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§5隐函数的求导公式

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5 第五节 隐函数的求导公式 (定理 两个方程确定两个一元隐函数 定理 两个方程确定两个二元隐函数

5 第五节 隐函数的求导公式 (定理 两个方程确定两个一元隐函数 定理 两个方程确定两个二元隐函数

x 2 y 2 z 2 1, z xy
确定了
1 x2 1 x2 和 , 它们是连续函数, 且有连续 z x 1 x2 1 x2 2x
1 x
3 2 2
1 x
2
, z x
x4 2x2 1
1 x
3 2 2
, 满足
2
1 x
4
解
x
47 6 7 47 5, y 2 . 3 4 3 4 7 6 7 6
例 (补) (1) (2)
x 2 y 2 z 2 1, 设 求 z xy.
y x 和 zx ; x 2 y 2 z 2 1, 在点 0, 1, 0 附近所确定的隐 z xy
x 2 y 2 z 2 1, z xy
在点 P x0 , y0 , z0 的某一邻域
内能够唯一确定一对连续且有连续导数的函数 y y x 和
z z x , 它们满足 y0 y x0 , z0 z x0 . 在 x 2 y 2 z 2 1 的两边对 x 求导, 则 x yy x zz x 0 , 从而 yy x zz x x . 在 z xy 的两边对 x 求导, 则 z x y xy x , 从而 xy x z x y .
x0 , y0 , z0

2 y 2z x 1 x , y
0 0 , z0
2 y0 2 x0 z0 0

(这等价于 x0 , y0 , z0 1, 0, 0 , 1, 0, 0 . 理由是: 因
x0 y0 z0 0 , 故 2 y0 2 x0 z0 2 2

大学高数课件 6.5第五节 隐函数的求导公式

大学高数课件 6.5第五节 隐函数的求导公式
x y Fx e y y x y , Fy e x dz sec2 ( x y )(1 y ) dx e x y y (1 x y ) sec2 ( x y ). e x
xy y . 说明: 此题中的y还可表示为：y xy x
定理可推广到三元及三元以上方程的情形.
2. F (x, y, z) = 0
隐函数存在定理2 设C(1)类函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)
的某一邻域内满足: ① F(x0, y0, z0)=0, ② Fz(x0, y0,z0)0,
则方程F(x, y, z) =0在点P(x0, y0, z0 )的某一邻域内能唯一
( F , G ) Fy 由 F、G 的偏导数组成的行列式 J ( y, z ) G y 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
Fz Gz
(1) 隐函数存在定理3 设C(1)类函数F(x,y,z) 、G(x,y,z)
在点P (x0,y0,z0)的某一邻域内满足: ① F(x0,y0,z0)=0, G(x0, y0,z0)=0,
隐函数的求导公式
设 y=y(x) 为F (x,y) =0所确定的隐函数, 则有 F (x, y(x)) 0,
F
x y
dy 上式两边对 x 求导, 得 Fx Fy 0, dx dy Fx 在 (x0 , y0 ) 的某邻域内 Fy 0 , . dx Fy
x
例 1 验证sin y e x y 1 0 在点(0,0)某邻域可唯一确
F ( x, y, z ) 0 则方程组 在点(x0,y0,z0)的某一邻域内唯一 G ( x , y , z ) 0 y0 y( x0 ) y y ( x ) , 且满足 , 确定一对C(1)类一元函数 z z( x ) z 0 z ( x0 ) 并有: Fy Fx Fx Fz (F ,G ) (F ,G )

隐函数的求导公式.

隐函数的求导公式.

=
1
1 2y 3z2 2y
4
yz
例4
设
x2 xy
y2 u2
uv v2
0 0
，求
u x
,
v x
解 设 u u( x, y), v v( x, y).
方程组两端同时对x 求偏导，得
2x + 0 ( u v + u v ) = 0
x
x
y
2u u
+
2v v
x
x
=0
即
v u x
+ u v
x
v
x
x x
u v 0 y y
u v
1 x v
0 y v
J x 1 u
= 1 y
J v
y 0 u
J
= 1 y
J u
同理，可得 u 1 x y J v v 1 x y J u
作业
P89 2, 4, 6, 7, 9, 10, 11
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功
u0 u(x0, y0 ), v0 v(x0, y0 ), 并有
Fx Fv u 1 (F ,G) Gx Gv x J ( x, v) Fu Fv
Gu Gv
Fu Fx
v 1 (F ,G) Gu Gx x J (u, x) Fu Fv
Gu Gv
Fy Fv
u 1 (F ,G) G y Gv
Fz (x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F(x,y,z)=0在点 (x0, y0, z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏
导数的函数 z=f(x,y)，它满足条件 z0 f (x0, y0),并有

