(完整版)高中数学必修四三角函数最值与值域常考题型总结(含答案),推荐文档

(x+) 三角函数y=A sin53 33 3 一、选择题:1. “ x =”是“函数 y = sin 2x 取得最大值”的（ ）4A. 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 在∆ABC 中，如果sin A =3 sin C ， B = 30° ，那么角 A 等于（ ）A ． 30B ． 45°C ． 60°D ．120° 3.函数 y = 1- 2 s in 2 (x -)是 （）4A. 最小正周期为的偶函数B. 最小正周期为的奇函数C. 最小正周期为 的偶函数D. 最小正周期为 的奇函数24． sin 225︒ = （）A.1B ． -12C ． 22D ． - 225. 设函数 f(x )=3 sin θ x 3 +cos θ x 2 + 4x - 1 ，其中θ ∈ ⎡0∥ 5π⎤，32⎢⎣ 6 ⎥⎦则导数 f '(-1)的取值范围是（ ） A ． [3∥ 6]B ． [3∥ 4+ C ． [4- 3∥ 6D ． [4-3∥ 4 + 36.∆ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若cos A= 2 5 2 5， bc = 5 ， 则∆ABC 的面积等于（ ）A 、 2 5B 、4C 、D 、27.在∆ABC 中， AB = ， BC = 1， AC cos B = BC cos A ，则 AC ⋅ AB = （）A.或 2B ． 3 或22C ． 2D ． 3或 228.在∆ABC 中， AB = ， BC = 1， sin A = sin B ，则 AC ⋅ AB = （ ）A.2B ．C ．3 D ． 12223 2yAOx－ - - -9. 下列函数中,周期为的偶函数是 A. y = cos x B. y = sin 2xC. y = tan xD. y = sin(2x + )210. 函数 y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是，最大值是。

三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型 （1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。

4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型， 可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法题型一 借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（ ） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（ ）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二 借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-， 故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+， 由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（ ） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三 借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣， 则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+， 所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________． 【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ， 所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四 分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（ ）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++， 因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+， 所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦， 即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-， 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（ ）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______． 【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。

高中数学必修四三角函数知识点总结，附真题讲解！
2、象限角角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，
则称a为第几象限角．3、
的象限已知a是第几象限角，确定所在象限的
方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则a原来是第几象限对应的标
号即为终边所落在的区域．4、弧度制⑴ 1弧度的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．⑵ 弧长公式 半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，则角a的弧度数的绝对值是
．⑶弧度制与角度制的换算公式：，，
．⑷若扇形的圆心角为a（a位弧度制），半径为
r，弧长为l，周长为C，面积为S，则，，
．
【答案】。

第一、任意角的三角函数一：角的看法：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角， 与角终边相同的角的会集| 2k , k z ， 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长 lr 、扇形面积 s1lr1 r2 ，22二：任意角的三角函数定义： 任意角 的终边上 任意取 一点 p 的坐标是（ x ， y ），它与原点的距离是 rx2y 2(r>0)，那么角 的正弦 sin ay、余弦 cos ax、正切 tan ay，它们都是 以角rrx为自变量，以比值为函数值的函数 。

三角函数值在各象限的符号 ：三：同角三角函数的关系式与引诱公式：1. 平方关系 ： sin2cos21 2. 商数关系 ：sintancos3．引诱公式——口诀： 奇变偶不变，符号看象限 。

正弦 余弦 正切sinsin cos cos sin4. 两角和与差公式： coscos cosm sinsintantantan1 m tantansin 2 2sincos5. 二倍角公式：cos 2cos 2 sin 22cos 21 1 2sin 2tan 22 tan 21 tan余弦二倍角公式变形：2cos 21 cos2 ,2sin 21 cos2第二、三角函数图象和性质基础知识 : 1、三角函数图像和性质y=sinxy37 -5 - 21222-4 -7 -3-2-3 - -1o2 53 42 2 22y=cosxy-537-3- - 1322 22-4-7 -2-3 -1o25 42222yy=tanxxx3 -- o3-2222x剖析式 y=sinxy=cosxy tan x定义域yy当 x，当 x，值域 y 取最小值－ 1和最 值当 xy 取最大值 1周期性 T 2奇偶性奇函数在 2k2 ，2k2单调性上是增函数在 2k2 ，2k32上是减函数yy 取最小值－ 1，当 x，无最值y 取最大值 1T2T偶函数奇函数k Z在 2k，2k k Z 上 是 增, k k Z在 k函数22k Z在 2k ，2k 上为增函数k Z 上是减函数对称中心 ( k ,0)k Z对称中心 (k 2 ,0) kZ 对称中心 ( k ,0)k Z对称性k对称轴方程 xk ， kZ也许对 称 轴 方 程 x2，对称中心 (k2 ,0) k Zk Z2、 熟练求函数 yA sin( x ) 的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作 yAsin( x ) 简图：五点分别为：、、、、 。

