求三角函数的值域(或最值)的方法

通 过 变 形 可 得 ： f ( x) = 1 a2 + b2 sin (2x + j ) ， 所 以 最 大 值 为 1 a2 + b2 = 1 ， 即
2
2
2
a2
+ b2
= 1 ①，再利用
f
æp çè 3
ö ÷ø
=
3 可得： - 1 a -
4
4
3b= 4
3
②，通过①②可解得：
4
ìa íîb
= =
例
4：设函数
f
(x)
=
sin x
+
cos 2x
，若
x
Î
éêë-
p 6
,
p 2
ù úû
，则函数
f
( x) 的最小值是______
思路：同例 4 考虑将解析式中的项统一，cos 2x = 1 - 2sin2 x = 1 - 2 sin x 2 ，进而可将 sin x
作为一个整体，通过换元来求值域。
解： f ( x) = sin x + cos 2x = sin x + 1 - 2 sin x 2
三角函数。观察可得 cos x 次数较低，所以不利于转化，而 sin2 x,cos 2x 均可以用 cos x 进
( ) ( ) 行表示，确定核心项为 cos x ，解析式变形为 y = cos x -
1 - cos2 x
-
2cos2 x - 1
7 +，
4
化简后为
y
=
- cos2
x
+
cos x
+
7 4
=
cos

所以t∈［-3,3］.
六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角
函数的值域照样适用
如分别常数法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“对比法〞解题
江苏靖江季南初中(214523) 陈一平
对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.
例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在讨论“沙子和水谁的吸热本事大〞时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间改变的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：
(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?
(2)请依据图象说出水在受热过程中温度改变的特点.
(3)加热满2 min时,水汲取了多少热量?
(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精假如完全燃烧将放出多少热量?
(5)试求出沙子的比热容.
图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，汲取相同热量时沙子温度升得多.。

基础练习
1 的值域是 ( 1. 函数 y = 2 sin x − 1
1 ( A ) − ,1 3
1 ( C )( −∞ , − ] 3
)
1 ( B)(−∞,− ] ∪[1,+∞) 3
( D )[ 1 , +∞ )
基础练习
3 sin x − 1 的最值是 2.函数 y = 函数 sin x + 2
发散思维
sinx 1.求函数 y = 求函数 的最值. 的最值 2+ cosx +
有界
判别
数1形
数2形
发散思维
2.求函数 y = 求函数
sin x sin x + 3
2
的值域. 的值域
下面解法的每个步骤是否正确？为什么？ 下面解法的每个步骤是否正确？为什么？ 解： 变形为 y =
1
3 sin x + sin x 3 3 ② ∵ sin x + ≥ 2 3或 sin x + ≤ −2 3 --------② sin x sin x
2.求函数 y = பைடு நூலகம்函数
sin x sin x + 3
2
的值域. 的值域
分析一: 将分子化为常数 使变量集中到分母中 分析一: 将分子化为常数,使变量集中到分母中 使变量集中到分母中,
从而只考虑分母的取值范围,化繁为简 从而只考虑分母的取值范围 化繁为简. 化繁为简 去分母,变为一 分析二: 分析二: 令 t = sin x , 则 t ∈ [− 1,1],去分母 变为一 元二次方程根的分布问题,化新为旧 元二次方程根的分布问题 化新为旧. 化新为旧
的最值. 的最值 作业
sin x cos x 的值域. 2.求函数 y = 3 + 2 sin x + 2 cos x 的值域 求函数

标题：三角函数值域的求法及其应用
一、基本概念：
三角函数是描述周期性现象的关键工具，特别是一元函数微积分中的基本函数。

它们的值域，即能够表示的函数的取值范围，对于理解函数的性质和图形至关重要。

二、求值域的方法：
1. 观察法：根据三角函数的定义，我们知道正弦、余弦和正切函数的值域分别是-1 到1（包括-1，但不包括0），0 到正无穷（包括0），以及-π/2 到π/2（包括0，但不包括π/2 和-π/2）。

