x x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f xD ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称 【答案】ACD【分析】化简()πsin 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x .利用周期公式求出周期可判断A ；计算π3⎛⎫⎪⎝⎭f 可判断B ； 利用π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x 可判断C ；计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断D【详解】()3πsin 22sin 226f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 对于A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；对于B ，πππ20336f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()max f x C 正确；对于D ，πππ2666f ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 正确.故选：ACD.【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∵N *．要求ω最大，则周期最小，∵()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∵ω＝2k ﹣1；当9ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ．例18．（2023·全国·高三专题练习）若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin()4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．3【答案】C【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则πππ,N 442k k ωπ-=+∈，即43,N k k ω=+∈， 由πππ242x ω-≤-≤得π3π44x ωω-≤≤，则函数πsin()4y x ω=-在π3π[,]44ωω-上单调递增， 而函数πsin()4y x ω=-在区间π[0,]12上不单调，则3π412πω<，解得9ω>， 所以ω的最小值为11. 故选：C例19．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()()πsin 026f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，()()π0f x f x ++=，()()()0πf f αβαβ=<<<，则（ ）A ．()()4πf x f x =+B ．()()9π0f x f x ++=C ．()()12f f αββα+<-= D ．()()12f f βααβ-<+=【答案】AB【分析】推导出()()2πf x f x +=，可判断AB 选项；求出2π3αβ+=，并求出()f βα-的取值范围，可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，对任意的R x ∈，()()πf x f x +=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=， 所以，()()()4π2πf x f x f x +=+=，A 对；对于B 选项，()()()9ππf x f x f x +=+=-，则()()9π0f x f x ++=，B 对； 对于CD 选项，由题意可知，()f x 的最小正周期为2π，则2π12πω==，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππ7π666x <+<， 由πππ662x <+<可得π03x <<，则函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 由ππ7π266x <+<可得ππ3x <<，则函数()f x 在π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，0παβ<<<，则πππ7π6666αβ<+<+<， 所以，πππ66αβ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π3αβ+=，所以，()2ππ5π1sin sin 3662f αβ⎛⎫+=+==⎪⎝⎭，C 错， 因为πππ7π6666αβ<+<+<，则πππ662α<+<，所以，π03α<<， 则2π2π20,33βαα⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，所以，ππ5π,666βα⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 故()1,12f βα⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，则()()12f f βααβ->+=，D 错.故选：AB.【题型】六、五点法求三角函数的解析式例20．（2023·全国·高三专题练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，周期为2π，初相位为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-【答案】A【分析】由振幅可得A 的值，由周期可得ω的值，由初相位可得ϕ的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.【详解】解：因为噪音的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，则1A =， 周期为2π，则2π2π12πT ω===，初相位为π2，π2ϕ=，所以噪声的声波曲线的解析式为πcos sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为sin y x =．故选：A.例21．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）函数()()sin()0,f x A x b ωϕωϕπ=++><的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的解析式为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象关于点,1(Z)2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对称 D ．为了得到函数()f x 的图象，只需将函数()2cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，再向上平移一个单位长度 【答案】ABD【分析】由题意求出()f x 的解析式可判断A ；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC ；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A ，由图可知，31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A b =⎧⎨=⎩，由π1sin 425π1sin 122ωϕωϕ⎧⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则1122ππ+2π,Z 465π7π+2π,Z126k k k k ωϕωϕ⎧-+=-∈⎪⎪⎨⎪+=∈⎪⎩，两式相减得：()122π4π2π33k k ω=+-， 所以()1223k k ω=+-∵，又因为π2π5ππ33212425ππ2π2π31243T T ωωωω⎧⎧≤≤+⎧⎪⎪≥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪≤≥+≥⎩⎪⎪⎩⎩，所以332ω≤≤，结合∵，2ω=， 因为π5ππ412212-+=，所以πππ21223ϕϕ⨯+=⇒=， 所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得：()5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，故B 正确； 对于C ，令π2ππ,Z 3+=+∈x k k ，解得：ππ,Z 32=+∈k x k ， 函数()f x 的图象关于点()ππ,1Z 32k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，所以C 不正确；对于D ，将函数π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到πππ2cos 22sin 2433⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x ，向上平移一个单位长度可得π2sin 213y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.