常见不等式的几何直观

注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
3.我们把不等式 称为基本不等式
(a≥0,b≥0)
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
ab
根据均值不等式得
b a≥2 ba 2
ab
ab
即 b a≥2
ab
当且仅当 b a 时，即a2=b2时式中等号
成立， a b
因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成
立的条件是a=b.
例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问 这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周 长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长是36m，问这个矩 形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 （当且仅当a=b 时，式中等号成立）
证明：∵ ( a )2 ( b)2 2 a b
∴a b 2 ab 即：a b a b为a，b 的算术平均数，
2
称 ab 为a，b 的几何平均数。
还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?
几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作
图的方法，作出长度为 a b 和 ab
2
的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,
（2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab

2 2
求2xy的最大值, 并说明等号取得的条件;
探究 判断下列各式是否正确
1. x 2
2
1 x 2
2
2;
4 2.若x (0, ), 则 sin x 4. 2 sin x

结论
ab 若a, b R , 则 ab . 2 ab 当a b时, ab . 2
ab OC 2
CD ab
C
a+b 2 ab
ab 当a b时, ab . 2 ab 当a b时, ab . 2 A
aO
D
b
B
探究 判断下列各式是否正确
1.x y 2 xy ; 1 1 2.x 2 x 2. x x
结论
ab 若a, b R , 则 ab . 2 ab 当a b时, ab . 2 基本不等式应用的 第一前提：a，b都是“正数”.

简称：一正
探究
1.若x, y R*, 求x y的最小值; 2.若x, y R*, xy 2, 求x y的最小值; 1 3.若x, y R*, 求x 的最小值; y 1 4.若x R*, 求x 的最小值; x
结论
若x, y R*, xy a (a为常数), x y 2 xy 2 a . x y 2 xy 2a.
例题解析
2.（1）一个矩形的面积为100m2， 问这个矩形的长、宽各为多少时， 矩形的周长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长是36m，问这 个矩形的长、宽各为多少时，矩形 的面积最大？最大面积是多少？
课本71、72页练习A
均值定理
（基本不等式、重要不等式）
ab 1.若a, b R , 求证 : ab . 2 当a b时, 取 " ".

