有趣的一元二次不等式

一元二次不等式题型归纳总结：题型一 解含参一元二次不等式问题1、若二次项有参数，讨论等于0、大于0、小于02、判断相应方程是否有根，即求∆，讨论000<∆>∆=∆、、，（若可以因式分解，则不需求∆）3、方程若无实根或有一根，则直接写出解集；若有两根需讨论根的大小。

例1．解关于x 的不等式2ax －(a ＋1)x ＋1＜0.解：①当a ＝0时，不等式即－x ＋1＜0，解集为{x|x ＞1}．②当a ＞0时，不等式化为0)1)(1(<--ax x 即0)1)(1(<--ax x ，当a 11=，即1=a 时，不等式的解集为φ；当a 11>，即a ＞1时，不等式的解集为{x|a 1＜x ＜1}；当a 11<，即0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|1＜x ＜a1}；③当a ＜0时，不等式化为0)1)(1(<--ax x 即0)1)(1(>--ax x ，∵a＜0，∴a 1＜1， ∴不等式的解集为{x|x ＜a1或x ＞1}．综上所述：当a ＝0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|1＜x ＜a1}．当a ＞1时，不等式的解集为{x|a1＜x ＜1}；当a ＜0时，不等式的解集为{x|x ＜a 1或x ＞1}．例2.解关于x 的不等式：2ax －2x ＋1＞0.解：①当a ＝0时，不等式即－2x ＋1＞0，∴解集为{x|x ＜21}； ②当a ＞0时，a 44-=∆当0>∆即0＜a ＜1时 ，由于方程2ax －2x ＋1=0的两根分别为a a -+11、a a --11且aaa a -->-+1111∴不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>--<a a x a a x x 1111或 当0<∆即1>a 时，不等式解集为R.当0=∆即1=a 时，不等式解集为{x|x≠1}； ③当a ＜0时，044>-=∆a ，此时aaa a --<-+1111 ∴不等式的解集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>>--a a x a a x 1111 综上所述当a ＝0时，不等式的解集为解集为{x|x ＜21} 当0＜a ＜1时 不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>--<a a x a a x x 1111或 当1=a 时，不等式解集为{x|x≠1}当1>a 时，不等式解集为R.当a ＜0时，不等式的解集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+>>--a a x a a x 1111 练习（1）解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0. （2）解关于x 的不等式3x 2－mx －m ＞0.题型二 逆向求值问题例3已知关于x 的不等式2x ＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}， 求关于x 的不等式2bx ＋ax ＋1＞0的解集． 解:∵2x ＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}， ∴1,2是2x ＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系得 －a ＝1＋2，b ＝1×2，得 a ＝－3，b ＝2， 代入所求不等式，得22x －3x ＋1＞0. 由22x －3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜21或x ＞1. ∴2bx ＋ax ＋1＞0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＞x 或21＜x（把根代入对应方程或利用韦达定理求系数的值）练习：已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－2或x >－12}，求不等式ax 2－bx ＋c >0的解集．题型三 分式不等式的解法0)()(>x g x f 与⎩⎨⎧>>0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x f x g 同解；与0)()(>x g x f 同解； 0)()(<x g x f 与⎩⎨⎧><0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧<>0)(0)(x f x g 同解；与0)()(<x g x f 同解； 0)()(≥x g x f 与⎩⎨⎧≥>0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧≤<0)(0)(x f x g 同解；与⎩⎨⎧≥≠0)()(0)(x g x f x g 同解 ；0)()(≤x g x f 与⎩⎨⎧≥<0)(0)(x f x g 或⎩⎨⎧≤>0)(0)(x f x g 同解；与⎩⎨⎧≤≠0)()(0)(x g x f x g 同解 例4 (1)x ＋21－x <0；(2)x ＋1x －2≤2. 解:(1)由x ＋21－x <0得x ＋2x －1>0，等价于(x ＋2)(x －1)>0，∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．(2)法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎨⎧≥--≠-0)2)(5(02x x x ∴x <2或x ≥5. ∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．法二：原不等式可化为x －5x －2≥0，此不等式等价于⎩⎨⎧x －5≥0，x －2>0，① 或 ⎩⎨⎧x －5≤0，x －2<0，②解①得x ≥5，解②得x <2，∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．注：1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．练习：解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0；(2)2x －13－4x >1.题型四 不等式恒成立求参数问题（一）利用二次函数的判别式对于二次函数()0)(2≠++=a c bx ax x f ，有0)(>x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧><∆00a ； 0)(<x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧<<∆00a；0)(≥x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧>≤∆00a ； 0)(≤x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧<≤∆00a；（注：讨论二次项的系数是否为0）（二）转化为求函数的最值1、直接利用二次函数单调性求最值2、先分离参数（把不等式中的参数t 与未知数x 分离出来, 得到)(x f t >或)(x f t <），再利用单调性求最值。

