下载文档原格式
基本不等式知识点基本不等式是数学中的重要概念，它可以帮助我们判断数值大小关系，是各种不等式的基础。
在本文中，我们将介绍基本不等式的相关知识点，包括基本不等式的定义、证明方法、应用以及一些例题分析等方面。
1. 基本不等式的定义基本不等式也称为“平均数不等式”，它是数学中一个基本但又重要的不等式。
对于任意的正数 a1、a2、…、an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n其中n表示正整数。
基本不等式描述了一组数的算术平均数和它们的几何平均数之间的关系。
可以看出，算术平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。
2. 基本不等式的证明方法基本不等式的证明方法有很多种，下面列举一种简单易懂的证明方法。
首先，对于所有正数x，y，由均值不等式可得：(x + y) / 2 ≥ √(xy)⇒ x + y ≥ 2√(xy)接着，考虑一个序列a1，a2，……，an，它们的乘积为p。
对于每一对(aj，ak)，有：aj + ak ≥ 2√(ajak)即：a1 + a2 ≥ 2√(a1a2)a1 + a2 + a3 ≥ 3√(a1a2a3)a1 + a2 + … + an ≥ n√(a1a2…an)我们可以将上述不等式相乘，得到：(a1 + a2) * (a3 + a4) * … * (an-1 + an) ≥ 2n/2* √(a1a2) * 2n/2 * √(a3a4) * … * 2n/2 * √(an-1an) 即：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n故基本不等式得证。
3. 基本不等式的应用基本不等式在数学中应用广泛，以下列举几个经典的例子。
（1）一种常见的问题是，给定一个定值的周长，什么形状的图形可以使面积最大。
答案是正方形，因为在所有形状中，正方形的面积和周长之比最大，这个比值为4π。
基本不等式一.基本不等式证明及几何意义例如对任意实数x ，y ，(x-y)2≥0总是成立的，即x 2-2xy+y 2≥0，所以222y x +≥xy ，当且仅当x=y 时，等号成立，并进一步得2ba +≥ab (a ＞0，b ＞0)，这是非常重要的一个不等式. 我们常把2ba +叫作正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫作正数a 、b 的几何平均数，因此，基本不等式又被称为均值不等式，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 成立的条件是a 、b 为正实数，等号成立的条件是当且仅当a 、b 相等.接下来我们对基本不等式的几何意义作进一步探究.图1 图2如图1，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b.过点C 作垂直于AB 的弦DD′，连结AD 、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？容易证明△ACD ∽△DCB.所以可得CD=ab .或由射影定理也可得到CD=ab .从图中我们可直观地看到ab 表示的是半弦长， 2ba +表示的是半径长.由于半弦长不大于半径长，即CD 小于或等于圆的半径，用不等式表示为2ba +≥ab . 显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a=b 时，等号成立.【例1】 设a ，b 均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+.证明：因a ，b 均为正数，由基本不等式，可知211b a +≥ab 1，也即ab ≥ba 112+，当且仅当a=b 时，等号成立.下面给出这个不等式的一种几何解释. 如图2，设AC=a ，CB=b ，CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ，过C 作CE ⊥OD 交OD 于E ， 在Rt △OCD 中，由射影定理，可知DC 2=DE·OD ，即DE=ba b a ab ODDC 11222+++=. 由DC≥DE ，得ab ≥b a 112+，当且仅当a=b 时，等号成立.【例2】 已知x ，y 都是正数，求证: (1)yxx y +≥2; (2)(x+y)(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3. 证明:(1)∵x 、y 都是正数， ∴y x >0，x y >0.∴y x +x y ≥2xyy x ∙=2，即y x +x y ≥2.(2)∵x 、y 都是正数， ∴x 2>0，y 2>0，x 3>0，y 3>0. ∴x+y≥xy 2>0，x 2+y 2≥2xy>0，x 3+y 3≥233y x >0.由不等式的性质，得(x+y)(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥xy 2·2xy·2x 3y 3=833y x ，即(x+y)(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3.点评:不等式成立的条件，往往是学生容易忽视的.【变式训练】已知a 、b 、c 都是正实数，求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8ab. 证明:∵a>0，b>0，c>0， ∴a+b≥2ab >0，b+c≥2bc >0，c+a≥2ca >0. ∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab ·2bc ·2ac =8abc ， 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.