均值定理： 如果a, b∈R+，那么 a b ab
2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立） 证明：∵ ( a )2 ( b)2 2 a b
∴a b 2 ab 即：a b ab
2
当且仅当a=b时 a b ab
2
称 a b为a，b 的算术平均数，
2
称 ab 为a，b 的几何平均数。
还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?
几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作
图的方法，作出长度为 a b 和 ab
2
的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,
（2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数.
2．语言表述：两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
3.我们把不等式 a b ab (a≥0,b≥0)
2
称为基本不等式
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
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打开思路，尽量从自己经历中或自己熟悉的材料中寻找素材。要写出自己对生活真实的感悟，切忌随意编造虚假的故事。 33.阅读下面材料，根据要求作文。 世界上有很多东西看得见，也有很多东西看不见。它们的关系很奇妙：花草树木看得 见，春天看不见；水果蔬菜看得见，营养看 不见；嫁妆婚礼看得见，爱情看不见；书信问候看得见，思念看不见；文凭看得见，水平看不见…… 看得见的东西往往不可少，而看不见的东西更重要。我们离不开物质的东西，而精神却更不可缺少。如，自信、勇气、毅力、人格。 你怎样理解“看得见”和“看不见”？如何看待它们 之间奇妙而辩的关系？请认真思索，结合生活中的典型事例，以“看得见和看不见”为题写一篇作文，不少于800字。 ? [写作提示]在这里，“看得见”和“看不见”有着内在的联系。“看得见”是“看不见”的存在形式，“看不见”是“看得见”的本质和基础。二者这种奇妙的关系衍 生出无数的故事。这个题目贴近生活实际，选材的范围很宽，可根据手中的材料确定文体。如写议一定要事先想好自己鲜明的论点，然后议论。 ? 34.阅读下面材料，根据要求作文。 我们每天都在讲创新，培养创新意识的重要性。一个人如果一辈子做的事情就是在模仿别人、重复别人， 那么，他必将迷失自我；一个国家如果一味依赖引进，引进技术，引进产品，而缺乏自主创新能力，很难获得真正的发展。据报道，近年来我国重视自主创新问题，已经把自主创新提到国家发展战略层面。 有人曾提出一个令人深思的问题：莎士比亚只有一个，但是穷毕生之力研究他的 人有多少？曹雪芹只有一个，但全力钻研考红学的人有多少？王羲之只有一个，但千百年来专习王字的人有多少？ 有人说，第一等人创造，第二等人模仿。如何从模仿走向创新，如何在学习别人的同时不迷失自我，你思考过这些问题吗？ 请以“创新”为话题写一篇不少于800字的作文， 文体不限，所写内容必须在话题的范围之内。 [写作提示]这是一个并不陌生的话题，但在一个熟悉的话题里谈出新意，确实不易。在写作时，不能一直浮在“模仿”和“创新”的表面泛泛而论，应该抓住一点，往深处挖掘。比如，创新代表着一个人的聪明才智、独到的眼光和初生牛犊 不怕虎的勇气，它常常让人耳目一新。写作时注意使用鲜活的例子，重要的是我们要有一双善于从生活积累中发现新东西的眼睛。 35. 阅读下面材料，根据要求作文。 一位老华侨出资百万为家乡新建一所中学。他应邀出席新校建成剪彩仪式，县里主要领导亲自陪同。 路过操场时，老 华侨突然穿过人群，走到一个滴滴答答的水龙头前，伸手拧紧龙头。盛大的午宴结束后，老华侨又出人意料地向服务员要了食品袋，将吃剩下的馒头打包，嘱咐随行的人员带回家去。这让陪同者很是惊愕：他可是资产过亿的大富豪啊！ 老华侨显然看出了大家的不解，他动情地说：“由 于生意上的应酬，我吃过五万元一顿的盛宴，却从不会把剩下的食品丢入泔水桶；我住过五万元一夜的总统套房，却从不浪费一滴自来水。因为前者叫消费，后者叫浪费。我有权消费，但无权浪费。” 勤俭节约是我们民族的传统美德，请联系生活实际，以“节约和浪费”为话题写一篇 议，不少于800字。 ? [写作提示]勤俭节约是中华民族的传统美德，也是构建和谐社会的要素。很难想象，一个随意挥霍，不懂得珍惜，大手大脚的民族会是一个健康、进步的民族。但是，现实生活中我们有随处可见触目惊心的浪费现象。联系生活实际，对这个话题深入思考，可以针对 浪费写成议，劝谏他人；也可以写成记叙文，巧妙地说出节约的好处。 ? 36 阅读下面材料，根据要求作文。 1936年伯林奥运会上。 美国黑人选手、田径天才欧文斯是最有希望夺得跳远冠军的人，一年前他曾跳出8.13米的好成绩。 预赛开始，德国选手卢茨第一跳就跳出8米的不俗成绩。 卢茨的出色发挥使欧文斯很紧张。这次比赛对欧文斯有着非同寻常的意义：他要以自己的出色成绩抨击当时甚嚣尘上的希特勒的“非犹太民族白种优越论”。由于心急，欧文斯第一次试跳超过了起跳板几厘米，被判无效。第二次试跳还是如此。如果第三次仍失败，他将被淘汰。那样的话， 冠军就非卢茨莫属了。 欧文斯无法使自己平静下来。这时，卢茨走过来拍了拍欧文斯的肩膀，建议他在离起跳板还有几厘米的地方做个记号，在记号处就开始起跳，这样，无论如何都不会踩线了。欧文斯恍然大悟，照卢茨的话做了，并如愿以偿地夺得金牌。夺冠军后，第一个上来向他 祝贺的就是卢茨！ 此时，最让欧文斯感动的是卢茨伟大的胸怀和高尚的品格。 生活中我们常会感动。但是在奥运赛场上，为对手出主意，真心地帮助对手，因而自己失去可能获得的金牌，卢茨的胸怀和品格确实让人格外惊佩。 根据材料选择一个恰当的角度写一篇作文，不少于800 字。 ? [写作提示]材料作文重要的是对材料所蕴含意义的提炼。在准确提炼材料主旨之后，考生可选恰当的角度发表议论或展开想象的翅膀，在生活中寻找类似的典型材料加以发挥，挥笔成文。角度的选择可以是多方面的，如，真诚的友谊超越了国界，真挚的友情比获得冠军更为重要， 他具有海洋般广阔的胸怀等。 ? 37. 阅读下面材料，根据要求作文。 农民种高粱，有一道程序叫“晒根”，就是把高粱两边的根锄断，晒在日头下。过些时候来培上土，高粱就开始疯长，拼命的朝下扎根。夏天即使再风大雨大，高粱有了结实的根，照样能站住。不光是高粱，小葱秧也 要摆在地上晒几天，晒得蔫蔫的再栽，一沾水土，立马就活了过来，越发精神。 人也是这样的，学着吃吃苦。风雨人生路，适当晒晒根，很有必要。 看了这个故事，你有什么感想，请以“折磨与成长”为话题，联系生活实际，写一篇不少于800字的文章，题目自拟，文体自选，立意自 定。 [写作提示]这是一道由生活引发出来的话题，从常规思维的角度看，植物的根是不能随便动的，可这个农民偏要故意锄断高粱的根，晒在日头下，从而促使它拼命的朝下扎根，以便日后经得起风吹雨打。这种看似反常的举动实际上是符合常理的：久在水土中的根易生惰性，而晒蔫 的断根，一沾水土，就会爆发出生命的潜能，这是求生的本能使然。人也是这样，“生于忧患，死于安乐”，穷人的孩子早当家，从来纨绔无伟男；生活富裕了，再富的日子也要学会穷着过，学着吃吃苦，将终生受益。 ? 38. 阅读下面材料，根据要求作文。 在有着悠久造船历史的西班 牙港口城市巴赛罗那，有一家著名的造船厂，它已经有一千多年的历史。这个造船厂从建厂的那一天开始就建立了一个规矩，所有从造船厂出去的船舶都要造一个模型留在厂里，并把这只船出厂后的命运由专人刻在模型上。厂里有专门的船舶陈列馆用来陈列船舶模型，里面陈列着将近10 万只船舶模型。每一个模型上都详细记录着该船舶经历的风风雨雨。在陈列室最里面的一面墙上，是对上千年造船厂所有出厂船舶的概述：造船厂出厂的近10万只船舶当中，有6000只在大海中沉没，有9000只因为受伤严重不能再进行修复航行，有6万只船舶都遭遇过20次以上的大灾难， 没有一只船舶没有受伤的经历。 现在，这个造船厂的船舶陈列馆，早已突破了原来的意义，成为西班牙最为著名的旅游景点，成为西班牙人教育后代获取精神力量的象征。这也正是西班牙人吸取智慧的地方：所有的船舶，不论用途是什么，只要到大海里航行，就会受伤，就会遭遇灾难。 这个故事引发了你什么样的联想呢？请以“成功与挫折”为话题写一篇不少于800字的文章，题目自拟，立意自定，文体自选。 ? [写作提示]所有的船舶，不论用途是什么，只要到大海里航行，就会受伤，就会遭遇灾难。人生也是这样，只要你有追求，只要你去做事，就不会一帆风顺。 没有风平浪静的海洋，没有不受伤的船，没有不遭受挫折的人生。如果因为遭遇了磨难就怨天尤人，如果因为遭遇了挫折就自暴自弃，如果因为面对逆境而放弃了追求，如果因为受了伤害就一蹶不振，那你就大错特错了。常言道：“失败乃成功之母。”成功是从失败中总结出来的。成功 与挫折是一对孪生兄弟。一个人，只要你做事，就会遭受挫折，就会犯错误。而如果你什么事都不做，虽然不会犯错误，也无挫折可言，然而你的生命也就失去了意义。扬起你生命的风帆吧，当你到达人生的终港时，“生命船舶”陈列馆中，时间将会留下你辉煌的风雨人生，而其中让你 感到骄傲的不是成功的鲜花，而是光荣的挂彩。 ? 39. 阅读下面材料，根据要求作文。 旭日固然为一日之始的象征，苏醒的大地沐浴在它温暖的光照之下，使人感到无限的温暖。然而早晨，上午，中午，午后乃至夕照之时，它仍撒下大量光热……太阳在一日中始终都在无私地放射着自 己的热量，犹如人生的全程，任何阶段都潜伏着巨大的创造性。征程一生，决非仅有绝对唯一的“起点”，而是随时是振奋可为的拓荒之始。 这则材料中的“起点”能引起你联想些什么呢？请以“起点”为话题写一篇不少于800字的文章， 所写内容必须在话题范围之内，题目自拟，立 意自定，文体自选。 ? [写作提示]俗话说：“一日之计在于晨。”这是以常规思维方法看问题：认为太阳早升晚落，似乎一到晚间太阳光照就不存在了。其实太阳放射热量是不分昼夜的，如果站在西半球，我们的晚上恰是他们的早晨。可见将早晨视为一日之始只是相对而言的。人生也 是如此：征程一生，决非仅有绝对唯一的“起点”，而是随时是振奋可为的拓荒之始。“起点”是不受年龄限制的，少年有为固然可喜，中年起步为时未晚，“八十岁学吹鼓手”也未尝不可。“起点”是无处不在的。人生道路上只有“起点”，没有“终点”，每一个起点都是生命的亮点， 让我们选择好每一个人生的起点，它们将成为我们生命的轨迹，成为人世间最美丽的风景线。 ? 40. 阅读下面材料，根据要求作文。 一位登山爱好者，在一次攀登雪峰的过程中，突然刮起了十级大风，漫天飞舞，能见度仅一米左右。此时登山爱好者不慎失去重心，摔落悬崖，幸好他一 把抓住了安全绳子，仅存一线生机的他死死抓住绳索，暗自哭喊着：“上帝，你救救我吧！”“可以，不过你要相信我所说的一切。”上帝怜悯道。“好！好！你说吧。”他惊喜万分。上帝顿了顿说：“你放下绳索，就可得救。”好不容易抓住这根救命绳索的登山者，

