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高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。
高中竞赛不等式公式大全摘要：一、前言二、高中竞赛不等式公式简介1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.其他常见不等式三、应用举例1.基本不等式应用2.柯西不等式应用3.排序不等式应用4.切比雪夫不等式应用5.其他常见不等式应用四、结论正文：一、前言不等式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在高中竞赛数学中，掌握不等式的运用尤为重要。
本文将介绍一些高中竞赛中常见的不等式公式及其应用。
二、高中竞赛不等式公式简介1.基本不等式基本不等式是最常见的不等式之一，形式为：对于任意实数a1, a2, ..., an 和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。
当且仅当a1/b1 = a2/b2 = ...= an/bn时，等号成立。
2.柯西不等式柯西不等式是一种特殊的不等式，形式为：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。
当且仅当存在常数k，使得a1 = kb1, a2 = kb2, ..., an = kbn时，等号成立。
3.排序不等式排序不等式是一种关于排序的不等式，形式为：对于任意实数a1, a2, ..., an，有(a1 + a2 + ...+ an)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/n)。
当且仅当a1 = a2 = ...= an时，等号成立。
4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一种关于方差的不等式，形式为：对于任意实数x1,x2, ..., xn，有(x1 - x平均值)^2 + (x2 - x平均值)^2 + ...+ (xn - x平均值)^2 <= n * (x1^2 + x2^2 + ...+ xn^2) / (n - 1)。
数学竞赛中使用的几个不等式①几个变元的均值不等式。
设),,2,1(n i R a i =∈+。
则n n n a a a na a a +++≥+++ 2121 此不等式的变形为：设),,2,1(n i R a i =∈+，),2,1()(121 =+++=m n a a a A m m n m m m ，则有 4321A A A A ≥≥≥②柯西不等式设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则))(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 等号成立当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立。
（约定0=i a 时，0=i b ） ③排序不等式 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及n b b b ≤≤≤ 21，则n n b a b a b a +++ 2211（顺序和）in n i i b a b a b a +++≥ 2211（乱序和）1121b a b a b a n n n +++≥- （反序和）其中in i i ,2,1是n ,,2,1 的任一排列，当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立。
利用排序不等式可得切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则n n b a b a b a +++ 2211))((12121n n b b b a a a n++++++≥ 1121b a b a b a n n n +++≥-④柯西不等式的拓展ⅰ．设i i b a ,同号（n i ,,2,1 =），则nn n n n b a b a b a a a a b a b a b a ++++++≥+++ 22112212211)(当且仅当n b b b === 21时取等号。
ⅱ．若R y x i i ∈,，且),,2,1(n i R y i =∈+，则nn n n y y y x x x y x y x y x ++++++≥+++ 212212222121)( 著名不等式荟萃在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设1a ，2a ，…，n a 是n 个实数，na a a A n +++= 21 叫做这n 个实数的算术平均数。