高中数学必修四——三角函数（知识点总结及经典例题）1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：siny x=cosy x=tany x=图象图象定义域定义域 R R,2x x k kppìü¹+ÎZíýîþ值域值域 []1,1-[]1,1-R最值最值当22x kpp=+()kÎZ时，max1y=；当()22x k kpp=-ÎZ时，min1y=-．当()2x k kp=ÎZ时，时，max1y=；当()2x k kp p=+ÎZ时，min1y=-．既无最大值也无最小值既无最大值也无最小值 周期性周期性 2p2p p奇偶性奇偶性 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数单调性单调性在2,222k kp pp péù-+êúëû()kÎZ上是增函数；在上是增函数；在32,222k kp pp péù++êúëû()kÎZ上是减函数．上是减函数．在[]()2,2k k kp p p-ÎZ上是增函数；在[]2,2k kp p p+()kÎZ上是减函数．上是减函数．在,22k kp pp pæö-+ç÷èø()kÎZ上是增函数．上是增函数． 对称性对称性对称中心()(),0k kpÎZ对称轴对称轴()2x k kpp=+ÎZ对称中心对称中心(),02k kppæö+ÎZç÷èø对称轴()x k kp=ÎZ对称中心对称中心(),02kkpæöÎZç÷èø无对称轴无对称轴 函数性质2.正、余弦定理：在ABC D 中有:①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C ===（R 为ABC D 外接圆半径）外接圆半径）2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =ìï=íï=î Þ s i n 2s i n 2s i n 2a A R b B R c C R ì=ïïï=íïï=î注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABCSabs Cac Bbc AD ===③余弦定理：③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ì=+-ï=+-íï=+-îÞ 222222222c o s 2c o s 2c o s 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ì+-=ïï+-ï=íï+-=ïî3.三角函数恒等变形的基本策略。

高中数学必修4知识点总结第一章三角函数正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落 在第几象限，则称4、已知 是第几象限角，确定一n *所在象限的方法：先把各象限均分n 等n 份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、 三、四，则 原 来是第几象限对应的标号即为 一终边所落在的区域.n为第几象限角. 第一象限角的集合为第二象限角的集合为 第三象限角的集合为第四象限角的集合为 360°90° k 360° 180°, k180°k 360° 270°,k 270° k 360° 360°, k终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 k 180°,k k 180° 90°,k k 90°, k3、终边相等的角：与角终边相同的角的集合为k 360°,k360°360°360° k 360° 90°,k例4 .设角属于第二象限，且COS—2A .第一象限B .第二象限C.第三象限 D .第四象限解.C 2k 2k,(k Z),k -- k 2/k Z),2n,(n Z)时，一在第一象限；当k 2n 2 1,(n Z)时，一在第三象限;2cos —2 cos2 cos2 0，i在5、1弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.平方关系： 2 1 sin cos 2 1, si n 2 1 c 2 2os ,cos 1 2 sin ； 商数关系： 小sin 2 tan , sin tan cos ,cossincostan 13、三角函数的诱导公式：口诀: 奇变偶不变,付号看象限.1 sin 2k sin ,cos 2k cos , tan 2ktan k2 sin sin ,cos cos , tanta n • 3 sin sin , cos cos , tan tan•4 sin sin , coscos , tan ta n• 5 sin - cos ,cos — sin •2 26半径为r 的圆的圆心角 所对弧的长为I ,则角 的弧度数的绝对值是 7、弧度制与角度制的换算公式：2 360° , 1 180，1o 型 57.3。