沿着湖边再往前，穿过紫藤架，右拐，是了，是遗址，大水法遗址。 ⑦想不到的是西洋楼遗址这儿，竟也有这许多的人!一群系着红领巾的孩子尖叫着互掷着石子，一群看来是高中生或是中专生的少男少女咬着棒棒糖儿在海宴堂遗址前高声唱着“对面的女孩走过来走过来”；几位看上去
似干部样的人笑眯眯地摆好阵势在镌刻着“圆明园”字样的大理石碑前照像，那捧着相机的说：笑!笑啊!这群人就腆着发福的肚皮蠢蠢地笑了。在大水法遗址前，就是那小时在书中看到，十年前在那儿哭泣的五根大罗马柱那儿，一对情侣旁若无人地拥抱亲吻! ⑧刹那，我有点不知所措。
溢着明媚的笑容，更加努力地学习，积极地去帮助别人。后来，这个女孩不仅是班里学习最好的一个，也是人缘最好的一个。 ⑨因为女孩子知道，同学们给她的是金钱所不能买到的善良和真诚。她们的友谊就像春天里最明媚的那一缕阳光，照射在她以后的人生道路上。 1.仔细阅读全文，
说说文章为什么要以“六个馒头”为题目？ 答：? 2.第③段a处和第⑥段b处加点词语分别表现了女孩子怎样的心情？请结合上下文分析。 a.眼圈红了：? b.眼圈红红的： 3.第⑤段中同学们说“其实还是学校食堂做的馒头好吃”，“馒头”真的好吃吗？同学们为什么这样说？ 答： 4.
Байду номын сангаас
壁残垣，还能提醒人们对一个多世纪前那场噩梦的记忆，那场中华民族的灾难与奇耻大辱?! ⑩该是来圆明园，天就要阴的。一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。剩下我一人，静静地，在洁白的石块上坐下，对着这大水法遗址，对着这华美残破的
罗马石柱，和苍天，和这些断壁残垣一起落泪哭泣…… 1、从下面两个选项中为本文选一个标题，并说明理由。 A、哭泣的圆明园
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《高中数学》
必修5