经典不等式23种不等式经典不等式23种不等式1、大于等式：若x>y，则x≥y。
2、小于等式：若x<y，则x≤y。
3、不等式：若x≠y，则x≠y。
4、加法不等式：若a+b>c，则a+b≥c。
5、减法不等式：若a-b<c，则a-b≤c。
6、乘法不等式：若ab>c，则ab≥c。
7、除法不等式：若a/b<c，则a/b≤c。
8、比较不等式：若x>y，则x·z>y·z。
9、一次不等式：若ax+b>0，则x>-b/a。
10、二次不等式：若ax2+bx+c>0，则x>-b/2a-√(b2-4ac)/2a。
11、立方不等式：若ax3+bx2+cx+d>0，则x>-b/3a-∛(b3-3abc+2d)/3a。
12、指数不等式：若a·cn>0，则n>lg a。
13、对数不等式：若a>b，则ln a>ln b。
14、平方根不等式：若a2>b，则a>√b。
15、立方根不等式：若a3>b，则a>∛b。
16、反比例不等式：若1/x>y，则x<1/y。
17、正比例不等式：若x>y，则kx>ky。
18、极限不等式：若limx→∞f(x)>L，则f(x)>L，对任意的x均成立。
19、重组不等式：若a+b>c+d，则a>d或b>c。
20、多项式不等式：若p(x)>q(x)，则有关x的多项式p(x)-q(x)的系数均大于0。
21、三角不等式：若a>b，则sin a > sin b。
22、函数不等式：若f(x)>g(x)，则f(x+h)>g(x+h)，其中h为任意实数。
23、条件不等式：若A>B 且C>D，则AC>BD。
柯西不等式在中学数学中的应用
柯西不等式（CauchyInequality）是一种常用的数学不等式，在很多分支领域都有着广泛的应用。
它的发现者柯西是十九世纪十八和十九世纪知名的数学家之一，他的发现对现代数学和数学分析具有深远意义，其影响已延续至今。
在中学数学中，柯西不等式也有着广泛的应用。
首先，在几何学中，柯西不等式可以用来证明某些多边形的定理。
例如，柯西不等式可以证明等腰三角形外接圆的直径等于该三角形的三条边长之和的一半；柯西不等式也可以用来证明正n边形的外接圆的半径是n条边长的比值的一半。
其次，柯西不等式可以用来求解平面几何、空间几何中的问题，例如多边形的最小凸包和最大内切圆等。
此外，柯西不等式可以用来求解三角型及其他多边形内接圆的半径，以及椭圆及其他曲线的焦点距离。
柯西不等式还可以用来证明梯形的面积等于其内接矩形的面积
加上其外接圆的面积，以及圆的面积等于其内接矩形的面积加上其外接梯形的面积，等等。
此外，柯西不等式在线性代数中也有应用。
例如，它可以用来证明矩阵的谱半径的算法。
它还可以用来证明一些线性变换的结论，如矩阵的最大值和最小值，矩阵的正定性和半正定性等。
最后，柯西不等式也可以应用于数论。
例如，它可以用来证明整数的欧拉定理，以及费马小定理等。
总之，柯西不等式在中学数学中有着广泛的应用，它可以用来证明一些定理，以及求解一些几何和线性代数问题，同时也可以用来证明一些数论定理。
由此可见，柯西不等式对中学数学的影响是非常重要的，它是中学生掌握数学知识时不可缺少的一部分。
三个未知数的基本不等式在数学中，不等式是一个重要的概念。
它描述了数之间的大小关系，使用不等号（<，>，≤，≥）来表示。
今天我们将讨论三个未知数的基本不等式。
首先，让我们看看一个关于三个未知数的简单不等式。
假设我们有三个实数a，b，c。
我们可以写下如下不等式：a +b > c这个不等式告诉我们，如果我们将a和b相加的结果大于c，那么这个不等式就成立。
换句话说，这个不等式告诉我们c应该是a和b之和的上限。
例如，如果a=2，b=3，c=4，那么这个不等式成立，因为2+3=5大于4。
但如果a=1，b=2，c=4，那么这个不等式不成立，因为1+2=3小于4。
接下来，让我们看一个稍微复杂一些的不等式。
假设我们有三个非零实数x，y，z。
我们可以写下如下不等式：xy + yz + xz ≥ 0这个不等式告诉我们，如果我们将xy、yz和xz这三个数相加的结果大于等于0，那么这个不等式就成立。
换句话说，这个不等式告诉我们这三个数的乘积的和应该大于等于0。
例如，如果x=1，y=-2，z=3，那么这个不等式成立，因为1*(-2) + (-2)*3 + 1*3 = -2 + (-6)+ 3 = -5 大于等于0。
但如果x=1，y=2，z=3，那么这个不等式也成立，因为1*2 + 2*3 + 1*3 = 2 + 6 + 3 = 11 大于等于0。
最后，让我们来看一个更加复杂和有趣的不等式。
假设我们有三个正实数p，q，r。
我们可以写下如下不等式：p/(q+r) + q/(p+r) + r/(p+q) ≥ 3/2这个不等式告诉我们，如果我们将每一个项的比值相加的结果大于等于3/2，那么这个不等式就成立。