50道一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中一个重要的主题，它可以帮助学生们深入理解一元二次方程的性质，浅析它的解的性质，以及如何求解一元二次方程。

本文将介绍50道一元二次不等式，来帮助学习者在解决高中数学中一元二次不等式题目中，掌握正确的方法，熟悉数学基本概念，充分理解一元二次方程的概念。

首先，来看一元二次不等式的定义。

一元二次不等式是指用一元二次函数的方程来表示的不等式，即形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的不等式，其中a≠0。

这种不等式虽然和一元二次方程类似，但它们有不同的解法，因此需要学习者根据不等式本身的特点，运用相应的方法来解决问题。

下面就一一给大家介绍50道一元二次不等式。

1. 2x2-3x-4>02. 3x2+4x-5≤03. 4x2-2x+1<04. 5x2-7x-3≥05. 6x2+8x+2>06. 7x2-5x-6≤07. 8x2+9x-1<08. 9x2-4x+3≥09. 10x2-2x+4>010. 11x2+5x-2≤011. 12x2-3x+1<013. 14x2+6x+3>014. 15x2-2x-4≤015. 16x2+4x-2<016. 17x2-3x+3≥017. 18x2+8x-1>018. 19x2+2x-4≤019. 20x2-5x+2<020. 21x2+7x-3≥021. 22x2-9x+4>022. 23x2-4x-1≤023. 24x2+5x+2<024. 25x2-6x-3≥025. 26x2-7x+1>026. 27x2+2x-5≤027. 28x2+3x+2<028. 29x2-8x-3≥029. 30x2+4x-1>030. 31x2-2x+4≤031. 32x2+6x-2<032. 33x2-5x+3≥033. 34x2-4x-4>035. 36x2+8x+2<036. 37x2-3x-3≥037. 38x2+9x+4>038. 39x2-2x-5≤039. 40x2-7x+2<040. 41x2+5x-3≥041. 42x2+4x+1>042. 43x2-8x-4≤043. 44x2-6x+2<044. 45x2+3x-3≥045. 46x2+2x-1>046. 47x2-5x+4≤047. 48x2-9x-2<048. 49x2+7x-3≥049. 50x2+8x+4>050. 51x2-4x-5≤0以上就是50道一元二次不等式，做完这50道题，学习者可以掌握相关技巧，了解一元二次不等式的解法，以及如何带入方程解决问题。

一元二次不等式基础题50道加解析摘要：一、一元二次不等式的基本概念和解题方法1.一元二次不等式的基本概念2.一元二次不等式的解题方法二、一元二次不等式的基本题型及解析1.题型一：ax+bx+c>0（或<0）2.题型二：ax+bx+c=03.题型三：ax+bx+c=k三、50 道一元二次不等式基础题及解析1.题目1-题目102.题目11-题目203.题目21-题目304.题目31-题目405.题目41-题目50正文：一、一元二次不等式的基本概念和解题方法一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0（或<0）的不等式，其中a、b、c 为常数，且a≠0。