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式
Fy z xz Fx z yz , , Fz cos z xy x Fz cos z xy y
当Fz cos z xy 0时，有
例 5 设 z f ( x, y ) 是由方程
z z , . 求 x y .
sinz xyz 所确定的隐函数，
得恒等式F ( x, f ( x)) 0
F F dy 求其全导数 0 x y dx
由于F y 连续且F y ( x0 , y0 ) 0, 所以存在( x0 , y0 ) 的一个邻域，在此邻域 内F y 0
F Fx dy x 于是 F dx Fy y
Fx dy dx Fy
把复合函数 z f [ u( x , y ), x , y ] 中 中的u 及 y 看作不 的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
3、复合高阶偏导数
复合一阶偏导： z f (u, v ) u u( x, y), v v( x, y)
z z u z v z z u z v ， x u x v x y u y v y
z x y 例 6 设 z f ( x y z , xyz )，求 ， ， . x y z
解 令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),
把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得 z z z f u (1 ) f v ( yz xy ), x x x
例１ 验证方程 x 2 y 2 1 0 在点( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x 0 的值. F ( x, y) x 2 y 2 1

第五节 隐函数求导公式

第五节 隐函数求导公式
请看课本第86页, 隐函数存在定理3.
24
隐函数的求导公式
u u v v F ( x , y , u, v ) 0 求 , , , . x y x y G ( x , y , u, v ) 0 F ( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0 将恒等式 G( x, y, u( x, y ), v( x, y )) 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:
F F u F v x u x v x 0
G G u G v 0 x u x v x
u v 解这个以 为未知量的线性方程组. , x x
dy Fx ( x , y ) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x , y ) (证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x , f ( x )) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得
4
隐函数的求导公式
F ( x , f ( x )) 0
dy Fx ( x , y ) Fy ( x, y ) 0 dx 所以存在 且Fy ( x0 , y0 ) 0， 由于Fy ( x, y)连续，
dz (1, 0, 1) dx 2dy
17
隐函数的求导公式
xyz x 2 y 2 z 2 2
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2 xdx 2 ydy 2 zdz 0 2 x2 y2 z2 将点(1,0,1)代入上式, 得
dz (1, 0 , 1) dx 2dy
并有
Fy z Fx z . , Fz x Fz y
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式
2 2
y 解 令 F ( x , y ) = ln x + y − arctan , x
2 2
x+ y y− x , Fy ( x , y ) = 2 , 则 Fx ( x , y ) = 2 2 2 x +y x +y x+ y dy Fx . =− =− y− x dx Fy
2. F ( x , y , z ) = 0
(1)
∂(F , G ) ∂(F , G ) dy ∂ ( x , z ) dz ∂ ( y, x ) , , =− =− ∂ ( F , G ) dx ∂(F , G ) dx ∂ ( y, z ) ∂ ( y, z )
x2 + y2 + z2 = 6 dy dz 例6：已知 ，求 , . dx dx 2x + 3y + z = 0
把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得
∂x ∂x 0 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xz + yz ), ∂y ∂y
整理得
∂x f u + xzf v =− , f u + yzf v ∂y
把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得
∂y ∂y 1 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
−u − y ∂u − v x xu + yv ∂v = = , =− 2 2 x −y ∂x ∂x x +y y x x −u yu − xv y −v , = 2 2 x −y x +y y x
求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式
两种方法相比，方法二较简便，因为可避免商
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2

第五节隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。

求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。

本文将介绍隐函数的求导公式。

隐函数求导的关键在于使用链式法则。

链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。

在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。

设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。

我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。

首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。

这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。

首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。

换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。

其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。

以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。

首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。

例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。

e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。

例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。

隐函数的求导公式法

隐函数的求导公式法

隐函数的求导公式法
隐函数是一类特殊的函数，其函数值由方程给出，而非显式地给出。

对于隐函数，我们需要使用求导公式法来求导。

首先，我们需要了解隐函数的定义。

如果在一个方程中，一个或多个变量被表示为其他变量的函数，那么这个方程就是隐函数。

例如，考虑方程 (F(x, y) = 0)，其中 (F) 是可微的。

我们可以使用隐函数求导公式来求 (y) 关于 (x) 的导数。

隐函数求导的一般步骤如下：
1.对方程 (F(x, y) = 0) 进行全微分，得到 (dF = 0)。

2.利用全微分的性质，将 (dF = 0) 改写为关于 (x) 和 (y) 的偏微分方
程组。

3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式。

4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数。

下面是一个具体的例子：
考虑隐函数 (F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0)。

1.对方程进行全微分，得到 (dF = 2x dx + 2y dy = 0)。

2.将 (dF = 0) 改写为偏微分方程组：(\begin{cases}2x dx + 2y dy = 0
\ dx = - \frac{2y}{2x} dy\end{cases})。

3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式：(y = \pm
\sqrt{1 - x^2})。

4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数：(y' =
\mp \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}})。