当已知函数的表达式时，可以通过观察函数的定义域和函数自身的性质来求值域。

2. 三角函数不等式法：可以利用三角函数的不等式来求值域，例如：对于正弦函数，有0 <= sin(x) <= 1。

3. 反函数法：对于反三角函数，如arcsin(x) 和arctan(x)，可以通过求其反函数的定义域来得到值域。

4. 换元法：对于某些复杂的三角函数，可以通过换元法将问题简化。

5. 判别式法：对于二次或高次方程的解，可以通过判别式小于或等于零来求出函数的值域。

三、例题解析：
【例题】求函数f(x) = 3sin(2x + π/6) 的值域。

解：首先，我们可以看出函数的定义域为R（即所有实数），且函数的周期性表现为sin(x) 的形式。

由于正弦函数的值域为-1 到1（包括-1，但不包括0），因此我们可以得出f(x) 的值域为[-3, 3]。

四、总结：
求三角函数值域的方法多种多样，观察法、三角函数不等式法、反函数法、换元法以及判别式法都是常见的方法。

理解这些方法并灵活运用，可以帮助我们更好地解决实际问题。

以上就是关于三角函数值域求法的介绍以及例题解析，希望对你有所帮助。

－ ｔ
当 ｓ ｘ＝ 一 ｉ ｎ １时 ， ＝ ． Ｙｉ ６
评 注 ： 果所 给 的 函数是 同名 不 同次或 可化 为 如
同名 不 同次及 其 它能够 进行 配方 的 形 式 ， 可采 用 此
方法． 此种 方法在 求 三 角 函数 的值 域 或 最值 问题 中 较 为 常见 ， 在 最后 讨论 值域 时 ， 但 往往 容 易忽略 自变 量 （ ｌ中以 ｓ ｘ为 自变量 ） 例 ｉ ｎ 的取 值 范 围 而 出现 错
・ ． ．
／
＿ ； ＋ 。 ＋ ｃｓ 。ｉ ｂｏ
ＣＯＳ ＋ ｊ Ｘ
， 一ｌ ＯＸ ． 且 ≤ＣＳ ≤１
＝ ｂ＋￣ ａ 口＋ ， ｂ＋（ ／ ４ Ⅱ一ｂ ｉ ２ ． ） ｓ ｘ ｎ
・
．
当 ＣＳ ＯＸ＝一ｌ时 ，一 ＝１ Ｙ ， 当 ＣＳ ＯＸ＝１ ， ： ． 时 Ｙ｜ ０ ｎ
的最大 值．
＞． ０解得÷≤ ≤ （≠ ） ｙ ３ｙ １．
Ｉ
将 Ｙ＝１ 人原方 程 解得 ｔ ０＝ 代 ａ ｎ ０∈Ｒ， 以 Ｙ＝ 所
解由 ＝ １ｃ ２ 导 ｃ 詈 ：）ｓ０ ＋ｓ ｓ ・ｓ ， ，ｉ （ 。 ｉ 。 ｎ ＝ ｎ ２
再 拆项 变形 得
１ 函数值． 是
所以 ） ３ ＝，ｉ ． 寺≤， ， ≤ 故Ｙ ３ ＝ Ｙ １
＋ ，
题， 分子、 分母的三角函数 同角、 同名 ， 类三角 函数一 这
般 先化为部分分式 ， 用三 角函数 的有 ｝去解 ． 再利 生
４ 换 元法
例 ４ 试 求 函数 Ｙ＝ｓ ｘ＋ＣＳ ｉ ｎ ＯＸ＋２ｉ ｃｓ ｓ ｘｏｘ＋２ ｎ 的最大 值 和最小值 ．
评 注 ： 用 三 角 函 数 的 有 界 性 如 ＩｉｘＩ １ 利 ｎ ≤ ， ｓ

反表示法
两边平方
四）二合一
五） 其他形式：
y
1
2
0
2x
六：应用题求最值
D
C
A
B
值域
最值 周期
[1,1]
T2
一. 求三角函定义域:
例1.求下列函数的定义域;
点拨:1.列出三角不等式 2.根据图象写出不等式的解集
二.求 三角函值域的几种典型形式
一）一次型
直接代入法
练习：口答下列函数的值域
(1)y=-2sinx+1
[－1，3]
(2) y=3cosx+2
[－1，5]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
最小值是
二)二次型
二次函数法
点拨:1.换元(注明新元取值)
2.运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点)
2.
y
写出y=sinx和y=cosx的定义域,值域,最值,周期
y= sinx和 y= cosx， x [0, 2 ]的简图：
最小值是
2.
根据图象写出不等式的解集
y=cosx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
求 三角函值域的几种典型形式
在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 三角函数定义域值域的求法
-1
0
1 2
1
t
练习：口答下列函数的值域
总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是
求 三角函值域的几种典型形式
点拨:统一函数名
三） 分式型 点拨: 1.反表示
三角函数定义域值域的求法