换句话说，这个不等式告诉我们分数项的和应该大于等于3/2。
这个不等式实际上是著名的尼尔森不等式的特例。
它在数学中有广泛的应用，尤其在不等式证明方面。
这个不等式的证明涉及到一些高级的数学知识和技巧，超出了本文的范围。
不等式总结一、不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法))((212x x x x a cbx ax y --=++=))((212x x x x a c bx ax y --=++=c bx ax y ++=2注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间三、均值不等式1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形：22a+b p a*b (a )ab p (p )()22a+b ab b a b ≤⎧⎫⎪⎪⎨⎪+≥⎩+若为定值，有最大值为定值，则有最小值 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即22a b a b+≥+（当a = b 时取等）四、含有绝对值的不等式1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x ax -<><=>>或||a x a x ax -≤≥<=>≥或||a x a ax <<-<=><||a x a ax ≤≤-<=>≤||3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． 4、解含有绝对值不等式的主要方法：①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；②去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．五、其他常见不等式形式总结：①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ ②无理不等式：转化为有理不等式求解()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ③指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>④对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩六、三角不等式： |b ||a ||b a ||b |-|a |+≤+≤七、不等式证明的几种常用方法比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
高中竞赛不等式公式大全【最新版】目录1.竞赛不等式的概念与意义2.高中竞赛不等式的分类3.常用的高中竞赛不等式公式4.竞赛不等式公式的应用案例5.如何灵活运用竞赛不等式公式正文一、竞赛不等式的概念与意义在高中数学竞赛中，不等式问题是一个重要的组成部分，它涉及到解决实际问题和理论研究的方方面面。
竞赛不等式是指在高中数学竞赛中出现的具有一定难度的不等式问题，通常需要运用一些特殊的方法和技巧来解决。
掌握高中竞赛不等式对于提高学生解决实际问题的能力，培养数学思维和技巧具有重要意义。
二、高中竞赛不等式的分类高中竞赛不等式可以分为以下几类：1.一元一次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式。
2.一元二次不等式：涉及一个未知数，未知数的次数是 2 的不等式。
3.多元不等式：涉及多个未知数的不等式。
4.含有绝对值的不等式：包含绝对值符号的不等式。
5.其他特殊类型的不等式：如对数不等式、指数不等式等。
三、常用的高中竞赛不等式公式在解决高中竞赛不等式问题时，有一些常用的公式和方法可以帮助我们快速求解。
以下是一些常用的高中竞赛不等式公式：1.一元一次不等式的解法：同号得正，异号得负，移项，分式讨论等。
2.一元二次不等式的解法：判别式法，韦达定理，二次函数图像法等。
3.含有绝对值的不等式的解法：分段讨论，绝对值不等式的性质等。
4.多元不等式的解法：消元法，代入法，行列式法等。
四、竞赛不等式公式的应用案例以下是一些高中竞赛不等式公式在实际问题中的应用案例：1.利用一元一次不等式的解法求解实际问题中的不等式。
2.通过一元二次不等式的解法求解复杂的不等式问题。
3.运用含有绝对值的不等式的解法解决实际问题中的不等式。
4.多元不等式在解决组合优化问题中的应用。
五、如何灵活运用竞赛不等式公式在解决高中竞赛不等式问题时，要注意以下几点：1.仔细审题，分析问题的实际背景和需求。