它是初中数学中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维能力和解题能力具有重要意义。

解一元二次不等式的基本方法有以下几种：1.因式分解法：将一元二次不等式化为两个一次因式的积，然后根据两因式的正负性来确定原不等式的解集。

2.求根公式法：对于ax+bx+c=0，可以利用求根公式求出方程的两个根，然后根据两根的大小关系来确定原不等式的解集。

3.图形解法：将一元二次不等式表示为二次函数y=ax+bx+c（a>0）的图象，然后根据图象与x 轴的交点情况来确定原不等式的解集。

二、一元二次不等式的基本题型及解析1.题型一：ax+bx+c>0（或<0）解这类题目，首先要判断二次项系数a 的正负性。

当a>0 时，二次函数y=ax+bx+c 的图象开口向上，原不等式的解集为二次函数图象在x 轴上方的部分；当a<0 时，二次函数y=ax+bx+c 的图象开口向下，原不等式的解集为二次函数图象在x 轴下方的部分。

2.题型二：ax+bx+c=0解这类题目，可以利用求根公式求出方程的两个根，然后根据两根的大小关系来确定原不等式的解集。

若方程有两个实根，则原不等式的解集为使方程成立的x 值所在的区间；若方程有两个虚根，则原不等式的解集为空集。

一元二次方程不等式的求根公式一元二次方程不等式，听起来是不是有点高深莫测？其实啊，这就像是一道美味的菜，虽然名字听起来复杂，但只要你会做，保准能让人赞不绝口。

我们先来聊聊什么是一元二次方程。

说白了，就是形如ax² + bx + c = 0 的方程。

这其中，a、b、c 都是数字，x 是我们要找的未知数。

哎呀，这个 x 可真是个调皮的小家伙，总是藏在方程里等着我们去找。

你可能会问，为什么要找它呢？因为 x 是我们解题的关键，就像小鸟在树上唱歌，只有找到它，才能听到动人的旋律。

然后，我们进入不等式的世界。

简单来说，不等式就是表达大小关系的方程。

比如，x > 3，意思是 x 比 3 大，简单吧？这个不等式也让人头疼，因为我们需要找到满足这个条件的 x 值。

这就像在找一条合适的裤子，太大了不行，太小了也不行，得刚刚好！一元二次方程的不等式就是要找出一系列的 x 值，让它们既能满足二次方程的条件，又能符合我们的不等式。

想象一下，咱们面对一元二次不等式时，就像在解谜。

你得先找到方程的根。

这一步就像是揭开了谜底，原来 x 的可能性有很多！使用求根公式，x = (b ± √(b² 4ac)) /2a，这样的公式让人感觉很神秘。

可是，别担心，咱们可以一步一步来，把它搞清楚。

算出b² 4ac，这个东西叫做判别式。

它就像是一道门，打开了就能进，关上了就得另想办法。

要是判别式大于零，咱们会找到两个不同的根；如果等于零，那就只有一个根；如果小于零，哎，那就没门了，得想别的办法。

然后，我们再根据这些根去判断不等式的解。

这个过程就像是开车，得注意交通信号灯。

我们要画出数轴，把根标上去。

然后，根据不等式的方向，咱们可以分出哪些区间是符合条件的。

你一定觉得有点晕了吧？没关系，放轻松，就像在玩游戏一样，慢慢来就好。

咱们总结一下。

想要解决一元二次方程的不等式，得先找到根，接着画出数轴，最后就能轻松找到解。

一元二次不等式6种解法大全一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0的二次不等式，其中a、b、c为实数，a≠0。

这种不等式的解法有很多种，下面我将介绍其中的六种解法。

解法一：使用因式分解法。

对于形如(ax+b)(cx+d)>0或(ax+b)(cx+d)≥0的一元二次不等式，可以尝试将其因式分解为两个一次因式相乘的形式，然后根据不等式的性质讨论各个因式的取值范围，从而求得不等式的解。

解法二：使用它的图像解法。

将一元二次不等式对应的二次函数的图像画出来，然后根据图像的特点来确定使得函数大于0（或大于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。

解法三：使用开平方法。

对于形如x²+a≥0或x²+a>0的一元二次不等式，可以通过开平方的方法来求解。

首先将不等式移到一边，得到一个完全平方的形式，然后对不等式两边同时开平方，得到关于x的两个二次方程，根据二次方程的性质来求解。

解法四：使用代数求解法。

对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0，可以将其转化为一个关于x的二次方程ax²+bx+c=0的解的范围问题。

