8-5隐函数的求导公式 (2)共33页文档
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8-5隐函数的求导公式85117
思考题
已知 x ( y), 其中为可微函数, 求x z y z ?
zz
x y
思考题解答
记 F(x,
y, z)
x z
( y),
z
则
Fx
1, z
Fy
( y) 1 ,
zz
z x
Fz
x z2
(
y) z
y z2
Fx Fz
x
z
y
(
怎样求偏导数 首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数
当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组
如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z 故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)
怎样求 dy , dz F( x, y, z) 0 两边对 x 求导
dx dx
x x
Fx Fv
系数行列式 J Fu Gu
Fv Gv
0,
故得
u x
Gx
Fu Gu
Gv
Fv Gv
u 1 (F,G) x J ( x, v ) v 1 (F,G) x J (u, x ) 同样可得 u 1 (F,G) y J ( y , v ) v 1 (F,G) y J (u , y )
②直接法
在方程 F(x, y, z)=0 两边连续求导两次,
Fx
Fz
z x
0,
Fxx
2Fxz
z x
Fzz
(
z x
)
2z x 2
85隐函数的求导公式
z x
c2x a 2z
,
z y
c2y b 2z
(z0)
在求Fx , Fy, Fz时, 将F(x, y, z)看作是 x, y, z的三个自变量的函数.
11
8.5 隐函数的求导公式
例
已知 ax22by22cz221,
求z,z及2z . x y xy
解 法二 推导法
1,
求z,z及2z . x y xy
法三 全微分法
将隐函数方程两边取全微分
dax22by22cz22d(1) 2 ax 2dx2 b2 ydy2 c2 zdz0
c2x c2y dza2zdxb2zdy
z x
z y
zf(x,)y
dz zdxzdy x y
10
8.5 隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已
知 ax22by22cz221,
求z,z及2z . x y xy
解 法一
公式法
令
F(x,y,z)ax22
y2 b2
z2 c2
1
则
Fx
2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
duvvduv2udv
从而 z zF1 , z zF2 . x xF1yF2 y xF1yF2
18
8.5 隐函数的求导公式
法三 将方程两边求导(推导法).
对x求偏导: F u F v 0
u x v x
F( x , y) 0 zz
1 Fu Fv
F y Fv G y Gv
Gu Gv
高等数学隐函数的求导公式
3
隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数;
(2) F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy ( x0, y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
9
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
求 z , z 及 2z . x y xy
解
令 F(x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
则
Fx
2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
z2
c2[
x ( a2z2
c2 y b2z
)]
c4 xy a2b2z3
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
11
隐函数的求导公式
例
设有隐函数
F(
x z
,
y z
)
0
,其中F的偏导数连续,
求 z , z . x y
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )
0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)
隐函数的求导公式
两种方法相比，方法二较简便，因为可避免商
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2
8-5隐函数求导法则
dzFxdxFydy zFx, zFy. (5)
Fz
Fz
x Fz y Fz
(5) 式可作为公式使用, 存在性定理在下一页 .
7
隐函数存在定理2 设函数F ( x , y , z ) 在点
P0( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内具有连续偏导数, 且 F ( x0 , y0 , z0 ) 0 , Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 , 则方程
如果 J0, 则方程组有唯 . 一解 12
duJ1
Fx Gx
Fv Gv
dx1 J
Fy Gy
Fv Gv
dy
dv J1
Fu Gu
Fx Gx
dx1 J
Fu Gu
Fy Gy
dy
J
Fu Gu
Fv Gv
可,见 u xJ 1G Fxx
G Fv , v
v x
1 J
Fu Gu
Fx G
x
,
u y
1 J
Fy Gy
Fv Gv
在(x0 , y0)的某邻域内 Fy 0 d y Fx dx Fy
3
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如果 1 中改 方 x 2 例 y 2 程 1 0为 (3 ) 可以完全相同地推(1得)式, 但是(3)式不能确定一个隐 函数(实数域)内 .
存在性 P32定 见1理 .
4
定理1. 设函数 F(x,y)在点 P(x0,y0)的某一邻域内满足
( 1 f 1 x y f 2 ) d z ( f 1 y z f 2 ) d x ( f 1 x z f 2 ) d y ( 1 )
d zf1 yf2 z dx f1 xf2 zdy 1 f1 x yf2 1 f1 x yf2
隐函数的求导法
17
F F x u G G x u
u F x v u G x v
v 0 x v 0 x
隐函数的求导公式
F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 求 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
F u G u
F v 1 ( F , G ) , G J ( y, v ) v
F v 1 ( F , G ) . G J ( u, y ) v
F u G u
18
隐函数的求导公式
特别
F ( x , y , u, v ) 0 如果方程组 G ( x , y , u, v ) 0
下面讨论如何由隐函数方程 求偏导数.