例22．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知函数()sin 0,0,π()(||)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象．(1)求函数()g x 的解析式；(2)若对于()()2π0,,303x g x mg x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥∀-⎣-⎦∈≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先根据函数图象求出()f x 的解析，再利用图象变换规律可求出()g x 的解析式； （2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，从而可得[]()1,2g x ∈-，然后分()0g x =，()[1,0)g x ∈-和(,])2(0g x ∈求解即可.【详解】（1）由()f x 的图象可得2A =，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以πT =，所以2ππω=，得2ω=，所以()()(|2sin 2π|)f x x ϕϕ=+<， 因为()f x 的图象过5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以5sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以5ππ2π,Z 62k k ϕ+=-∈，得4π2π,Z 3k k ϕ=-∈， 因为||πϕ<，所以2π3ϕ=， 所以()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得32π2π2sin 22sin 3233y x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得 π2ππ2sin 32sin 3636y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，所以π1sin 3,162x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]π2sin 31,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]()1,2g x ∈-，当()0g x =时，30-≤恒成立，当()[1,0)g x ∈-时，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≤-， 因为函数3y x x=-在[1,0)-上为增函数，所以min33()12()1g x g x ⎡⎤-=--=⎢⎥-⎣⎦ 所以2m ≤，当(,])2(0g x ∈，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≥-， 因为函数3y x x=-在(0,2]上为增函数，所以max331()2()22g x g x ⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦ 所以12m ≥， 综上122m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数例23．（2023·全国·高三专题练习）要得到函数π3sin(2)3y x =+的图象，只需要将函数3cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位 C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位【答案】A【分析】由三角函数的图象变换求解【详解】π3cos 23sin(2)2y x x ==+，要得到π3sin(2)3y x =+的图象，需要向右平移πππ23212-=个单位．故选：A例24．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．将函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位得到()=y f x 的图象B ．函数()=y f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()=y f x 的图象关于直线π12x =-对称 D ．函数()=y f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AC【分析】根据图象平移写出解析式判断A ；利用正弦函数性质，整体法判断()f x 的区间单调性判断B ，代入法判断对称性，判断C 、D. 【详解】A ：根据平移过程πππ=()+1=2sin2()+1=2sin(2)+1663y g x x x ---，正确； B ：π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π2(,)333x -∈-，根据正弦函数性质()f x 在区间内不单调，错误；C ：πππ()=2sin()+1=11263f ----，此时ππ2=32x --，故直线π12x =-为对称轴，正确；D ：πππ()=2sin()+1=1633f -，故关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，错误.故选：AC例25．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，所得图像关于原点对称．若01ω<<，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为4πB ．()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．对任意的R x ∈，都有()2π=3f x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x【答案】AB【分析】利用平移后得函数是奇函数求出12ω=，则()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈判断B 正确；由π=13f -⎛⎫⎪⎝⎭判断C 错误；令()=()f x g x 分析得到公，判断D 错误.【详解】将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，可得2ππ()=2sin (+)33h x x ω-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 为奇函数，则(0)0h =，即2ππ=π33k ω-，13=+,22k k Z ω∈， 因为01ω<<，所以1=0=2k ω，，则()1π=2sin 23f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈，得2π=2π+3x k ，()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 正确；π1ππ=2sin(?)=13233f --⎛⎫⎪⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故C 错误；令()=()f x g x ，即1π1πsin =sin +2326x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1π1ππ1πsin +=sin +=cos 2623223x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1π1πsin =sin +=?2326x x ∴-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x故D 错误； 故选：AB.。