求得这个二次方程的解，然后根据这些解的范围来确定不等式的解。

解法五：使用数轴法。

将一元二次不等式对应的二次函数的图像画在数轴上，然后根据函数的凸性来确定函数取正值的x的取值范围，即为不等式的解。

解法六：使用区间法。

将一元二次不等式移项，化成形如ax²+bx+c<0或ax²+bx+c≤0的不等式，然后求出二次函数的零点，并根据二次函数的凸性来确定函数小于0（或小于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。

以上是关于一元二次不等式的六种解法，每种解法都有其独特的思路和方法。

在实际的解题过程中，可以根据具体的题目情况选择合适的解法来求解，以提高解题效率和准确性。

《一元二次不等式解法》教学设计一、教学目标【知识与技能】掌握一元二次不等式的概念和一元二次不等式的解法，并且会有函数图像帮助解题。

【过程与方法】通过独立思考和小组交流的方式，提高自身的独立解决问题和善于交流的能力。

【情感态度与价值观】通过公式的归纳、推断和图形结合等一系列过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的学习兴趣。

二、教学重难点【重点】从实际情景中抽象出一元二次不等式的模型，一元二次不等式的解法。

【难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

三、教学过程(一)导入新课-温故知新导入新课师：在上节课我们学习了一元二次不等式的概念，同学们还记得什么是一元二次不等式吗?生：自由回答师：对，形如x2-2x-3<0,像这样含有一个未知数，并且未知数最高次数是二的不等式，叫做一元二次不等式。

大家都记得非常牢固，我们都是知道一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次函数的根就是相应的二次函数的图形与X轴交点的横坐标，那么一元二次不等式与相应的二次函数是否也有相应的联系呢?今天我们就来一起探讨下二者之间的联系-一元二次不等式的解法。

(二)探究新知1.探究一元二次不等式对应的函数的图像与一元二次不等式得解的师生活动：教师引导学生分析问题解决的思路——带领学生一起去分析出一元二次不等式和相应函数的关系。

学生说出解析过程，教师板书。

:追问1：大家观察一下这个图，看看你发现了什么?生：观察图3-2-1，可以看出，一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图像(抛物线)位于x轴上方的点所对应的x值的集合。

师：因此，求解一元二次不等式可以先求解相应的一元二次不等式的方程，确定抛物线与x轴的交点的横坐标，再根据图像写出不等式的解集。

追问2：下面我们来求解下不等式x2-2x-3<0,大家先思考下1分钟，然后前后四人为以小组，10分钟的时间讨论下这个问题，这道题我们要如何去做呢?说出详细的步骤?生：当X变化时，不等式的左边可以看作是X的函数，确定满足不等式x2-2x-3<0的X，实际上就是确定X的范围，也就是确定函数y= x2-2x-3的图像在X轴下方时，其X的取值范围。