2
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0
在一元函数微分学中, 曾介绍过隐函数
F ( x, y ) 0
(1)
的求导法. 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1) 的求导公式, 并指出: 隐函数存在的一个充分条件.
3
隐函数的求导公式
x dy Fx ye y. dx Fy xe
6
隐函数的求导公式
注意:
1. 定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出. 2. 定理的结论是局部的. 3. 隐函数的导数仍含有x与y,理解: Fx ( x, y ) dy 求高阶导时,利用复 dx Fy ( x, y ) 合函数的求导方法.
设u z 2z, 且z z( x, y )由方程xe ye ze
2 x y
z
( z 1)所确定, 求du.
解 法二 利用隐函数求导公式. 令 F ( x , y , z ) xe x ye y ze z
F F x u G G x u
u F x v u G x v
v 0 x v 0 x
隐函数的求导公式
F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 求 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
F u G u
F v 1 ( F , G ) , G J ( y, v ) v
F v 1 ( F , G ) . G J ( u, y ) v
F u G u
18
隐函数的求导公式
特别
F ( x , y , u, v ) 0 如果方程组 G ( x , y , u, v ) 0
下面讨论如何由隐函数方程 求偏导数.
2
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0
在一元函数微分学中, 曾介绍过隐函数
F ( x, y ) 0
(1)
的求导法. 现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1) 的求导公式, 并指出: 隐函数存在的一个充分条件.
3
隐函数的求导公式
x dy Fx ye y. dx Fy xe
6
隐函数的求导公式
注意:
1. 定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出. 2. 定理的结论是局部的. 3. 隐函数的导数仍含有x与y,理解: Fx ( x, y ) dy 求高阶导时,利用复 dx Fy ( x, y ) 合函数的求导方法.
设u z 2z, 且z z( x, y )由方程xe ye ze
2 x y
z
( z 1)所确定, 求du.
解 法二 利用隐函数求导公式. 令 F ( x , y , z ) xe x ye y ze z
隐函数的求导公式
把 x看成z, y 的函数对y 求偏导数得
0
f
u
(
x y
1)
fv
( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成 x, z的函数对z 求偏导数得
1
f
u
(
y z
1)
fv ( xy
xz y), z
整理得
y 1 fu xyfv . z fu xzfv
Gu Gv
v 1 (F ,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
u f (x, y)
六、设函数u( x)由方程组 g( x, y, z) 0所确定,
h( x, z) 0
且g 0, h 0,求 du .( f , g, h均可微)
y z
dx
七、设 y f ( x, t), 而t 是由方程 F ( x, y, t) 0 所确定的
隐函数参数方程求导
dx dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
1.
当 t 时, x a(2 1), y a.
2
2
所求切线方程为
即
y a x a( 1) y x a(2 2 )
x
2
y
cos
x
－sin
x
sin
x
2
2
y＝ －sin
x＝－cos
x
sin
x
3
2
y4＝ －cos x＝sin x ……
y (n) sin x n 即 (sin x)(n) sin x n
2
13
四、高阶导数
如果函数 y f (x) 的导函数 y f (x)仍是 x
的可导函数，就称y f (x) 的导数为函数 f (x)
的二阶导数,记作
y，f
(x)
，d2 y d x2
或
d2 f (x) d x2
即
y
(
y)，f
(x)
[
f
(x)]
，d 2y dx2
两边对x求导
(含导数 y的方程)
3
例1. 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解： 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
1.
当 t 时, x a(2 1), y a.
2
2
所求切线方程为
即
y a x a( 1) y x a(2 2 )
x
2
y
cos
x
－sin
x
sin
x
2
2
y＝ －sin
x＝－cos
x
sin
x
3
2
y4＝ －cos x＝sin x ……
y (n) sin x n 即 (sin x)(n) sin x n
2
13
四、高阶导数
如果函数 y f (x) 的导函数 y f (x)仍是 x
的可导函数，就称y f (x) 的导数为函数 f (x)
的二阶导数,记作
y，f
(x)
，d2 y d x2
或
d2 f (x) d x2
即
y
(
y)，f
(x)
[
f
(x)]
，d 2y dx2
两边对x求导
(含导数 y的方程)
3
例1. 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解： 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
8.5_隐函数的求导公式
dx dx
x x
的方法相同.