课题：三角函数的值域与最值学习目标：1（知识目标）掌握几种常见类型三角函数值域的求法2（能力目标）灵活掌握三角函数值域的各种求法3（情感目标）培养学生的应变能力教学重点：几种常见类型三角函数值域的求法教学难点：灵活运用三角函数值域的各种求法教学过程：一 简单三角函数的值域例1 求下列三角函数的值域（1）x y sin =（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=32,6,sin ππx x y小结：求基本三角函数值域，一定要结合三角函数的图像，故切记正、余弦函数的图像。

二 与三角函数有关的复合函数的值域1 )cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 型函数的值域例2 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=4,0),42sin(2ππx x y例3 求函数],0[,cos sin π∈-=x x x y 的值域小结：对于h x A y ++=)s i n (ϕω的最大值为h A +，最小值为h A +-，若h x A y ++=)sin(ϕω，],[b a x ∈，先由],[b a x ∈求出ϕω+x 的范围，然后结合图像求出，即由内而外逐层求值域2 二次型函数的值域例4.求函数x x y sin 22cos +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的值域例5.求函数x x x x y cos sin cos sin ⋅++=的值域练习：求函数)2)(cos 2(sin --=x x y 的值域小结：对于二次型函数，都可通过换元构造二次函数c bt at y ++=2，进而转化为二次函数在某个区间上的值域问题，但一定要注意新元的范围 3 形如d x c bx a y ++=sin sin 或d x c bx a y ++=cos cos 的值域例6 求函数1cos 2cos +=x x y 的值域形如d x c b x a y ++=sin sin 的值域，可解出x sin ，利用正弦函数的有界性求得，也可用分离常数法来求4 形如d x c bx a y ++=cos sin 的值域例7 求函数xx y cos 3sin 1++=的值域小结：形如d x c bx a y ++=cos sin 的函数求值域可转化为x x cos ,sin 的方程c x b x a =+c o s s i n 形式，然后该类方程有界条件122≤+b a c求出y 范围 5 对勾型函数的值域如x cx a y sin sin += 例8 求函数x x y sin 2sin +=。

高考数学复习考点题型专题讲解专题3 三角中的最值、范围问题高考定位 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.1.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D.π 答案 A解析法一f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π， 得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 法二 因为f (x )＝cos x －sin x ， 所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立， 即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4， 所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 2.(2022·全国甲卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，196 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，196答案 C解析 由题意可得ω>0，故由x ∈(0，π)，得ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，πω＋π3.根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有三个极值点，知5π2<πω＋π3≤7π2，得136<ω≤196. 根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋π3≤3π，得53<ω≤83.综上，ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83.3.(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca的取值范围是________. 答案 60° (2，＋∞)解析 △ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，因为0°<∠B <90°， 所以∠B ＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A <30°， 所以0<tan A <33，所以c a ＝sin C sin A ＝sin （120°－A ）sin A＝sin 120°cos A －cos 120°sin Asin A＝32tan A ＋12>2， 故ca的取值范围为(2，＋∞).4.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A1＋sin A ＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C ＝2π3，求B ；(2)求a 2＋b 2c2的最小值.解 (1)因为cos A 1＋sin A ＝sin 2B1＋cos 2B ，所以cos A 1＋sin A ＝2sin B cos B1＋2cos 2B －1，所以cos A 1＋sin A ＝sin Bcos B，所以cos A cos B ＝sin B ＋sin A sin B ， 所以cos(A ＋B )＝sin B ， 所以sin B ＝－cos C ＝－cos2π3＝12. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以B ＝π6.(2)由(1)得cos(A ＋B )＝sin B ， 所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－（A ＋B ）＝sin B ，且0<A ＋B <π2，所以0<B <π2，0<π2－(A ＋B )<π2，所以π2－(A ＋B )＝B ，解得A ＝π2－2B ，由正弦定理得a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2Bsin 2C＝sin 2A ＋sin 2B 1－cos 2C ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2B ＋sin 2B 1－sin 2B＝cos 22B ＋sin 2B cos 2B ＝（2cos 2B －1）2＋1－cos 2B cos 2B＝4cos 4B －5cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B ＋2cos 2B －5≥24cos 2B ·2cos 2B －5＝42－5，当且仅当cos 2B ＝22时取等号， 所以a 2＋b 2c2的最小值为42－5.热点一 三角函数式的最值或范围求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解.例1(2022·宁波调研)已知函数f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋ 3. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝2sin π6＝1.