3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?
几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作
图的方法，作出长度为 a b 和 ab
2
的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,
（2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是 一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；
在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个 常数，求长与宽的乘积的最大值。
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，
y(m)，依题意有xy=100(m2)，
因为x>0，y>0，所以，x
2
y
≥
xy
因此，即2(x+y)≥40。
（4）连接AC，BC，CA，则 OC a b
2
CD ab
当a≠b时，OC>CD，即 a b ab
2
当a=b时，OC=CD，即
C
a b ab 2
a+b 2 ab
A
aO D b B
例1．已知ab>0，求证： b a ≥ 2 ，并 ab

6

1 6 1 2 64
高考链接
1、第24届前苏联数学奥林匹克竞赛题
设 a1,a2 ,,an是正数，且 a1 a2 an 1 ，
证明：a12 a22 an12 an2 ≥
a1 a2 a2 a3
an1 an an a1
回顾旧知
性质1 如果a>b那么b<a;如果b<a,那么a>b. 性质2 如果a>b且b>c,则a>c. 推论1 不等式中任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后，从不等式的 一边移到另一边。 我们把推论一叫做不等式的移项法则
推论2 如果a>b,c>d,则a+c>b+d 我们把a>b和c>d这类不等号方向相同
（a+b）/2-√ab=(a+b-2√ab)/2=(√a-√b)2/2≧0
（a+b）/2≧√ab.当且仅当√a=√b，即a=b时，等 号成立。
把这个结论通常称为均值不等式
对任意两个正实数a,b，数(a+b)/2叫做 a,b的算术平均值，数√ab叫做a,b的几何平 均值。
均值定理可以表述为：
两个正实数的算术平均值大于或等 于它的几何平均值。
注意均值不等式的几何解释，我们通常将其 说成“半径不小于半弦” 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的积为常数时，它们的积有最大值。
课堂练习
1、求y=sinx+5/sinx的最小值，[x∈（0，π）] 解：∵x∈（0，π）∴sinx＞0
又 y=sinx+5/sinx =sinx+1/sinx +4/sinx+≥2+1/sinx 当且仅当sinx=1/sinx即sinx=1 时，