P xyAOM T 高中数学《三角函数》知识点及题型总结（最全）一、知识点汇编A斜边 π-α (0,r) α 邻边 B 对边 C (∠A=） (﹣r,0) (r , 0)A 1π+α (0,﹣r) ﹣α(∠A=∠B=45°） B 1 CA2 ∠A=30°，∠B=60°）=，=，=一、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+> 则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠．（任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P 的位置无关）二、三角函数值在各象限的符号函数值 第一象限第二象限第三象限第四象限Sin α+ + ﹣ ﹣ Cos α+﹣﹣+Otan α+﹣+ ﹣三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割o o o x yx yx ySin α Cos α tan α注：①三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． ②正弦的符号决定于纵坐标y 的符号 ③余弦的符号决定于横坐标x 的符号④正切是纵坐标y ，横坐标x 共同决定，同号（+），异号（-）三、特殊角的三角函数值1.常见角函数值30 45 6090° 180° 270° 360°1-11-111不存在不存在2.特殊角函数值15° 75° 105°2-2+-2-四、三角函数诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos α tan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α 公式六：（π/2）±α与α的三角函数值之间的关系：五、角与角之间的转换⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcos )21sin(=+ααπsin )21cos(-=+⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ， ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ， ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．六、二倍角的正弦、余弦和正切公式⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=- 七、公式变形2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=1+= 1-=a b = （a）八、正弦、余弦定理的比较正弦定理余弦定理内容A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R （外接圆直径）；a 2=b 2+c 2-2bccosA ． c 2=a 2+b 2-2abcosC ． b 2=a 2+c 2-2accosB ．变形形式①边化角⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2②角化边RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===. ③ a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ． ④aSinB=bSinA;bSinC=cSinB ;aSinC=cSinA解决问题①已知两角和任一边，求其他两边及一角．②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．九、常用面积公式1. S=a（表示a 边上的高） 2.S=ab=ac=bc3.S=r （a+b+c ） (r 为内切圆的半径)十．三角函数图像sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R函数性 质最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴十一，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质Y ＝Asin(ωx＋φ)+b周期是ωπ2=T ; 对称轴ωx＋φ=k +得x= ;对称中心：ωx＋φ= k 得x=，所以对称中心为（，0）A 0 , ω0A 0 , ω0单调性单增 2kωx＋φ2k π+单减2k π+ωx＋φ2k π+单增2k π+ωx＋φ2k π+单减2k ωx＋φ2k π+ωx＋φ=2k π+ωx＋φ=2kωx＋φ=2k ωx＋φ=2k π+值域Y ＝Acos (ωx＋φ)+b周期是ωπ2=T ; 对称轴ωx＋φ=k 得x=;对称中心：ωx＋φ= k +得x= ，所以对称中心为（，0）A 0 , ω0A 0 , ω0 单调性单增 2k -ωx＋φ2k π单减2k πωx＋φ2k π+单增2k πωx＋φ2k π+ 单减 2k -ωx＋φ2k πωx＋φ=2k ωx＋φ=2k +ωx＋φ=2k+ωx＋φ=2k值域十二、图像变化Y＝Asin(ωx＋φ)+b1.向上（下）平移K个单位，得Y＝Asin(ωx＋φ)+b k2.向左（右）平移K个单位，得Y＝Asin+b3.横坐标不变，纵坐标变为原来的K倍，得Y＝k4.纵坐标不变，横坐标变为原来的K倍，得Y＝Asin(ω＋φ)+b解题方法：1.求一个角的大小，通常求余弦值2.已知一个角的大小时，马上求出另外两角之和3.看见两角之和，马上变为减去第三个角4.看见，马上想到：=得到5.当有边的一次关系时，用正弦定理（边化角：a=2RsinA…角化边：sinA=…）6.已知角与对边关系，用正弦定理7.既有边的平方关系，又有边的乘积关系时，用余弦定理8.已知角与邻边关系时，用余弦定理9. 已知面积S=ab =ac =bc ，求出两边之积10. 2cos 21cos 2αα+=， 21cos 2sin 2αα-= ，11. a b=（a）y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ,代入最高点或最低点题型分类剖析一、求三角函数求值1. 已知sin cos 2αα-=,α∈(0,π),则sin 2α=2.3sincos 2αα==若，则 3.已知sin2α=,则cos 2(α+)=4.若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于5.若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= 6.已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值的大小 7.已知：1tan()3πα+=-，22sin 2()4cos 2tan()10cos sin 2παααβαα-++=-．（1）求tan()αβ+的值； （2）求tan β的值．二、求三角形中的函数值8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若a 2－b 2＝3bc ，sinC ＝23sinB ，求角A 的大小。