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以，当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )取到最大值2； 当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取到最小值－ 3.易错提醒 求三角函数式的最值范围问题要注意： (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx ＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求范围.训练1(2022·潍坊质检)在①函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，②函数y ＝f (x ) 的图象关于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，③函数y ＝f (x )的图象经过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－1，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.问题：已知函数f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且________，判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x 值；若不存在，说明理由.解f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)， 由已知函数f (x )的周期T ＝2πω＝π，得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ). 若选①，则有2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得φ＝k π－π6(k ∈Z ).又因为|φ|<π2，所以φ＝－π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )取得最大值，最大值为1.若选②，则有2×π6＋φ＝k π(k ∈Z )， 解得φ＝k π－π3(k ∈Z ). 又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，函数f (x )取得最大值，最大值为1.若选③，则有2×2π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－11π6(k ∈Z ).又因为|φ|<π2， 所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，7π6，显然，函数f (x )在该区间上没有最大值. 热点二 与三角函数性质有关的参数范围与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的ωx ＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质进行求解. 考向1 由最值(或值域)求参数的范围例2 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，72D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，72答案 B解析 因为ω>0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，ωπ2－π4.又因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3.故选B.考向2 由单调性求参数的范围例3 已知f (x )＝sin(2x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8上有最小值，那么φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π3答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得2x －φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，2π3－φ， 又由0<φ<π2，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数，可得2π3－φ≤π2，所以π6≤φ<π2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8时，2x －φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－φ，7π4－φ， 由f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，7π8上有最小值，可得7π4－φ>3π2，则φ<π4.综上，π6≤φ<π4.故选B.考向3 由函数的零点求参数的范围例4 已知a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin ω2x ，sin ωx ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ω2x ，12，其中ω>0，若函数f (x )＝a·b －12在区间(π，2π)上没有零点，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤58，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58答案 D 解析f (x )＝sin 2ω2x ＋12sin ωx －12＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4.由函数f (x )在区间(π，2π)上没有零点，知其最小正周期T ≥2π， 即2πω≥2π，所以ω≤1. 当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥k π，2ωπ－π4≤（k ＋1）π(k ∈Z )，解得k ＋14≤ω≤k 2＋58(k ∈Z ).因为0<ω≤1， 当k ＝0时，14≤ω≤58，当k ＝－1时，0<ω≤18，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58.故选D.规律方法 由三角函数的性质求解参数，首先将解析式化简，利用对称性、奇偶性或单调性得到含有参数的表达式，进而求出参数的值或范围.训练2 (1)(2022·广州调研)若函数f (x )＝12cos ωx －32sin ωx (ω>0)在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43C.⎝⎛⎦⎥⎤0，23D.(0，1](2)(2022·金华质检)将函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x 的图象向左平移π8个单位长度后，得到g (x )的图象，若函数y ＝g (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递减，则正数ω的最大值为( )A.12B.1 C.32D.23答案 (1)A (2)A解析 (1)f (x )＝12cos ωx －32sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，当x ∈[0，π]时，π3≤ωx ＋π3≤ωπ＋π3. 又f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43， 故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43.(2)依题意，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 22＝1＋cos 22x 2＝3＋cos 4x4， 其图象向左平移π8个单位长度得到g (x )＝34＋14cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝34＋14cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2 ＝34－14sin 4x 的图象， 故g (ωx )＝34－14sin(4ωx ).令－π2＋2k π≤4ωx ≤π2＋2k π，k ∈Z ，由于ω>0，得－π8＋k π2ω≤x ≤π8＋k π2ω，k ∈Z .