26
8.5 隐函数的求导公式
例
设 xx2yy 2 z 1 2z22,(y0,z0)求ddxy
, dz 及 dx
dy dz
,
.
dxx1 dxx1
F F
(F ,G) (u, v )
u G
y = f (x), 它满足条件y0 = f (x0), 并有
dy Fx(x, y) 隐函数的求导公式 dx Fy(x, y)
(证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F(x,f (x))0
两边关于x求导, 由链导法则, 得
4
8.5 隐函数的求导公式
F(x,f (x))0
Fx(x,y)Fy(x,y)
d d
一个隐函数y
=
f
(x),
并求
dy dx
.
证 记 F (x ,y ) x y e x ey,则
(1) F x(x,y)yex与 F y(x,y)xey在点 (0,0) 的邻域内连续;
(2) F(0,0)0;
(3) F y(0,0)10, 隐函数存在定理1
所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、
当 x0时 y0的隐函数 y = f (x), 且
隐函数的求导公式 dy Fx(x, y) dx Fy(x, y)
8
8.5 隐函数的求导公式
2. 由三元方程F(x, y, z) = 0确定二元隐函数
z = f (x, y), 求 z , z . x y
隐函数存在定理2 若三元函数F (x, y, z)满足:
(1) 在点P (x0, y0, z0)的某一邻域内具有连续
zz
求 z , z . x y
8-5隐函数的求导公式
偏导数， 偏导数，且 F ( P0 ) = 0, Fz ( P0 ) ≠ 0 ，则 （1）在某一 U ( P0 )内，由F ( x , y , z ) = 0 ） ⇒ z = z ( x , y ) 单值且具有连续偏导数的函数 单值且具有连续偏导数的函数 （2） P0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 满足 z = z ( x , y ) z0 ） Fy F x ∂z ∂z =− （3） ） =− Fz Fz ∂ y ∂x
定理4 定理 设 F ( x , y , u, v ) , G ( x , y , u, v ) 在某一 U ( P0 )
偏导数， 内有连续 偏导数，且 F ( P0 ) = 0, G ( P0 ) = 0, 且
Fu ∂(F ,G ) J P= = 0 ∂ ( u, v ) P0 G u Fv G v P0
偏导数， 内有连续 偏导数，且 F ( P0 ) = 0, G ( P0 ) = 0, Fy Fz ∂(F ,G ) J = 雅可比式） P0 ∂ ( y , z ) P= G y G z P ≠ 0 （雅可比式） 0 0 则
F ( x, y, z ) = 0 （1）在某一 U ( P0 )内，由 ） G ( x , y , z ) = 0 y = y( x ) ⇒ 单值且具有连续导数的函数 z = z ( x ) 单值且具有连续导数的函数 y = y( x ) y0 y( x0 ) （2） P0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 满足 ） z( x0 ) z = z ( x ) z0
J
Fu Fy v ∂v ∂(F ,G ) ∂(F ,G ) =− =− y ∂ ( u, v ) ∂ ( u, v ) Gu Gy y ∂y
J
例5
定理4 定理 设 F ( x , y , u, v ) , G ( x , y , u, v ) 在某一 U ( P0 )
偏导数， 内有连续 偏导数，且 F ( P0 ) = 0, G ( P0 ) = 0, 且
Fu ∂(F ,G ) J P= = 0 ∂ ( u, v ) P0 G u Fv G v P0
偏导数， 内有连续 偏导数，且 F ( P0 ) = 0, G ( P0 ) = 0, Fy Fz ∂(F ,G ) J = 雅可比式） P0 ∂ ( y , z ) P= G y G z P ≠ 0 （雅可比式） 0 0 则
F ( x, y, z ) = 0 （1）在某一 U ( P0 )内，由 ） G ( x , y , z ) = 0 y = y( x ) ⇒ 单值且具有连续导数的函数 z = z ( x ) 单值且具有连续导数的函数 y = y( x ) y0 y( x0 ) （2） P0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 满足 ） z( x0 ) z = z ( x ) z0
J
Fu Fy v ∂v ∂(F ,G ) ∂(F ,G ) =− =− y ∂ ( u, v ) ∂ ( u, v ) Gu Gy y ∂y
J
例5
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③ 雅 可 比 Jp 行 ((F u ,,v G 列 ))PG 式 F u u G F v v0
则方程组 F ( x ,y ,u ,v ) 0 ,G ( x ,y ,u ,v ) 0 在点 (x0, y0)
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0u(x0,y0),
v0v(x0,y0)的单值连续函数 u u (x ,y ),v v (x ,y ),
注意到x, y的对称性, 我们也可类似定义隐函数x=g( y).