高中数学必修4三角函数知识点总结§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角终边相同的角的集合：.α{}Z k k ∈+=,2παββ§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 .rl =α3、弧长公式：.R Rn l απ==1804、扇形面积公式：.lR R n S 213602==π§1.2.1、任意角的三角函数1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：α()y x P ,xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设）(),A x yαr =，，，sin y r α=cos x r α=tan yx α=cot x yα=3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法.αsin αcos αtan 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.α6π4π3π2π23π34ππ32π2πsin αcos αtan α§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系：.1cos sin 22=+αα2、 商数关系：.αααcos sin tan =3、 倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）Z k ∈1、 诱导公式一： （其中：(),cos 2cos ,sin 2sin απααπα=+=+k k ）Z k ∈2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=-4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-6、诱导公式六：.sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.在上的五个关键点为： sin y x =[0,2]x π∈30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T ，使得当取定义域内的每一个值时，都有()x f x ，那么函数就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.()()x f T x f =+()x f图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质xysin =xycos =xy tan =图象定义域RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，无周期性π2=T π2=T π=T 奇偶性奇偶奇单调性Zk ∈在上单调递增[2,2]22k k ππππ-+在上单调递减3[2,2]22k k ππππ++在上单调递增[2,2]k k πππ-在上单调递减[2,2]k k πππ+在上单调递(,)22k k ππππ-+增对称性Zk ∈对称轴方程：2x k ππ=+对称中心(,0)k π对称轴方程：x k π=对称中心(,0)2k ππ+无对称轴对称中心,0)(2k π§1.5、函数的图象()ϕω+=x A y sin 1、对于函数：有：振幅A ，周期，初相，相位，频率()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>2T πω=ϕϕω+x .πω21==Tf 2、能够讲出函数的图象与x y sin =的图象之间的平移伸缩变换关系.()sin y A x B ωϕ=++①先平移后伸缩：平移个单位sin y x =||ϕ()sin y x ϕ=+()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x Bωϕ=++（上加下减）②先伸缩后平移：sin y =sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍sin y A xω=横坐标变为原来的倍1||ω()sin A x ωϕ=+()sin A x Bωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数，x∈R 及函数，x∈R(A,,为常数，且A ≠0)的周期；sin()y x ωϕ=+cos()y x ωϕ=+ωϕ2||T πω=函数，(A,ω,为常数，且A ≠0)的周期.tan()y x ωϕ=+,2x k k Z ππ≠+∈ϕ||T πω=对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与sin()y A x ωϕ=+()2x k k Z πωϕπ+=+∈()x k k Z ωϕπ+=∈解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.x 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：，.max min 2y y A -=max min2y y B +=要根据周期来求,要用图像的关键点来求.ωϕ§1.6、三角函数模型的简单应用1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：ααsin αcos αtan 12π426-426+32-§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=6、.()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、，αααcos sin 22sin =.12sin cos sin 2ααα=2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α.α2sin 21-=变形如下：升幂公式：222cos 1cos 22sin ααα=⎨-=⎪⎩降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、.ααα2tan 1tan 22tan -=4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y （其中辅助角所在象限由点的象限决定, ).ϕ(,)a b tan b aϕ=第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度AB AB AB等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.a a2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规λa a λ定如下： ⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.0>λa λa 0<λa λa 2、 平面向量共线定理：向量与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使.()0≠a a b λa b λ=§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，21,e e a 有且只有一对实数，使.21,λλ2211e e a λλ+=§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 .()y x j y i x a ,=+=§2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设，则：()()2211,,,y x b y x a == ⑴，()2121,y y x x b a ++=+⑵，()2121,y y x x b a --=-⑶，()11,y x a λλλ=⑷.1221//y x y x b a =⇔2、 设，则：()()2211,,,y x B y x A .()1212,y y x x AB --=§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设，则()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ⑴线段AB 中点坐标为，()222121,y y x x ++⑵△ABC 的重心坐标为.()33321321,y y y x x x ++++§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 .θb a ⋅2、 在.a b θ34.5、 .0=⋅⇔⊥b a b a §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设，则：()()2211,,,y x b y x a ==⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=2、 设，则：()()2211,,,y x B y x A3、两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==4、点的平移公式平移前的点为（原坐标），平移后的对应点为（新坐标），平移向量为，(,)P x y (,)P x y '''(,)PP h k '=则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩ 函数的图像按向量平移后的图像的解析式为()y f x =(,)a h k =().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是l AB l AB直线的方向向量.l ⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量nααn α⊥ n α⊥ 叫做平面的法向量.nα⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为．α(,,)n x y z =③求出平面内两个不共线向量的坐标．123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==④根据法向量定义建立方程组.n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.α（如图）建议收藏下载本文，以便随时学习！2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.12,l l a b 、1l 2l a b ()a kb k R =∈　即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即l a αul αa u ⊥ .0a u ⋅= 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.αu βv αβu vu v λ= 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线.3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.12,l l a b、12l l ⊥a b ⊥ 0a b ⋅= 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即l a αu l α⊥a u.a u λ= ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若l a αm n 、0,.a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.⑶面面垂直若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.αuβv αβ⊥u v ⊥ 0u v ⋅= 即：两平面垂直两平面的法向量垂直.4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，,a b ,a b ,a b θ 则cos .AC BDAC BDθ⋅=9⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为l a αu θa u ，　则为的余角或的补角ϕθϕϕ的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅== ⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线βα--l ，则为二面角的平面角.l BO l AO ⊥⊥,AOB ∠βα--l 如图：②求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角l αβ--m n 、m n 、ϕ的平面角为，则二面角为的夹角或其补角l αβ--θθm n 、ϕ.πϕ-根据具体图形确定是锐角或是钝角：θ◆如果是锐角，则，θcos cos m n m nθϕ⋅== 即；arccos m n m nθ⋅= ◆如果是钝角，则，θcos cos m n m nθϕ⋅=-=- 即.arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线距离l 若Q 为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q 到直线距离为l P l a l b PQ l h =⑵点A 到平面的距离α若点P 为平面外一点，点M 为平面内任一点，αα平面的法向量为，则P 到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.αn αMP n 即cos ,d MP n MP=10n MP MP n MP ⋅=⋅ n MP n⋅= ⑶直线与平面之间的距离a α 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n ⋅= ⑷两平行平面之间的距离,αβ 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅= ⑸异面直线间的距离设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方n ,a b ,,M a P b ∈∈,a b d MP n 向上投影的绝对值. 即.n MP d n⋅= 6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PAa a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AOa a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面内的任一条直线，AD 是的一条斜线AB 在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB ααα与 α(AD)所成的角为， AD 与AC 所成的角为， AB 与AC 所1θ2θ11成的角为．则.θ12cos cos cos θθθ=8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，平面与β()S S 原α()S S '射α平面所成的二面角的大小为锐二面角，则βθ 'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则l 123l l l 、、123θθθ、、有 .2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。

