隐函数的求导公式

第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。

求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。

本文将介绍隐函数的求导公式。

隐函数求导的关键在于使用链式法则。

链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。

在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。

设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。

我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。

首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。

这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。

首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。

换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。

其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。

以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。

首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。

例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。

e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。

例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。

隐函数的求导公式
隐函数的求导公式
首先，要明确的是，隐函数求导的前提是要把隐函数表达式转化成显函数表达式，然后就可以采用求导的方法来求隐函数的导数。

1、把隐函数的表达式按照给定的变量进行分离，然后求函数
f(x,y,z) = 0 中每个变量的变化对隐函数求导的影响：
f/x= 0
f/y= 0
f/z= 0
2、通过计算得出每个变量对隐函数的影响，然后把这些变量的变化量组合起来，用如下公式求得隐函数的导数：
f/y = x·f/x + y·f/y + z·f/z
3、根据变换后的隐函数的表达式，求出其导数，多元隐函数的求导公式如下：
f/x = x·f/x1 + y·f/x2 + ... + z·f/xn
上式中，x1, x2, ..., xn 分别表示各个变量，而f/x1, f/x2,…, f/xn 表示每个变量对隐函数的影响。

4、求解一元隐函数的导数，采用如下公式：
y'= (dy/dx)·(dx/dy)
5、对于多元隐函数的导数，采用如下公式求解：
f/x=x(x1,x2,…,xn)·f/x1 + y(x1,x2,…,xn)·f/x2 +…
+z(x1,x2,…。

隐函数的求导公式法
隐函数是一类特殊的函数，其函数值由方程给出，而非显式地给出。

对于隐函数，我们需要使用求导公式法来求导。

首先，我们需要了解隐函数的定义。

如果在一个方程中，一个或多个变量被表示为其他变量的函数，那么这个方程就是隐函数。

例如，考虑方程 (F(x, y) = 0)，其中 (F) 是可微的。

我们可以使用隐函数求导公式来求 (y) 关于 (x) 的导数。

隐函数求导的一般步骤如下：
1.对方程 (F(x, y) = 0) 进行全微分，得到 (dF = 0)。

2.利用全微分的性质，将 (dF = 0) 改写为关于 (x) 和 (y) 的偏微分方
程组。

3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式。

4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数。

下面是一个具体的例子：
考虑隐函数 (F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0)。

1.对方程进行全微分，得到 (dF = 2x dx + 2y dy = 0)。

2.将 (dF = 0) 改写为偏微分方程组：(\begin{cases}2x dx + 2y dy = 0
\ dx = - \frac{2y}{2x} dy\end{cases})。

3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式：(y = \pm
\sqrt{1 - x^2})。

4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数：(y' =
\mp \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}})。

第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。

则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。

隐函数的求导公式一个方程的情形方程组的情形一个方程的情形问题 如何确定方程(,)0F x y =隐含函数()y f x =？ 隐函数存在定理1 设函数(,)F x y 的某一邻域内具有 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =，连续的偏导数, 且00(,)0F x y =,00(,)0y F x y ≠， 则方程(,)0F x y =在点()00,P x y 的某一邻域内恒能它满足条件()00y f x =，并有d d x y F y x F =-. 隐函数的求导公式简单推导 将方程(,)0F x y =所确定的函数()y f x = 代入该方程得()(,)0F x f x =，利用复合求导法则在 两边求导得:d 0d x y y F F x+⋅=， 即d d x y F y x F =-.若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则还可求隐函数d d x yF y x F =-. 的二阶导数 : 2d 2d yx =()F x x F y ∂-∂()F x y F y ∂+-∂d d y x ⋅2d 2d yx =()F x x F y ∂-∂()F x y F y ∂+-∂d d y x ⋅ 2F F F F x x y y x x F y -=-()2F F F F F x y y y y x x F y F y --- 2223F F F F F F F x x y x y x y y y x F y-+=-例 验证方程2210x y +-=在点(0,1)的某邻域内能唯证 一确定一个有连续导数、当0x =时1y =的隐函数， 并求这函数的一阶和二阶导数在0x =的值.令22(,)1F x y x y =+-，则F x 2x =，F y 2y =，(0,1)F x 0=，(0,1)F y 2=0≠，依定理知方程2210x y +-=在点(0,1)的某邻域内能唯一确定满足条件的隐函数，且d d x y F y x F =-x y =-， d 0d 0y x x ==，2d 2d y x 2y xy y '-=()2xy x yy --=-13y=-， 2d 2d 0y xx =1=-.d d x yF yx F =-x y =-隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点()000,,P x y z 的的某一邻域内具有连续的偏导数,且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点()000,,P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(),z f x y =，它满足条件()000,z f x y =，并有x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂.例 设22240x y z z ++-=，求22z x∂∂.当2z ≠时，得x zF z x F ∂=-∂2x z =-. 令222(,,)4F x y z x y z z =++-，则解F x 2x =，F z 24z =-.再一次对求偏导数，得22z x ∂∂(2)2(2)zz x x z ∂-+∂=- (2)22(2)xz x z z -+⋅-=- 22(2)3(2)z x z -+=-zx∂=∂2x z =-方程组的情形隐函数存在定理3 设函数(,,,)F x y u v 、(,,,)G x y u v 在点()0000,,,P x y u v 的某一邻域内具有对各个自变量的且0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，偏导数所组成的函数行列式()(),,u vu vF G F F J G G u v ∂==∂在 点()0000,,,P x y u v 不等于0，则方程组(,,,)0F x y u v =、(,,,)0G x y u v =在点()0000,,,P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(),u u x y =、(),v v x y =，它们 满足条件()000,u u x y =、()000,v v x y =，并有()(),1,x v x v u v u v F F G G F G u F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，()(),1,u x ux u v uvF FG G F G v F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂，()(),1,yv y v u v uv F F G G F G u F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，()(),1,uy u y u v uvF FG G F G v F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂.例 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，v y∂∂. 解方法1： x v x vu v u v F F G G u F F xG G ∂=-∂ 22u y v x xu yv x y x y y x -+=-=--+u x u x u v u v F F G G v F F xG G ∂=-∂ 22x u y v yu xv x y x y y x-=-=-+yvy v u v u v F F G G u F F yG G ∂=-∂ 22v y u x xv yu x y x y y x ---=-=-+22x v y u xu yv x y x y y x -+=-=--+ uyu y u v u v F F G G v F F yG G ∂=-∂方法2： 在方程组两边取微分, 有d d d d 0d d d d 0x u u x y v v y y u u y x v v x +--=⎧⎨+++=⎩， 把d u 、d v 看成未知的, 解得d u 1[()d ()d ]22xu yv x xv yu y x y=-++-+d d u u x y x y ∂∂=+∂∂即有22u xu yv x x y ∂+=-∂+,22u xv yu y x y ∂-=∂+. 同理, 我们还可以求出d v ,解得 22v yu xv x x y ∂-=∂+,22v xu yv y x y ∂+=-∂+.。