三角函数的最值知识要点梳理1.正弦函数、余弦函数的值域：都是[]1,1-。

2.正弦函数、余弦函数的最值：对sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

注意：正切函数y=tanx 在R 上的值域为R ，因此正切函数y=tanx 在R 上既没有最大值，也没有最小值。

3.求三角函数最值的常用方法有：（1）配方法；（2）化为一个角的三角函数形式，如sin()y A x k ωϕ=++等，利用三角函数的有界性求解；（3）数形结合法；（4）换元法；（5）基本不等式法等.疑难点、易错点剖析三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的范围，还要注意正、余弦函数的有界性.特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，要深入挖掘正、余弦函数的有界性。

一、可转化为关于x 的正弦或余弦的二次函数的三角函数的最值例1求函数2cos 3cos 2++=x x y 的最值，并求取得最值时的x 值。

思路分析：函数式中既含有角x 的余弦的平方，又含有x 的余弦的一次项，适宜用同角公式中的平方关系将函数化为关于角x 的余弦的二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题。

解：45)23(cos 2cos 3cos 22++=++=x x x y[]1c o s 1,1,12x -≤≤∈- 且-， ∴当23cos -=x 时，即23x k ππ=±+时，m in 54=y13x π==+max 当cos ，即 x=2k 时，y变式：求函数2sin 2y x x =++的最值，并求取得最值时的x 值。

思路分析：函数式中既含有角x 的正弦的平方，又含有x 的余弦的项，适宜用同角公式中的平方关系将函数化为关于角x 的余弦的二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题。

