第五节 隐函数的求导公式

第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理 1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。

则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx F F dx dy-= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F 由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内0'≠y F于是得''yx F F dx dy-=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。

第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。

则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。

第 五 节 隐函数的求导公式教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数． 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法．教学难点：隐函数的高阶导函数的计算．教学内容：一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程),(y x f =0 (1)求它所确定的隐函数的方法．现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式．隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F 0),(00≠y x F y ，则方程(,)0F x y =在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有yx F F dx dy -= (2) 公式（2）就是隐函数的求导公式．仅就公式(2)作如下推导． 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式0))(,(≡x f x F ,其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 0F F dy x y dx∂∂+=∂∂ 由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在00(,)x y 的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得 x yF dy dx F =-． 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得22x x y y F F d y dy dx x F y F dx ⎛⎫⎛⎫∂∂=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭.232222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----= 例1 验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值．解 设=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =．y x F F dx dy -==y x -， 00==x dx dy ； 22222233()1x y x d y y xy y x y dx y y y y --'-+=-=-=-=- 2231011y x d y dx y ===--． 隐函数存在定理还可以推广到多元函数．既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程(,,)0F x y z = (3)就有可能确定一个二元隐函数．隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程(,,)0F x y z =在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有x z ∂∂=z x F F -，y z ∂∂=zy F F -． (4)与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导．由于 (,,(,))0F x y f x y ≡,将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得x F +z F xz ∂∂=0, y F +z F y z ∂∂=0． 因为z F 连续，且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域，在这个邻域内z F ≠0，于是得x z ∂∂=z x F F -,y z ∂∂=zy F F -． 例2 设04222=-++z z y x ，求22z x∂∂． 解 设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则x F =2x , z F =42-z ．应用公式(4)，得x z ∂∂=zx -2． 再一次对x 求偏导数，得 2222223(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x z z x z x z z x z x x z z z ⎛⎫∂-+-+ ⎪∂-+-⎝⎭∂===∂---． 二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广．我们不仅增加方程中变量的个数．考虑方程组⎩⎨⎧==.0),,,(,0),,,(z u y x G v u y x F (5) 在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数．在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质．隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(00000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ，且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式)：(,)(,)FF FG u v J G G u v u v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂在点),,,(00000v u y x P 不等于零，则方程组0),,,(=v u y x F ，0),,,(=v u y x G 在点),,,(0000v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==，它满足条件000000(,),(,)u u x y v v x y ==，并有xu ∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂-=,v uv u v x v x G G F F G G F F xv ∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂-=,v u v u x u x u G G F F G G F F (6)y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂-=,vv v u v yv y G G F F G G F F y v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂-=.u yu y u v u v F F G G F F G G例3 设1,0=+=-xv yu yv xu ，求x u ∂∂,y u ∂∂,x v ∂∂和yv ∂∂． 解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解．下面我们利用后一种方法来做． 将所给方程的两边对x 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂.,v x v x xu y u x v y x u x 在022≠+=-=y x x y yx J 的条件下，22u y v x u xu yv x y x x y y x ---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xv x y x x yy x--∂-==-∂+将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在022≠+=y x J 的条件下可得,22y x yu xv y u +-=∂∂ 22v xu yv y x y ∂+=-∂+ ． 小结与思考：本节根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够用偏听偏信导数的方法计算由一个方程或方程组确定的隐函数的导数．作业：作业卡p14-15。

《高等数学B》第八章多元函数微分学第五节隐函数的求导公式隐函数的求导公式是多元函数微分学中的重要内容，它用于求解由隐函数所表示的依赖关系中各个变量之间的导数关系。

在高等数学B的第八章多元函数微分学的第五节中，我们将对隐函数的求导公式进行详细的讲解。

隐函数求导的基本概念是指，当我们无法将一个方程直接表示为一些变量的函数形式时，采用隐函数的方法来表示。

例如，研究一个平面上的曲线，其方程可能为x^2+y^2=1，这时我们无法将y表示为x的函数形式，需要通过隐函数的方法来描述。

假设我们有一个方程F(x,y)=0。

为了求解这个方程中各个变量之间的导数关系，我们需要使用隐函数的求导公式。

隐函数的求导公式有两个主要的表达形式，分别是全导数形式和偏导数形式。

全导数形式的隐函数求导公式如下：如果F(x,y)=0确定了y作为x的隐函数，则有dy/dx = (-∂F/∂x) / (∂F/∂y)偏导数形式的隐函数求导公式如下：如果F(x,y)=0确定了y作为x的隐函数，则有∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0这两个形式的隐函数求导公式本质上是等价的，只是表达方式不同。

在实际使用中，我们可以根据具体的问题需求选择使用哪种形式。

一般情况下，全导数形式的隐函数求导公式更加方便使用，因为它可以直接得到dy/dx的表达式。

在使用隐函数的求导公式时，需要注意以下几点：1.隐函数的求导公式适用于隐函数与自变量之间存在函数依赖关系的情况。

如果隐函数表达式中各个变量之间不存在函数依赖关系，即不能确定y作为x的隐函数，那么隐函数的求导公式不成立。

2.在使用隐函数的求导公式时，需保证方程F(x,y)=0是连续可导的。

如果方程不满足这个条件，则隐函数的求导公式不适用。

3.在具体计算的过程中，需要注意使用链式法则等导数计算法则进行化简。

隐函数的求导公式是多元函数微分学中的重要工具，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。

通过隐函数的求导公式，我们可以推导出很多重要的结果和定理，例如隐函数存在定理、隐函数的导数等。