由于函数g (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧－π8＋k π2ω≤－π12，π8＋k π2ω≥π4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤32－6k ，ω≤12＋2k ，k ∈Z ，所以当k ＝0时，ω＝12为正数ω的最大值.热点三 三角形中有关量的最值或范围三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.例5(2022·滨州二模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝5. (1)求A 的大小；(2)若a ＝2，求b 2＋c 2的取值范围. 解 (1)由已知得6sin 2A ＋cos A ＝5，整理得6cos 2A －cos A －1＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－13.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos A ＝12，即A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a ＝2，A ＝π3得4＝b 2＋c 2－bc ， 即b 2＋c 2＝4＋bc ，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝232＝433，即b ＝433sin B ，c ＝433sin C ，又C ＝2π3－B ，所以bc ＝163sin B sin C ＝163sin B sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝833sin B ·cos B ＋83sin 2B＝433sin 2B －43cos 2B ＋43＝83sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋43， 又由⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，0<23π－B <π2，解得π6<B <π2，所以π6<2B －π6<56π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以bc ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4，所以b 2＋c 2＝4＋bc ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤203，8.易错提醒 求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，|b －c |<a <b ＋c ，三角形中大边对大角等.训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知S ＝34(b 2＋c 2－a 2)，a ＝4.(1)求角A 的大小.(2)求△ABC 周长的取值范围. 解 (1)由S ＝34(b 2＋c 2－a 2)， 得12bc sin A ＝34(b 2＋c 2－a 2)＝34×2bc cos A ， 整理得tan A ＝3，因为A ∈(0，π), 所以A ＝π3.(2)设△ABC 的周长为L ， 因为a ＝4，A ＝π3， 由余弦定理得：42＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即42＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝14(b ＋c )2， 所以b ＋c ≤8， 又b ＋c >a ＝4，所以L ＝a ＋b ＋c ∈(8，12].一、基本技能练1.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 A解析 函数f (x )的周期T ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.2.将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( ) A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，此函数为奇函数，所以－2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )， 则当k ＝－1时，|φ|取得最小值π6.3.(2022·海南模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋2c sinC ＝2b sin C cos A ，则角A 的最大值为( ) A.π6B.π4 C.π3D.2π3答案 A解析 因为a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cos A ， 由正弦定理可得，a 2＋2c 2＝2bc cos A ，① 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，② ①＋②得2a 2＝b 2－c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－12（b 2－c 2）2bc＝b 2＋3c 24bc ≥23bc 4bc ＝32(当且仅当b ＝3c 时取等号)，所以角A 的最大值为π6.4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －cb＝cos Ccos B，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.43B.2 3 C.2 D. 3 答案 A解析 ∵在△ABC 中，2a －cb＝cos C cos B， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 整理得sin(B ＋C )＝2sin A cos B ， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0. ∴cos B ＝12，即B ＝π3，由余弦定理可得16＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤4 3.即△ABC 的面积的最大值为4 3.5.(2022·苏北四市模拟)若函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，4π3 B.⎝⎛⎦⎥⎤5π6，4π3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，8π3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤5π3，8π3 答案 B解析 由题意，函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为0<x <α，所以π3<2x ＋π3<2α＋π3， 又由f (x )在(0，α)上恰有2个零点， 所以2π<2α＋π3≤3π，解得5π6<α≤4π3， 所以α的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤5π6，4π3.故选B. 6.已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，且对x ∈R ，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，若函数y ＝f (x )在[0，a ]上单调递减，则a 的最大值是( ) A.π6B.π3 C.2π3D.5π6答案 B解析 因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以ω＝2ππ＝2， 又对x ∈R ，都有f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以函数f (x )在x ＝π3时取得最小值，则2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， 即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，则函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故a 的最大值是π3，故选B.7.