小结
1.本节课涉及到求函数值域(最值)的方法有： ①分离系数法
②反表示法
③判别式法 ④单调性法 ⑤数形结合法
小结
2.树立转化的数学思想锻炼发散思维能力.
排除法
1 y 2 sin x 1
3 sin x 1 y sin x 2
sin x y 2 cos x
y sin x sin x 3
课外练习1、2、3、4、 《数学之友》 P 70
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知道，爷哪里是查啥啊功课，这分明是要去安抚李姐姐。不过两各大麻烦都离开咯霞光苑，她也算是能清静清静，于是不咸不淡地赶快开口 道：“有姐姐陪着，妾身就不送爷咯。”第壹卷 第323章 后账壹回到烟雨园，淑清壹头倒在他の怀中：“爷，这就是您给妾身主持の公道 吗？就听吟雪那奴才の壹面之辞，妾身连开口の机会都没有，这让妾身の冤屈往哪儿伸啊！妾身就是再不讨爷の喜欢，但好歹也是各主子吧， 反倒被各奴才弄得没脸没面，妾身以后还有啥啊脸面继续在府里呆下去！”“你还没脸没面？爷连福晋都没理会，亲自把你送咯回来，是福 晋の脸面重要，还是壹各奴才の脸面重要？你真是越活越抽抽咯，瞧你比の那人，你不跟福晋比脸面，非跟各奴才比脸面。”淑清本来愤恨 不已地要跟他讨说法，谁知道才壹开口，竟被他壹句话就堵咯壹各哑口无言，半天找不出壹句话。可是她心中の那口气根本咽不下，怎么就 这么不明不白地让那各奴才逃咯处罚？“爷，您怎么会向着怡然居の人说话咯？您这是嫌弃妾身人老珠黄，比不得人家粉嫩水灵？”他被淑 清这番话气得恨不能骂她两句！先是跟奴才争脸面，现在又跟那主子争风吃醋，简直就是蠢到家咯！他要是对水清真有那心思，还用等得到 现在？他这么假门假事地搞咯这各四堂会审，还不都是为咯安抚她李淑清才走の这各过场。现在淑清不但不领情，反而责怪他喜新厌旧，淑 清委屈，他更委屈！而且他最痛恨の就是后院诸人之间の争宠，于是留下“好自为之”四各字后，他直接就回咯书院。没有排字琦の老练圆 滑，没有水清の聪明智慧，直到他走咯以后，她都没有明白爷为啥啊走咯。从来没有为争宠费过心思の淑清，首各回合就是不战自败。壹回 到怡然居，吟雪急急地对水清说道：“仆役！您怎么不告诉爷，您の手，是因为扶锦茵格格才受の伤啊！”“吟雪，你白跟咯我两年多の时 间！今天这阵势，明摆着爷就是为咯给李侧福晋壹各说法，我若是说这手是因为扶大格格受の伤，谁能证明？李侧福晋还不更得以为我这是 存心跟她过意不去，故意伤咯手去诬告她。”“仆役，那，那您就白白地受咯伤，还落咯冤屈？”“冤屈不冤屈，其实，爷根本就没有这各 必要弄啥啊四堂会审，到时候问问锦茵格格不就全知道咯嘛。所以我才说，刚刚这各会审不过是走走过场而已。”听水清说完，吟雪却是扑 通壹下子跪在咯她の面前，让水清惊诧不已：“吟雪，你这是怎么咯？有啥啊话赶快起来再说也不迟。”“仆役，这全是奴婢の错！假如奴 婢不是去扶锦茵格格，也不会被李侧福晋寻咯仆役您の短处，还让您の手也伤咯，奴婢真是该死……”“好咯，好咯，瞧瞧你说の这都是啥 啊话！你不去扶，我不去扶，锦茵格格真の摔倒咯怎么办？那罪过不是更大咯？我の手伤咯，那也是我不小心弄の，跟你有啥啊关系，真是 の，你赶快好好地当差去，别净跟我这儿说这些没用の！”水清の话音刚落，只听月影进屋来禀报：“仆役，张太医来咯。”第壹卷 第 324章 锦茵今天是锦茵格格回门の日子。府里早早就准备妥当，按照规矩，郡主与额附双双向王爷和排字琦敬上谢恩茶。淑清作为格格の亲 额娘，也壹并受礼。礼毕之后，王爷吩咐秦顺领额附到他の书院等候，又让惜月和韵音几各人先行退下，单独将格格留咯下来。。待众人退 下后，屋子里只剩王爷、排字琦、淑清、水清四各主子。然后王爷又将除吟雪以外の所有奴才全都摒退到门外，连红莲都没能留下，更不要 说菊香咯。面对这各安排，锦茵莫名其妙，望向她阿玛の目光中充满咯疑惑不解の神情。对此，他也没有转弯抹角，而是开门见山：“茵茵， 今天是你回门の日子，见到你在婆家壹切都好，阿玛和你额娘都放心咯。”“阿玛，让您担心，女儿深感惭愧。女儿不能侍奉父母，还要父 母大人如此牵挂，实为不孝。女儿真恨不能够永远留在这府里，日日孝敬您们……”“你说の这叫啥啊傻话！男大当婚、女大当嫁，天经地 义の事情，难不成你壹辈子不嫁，留在府里侍奉我们？那不是害咯你壹辈子吗？趁现在额附不在，阿玛也要嘱咐你几句，你在府里是郡主， 嫁到婆家就是媳妇，好好孝敬公婆、姑嫂和睦才是正道儿。咱们这府里就你这么壹各格格，没人跟你争，也没人跟你抢，额娘和姨娘们全都 宠着你。阿玛确实是担心你啊，到咯婆家可就真の不壹样咯。那么多の太爷太婆、姑舅姨侄，全都要好生处着。不要总以为自己是郡主，想 怎么着就怎么着，丢咯规矩，就是丢咯脸面，就是丢咯咱们府里の脸面。”“女儿谨记阿玛の教诲。”“记得就好，当格格和当媳妇还是有 很大不壹样の，你是壹各好格格，阿玛希望你也能做壹各好媳妇，不要等以后哭哭啼啼の时候才想起今天阿玛说の这番话。好咯，这件事情 就先不说咯，阿玛问你壹件事情。成婚那天，听说差点儿摔咯各跟头，连鞋子都坏咯，那是怎么回事儿？”“回阿玛，是女儿走路不小心， 也不知怎么就踩上咯啥啊东西，可能是小石子吧。”“茵茵！你怎么能肯定不是别人推の你？”淑清壹听锦茵说是自己走路不小心，气得心 中直骂这各丫头是各大傻瓜。好好の平地路，怎么就能摔咯跟头？小石子？哪各奴才们当差这么不仔细，连石子都没有清理干净？王爷听咯 锦茵の回答，心里总算是踏实咯，可淑清仍是不依不饶の样子，竟然明目张胆地暗示格格有人推她，他不想在这件事情上纠缠得没完没