三角函数典型考题归类1．根据解析式研究函数性质例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．2．根据函数性质确定函数解析式例2（江西）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当02y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域； （II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．（理）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值． 3．三角函数求值例3（四川）已知cos α=71,cos(α-β)＝1413，且0<β<α<2π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β. 【相关高考1】（重庆文）已知函数f (x )=)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一象限，且）。

必修4三角函数综合测试题及答案详解、选择题1 •下列说法中，正确的是()A •第二象限的角是钝角B. 第三象限的角必大于第二象限的角C. —831°是第二象限角D. —95° 20 , 984° 40 , 264° 40是终边相同的角a n2. 若点(a,9)在函数y= 3x的图象上，贝U tan^的值为()A. 0B.^C. 1D. 3g3. 若|cos g= cosg, |tan g= —tang,则2的终边在( )A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、三象限或x轴上D. 第二、四象限或x轴上4. 如果函数f(x)= sin(册g)(0< g<2 n的最小正周期是T,且当x= 2时取得最大值，那么()nA. T = 2,g= 2 B . T= 1, g=nC. T = 2,n An D. T = 1, 0= 25 .若sin扌—x =—舌'，且n<<2n,贝U x 等于47A.3 nB/6n511C~ n D —冗6 .已知a是实数，而函数f(x)= 1 + asinax的图象不可能是()A .奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数 10.函数 f(x)= x — cosx 在(0,+x )内()A .没有零点B. 有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点7.将函数y = sinx 的图象向左平移（K0＜杯2 n ）单位长度后，得到 y =nsin x — 6的图象，则.nA ・6 _ 5 nB W 7n C.百11 n D .T8.若 tan 0= 2,…2sin 0—B . 13 C.45 D.59. 函数f(x)= 忌的奇偶性是（111. 已知 A 为锐角，lg（1 + cosA）= m, lg^—COsA= n,则IgsinA 的值是（）B . m — n1D.2（m — n ）n12. 函数f （x ）= 3sin 2x —3的图象为C , 11① 图象C 关于直线x = 12 n 对称；n 5 n② 函数f （x ）在区间—12, 12内是增函数;冗③ 由y = 3sin2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C ,其中正确命题 的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.将答案填在题中横线上） ,.,n 1 n _ M .13. 已知 sin a+ 2 — 3, a€ — 2， 0，则 tan a= ________ .14. 函数y — 3cosx （0W x < n 的图象与直线y — — 3及y 轴围成的图形的面积 为 ________ .15. ________________________________________________________ 已知函数f （x ） — sin （3x+©）（CD >0）的图象如图所示，贝U 3— ________ .16. 给出下列命题：① 函数y — cos |x +才是奇函数； ② 存在实数X ，使sinx + cosx — 2；③ 若a, B 是第一象限角且a < B,则tan a <tan B;八1 A- m + ni i Cim+n④x—81是函数y—sin 2x+于的一条对称轴；n n⑤函数y—sin 2x+ 3的图象关于点衫，0成中心对称. 其中正确命题的序号为__________ .