含参一元二次不等式的解法教学反思今天咱们聊聊一元二次不等式的解法，哎呀，这可是个大话题。

很多同学一听到一元二次，就像见到鬼似的，紧张得不行。

其实这玩意儿没那么可怕，咱们只要用点儿心思，就能把它搞定。

你看啊，一元二次不等式就像是那种古老的宝藏，得找对钥匙才能打开。

先别急，咱们慢慢来。

首先啊，咱们得明白什么是一元二次不等式。

说白了，就是形如ax² + bx + c > 0，或者是小于零的那种。

大伙儿一看这个公式，心里就开始打鼓了。

但只要把它变成方程，求出根，就能轻松搞定。

真是这样，跟泡方便面差不多，先煮水，再放面，最后加调料，嘿，没几分钟就能吃上热腾腾的面条。

咱们说说求根。

找到根之后，咱们就能把数轴划分开来。

很多同学可能会觉得，划数轴这事儿有点儿麻烦，实际上，划分区间就像给生活定个规矩，哪儿能去，哪儿不能去，一目了然。

你想啊，画个数轴，根在中间，然后左边和右边的区间就出来了。

像是在街头巷尾，哪条路通，哪条路堵，咱们一看就懂。

把根点标上，像给朋友贴上标签，方便多了。

再咱们得判断每个区间的符号。

这步可有趣了。

就像选球队，看看哪边的表现好。

咱们可以随便选个数代入，看看它满足不满足不等式。

小心别选错了，选一个合适的，像是碰到好朋友，那感觉简直不要太爽。

代入后，看看符号对不对，嘿，这样就能确定区间的符号了。

这个过程就像在玩解谜游戏，找到线索，最终拼凑出完整的图案。

哎呀，说到这里，我觉得这玩意儿真是像个迷宫。

越往里走，越能发现惊喜。

有的同学可能在这个时候觉得有点晕了，别急，慢慢来，分清楚方向就好。

咱们要清楚，不等式的解集，就是咱们最终要找的“宝藏”，只要小心翼翼，不要走错路，迟早能找到。

有些同学对不等式的解集形式有点儿迷茫。

你别担心，这就像选择菜单上的菜品。

有的同学喜欢精确的点，有的喜欢大致的概念，咱们要因人而异。

解集可以用开区间、闭区间或者是不等式的形式表示，关键是要搞清楚怎么写，像把地址写清楚，才能送到位。

[基础巩固]1．不等式x －2x －1≥0的解集是( ) A ．{x |x ≥2}B ．{x |x ≤1或x ＞2}C ．{x |x ＜1}D ．{x |x ＜1或x ≥2}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≥0，x －1≠0， ∴x ≥2或x ＜1，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ≥2}．答案 D2．若x 2－2ax ＋2≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－2＜a ≤ 2B ．－2＜a ＜ 2C ．－2≤a ＜ 2D ．－2≤a ≤ 2解析 Δ＝(－2a )2－4×1×2≤0，∴－2≤a ≤ 2.答案 D3．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. 答案 C4．不等式1x －1≥－1的解集是________． 解析 1x －1≥－1⇔1x －1＋1≥0⇔x x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x －1≠0， ∴不等式的解集是{x |x ≤0或x ＞1}．答案 {x |x ≤0或x ＞1}5．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．解析 由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案 m ≥436．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件．(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值？(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值？解析 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为2≤P ≤6.(2)设销售金额为S ，则S ＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数，∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额为4800万元．(3)∵0<P <8，设税收金额为G ，则G ＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．[能力提升]7．(多选)若命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则实数a 可以是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则其否定为“∀实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0成立”是真命题，当a ＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立；当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0， 解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.故选B 、C 、D.答案 BCD8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．{x |15≤x ≤30}B ．{x |12≤x ≤25}C ．{x |10≤x ≤30}D ．{x |20≤x ≤30} 解析 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40， ∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.答案 C9．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合为________．解析 (1)当a ＝0时，满足题意．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0， 解得0<a ≤4.综上可知，a 值的集合为{a |0≤a ≤4}．答案 {a |0≤a ≤4}10．关于x 的方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0.(1)m 为何实数时，方程有两正实数根？(2)m 为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？解析 解法一 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ＝4(m ＋2)2－4(m 2－1)≥0，x 1＋x 2＝2(m ＋2)>0，x 1x 2＝m 2－1>0，解得－54≤m ＜－1或m >1， 即m 的取值范围是－54≤m ＜－1或m >1. (2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2＝m 2－1<0， 解得－1<m <1.所以m 的取值范围是－1<m <1.解法二 (1)设y ＝x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1，因为方程有两正实数根，所以函数图象如图甲所示，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－b 2a ＝m ＋2>0，m 2－1>0，解得m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－54≤m ＜－1，或m >1.甲 乙(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图乙，由题意知，满足f (0)<0⇒m 的取值范围是{m |－1＜m ＜1}．[探索创新]11．某热带风暴中心B 位于海港城市A 南偏东60°的方向，与A 市相距400 km ，该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解析 如图，以A 市为原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系．∵AB ＝400，∠BAx ＝30°，∴台风中心B 的坐标为(2003，－200)，x h 后台风中心B 到达点P (2003，40x －200)处．由已知，A 市受台风影响时，有AP ≤350，即(2003)2＋(40x －200)2≤3502，整理得16x 2－160x ＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x ≤6.25，A 市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．故在3.75 h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。