三角函数的极值三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

这些函数在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

其中一个重要的概念是极值，即函数的最大值和最小值。

在本文中，将探讨三角函数的极值特性以及如何求解。

一、正弦函数的极值正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)，其中x为自变量。

正弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。

正弦函数的图像是一条连续的波形，具有无限多个极大值和极小值。

我们可以观察正弦函数的图像，发现它在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π的倍数时，取得极小值-1。

由此可知，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

除此之外，正弦函数在其他点上的取值介于-1和1之间。

二、余弦函数的极值余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。

余弦函数的定义域也是所有实数，值域同样在[-1, 1]之间。

余弦函数的图像形状与正弦函数相似，但相位不同。

与正弦函数类似，余弦函数也有无限多个极大值和极小值。

观察余弦函数的图像，可以发现它在自变量增大到2π的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极小值-1。

其他点上余弦函数的取值也落在-1和1之间。

三、正切函数的极值正切函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为tan(x)。

正切函数的定义域是所有实数，但在某些点上存在无穷大或无穷小的间断点。

正切函数的值域包含所有实数。

正切函数的图像呈周期性分布，并且在自变量增大到π/2的倍数时，取得无穷大的极大值；在自变量增大到π的倍数时，取得无穷小的极小值。

其他点上正切函数的取值没有特殊限制。

四、求解要求解三角函数的极值，我们可以首先观察它们的图像，确定函数的周期性和取值范围。

然后，通过求导数的方法，找到函数在定义域内的临界点。

最后，将临界点带入函数，求得对应的函数值，进一步确定最大值和最小值。

需要注意的是，某些三角函数在定义域的某些点上没有极值，而是趋于无穷大或无穷小。

要点·疑点·考点
3.正切函数 y tan x 的定义域为{x | x k , k Z},值域为R，无最值。
2
4. asinx + bcosx 型函数
asin x bcosx a2 b2 sinx
(其中 由tan b 确定， 角所在象限由点 P(a,b)
a 所在象限确定。)
要点·疑点·考点
须利用换元寻找 “sinx+cosx”与 “sinxcosx”之间的关系,进而
统又一2变si量n .x cos x (sin x cos x)2 1 t2 1
y t t 2 1 2 (t 1)2 3 24
显然，y 的最小值为 3，y 的最大值为3 2 4
能力·思维·方法
5. 试 求 函 数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的 最 大 值 和 最 小 值 . 又若x∈[0，π/2]呢?
2 cos x 1 3 2cos x 1
3
解法二：（不等式法） y 2 cos x 1 cos x y 1
2 cos x 1
2( y 1)
1 cos x 1即| cos x |1 y 1 1
解之得：y 1 或 y 3
2( y 1)
3
能力·思维·方法
6.求函数 y 2 cos x 1 的值域 2 cos x 1
d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Asin(2x+φ)
+B的式子，
，
求最值时不能忽视对定义域的思考
能力·思维·方法
5. 试 求 函 数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的 最 大 值 和 最 小 值 . 又若x∈[0，π/2]呢?

三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2

常见求三角函数值域的类型教师在处理题目时，不要只是就题论题，要通过这个题目让学生学会分析问题的方法，通过练习总结解题规律及方法，通过练习总结解题规律及方法，如通过解题总结三角函数最值的方法，利用三角函数的有界性，通过换元把三角函数最值问题转化成一般函数求最值问题，但要注意换元后新变元的取值范围。

解题过程中体现了数学思想，教师注意引导学生分析解题思路。

正、余弦函数都是有界函数，求以x sin 、x cos 为未知数的三角函数的值域时，首先要关注其自身的取值范围，否则很容易出错。

对于三角函数的值域，常见求值域的类型： 一、)cos (sin b x a b x a y ++=或型例1：已知函数()x x f cos 31-=，求函数()x f 的值域。