2.根据问题的特点，选择合适的不等式公式和方法。
２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀利用不等式求最值常见题型的解法探讨◉云南省昆明市石林县第一中学㊀王㊀强㊀㊀利用不等式求最值的题型有很多,解法多种多样．有些题型可能有多种解法,但有些题型可能会令我们束手无策,怎样才能找到这些题型的解法呢?这就需要我们能够抓住题中的条件式㊁求值式的结构特征找到它们的解法!下面就以一些常见题型为例来探讨这些题型的解法．１题型一:条件式为二次式,求值式为一次式对于 已知x ２＋m y ２＝p ,求x ＋n y 的最值,可以用柯西不等式(a ２１＋a ２２＋ ＋a ２n )ˑ(b ２１＋b ２２＋ ＋b ２n )ȡ(a １b １＋a ２b ２＋ ＋a n b n )２,当且仅当a １b １＝a ２b ２＝ ＝a nb n时,等号成立,参见例１．对于 已知x ２＋m y ２＋k x y ＝p ,求x ＋n y 的最值 ,可以先将条件式变形,再用柯西不等式,如例２．例１㊀已知x ＞０,y ＞０,且x ２＋２y ２＝９,则x ＋４y 的最大值为㊀㊀㊀㊀．解:由x ２＋２y ２＝９,可得９＝１９[１２＋(２２)２]ˑ[x ２＋(２y )２]ȡ１９(１ˑx ＋２２ˑ２y )２＝１９(x ＋４y )２,所以x ＋４y ɤ９,当且仅当x ２＋２y ２＝９,１x ＝２２２y,ìîíïïïï即x ＝１,y ＝２{时,等号成立．故x ＋４y 的最大值为９．方法点睛:利用柯西不等式降次,实现由条件式向求值式的转化．例２㊀已知实数x ,y 满足４x ２＋y ２＋x y ＝１,求４x ＋y 的最大值．解:由４x ２＋y ２＋x y ＝１,可得(２x ＋１４y )２＋(１５４y )２＝１,所以有１＝１５６４２２＋(２１５)２éëêêùûúúˑ(２x ＋１４y )２＋(１５４y )２éëêêùûúúȡ１５６４２(２x ＋１４y )＋éëêê２１５ˑ１５４y ùûúú２＝１５６４(４x ＋y )２,则４x ＋y ɤ８１５１５,当且仅当４x ２＋y ２＋x y ＝１,２２x ＋１４y ＝２１５１５４y ,ìîíïïïïïï即x ＝７１５６０,y ＝１５１５ìîíïïïï时,等号成立．故４x ＋y 的最大值为８１５１５．方法点睛:通过配方将条件式转化为两项平方和的形式,再用柯西不等式实现由条件式向求值式的转化．２题型二:条件式为一次式㊁二次式,求值式为分式且分母为一次式㊁二次式对于 已知x ２＋m y ２＝p ,求a x ＋b y的最值 ,可以用权方和不等式a m ＋１１b m １＋a m ＋１２b m ２＋ ＋a m ＋１nb m n ȡ(a １＋a ２＋ ＋a n )m ＋１(b １＋b ２＋ ＋b n)m(a i ＞０,b i ＞０,m ＞０),当且仅当a １b １＝a ２b ２＝ ＝a nb n时,等号成立,如例３．对于 已知m x ＋n y ＝p ,求１a x ＋b y ＋１c x ＋d y的最值 ,可先找出m x ＋n y 与a x ＋b y ,c x ＋d y 之间的关系,再用权方和不等式,如例４．例３㊀已知正实数x ,y 满足x ２＋９y ２＝１,则３x＋１y的最小值为㊀㊀㊀㊀．解:因为x ＞０,y ＞０,x ２＋９y ２＝１,所以３x ＋１y＝３(x ２)１２＋３(９y ２)１２＝３１３２(x ２)１２＋１３２(９y ２)１２éëêêùûúúȡ３ˑ(１＋１)３２(x ２＋９y ２)１２＝６２,当且仅当x ２＋９y ２＝１,１x ２＝１９y２,{即３８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀x ＝２２,y ＝２６ìîíïïïï时,等号成立．故３x ＋１y的最小值为６２．方法点睛:先对求值式的分母进行升次变形,再用权方和不等式实现求值式向条件式的转化．例４㊀已知a ＞０,b ＞０,a ＋２b ＝１,则１３a ＋４b ＋１a ＋３b的最小值为㊀㊀㊀㊀．解:令a ＋２b ＝λ(３a ＋４b )＋μ(a ＋３b ),则有３λ＋μ＝１,４λ＋３μ＝２,{解得λ＝１５,μ＝２５．ìîíïïïï因为a ＞０,b ＞０,a ＋２b ＝１,所以１３a ＋４b ＋１a ＋３b ＝１５１２１５(３a ＋４b )＋éëêêê(２)２２５(a ＋３b )ùûúúúȡ１５ˑ(１＋２)２１５(３a ＋４b )＋２５(a ＋３b )＝１５ˑ(１＋２)２a ＋２b ＝３＋２２５,当且仅当a ＋２b ＝１,１１５(３a ＋４b )＝２２５(a ＋３b )ìîíïïïï,即a ＝５２－７,b ＝８－５２２ìîíïïïï时,等号成立．故１３a ＋４b ＋１a ＋３b 的最小值为３＋２２５．方法点睛:先找出条件式与求值式分母之间的关系,再用权方和不等式实现由求值式向条件式的转化．