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，因为ω>0，－π3ω≤ωx ≤π4ω， 由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32，故ω取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8.已知函数f (x )＝cos ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________. 答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136解析函数f (x )＝cos ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)， 由x ∈[0，π]，得ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ＋π3.又f (x )在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点， 则2π≤ωπ＋π3<52π， 解得53≤ω<136.9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的角平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 答案 9解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ， 所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1·sin 60°＋12c ·1·sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9， 当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a＋c的最小值为9.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≠π2，c＋b cos A－a cos B＝2a cos A，则ba＝________；内角B的取值范围是________.答案22⎝⎛⎦⎥⎤0，π4解析由c＋b cos A－a cos B＝2a cos A结合正弦定理得sin C＋sin B cos A－sin A cos B＝2sin A cos A，即sin(A＋B)＋sin B cos A－sin A cos B＝2sin A cos A，化简得2sin B cos A＝2sin A cos A.因为A≠π2，所以cos A≠0，则2sin B＝2sin A，所以ba＝sin Bsin A＝22，则由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝2b2＋c2－b222bc＝b2＋c222bc≥2bc22bc＝22，当且仅当b＝c时等号成立，解得0＜B≤π4.11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角.(1)证明：B－A＝π2；(2)求sin A＋sin C的取值范围. (1)证明由a＝b tan A及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ， 所以sin B ＝cos A ， 即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B ) ＝π－⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.12.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC 的形状. 解 (1)由已知得a ＝(－sin x ，cos x )， 又b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值32. (2)在锐角△ABC 中，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，所以A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以12＝b 2＋c 2－bc ， 所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)，此时△ABC 为等边三角形， S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值3 3. 二、创新拓展练13.设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A.(2，3) B.(1，3) C.(2，2) D.(0，2) 答案 A解析 ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A . ∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A .又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2A <π2，0<A <π2，0<π－3A <π2，∴π6<A <π4， ∴22<cos A <32， 即2<2cos A <3，故选A.14.(多选)(2022·台州质检)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A.f (x )在(0，2π)上有且仅有5个零点B.f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极大值点C.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D.ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，103答案 CD解析 因为x ∈[0，2π]， 所以ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πω＋π3. 设t ＝ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πω＋π3，画出y ＝cos t 的图象如图所示.由图象可知，若f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点， 则5π≤ 2πω＋π3<7π， 解得73≤ω<103， 故D 正确；故f (x )在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A 错误；f (x )在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B 错误； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，ωx ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π6ω＋π3.因为73≤ω<103，所以13π18≤π6ω＋π3<8π9，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减，故C 正确.15.(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝6，记S 为△ABC 的面积，则下列说法正确的是( ) A.若C ＝π3，则S 有最大值9 3 B.若A ＝π6，a ＝23，则S 有最小值3 3C.若a ＝2b ，则cos C 有最小值0D.若a ＋b ＝10，则sin C 有最大值2425答案 ABD解析 对于选项A ，对角C 由余弦定理得36＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ， 因此，S ＝12ab sin C ＝34ab ≤93，当且仅当a ＝b ＝6时取等号，故A 正确； 对于选项B ，对角A 用余弦定理得 12＝a 2＝c 2＋b 2－3bc ＝36＋b 2－63b ， 解得b ＝23或b ＝43， 因此，S ＝12bc sin A ＝32b ≥33，当且仅当b ＝23时取等号，故B 正确. 