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用圆锥曲线的定义求解一类绝对值不等式广州市花都区第二中学 510800 杨伟达我们知道，点）（00,y x 在椭圆12222=+b y a x 内，则有1220220≤+b y a x ，其中a x a ≤≤-0，b y b ≤≤-0.简称为“夹中间”；点）（00,y x 在椭圆12222=+by a x 外，则有122220>+b y a x ，其中a x a x >-<00或，b y b y >-<00或.简称为“两边开”； 同样，点）（00,y x 在双曲线12222=-b y a x 内，则有1220220≥-by a x ，其中a x a x ≥-≤00或，b y b y ≥-≤00或.简称为“两边开”；点）（00,y x 在双曲线12222=-by a x 外，则有122220<-b y a x ，其中a x a <<-0，b y b <<-0.简称为“夹中间”. 同理，类似的椭圆类不等式a c x 2c x ≤++-（c a >）的解为a x a ≤≤-或a 2c x c -x ≥++（c a >）的解为a x a x ≥-≤或；类似的双曲线类不等式a c x c x 2≤+--（c a <）的解为a x a x ≥-≤或或a c x c x 2≥+--（c a <）的解为a x a ≤≤- .问题的核心都在于求出圆锥曲线的中心、顶点的坐标.一、椭圆类不等式1 .形如(如图1A)： a 2MF MF 21≤+ （a F F 221<）表示椭圆类不等式，它的的解集{}B Ax x xx ≤≤.简称为“夹中间”.2 .形如(如图1B)： a 2MF MF 21≥+（a F F 221<）表示椭圆类不等式，它的的解集 {}BAx x x x x ≥≤或.简称为“两边开”． 例1．(2014·广东高考9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．【分析】此题为椭圆类不等式．问题关键：用椭圆的定义求出它的中心、顶点即可． 解：根据椭圆类不等式2a=5,2c=1-(-2)=3，中心为21-22-1=+=）（x图1 A图1B解得：23,25==c a 如图2所示：2-1=F ，12=F3-2521-=-=A x ，225--21-==）（B x∴ 不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为{}23-≥≤x x x 或．3 .特别地（如下图3），当m F F =21，)(MF MF 21常数m =+不再表示椭圆，而动点M 是线段21F F 内的任一点，简称为“夹中间”.在涉及到不等式m <+21MF MF 表示三边不能构成三角形，所以不等式的解集为φ；m ≥+21MF MF 表示三边可构成三角形，用三角形两边之和大于第三边推导，所以不等式的解集为R ．例2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x)≤g(x)，求a 的取值范围．【分析】第一问：若采用分类讨论比较复杂、易错，若把它看成椭圆类不等式，简单易懂；第二问：化简后，在某区间内满足含参绝对值不等式，并发现其区间端点恰好为函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|的零点.因此，此题属于椭圆类不等式的特殊情况，根据椭圆类不等式的特殊情况可知：焦距等于常数.解：(1)依题可知：当a ＝－2时，原不等式转化为：|2x －1|＋|2x-2|≤x＋3即：|x －21|＋|x-1|≤)3(21+x ，把)3(21+x 看成a 2,则此题看作椭圆类不等式 )3(212+=x a ,212112=-=c ，中心为432211=+=x 解得：43+=x a ，41=c如图4所示：11=F ，212=F4-43x 43x x A =+-=，464343+=++=x a x B∴ 不等式|x －21|＋|x-1|≤)3(21+x 的解为464+≤≤-x x x ∴|2x －1|＋|2x-2|≤x＋3的解集为{}20≤≤x x .∙∙ ∙ F 2 F 1 O图3图2图4(2)依题可知：原不等式转化为： 当a>－1，当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时， |2x －1|＋|2x ＋a|≤x＋3成立即：当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时， |x －21|＋|x ＋2a |≤)3(21+x 成立经检验21,2a -分别是函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|的零点 我们不妨设绝对值m ax x =++-221，如右图5 21F ,2F 21=-=a ，绝对值等式的解为x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12∴ 绝对值等式不再表示椭圆，而是线段21F F 内的任一点 ∴ m aa =+=--=21)2(21F F 21 又∵ a>－1 ∴m a=+21 又∵不等式f(x)≤g(x)即有：)3(2121+≤+x a 可化为：31+≤+x a . ∴2-≥a x 对x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立∴ －a 2≥a －2，即a≤43.例3．(2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1. (1) 当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)略.【分析】化简后此题属于椭圆类不等式.根据椭圆的定义可求中心、顶点将问题解决. 