第五节隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式

第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。

则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。

第五节隐函数求导法则

第五节隐函数求导法则

第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。

在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。

本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。

一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。

对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。

但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。

假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。

隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。

2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。

3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。

这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。

1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。

2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。

3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。

4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。

第五节 隐函数的求导公式

第五节 隐函数的求导公式

则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
Fx dy dx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则
F x, y 0
两边对 x 求导
x
F y
x
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3. 设函数 ① 在点
导数；
满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
③J
( cos y x )
2
3
x0 y0 y 1
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y( x)
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y) 2 cos y y
例题5 设u, v为x, y的函数，他们由方程组 u v x 0 u u v v 确定，求 , , , 2 x y x y u v y 0
2
例6. 设
是由方程 所确定的函数 , 求
(99考研)
和
解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得
(1 y)
x


cos y xdy y e x dx

隐函数的求导公式(20)

隐函数的求导公式(20)
5
它满足条件 y(0) 1, 且
y( x) Fx x .
Fy
y
y(
x)
d dx
(
x) y
y
xy y2
x
y x( )
y
1
y2
y3 ,
所以 y(0) 0, y(0) 1.
6
定理2 . 若函数 F( x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F ( x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
x
y
Fu d( z ) Fv d( z ) 0
F1(
z
d
x
z2
x
d
z
)
F2(
z
d
y
z2
y
d
z
)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1d x F2 d y z
dz
z x F1
y F2 (F1d x
F2d y).
15
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
则
J (F ,G) Fu (u,v) Gu
Fv Gv
x y
y x
x2
y2, 0
(F ,G) Fx (x,v) Gx
Fv u Gv v
y
xu yv,
x
(F ,G) Fu
Fx x
u xv yu,
(u, x) Gu Gx y v
u x
1 J
(F ,G) (x,v)
xu x2
yv y2

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式在数学的领域中，隐函数是一个十分重要的概念，而对于隐函数的求导，则有一套特定的公式和方法。

这不仅是数学分析中的重要内容，也在众多实际问题的解决中发挥着关键作用。

首先，咱们来理解一下什么是隐函数。

简单来说，隐函数并不是像常见的函数那样，直接用一个表达式明确地写出因变量和自变量之间的关系，比如常见的\（y ＝ f(x)＼）。

隐函数通常是以一个方程的形式给出，比如\（F(x,y) ＝ 0\），在这个方程中，＼（x\）和\（y\）的关系不是那么直接能看出来的。

那为什么我们要研究隐函数的求导呢？这是因为在很多实际问题中，变量之间的关系并不是那么直观地就能写成显函数的形式，但我们又需要知道它们之间的变化率，也就是导数。

接下来，咱们就来具体讲讲隐函数的求导公式。

假设我们有一个隐函数方程\（F(x,y) ＝ 0\），要对\（x\）求导。

那么，我们需要使用到一个重要的方法——复合函数求导法则。

我们对\（F(x,y)＼）分别对\（x\）和\（y\）求偏导数，记为\（F_x\）和\（F_y\）。

然后，根据隐函数求导公式，＼（＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{F_x}｛F_y}＼）。

为了更好地理解这个公式，咱们来看一个具体的例子。

比如，方程\（x^2 ＋ y^2 1 ＝ 0\）表示一个单位圆。

我们来求\（y\）对\（x\）的导数。

首先，对\（F(x,y) ＝ x^2 ＋ y^2 1\）分别求偏导数。

＼（F_x ＝2x\），＼（F_y ＝ 2y\）。

然后，根据隐函数求导公式，＼（＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{2x}｛2y} ＝＼frac{x}｛y}＼）。

这里需要注意的是，当\（y ＝ 0\）时，导数不存在，这在几何意义上也很好理解，因为在圆的水平直径上，切线是垂直的，斜率不存在。

再来看一个稍微复杂一点的例子，方程\（e^y ＋ xy 1 ＝ 0\）。

对\（F(x,y) ＝ e^y ＋ xy 1\）求偏导数，＼（F_x ＝ y\），＼（F_y＝ e^y ＋ x\）。

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§8. 5 隐函数的求导公式课 题：§8.5隐函数的求导公式教学目的：通过学习，使学生掌握隐函数的求导公式教学重点：一个方程的情形隐函数的求导公式教学难点：方程组的情形隐函数的求导公式教学过程：一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F (x , f (x ))≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值. 解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 1022-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0,将上式两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4, zx z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂. 二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=,22y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22yx y u +=, 2222yx x y x y y x v +=+⋅=. 如何根据原方程组求u , v 的偏导数？隐函数存在定理3设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:vG u Gv F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有vu v u v x v x G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u x u x u G G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1, vu v u y u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定; 偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定. 例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, x v ∂∂, yu ∂∂和y v ∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于xu ∂∂和x v ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22yx yv xu x u ++-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于yu ∂∂和y v ∂∂的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdxudy xdv ydu udx vdy ydv xdu . 解之得 dy y x yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=,dy yx yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=. 于是 22yx yv xu x u ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x xv yu x v +-=∂∂, 22yx yv xu y v ++-=∂∂. 例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0),(),(≠∂∂v u y x . (1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F , 则按假设 .0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J 由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x , 将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=xvv y x u u y x v v x x u u x 01.由于J ≠0, 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1, uy J x v ∂∂-=∂∂1. 同理, 可得 v x J y u ∂∂-=∂∂1, u x J y v ∂∂=∂∂1.。