解析：1cos 1≤≤-x31cos 3131+≤-≤-∴x∴函数的值域为[]31,31+-点评：利用三角函数的值域，需注意对字母a 讨论。

二、x b x a y cos sin +=型例2：已知函数()x x x f cos 3sin +=，求函数()x f 的值域。

解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πx x x x f∴函数的值域为[]2,2-点评：借助辅助角化成()ϕ++=x b a y sin 22的形式，利用有界性解决。

强调：(),cos ,sin cos sin 2222ba a xb a x b x a y +=++=+=ϕϕ其中22sin ba b +=ϕ三、c x x a y ++=sin sin 2型例3：已知函数()1cos sin 2+-=x x x f ，求函数()x f 的值域。

思路点拔：配成关于x cos 的二次函数再结合x cos 的有界性求解。

解析：()4921cos cos cos 21cos sin 222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=+-=x x x x x x f∴函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡49,0点评：化成同名三角函数，通过配方后转化为二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束。

三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，也是高中数学中经常涉及的问题。

这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。

解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数、不等式、方程、几何等众多知识，其概念性强，具有一定的综合性和灵活性。

而解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。

下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一、 配方法： 形如y=asin 2x+bcosx+c 型的函数特点是含有sinx, cosx ，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin 2x+cos 2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用配方或换元法，转化成二次函数来求解。

例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二、 引入辅助角法： 形如y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现，学生在解题时，常常出现解题思路不清楚，难以抓住最值问题的本质，不能给予恰如其分的分析。

因此有必要让学生对求三角函数的最值的方法有个总体的认识，以培养学生的数学解题能力和思维能力。

下面就几种常见的三角函数最值问题的类型谈谈求法。

一、形如y=a sin x+b（或y=a cos x+b）函数的最值这种类型的函数的最值求解可用三角函数的有界性。

解这类三角函数的最值问题时首先要让学生知道最值都是在给定的区间上取得的，因而要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。

例题函数y=k sin x+b的最大值为2，最小值为－4，求k，b的值。

分析：通过观察可以发现函数y=k sin x+b是由一次函数与正弦函数复合而成的，我们就可以根据正弦函数的有界性以及一次函数的单调性来求解，注意在解题的时候要对k进行合理分类讨论。

解：若k>0，则当sin x=1时，y max=2；当sin x=－1时，y min=－4∴k+b=2，-k+b=-4，解得k=３，b=-１若k<0，则当sin x=1时，y min=－4当sin x=－1时，y max=2∴-k+b=2，k+b=-4，解得k=－３，b=-１∴k=３，b=-１或k=－３，b=-１∴［α，β］上有最大值f（α），最小值f（β）二、形如y=a sin 2x+b sin x cos x+m cos 2x的函数型这种类型的三解函数的特点是含有sin x, cos x的二次式，解此类问题的最值思想是降幂，再化为y=a sin x+b cos x的形式来解。

例题求函数y= sin 2 x+2 sin x cos x+3 cos 2x的最小值、最大值。

并写出函数y 取最值时的x的集合。

分析：此题引入辅助角φ，化为y=a 2+b 2 sin (x+φ)，利用| sin (x+φ)|≤1即可求解。

三角函数最值问题的十种常见解法三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。

解决三角函数的最值问题不仅会用到三角函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和三角函数图像，而且还会用到三角函数的多种恒等变化。

同时，在三角函数的最值问题中常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；常用公式1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。

2. 辅助角公式sin cos ),sin a x b x x ϕφφ+=+== 3．二倍角公式 αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

4．半角公式sin 2α=cos 2α=tan 2α= （sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+） 5. 万能公式22222tan1tan 2tan 222sin ,cos ,tan 1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-题型一：sin y a x b =+或cos y a x b =+型函数策略：转化为一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法，即利用sin 1x ≤或cos 1x ≤便可求解，max min ,y a b y a b =+=-+。

评析:①必须注意字母a 的符号对最值的影响;②必须注意自变量x 对最值的影响。

例1：求函数2cos 1y x =-的值域巩固：求sin()cos 6y x x π=-，(,)43x ππ∈的值域题型二：sin cos y a x b x =+型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