对于选项C ，若a ＝2b ，由三边关系可得a －b ＝b <c ＝6<a ＋b ＝3b ⇒2<b <6，此时，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝5b 2－364b 2＝54－9b 2∈(－1，1)，故C 错误.对于选项D ，若a ＋b ＝10，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－c 2－2ab 2ab ＝32ab －1，又ab ≤（a ＋b ）24＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，∴cos C ＝32ab －1≥725⇒sin C ＝1－cos 2C ≤2425，故D 正确，故选ABD.16.(2022·南京师大附中模拟)法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在△ABC 中，A ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3，则∠O 1AO 3＝________；若△O 1O 2O 3的面积为3，则三角形中AB ＋AC 的最大值为________.答案 120° 4解析 由于O 1，O 3是正△ABC ′，△AB ′C 的外接圆圆心，故也是它们的中心， 所以在△O 1AB 中，∠O 1AB ＝30°，同理∠O 3AC ＝30°， 又∠BAC ＝60°，所以∠O 1AO 3＝120°； 由题意知△O 1O 2O 3为等边三角形，设边长为m ， 则S △O 1O 2O 3＝12m 2sin 60°＝34m 2＝3，解得O 1O 3＝m ＝2.设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，在等腰△BO 1A 中，∠O 1AB ＝∠O 1BA ＝30°，∠AO 1B ＝120°， 则AB sin 120°＝O 1Asin 30°，解得O 1A ＝c 3，同理得O 3A ＝b 3，在△O 1AO 3中，由余弦定理得O 1O 23＝O 1A 2＋O 3A 2－2O 1A ·O 3A ·cos 120°，即4＝c 23＋b 23－2·bc 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋c 2＋bc ＝12，即(b ＋c )2－bc ＝12， 故(b ＋c )2－12＝bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 解得b ＋c ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，故三角形中AB ＋AC 的最大值为4. 17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2). (1)若A ＝π3，求B 的大小；(2)若a ≠c ，求c －3ba 的最小值.解 (1)因为b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2)，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b2a .因为A ＝π3，所以b 2a ＝12，即a ＝b ， 所以B ＝A ＝π3.(2)由(1)及正弦定理得cos A ＝sin B2sin A，即sin B ＝2sin A cos A ＝sin 2A ， 所以B ＝2A 或B ＋2A ＝π.当B ＋2A ＝π时，A ＝C ，与a ≠c 矛盾，故舍去， 所以B ＝2A .c －3b a ＝sin C －3sin B sin A ＝sin （A ＋B ）－3sin Bsin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B －3sin Bsin A＝cos B ＋（cos A －3）sin 2Asin A＝cos 2A ＋2(cos A －3)·cos A ＝4cos 2A －6cos A －1 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫cos A －342－134.因为C ＝π－A －B ＝π－3A >0， 即A <π3，所以cos A >12，所以当cos A ＝34时，c －3b a 有最小值－134.。

三角函数的值域与最值【知识回顾】1. 辅助角公式的应用：y=()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

2. 化二次或高次函数，如y=x x 2cos 2sin - 【基础练习】1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 ．2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ______．3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________．4.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 _____ ．5.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k(cosx －1)的最小值是 _____ ．6.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为________． 【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值．（2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．例3. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)，x∈R (其中A>0，ω>0,0<ϕ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)． (1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，π12]时，求f(x)的最值．例4．扇形AOB 的半径为1，中心角为60︒，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出最大值． ，ABORS PQ【反馈演练】1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于___________．2．已知函数()3s i n f x x =，3()sin()2g x x π=-，直线m x =和它们分别交于M ，N ，则=m a x MN _________．3．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是_____________．4．函数sin cos 2xy x =+的最大值为_______，最小值为________.5．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .6．已知函数11()(sin cos )|sin cos |22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 .7．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________．8．（1）已知(0,)θπ∈，函数y =的最大值是_______. （2）已知(0,)x π∈，函数2sin sin y x x=+的最小值是____________. 9．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ_____________ ． 10．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．11．若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.12．已知函数2()2sin sin 2f x x x =+．（1）若[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x 的集合；（2）若关于x 的方程2[()]()0f x f x a ++=在[0,]4π内有实根，求实数a 的取值范围.专题十二： 三角函数的值域与最值【知识回顾】3. 辅助角公式的应用：y=()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。