解：(1)当a ＝2时，函数f(x)＝|x －2|∴ 原不等式f(x)≥4－|x －4|转化为|x －2|≥4－|x －4| 即有：|x －2|+|x －4|≥4根据椭圆类不等式2a=4,2c=4-2=2，中心为3242=+=x .解得：1,2==c a 如图6所示：21=F ，42=F123=-=A x ，523=+=B x∴ 不等式f(x)≥4－|x －4|的解集为{}51≥≤x x x 或二、双曲线类不等式图6∙∙ ∙ F 2F 1 2-1a图51 .形如(如图7A)：a MF MF 221≤- （a F F 221>）表示双曲线类不等式，它的解集为{}B Ax x xx ≤≤.简称为“夹中间”.2 .形如(如图7B)： a MF MF 221≥-（a F F 221>）表示双曲线类不等式，它的解集为{}BAx x x x x ≥≤或.简称为“两边开”.例4．(2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1.(1) 略.(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a 的值． 【分析】这是一道关于绝对值得函数题.变形后变为含参数的绝对值不等式，观察到此题是双曲线类不等式，不妨找中心、找顶点，与已知解集采用数形结合可将问题解决.解：(1)略.(2) ∵ f(x)＝|x －a|，其中a ＞1.∴ 将不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2转化为︱|x|-|x －a|︱≤1 根据双曲线类不等式2a=1,2c=a-0，中心为220aa x =+= 解得：2,21ac a ==如图8所示：01=F ，a F =221212-=-=a a x A ，21212+=+=a a x B ∴ 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121a x a x由题的条件可知：不等式的解集为{x|1≤x≤2} ∴121=-a ，221=+a ∴ 3=a ．3 .形如(如图9A ，9B)：a 2MF MF 21≤-或a 2MF MF 21≥-（a F F 221>）表示双曲线类不等式的右支，它的解集分别为{}B x x x ≤或{}B x x x ≥．图8例5．（2012·广东9）不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．【分析】此类绝对值不等式是双曲线类不等式．因式子|x ＋2|长度较长，-2<0, 因此可判断双曲线类不等式的右支．解题的关键是求中心、顶点．解：因左焦点-2在先，|x ＋2|长度比较长，因此本题属于双曲线类不等式的右支． 根据双曲线类不等式2a=1,2c=0-（-2）=2，中心为1-22-0=+=）（x 解得：1,21==c a 如图10所示：2-1=F ，02=F23-21-1-==A x ，21-211-=+=B x∴ 不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21-x x .例6．（2013·山东14)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________．【分析】此题是关于长度的几何概型的概率题．该事件所包含总长度为6，满足条件事件是一个绝对值不等式，需要先求绝对值不等式的解．解：因左焦点-1在先，|x ＋1|长度比较长，因此不等式|x ＋1|－|x －2|≥1属于双曲线类不等式的右支．根据双曲线类不等式2a=1,2c=2-（-1）=3，中心为21221-=+=x 解得：23,21==c a 如图11所示：-11=F ，22=F021-21==A x ，12121=+=B x ∴ 不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为{}1≥x x ∴ 在区间[－3,3]解得：1≤x ≤3 根据几何概型原理：故所求的概率为313--31-3=）（.4 .形如(如图12A ，12B)：a 2MF MF 12≤-或a 2MF MF 12≥-（a F F 221>）表示双曲线类不等式的左支，它的解集分别为{}A x x x ≥或{}A x x x ≤.图115 .特别地（如下图13），当m F F =21，)(MF -MF 21常数m =不再表示双曲线，而动点M 表示以21F F ，为顶点的射线，简称为“两边开”.在涉及到不等式m ≤21MF -MF 表示三边可构成三角形，用三角形两边之差小于第三边推导，所以不等式的解集为R ； 不等式m >21MF -MF 表示三边不能构成三角形， 所以不等式的解集为φ．三、抛物线类不等式形如：d ≤MF 或d ≥MF 表示抛物线类不等式.由于抛物线只有一个顶点，所以不等式的解集显得简单些，结果要么左边开要么右边开.形如：)(n m n x m x <-≤-解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤2n m x x ；)(n m n x m x <-≥-解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥2n m x x .总之，对于圆锥曲线类不等式，通过圆锥曲线的定义求得它的中心、顶点，再画图、用图，求解简单、易懂.它一方面绕开了分类讨论，另一方面避免运算繁杂造成的错误，不但加深了圆锥曲线定义的理解，而且对绝对值不等式有了新的认识.∙ ∙ ∙ F 2F 1 O 图13。