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点 P(x0, y0) 的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0,y0)0;
③Fy(x0, y0)0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu F y Gu G y
(P62-P63)
定理证明略.仅推导偏导数公式如下：
设方程组
F(x, G(x,
y,u,v) y,u,v)
0 有隐函数组
0
则
两边对 x 求导得
F x G
x
Fu Gu
u x
u
x
Fv
v x
Gv
v x
0
0
这是关u于, v的线性方, 程 在点组P 的某邻域内
则
F (x ,y,f(x,y))0
两边对 x 求偏导
F
x
Fz
z x
0
z Fx x Fz 同样可得 z F y y Fz
例2. 设 x2y2xy ezz0, 求
2z x2 .
解法1 利用隐函数求导
2xyzxyzez z0 x x
z 2x yz x ez xy
再对 x 求导
)
d d
y x
xy x
FxxFyFy2FyxFx
FxyFyFy2FyyFx
(Fx) Fy
FxxFy22FxF yF y3xFyFyyFx2
例1. 验证方程
在点(0,1)某邻域可确定
一个单值可导隐函数
y
=f
(x), 并求
dy dx
x0,
d2y dx2
x0
解: 令 F (x,y)x2y21,
则① Fx 2x, Fy 2y 连续 ,
y1
y0
定理2 . 若函数 F(x, y,z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0,y0,z0)0 ③ Fz(x0,y0,z0)0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数 zFx, zFy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
x
系数行列式
x
J
Fu
Fv 0, 故得
Gu Gv
u1 (F,G) x J (x,v)
v 1(F,G) x J (u, x)
同样可得 u1 (F,G) y J ( y,v)
v 1 (F,G) y J (u, y)
例3.
设 x 2 u y2v 0 ,y2 u 2 x 2 v 1 ,求
u, u, v , v . x y x y
u u(x, y) v v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J((F u,,G v))G Fuu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3. 设函数
满足:
① 在点
的某一邻域内具有连续偏导数；
② F (x0,y0,u 0,v0)0, G (x0,y0,u 0,v0)0;
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及一个二元方程
F(x, y)=0
(1)
在满足某些条件时所确定的函数y=y(x)或x=x( y)
定义1 如果(1)中的函数F (x, y) 在矩形区域(a, b) (c, d) 内满足:对任意x(a, b)都存在唯一的y( c, d )使(x, y) 是方程(1)的解,则称在D内方程(1)确定了一个隐函数
y =f (x), x (a, b) y (c, d).
此函数满足 x (a, b) ,F (x, f(x))0, y (c, d)
② F(0,1)0,
③ Fy(0,1)2 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可导
的隐函数
且
dy dx
Fx
x 0 Fy
2x
x
0
2y
x
0
0
y1
d 2y d x2
dy dx
d (x)
dx y
y
xy y2
y2 x2 y3
d2y dx2
y2 x2
x0
y3
x0 1
2z x2
(2yz)e(zx)y(2xy)ze(zzy)
x
(ezx)y2
x
2ez2x y2y(2xy)z(2xy)2 zez
(ezx)2 y
(ezx)3 y
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
2 y z x
ez
2z x2
0
2ez2x y2y(2xy)z(2xy)2 zez
(ezx)2 y
(ezx)3 y
解法2 利用公式
设 F (x ,y,z)x 2y2x yezz
则 Fx2xyz, Fz xyez
z Fx x Fz
2x yz xy ez
2 x yz e z xy
两边对 x 求偏导
并有连续
导数
d y F x (隐函数求导公式) dx Fy
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则 两边对 x 求导
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 F x
二阶导数 :
Fy
d 2y dx2
( x
Fx Fy
)
y
(
Fx Fy
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
x2 u2vyv2xu x x
2uy2ux2 v2xv x x
x2 2vy 由题设 J 2uy2 x2 x44uv3y0
故有
u 1 x J
2xu 2xv
且有偏导数公式 :
u1(F,G)
x J (x,v)
1 Fu Fv
Fx Gx
Fv Gv
Gu Gv
u1 (F,G) y J ( y,v)
1 Fu Fv
Gu Gv
F y Fv G y Gv
v x
1 J
(F,G) (u, x)
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu F x Gu G x
v 1 (F,G) y J (u, y)
则方程组 F ( x ,y ,u ,v ) 0 ,G ( x ,y ,u ,v ) 0 在点 (x0, y0)
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0u(x0,y0),
v0v(x0,y0)的单值连续函数 u u (x ,y ),v v (x ,y ),
注意到x, y的对称性, 我们也可类似定义隐函数x=g( y).