三、解答题17. （10 分）已知方程 sin （a — 3 n 2cos （a — 4n ）sin n — a + 5cos 2 n — a 3n2sin ~2 — a — sin — a18. （12 分）在厶 ABC 中，sinA + cosA ^#，求 tanA 的值.n 319. (12分)已知 f(x) = sin 2x + 6 + 2, x € R. (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 求函数f(x)的单调减区间；⑶函数f(x)的图象可以由函数y = sin2x(x € R)的图象经过怎样变换得到?n20. (12分)已知函数y = Asin@x+©)(A>0,心>0)的图象过点P ^, 0，图象n与P 点最近的一个最高点坐标为 3，5 .的值.(1) 求函数解析式；(2) 求函数的最大值，并写出相应的x的值;(3) 求使y w 0时，x的取值范围.21. （12 分）已知cos _a = . 2cos 3n+ p，_ 3sin 号―a =—慣sin 扌+ B，且0< a<n，0< 仟n，求a, p的值.n n 22. (12 分)已知函数f(x) = x2+2xtan B— 1,x€ [ —1, 3]，其中氏一2, 2 .⑴当皓—塾寸，求函数的最大值和最小值；(2)求B的取值范围，使y=f(x)在区间［—1, 3］上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数).必修4三角函数综合测试题答案、选择题1. D；2. D;3.D; 4. A; 5. B6. D；7. D;8. C;9.A; 10. B11 .D;12.C二_ 、填空题13 .—22;14. 3 n 15.32 16. ①④三、解答题17.解〔Sin( a—3n^2cos(a—4 n，•'•—si n(3 — a = 2cos(4 n a).•••-sin( — M = 2cos(—a).•'si n a= — 2cos a 可知 COS aM 0. sin a+ 5cos a• • •原式= '——2cos a+ sin a—2cosa+ 5cos a3cos a—2cos a — 2cos a — 4coS a18 •解・.sinA + cosA =¥，①1两边平方，得2sinAcosA = — 2,n从而知 cosA<0,.・.jA €2, n .•'sinA — cosA = " ■' sinA + cosA 2 — 4sinAcosA由①②，得 sinA =4 , cosA =4sinAl•anA=cosA= — 2—3.2 n19. 解（1）T =~2 =冗.. 冗小 冗〜3 n⑵由 2k 卄 2= 2x + 6< 2k n+~2, k^Z ,n , 2 n得 k n+ 6= x < k n+_3, kZ所以所求的单调减区间为. n , 2 n k n+ 6，k n+~3 (k@).n334.1+1# ②(3) 把y= sin2x的图象上所有点向左平移石个单位，再向上平移2个单位，即得函n 3 数 f(x) = sin 2x + 6 + 2的图象.T n n n 20. 解(1)由题意知 4 = 3— 12= ~4，'T =n.2 n n n •••3= T = 2, 由 w 12 +©= 0, 得 R — 6，又 A = 5,n•'y = 5sin 2x —召. n n (2)函数的最大值为5,此时2x —6= 2k n+ 2(k®).n•'x = k n+ 3(k^Z). n n⑶-5sin 2x — 6 w 0 ,• 2k n — 2x —©w 2k n k ^Z).5 n , n •兀―12 w x w k n+ ^(k .n 321. 解 cos a = , 2cos 2 n+ B,即卩 sin a= , 2sin 辽3si 门号冗一a = — 2sin 2+ B ,即.3cos a= 2cos 迄①2+②2得，2= sin 2 a+ 3cos a.2 2 2又 sin a+ cos a= 1 ,「COS a=又Taq O , n n•B= 6. cos a=— 2 , a=3•a=4，或 4冗. ⑵当 a= ¥时,十5冗/宀「n n 亠 3 n 5 n又R0, n , •/= -Q.综上，a4, A6，或尸N, ^~Q.22. 解⑴当皓—訥寸，f(x) = x2—爭—1= X—尹—4・••xq —1，. 3］，•当x=¥时，f(x)的最小值为一3，当x= —1时，f(x)的最大值为(2)f(x) = (x+tan®2— 1 —tan20是关于x的二次函数.它的图象的对称轴为x=—tan 0••y=f(x)在区间［—1，. 3］上是单调函数，• —an (X —1，或一tan 0》一3，即卩tan0》1，或tan (X —3.n n .…n n n n2，2，••的取值范围是—2，—3 u4，2 .。