构造圆锥曲线模型巧解不等式作者：冯作维张国彬来源：《中学教学参考·理科版》2013年第03期数学思想是数学的灵魂.在平时学习的过程中，数学思维的发散与收敛，知识的外延和内涵训练都是培养学生思维的好方法.根据数学知识的框架特征，建立知识之间的联系，往往可以使得解题方法新颖别致、独到创新.现以一些不等式的解法为例加以说明.一、构造椭圆模型，巧解一类含绝对值的不等式【例1】解不等式：|x-2|+|x+2|≥5.分析：该不等式是含两个绝对值符号的不等式，这类不等式可使用零点划分区间法、构造函数法、几何意义法等.那么根据绝对值的定义可知，该不等式的含义是数轴上的点x到两定点（-2，0）和（2，0）的距离之和大于等于5.这也恰好符合椭圆的定义，用椭圆的知识来解释该不等式就是代表椭圆及其椭圆外部的x的取值范围，利用椭圆的有界性便可轻松求解.解：不等式|x-2|+|x+2|≥5的含义是数轴上的点x到两定点（-2，0）和（2，0）的距离之和大于等于5.根据椭圆的定义可知c=2，a=52，∴a2=254，b=94，因此椭圆的方程为x2254+y294=1.根据椭圆的有界性可得x≤-52或x≥52，∴不等式的解集为{x|x≤-52或x≥52}.二、构造双曲线模型，巧解一类含绝对值的不等式【例2】解不等式：|x-5|-|x+5|≤8.分析：根据绝对值的定义可知，该不等式的含义是数轴上的点x到两定点（-5，0）和（5，0）的距离之差小于或等于8.这也恰好符合双曲线的定义，用双曲线的知识来解释该不等式就是代表双曲线右支的x的取值范围，利用双曲线的有界性便可求解.解：不等式|x-5|-|x+5|≤8的含义是数轴上的点x到两定点（-5，0）和（5，0）的距离之差小于或等于8.根据双曲线的定义可知c=5，a=4，∴b=3.因此双曲线方程为x216-y29=1（x>0）.由双曲线的有界性可得x≥4，∴不等式的解集为{x|x≥4}.三、构造抛物线模型，巧解一类无理不等式【例3】已知a∈R，求证：a4-3a2-6a+13-a4-a2+1≤10.分析：该不等式含有两个根式，并且根号内表达式的次数高达4次，因此求解起来特别的困难.根据数学化繁为简的整体思想，将其配方降幂，其左端可变形为（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，此不等式的几何意义是抛物线y=x2上点P（a，a2）到点A（3，2）与到点B（0，1）距离之差的最大值是10.解：根据不等式的结构，可以将其左端变形为（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，此不等式的几何意义是抛物线上点P（a，a2）到点A（3，2）与到点B（0，1）距离之差的最大值是10.∵A（3，2），B（0，1），∴|AB|=10.由图可知||PA|-|PB||≤|AB|=10，因此原不等式得以证明.在学习数学的过程中，若能根据数学表达式的结构特征，挖掘其蕴含的内在意义，不但能优化解题过程，而且还可以大大提高思维能力.（责任编辑金铃）。
用焦半径解题5则圆锥曲线焦半径公式是圆锥曲线的重要性质之一，若能巧妙运用它解题，会达到事半功倍的效果。
例1. 点P 是椭圆2222y x a b 1+＝（a ＞b ＞0）上任意一点，F 1，F 2是两个焦点，求12PF .PF 的取值范围. 解：设P(x 0,y 0)则 1020PF a+ex PF a-ex ＝，＝ 所以 222120PF .PF a e x ＝－因为 x 0∈[]a a －，所以 2212PF .PF b a ⎡⎤∈⎣⎦，例2. 若抛物线y 2＝2Px （P ＞0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是（ ）.A.成等差数列B.既成等差数列又成等比数列C.成等比数列D.既不成等差数列也不成等比数列解：令三点坐标为P 1（x 1，x 2），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）则有y 12＝2px 1，y 2＝2px 2，y 3＝2px 3因为 y 12+y 32＝2y 22所以 x 1+x 3＝2x 2 ①由抛物线的焦半径，知p p p 112233222x PF x P F x P F ---＝，＝，＝ 由①可得 123PF P F P F +＝故三点的焦半径成成等差数列.选（A ）.例3. 定长为L （L ＞22b a）的线段AB 的端点在双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2的右支上，求AB 中点M 的横坐标的最小值。
解：设A(x 1，y 1)，B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）由焦半径公式，知 12AF ex a BF ex a ＝－，＝－，所以 AF BF ＋＝e （x 1+x 2）－2a ＝2ex 0－2a ，因为 L ＝0AB AF BF 2ex 2a ≤+＝－所以 x 0≥22L+2a2e 2a b ＋＝. 例4. 已知点P 是椭圆2222y x a b 1 +＝（a ＞2b ）上的任一点，F 1，F 2是左、右焦点，当点P 的横坐标为何值时∠F 1PF 2＝90.解：设P （x 0，y 0）是椭圆2222y x a b 1 +＝（a ＞2b ）上的任一点，则 1020PF a+ex PF a ex ＝，＝－ 若∠F 1PF 2＝900，则PF 1⊥PF 2 ，2221212PF PF FF ＋＝ 所以 x 02＝22222a b a a b （－2）－ 故 当x 0＝2222a 2b a b a ±－－时，∠F 1PF 2＝900. 例5. 已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1、、F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点.P 为两曲线的一个交点，若12PF PF e ＝，求e 的值.解：设P （x 0，y 0），由抛物线和椭圆的焦半径公式，知 1020PF a+ex PF a ex ＝，＝－，20PF x 3c +＝. 由题意，知：00a+ex a+ex ＝e ，且a －ex 0＝x 0+3c 所以 0a+ex x+3c ＝e即 a+ex 0＝ex 0+3ce于是 a c 3c a e ＝＝，a ＝3c故 3e ＝练习 若点P 是双曲线2222y x a b 1－＝上任意一点，F 1，F 2是两个焦点，求12PF .PF 的取值范围.。