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点 P(x0, y0) 的某一邻域内满足
① 具有连续的偏导数;
则方程
② F(x0,y0)0;
③Fy(x0, y0)0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu F y Gu G y
(P62-P63)
定理证明略.仅推导偏导数公式如下：
设方程组
F(x, G(x,
y,u,v) y,u,v)
0 有隐函数组
0
则
两边对 x 求导得
F x G
x
Fu Gu
u x
u
x
Fv
v x
Gv
v x
0
0
这是关u于, v的线性方, 程 在点组P 的某邻域内
则
F (x ,y,f(x,y))0
两边对 x 求偏导
F
x
Fz
z x
0
z Fx x Fz 同样可得 z F y y Fz
例2. 设 x2y2xy ezz0, 求
2z x2 .
解法1 利用隐函数求导
2xyzxyzez z0 x x
z 2x yz x ez xy
再对 x 求导
)
d d
y x
xy x
FxxFyFy2FyxFx
FxyFyFy2FyyFx
(Fx) Fy
FxxFy22FxF yF y3xFyFyyFx2
例1. 验证方程
在点(0,1)某邻域可确定
一个单值可导隐函数
y
=f
(x), 并求
dy dx
x0,
d2y dx2
x0
解: 令 F (x,y)x2y21,
则① Fx 2x, Fy 2y 连续 ,
y1
y0
定理2 . 若函数 F(x, y,z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0,y0,z0)0 ③ Fz(x0,y0,z0)0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数 zFx, zFy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
x
系数行列式
x
J
Fu
Fv 0, 故得
Gu Gv
u1 (F,G) x J (x,v)
v 1(F,G) x J (u, x)
同样可得 u1 (F,G) y J ( y,v)
v 1 (F,G) y J (u, y)
例3.
设 x 2 u y2v 0 ,y2 u 2 x 2 v 1 ,求
u, u, v , v . x y x y
u u(x, y) v v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J((F u,,G v))G Fuu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3. 设函数
满足:
① 在点
的某一邻域内具有连续偏导数；
② F (x0,y0,u 0,v0)0, G (x0,y0,u 0,v0)0;
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及一个二元方程
F(x, y)=0
(1)
在满足某些条件时所确定的函数y=y(x)或x=x( y)
定义1 如果(1)中的函数F (x, y) 在矩形区域(a, b) (c, d) 内满足:对任意x(a, b)都存在唯一的y( c, d )使(x, y) 是方程(1)的解,则称在D内方程(1)确定了一个隐函数
y =f (x), x (a, b) y (c, d).
此函数满足 x (a, b) ,F (x, f(x))0, y (c, d)
② F(0,1)0,
③ Fy(0,1)2 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可导
的隐函数
且
dy dx
Fx
x 0 Fy
2x
x
0
2y
x
0
0
y1
d 2y d x2
dy dx
d (x)
dx y
y
xy y2
y2 x2 y3
d2y dx2
y2 x2
x0
y3
x0 1
2z x2
(2yz)e(zx)y(2xy)ze(zzy)
x
(ezx)y2
x
2ez2x y2y(2xy)z(2xy)2 zez
(ezx)2 y
(ezx)3 y
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
2 y z x
ez
2z x2
0
2ez2x y2y(2xy)z(2xy)2 zez
(ezx)2 y
(ezx)3 y
解法2 利用公式
设 F (x ,y,z)x 2y2x yezz
则 Fx2xyz, Fz xyez
z Fx x Fz
2x yz xy ez
2 x yz e z xy
两边对 x 求偏导
并有连续
导数
d y F x (隐函数求导公式) dx Fy
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则 两边对 x 求导
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 F x
二阶导数 :
Fy
d 2y dx2
( x
Fx Fy
)
y
(
Fx Fy
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
x2 u2vyv2xu x x
2uy2ux2 v2xv x x
x2 2vy 由题设 J 2uy2 x2 x44uv3y0
故有
u 1 x J
2xu 2xv
且有偏导数公式 :
u1(F,G)
x J (x,v)
1 Fu Fv
Fx Gx
Fv Gv
Gu Gv
u1 (F,G) y J ( y,v)
1 Fu Fv
Gu Gv
F y Fv G y Gv
v x
1 J
(F,G) (u, x)
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu F x Gu G x
v 1 (F,G) y J (u, y)