03
CHAPTER
三角函数值域的应用
三角函数值域在数学领域中有着广泛的应用，例如在解决代数方程、不等式、微积分等问题时，需要利用三角函数值域的性质和特点。
三角函数值域的求解有助于理解函数的性质和图像，进一步掌握函数的极限、连续性、可导性等重要概念。
在物理领域中，许多物理量可以用三角函数来表示，例如角度、振动、波动等。这些物理量都有一个对应的三角函数值域，因此三角函数值域的求解在物理中有重要的应用。
将三角函数表达式与单位圆上的点坐标关联起来，通过观察单位圆或三角函数图像，直观地确定函数的最大值和最小值，从而得出函数的值域。
将三角函数表示为参数方程的形式，通过参数的范围求得函数的值域。
将三角函数表示为参数方程，如正弦函数可以表示为直角三角形中的对边与斜边的比值，通过分析参数的变化范围，确定函数的值域。
例如，在振动和波动的研究中，三角函数值域的求解可以帮助我们理解振幅、频率、相位等物理量的变化规律。
04
CHAPTER
三角函数值域的特殊情况
0°和30°、45°、60°和90°等特殊角度的三角函数值具有特定的值域，可以通过查表或计算得出。
例如，sin(30°)=1/2，cos(45°)=√2/2，tan(60°)=√3等。
05
CHAPTER
三角函数值域的扩展知识
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三角函数具有对称性，即对于函数f(x)，存在一个点P(a,b)，使得f(x)=f(2a-x)或f(x)=f(a+x)。
对称性定义
正弦函数和余弦函数具有轴对称性，正切函数具有中心对称性。
常见三角函数的对称性
在求三角函数值域时，可以利用其对称性将函数值分布在一个对称区间内，从而简化计算。

常见的三角函数最值问题的求法三角函数是高中数学的主体内容，是高考的重点，也是每年必考的内容之一。

而最值是对三角函数知识的综合运用，在三角函数中占有及其重要的位置。

本文就常见的一些最值问题进行简单的总结，以期对各位能有所帮助。

1. 形如y=asina+b （或y=acosa+b ）型函数，借助于正余弦函数的有界性求解例1，求函数y=3sinx+2 当θ-π2 ≤x≤π2时的最值解：θ-π2 ≤x≤π2∴sinx∈［-1,1］∴y∈［-1,2］即函数的最大值为2，最小值为-12. 形如y=asinx+bcosx型问题，通常采用引入辅助角，借助于正余弦函数的有界性和单调性求解例2，当-π2≤x≤π2时，求函数f(x)=sinx+ 3cosx的最大值最小值解：原函数可化为f(x)=2sin(x+π3 )θ-π2 ≤x≤π2，∴-π6 ≤x+π3≤5π6∴-12≤sin（x+ π3）≤1∴当x= π6时f(x)取得最大值2，当x= -π6时，f(x)取得最小值-1。

3. 形如y=asina+bccosa+d 型函数，借助于图像或将其转化为第二种类型求解例3，求函数y=sinx-1cosx+2 的值域解：原式可化为：2y+1= 1+y2sin(x+Ф) ∴sin(x+Ф)=2y+1 1+y2∈［-1,1］∴y∈［-43,1］另解：本题还可以设点A（cosx,sinx）B(-2,1),其中点A的轨迹是以（0,0）为圆心，1为半径的圆，可转化为点B与圆上点连线的斜率问题，避开解含绝对值的不等式。

4. 同时含有sinx+cosx与sinxcos x型，此类题型借助于sin2a+cos2a=1将二者联系起来，采用换元的方法解题，但一定要应注意所换参数的取值范围例4，求函数y=sin2x+sinx+cosx 的最值解：令t=sinx+cosx∈［-2,2］，则sin2x= t2-1原式= t2+t-1 t∈［-2,2］∴y的最大值为1+2 最小值为-545. 形如y＝asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型，此类题含sinx(或cosx)的二次项，可借助二次函数用配方法求出最值例5，求函数y=cos2x-3cosx+2的最小值解：原式可化为y= (cosx-32)2-14对称轴cosx=32 不属于［-1,1］∴当cosx=1时，y取得最小值0容易出现的变式：y=asin2x+bcosx+c或y=acos2x+bsinx+c 型，此类题型较易转化成上例形式，本文不再举例。