(完整word 版)高中数学必修四常考题型总结必修四常考题型总结三角函数篇三角函数的基础知识与基本运算： 1． sin585。

的值为（A) 22-(B ）22 （C ）32- （D) 322。

（列关系式中正确的是( ）A ．000sin11cos10sin168<<B ．000sin168sin11cos10<<C ．000sin11sin168cos10<<D ．000sin168cos10sin11<< 3．（2009北京理）“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α="的（ ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．(2008浙江理)cos 2sin 5,tan ( )ααα+=-=若则（A ）12(B ）2 （C ）12- （D)2-图像与性质：1．已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 （ )3.已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-,则(0)f =（A)23- （B)23 (C ）－ 12 (D ） 12w 。

w.w 。

k 。

s 。

5。

u.c 。

o 。

m(完整word 版)高中数学必修四常考题型总结4.）函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= 。

4。

已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω〉0, —π≤ϕ〈π）的图像如图所示,则 ϕ=________________5。

已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。

w 。

w 。

w 。

k.s.5。

u 。

c 。

o 。

m7.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示， 则ω ＝已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是(A ）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ （B ）511[,],1212k k k Z ππππ++∈ （C ）[,],36k k k Z ππππ-+∈ （D)2[,],63k k k Z ππππ++∈ 2．如果函数3sin(2)y x ϕ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么||ϕ 的最小值为（C ） （A ）6π （B)4π （C ）3π (D ） 2π3．已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是 A ． 函数)(x f 的最小正周期为2πB ． 函数)(x f 在区间[0,]2π上是增函数C ．函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称D ． 函数)(x f 是奇函数4．（本小题共12分)已知函数()2sin()cos f x x x π=-． (Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．5．已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-． (Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[0,]12x π∈，求()f x 的最值．2。