３题型三:求值式为齐次分式对于 a x ＋b y c x ＋d y ＋e x ＋fy g x ＋h y 型分式求最值 ,可先将分式的分子分母同除以x (或y ),再将y x (或xy )换元．例５㊀已知实数x ＞０,y ＞０,则x２x ＋y ＋y x ＋２y的最大值是㊀㊀㊀㊀．解:由x ＞０,y ＞０,可得x ２x ＋y ＋y x ＋２y ＝１２＋y x＋yx １＋２y x ．设y x ＝t (t ＞０),则x ２x ＋y ＋y x ＋２y ＝１２＋t ＋t１＋２t ＝t ２＋４t ＋１２t ２＋５t ＋２＝３２t２t ２＋５t ＋２＋１２＝３４(t ＋１t)＋１０＋１２ɤ３４ˑ２＋１０＋１２＝２３,当且仅当t ＝１t,即t ＝１时,等号成立．故x ２x ＋y ＋y x ＋２y的最大值为２３．方法点睛:先化作比值,再将比值换元,实现由二元变量向一元变量的转化,再用均值不等式求最值．４题型四:求值式为和(积)的形式,条件式可变形为积(和)的形式对于 求(x ＋m )＋p (y ＋n )型式子的最值 ,可以将已知条件变形为(x ＋m )(y ＋n )＝k ;对于 求(x ＋m )(y ＋n )型式子的最值 ,可以将已知条件变形为(x ＋m )＋p (y ＋n )＝l ．例６㊀已知０＜a ＜１,０＜b ＜１,且４(a ＋b )＝４a b ＋３,则a ＋２b 的最大值为(㊀㊀)．A．２㊀㊀B ．２２㊀㊀C ．３－２㊀㊀D．３－２２解:由４(a ＋b )＝４a b ＋３,可得(１－a )(１－b )＝１４．因为０＜a ＜１,０＜b ＜１,所以１－a ＞０,１－b ＞０,则a ＋２b ＝(a －１)＋２(b －１)＋３＝－[(１－a )＋２(１－b )]＋３ɤ－２(１－a )ˑ２(１－b )＋３＝３－２,当且仅当１－a ＝２(１－b ),(１－a )(１－b )＝１４,即a ＝２－２２,b ＝４－２４时,等号成立．所以a ＋２b 的最大值为３－２．故选答案:C ．方法点睛:求值式a ＋２b 为(x ＋m )＋p (y ＋n )的形式时,可将已知条件４(a ＋b )＝４a b ＋３变形为１－a 与１－b 积的形式,将a ＋２b 变形为１－a 与１－b 和的形式,再利用不等式(１－a )＋２(１－b )ȡ２(１－a )ˑ２(１－b )求最值．上文结合具体实例探讨了利用不等式求最值常见题型的解法,但由于利用不等式求最值的题型比较多,特征也多种多样,解题方法也不只有上述几种,因此,我们应该在平常的解题过程中不断发现㊁积累,养成良好的解题习惯．Z４８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
不等式常用的式子全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不等式在数学中是一种非常重要的概念，它能够描述数值之间的大小关系，比较大小。
在实际生活中，我们经常会用到各种不等式来解决问题，比如生活中的成本问题、优化问题等。
不等式的解决方法不仅仅是代数运算，还包括了几何方法、图形法、拐角法等，它能够帮助我们更好地理解数学知识和解决实际生活中的问题。
在不等式的解决过程中，常用的式子有很多种，下面我们就来介绍一些常用的不等式式子。
1.绝对值不等式绝对值不等式是指形如|a| < b 的不等式，其中a 是一个数，b是一个正数。
绝对值不等式的解法是通过将不等式分为两部分来解决，一部分是a < b，另一部分是a > -b。
2.二次不等式二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0 的不等式，其中a、b、c 都是实数，且a ≠ 0。
解二次不等式的方法通常是通过讨论一元二次不等式的根的情况，找到正确的区间，从而确定不等式的解集。
3.分式不等式分式不等式是指形如f(x)/g(x) > 0 的不等式，其中f(x) 和g(x) 是多项式函数。
解分式不等式的关键是确定分式的定义域，找到分式的零点，然后根据零点的性质确定分式的正负性，从而得出不等式的解。
4.三角不等式三角不等式是指对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC、AB + AC > BC、BC + AC > AB 的关系。
三角不等式在几何中扮演着重要的角色，它能够帮助我们判断三角形的形状和性质。
5.平均值不等式平均值不等式是指对于任意n 个正数a1、a2、…、an，有(a1 + a2 + … + an)/n ≥ √(a1*a2*…*an) 的关系。
平均值不等式在概率论和数学分析中有着广泛的应用，能够帮助我们证明不等式的性质和定理。
6.柯西-施瓦次不等式柯西-施瓦次不等式是指对于任意n 维实数向量x、y，有|x*y| ≤ ||x|| * ||y||，其中||x|| 代表向量x 的范数（模），|x*y| 表示向量x 和y 的点积。