cos
4、三角函数线
设任意角 的顶点在原点 O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与 P (x, y) ， 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1, 0) 作单位圆的切线，它与角 的终边或其反向
延长线交于点 T.
y
y
T
P
A
Mo
x
P A
oM x
（Ⅱ）T
（Ⅰ）
y T
y
M
A
o
x
MA
5、三角函数的图像与性质表格
函 性质 数
y sin x
y cos x
y tan x
图 像
定
义
R
域
值
1,1
域
当 x 2k k Z 时，
2
最
ymax 1；
值 当 x 2k k Z 时，
2
ymin 1．
R
1,1
当 x 2k k Z 时，
ymax 1；当 x 2k
sin
tan
第一象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0,
第二象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0,
第三象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0,
第四象限：.x 0, y 0 sin 0,cos 0,tan 0,
弧度 0
2 3 5
2
6
4
3
2
3
4
6
9、弧长与面积计算公式
弧长： l R ；面积： S 1 l R 1 R2 ，注意：这里的 均为弧度制.
2
2
二、任意角的三角函数
1、正弦： sin y ；余弦 cos x ；正切 tan y

三角函数模块专题复习 ——任意角的三角函数与诱导公式二．要点精讲1．任意角的概念旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角 3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。

角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=。

弧度与角度互换公式：1rad ＝π180° 1°＝180π〔rad 〕。

弧长公式：r l ||α=〔α是圆心角的弧度数〕， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==。

4．三角函数定义利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； 〔3〕yx 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x xα=≠。

5．三角函数线6．同角三角函数关系式〔1〕平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 〔2〕倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 〔3〕商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα== 几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示)7．诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限〞。

⾼中数学必修4三⾓函数知识点与题型总结三⾓函数典型考题归类⾼⼀数学知识总结必修⼀⼀、集合⼀、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最⾼的⼭(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的⽆序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表⽰同⼀个集合3.集合的表⽰：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,⼤西洋,印度洋,北冰洋}(1)⽤拉丁字母表⽰集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表⽰⽅法：列举法与描述法。

◆注意：常⽤数集及其记法：⾮负整数集（即⾃然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语⾔描述法：例：{不是直⾓三⾓形的三⾓形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)⽆限集含有⽆限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝⼆、集合间的基本关系1.“包含”关系—⼦集A?有两种可能（1）A是B的⼀部分，；（2）A与B是同⼀集合。

注意：B/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”③如果 A?B, B?C ,那么 A?C④如果A?B 同时 B?A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的⼦集，空集是任何⾮空集合的真⼦集。

◆有n个元素的集合，含有2n个⼦集，2n-1个真⼦集⼆、函数1、函数定义域、值域求法综合2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略3、恒成⽴问题的求解策略4、反函数的⼏种题型及⽅法5、⼆次函数根的问题——⼀题多解&指数函数y=a^xa^a*a^b=a^a+b(a>0,a 、b 属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a 、b 属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a 、b 属于Q) 指数函数对称规律：1、函数y=a^x 与y=a^-x 关于y 轴对称2、函数y=a^x 与y=-a^x 关于x 轴对称3、函数y=a^x 与y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数y=loga^x如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =NMa log M a log －N a log ；○3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．幂函数y=x^a(a 属于R)1、幂函数定义：⼀般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第⼀象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右⽅⽆限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上⽅⽆限地逼近x 轴正半轴．))((D x x f y ∈=的零点。

三角函数典型考题归类1．根据解析式研究函数性质例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．2．根据函数性质确定函数解析式例2（江西）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域； （II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．（理）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值． 3．三角函数求值例3（四川）已知cos α=71,cos(α-β)＝1413，且0<β<α<2π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β. 【相关高考1】（重庆文）已知函数f (x )=)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一象限，且）。

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三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容，要求掌握求三角函数最值的常见方法.类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。

例1:求函数xx y sin 21sin --=的值域。

解:由xx y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+,知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a,b 0,1,7430,1,74,3a ab a b a b a a b a b a b >+=-+=-⇒==-<-+=+=-⇒=-=-，练习:1，求函数1cos 3cos xy x-=+的值域 3][1-∞-∞（，，+）2,函数x y sin =的定义域为[a ，b ］，值域为]21,1[-，则b —a 的最大值和最小值之和为bA ．34πB ．π2C ．38πD ．π4类型二：x b x a y cos sin +=型.此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。