例3 若a>b>1，P=b a lg lg ∙，Q=21(lga+lgb)，R=lg 2b a +，则( ) A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q解析:∵a>b>1，∴lga>lgb>0.∴21(lga+lgb)>21·2b a lg lg ∙，即Q>P. 又∵2b a +>ab ， ∴lg 2b a +>lg ab =21(lga+lgb). ∴R>Q.故P<Q<R. 答案:B【变式训练】（2007广东东莞）若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P=ab+cd ，Q=ax+cy·ydx b cy ax +∙+，则( ) A.P=Q B.P≥Q C.P≤Q D.P≥Q 解析:∵a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，∴Q=ydx b cy ax +∙+=xbcyy abx cd ab +++≥abcdcd ab 2++=ab +cd =P.答案:C二. 基本不等式与最值不等式2ba +≥ab (a>0，b>0)是解决最大(小)值问题的有力工具. 引例：你可以把一段16 cm 长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为4 cm 的正方形;长5 cm 宽3 cm 的矩形;长6 cm 宽2 cm 的矩形……，你会发现边长为4 cm 的那个正方形的面积最大. 在面积为16 cm 2的所有不同形状的矩形中，边长为4 cm 的那个正方形的周长最小. 这表明，x ，y 都为正数时，下面的命题成立:(1)若x+y=s(和为定值)，则当x=y 时，积xy 取得最大值42s ;(2)若xy=p(积为定值)，则当x=y 时，和x+y 取得最小值2p .【例1】 设x ，y 为正实数，且2x+5y=20，求u=lgx+lgy 的最大值. 解:因为x ＞y ，y ＞0，所以由基本不等式，得xy y x yx 1052252=∙≥+. 由于2x+5y=20，所以xy 10≤10，即xy≤10.当且仅当2x=5y 时，等号成立，因此有⎩⎨⎧==+.52,2052y x y x解得x=5，y=2. 当x=5，y=2时，xy 有最大值10. 这样 u=lgx+lgy=lgxy≤lg10=1. 所以，当x=5，y=2时，u=lgx+lgy 有最大值1.点评：利用本小节命题求最大值或最小值时，应注意： “一正、二定、三相等”.【变式训练】设0<x<2，求函数f(x)=)3-(83x x 的最大值，并求相应的x 值.试问0<x<34时，原函数f(x)有没有最大值?0<x≤1时，f(x)有没有最大值?若有，请你求出来;若没有，请你说明理由. 解:∵0<x<2，∴8-3x>0. ∴f(x)=)38(3x x -≤2)23-83(x x +=4， 当且仅当3x=8-3x ，即x=34时取“=”. ∴函数f(x)的最大值为4，此时x=34. 又f(x)=x x 2492+-=16)43(2+--x ， ∵当0<x<34时，f(x)递增;当x>34时，f(x)递减，∴当0<x<34时，原函数f(x)没有最大值. 当0<x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)=15【例2】 (1)已知x<45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值; (2)已知a 、b 为实数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值. 活动:(1)因为4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)·541-x 不是常数，所以应对4x-2进行拆(添)项“配凑”.(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值.但若注意到(x-a)+(b-x)为定值，则用变形不等式222n m +≥2)(2n m +更简捷.解:(1)∵x<-45，∴5-4x>0. ∴y=4x-2+541-x =-(5-4x+x451-)+3≤-2+3=1. 当且仅当5-4x=x451-，即x=1时，上式等号成立.∴当x=1时，y max =1.(2)∵y=(x-a)2+(x-b)2=(x-a)2+(b-x)2≥2［2)()(x b a x -+-］2=2)(2b a -，当且仅当x-a=b-x ，即x=2b a +时，上式等号成立，∴当x=2b a +时，y min =2)(2b a -.点评:若x 、y ∈R +，x+y=s ，xy=p.若p 为定值，则当且仅当x=y 时，s 的值最小;如果s 为定值，则当且仅当x=y 时，p 的值最大.简称“和定积最大，积定和最小”.从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用基本不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.【变式训练】已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________________.解析:方法一:以CA 、CB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB 方程为34yx ==1，设P(a ，b)，则34b a ==1(a>0，b>0). ∴ab=12·34b a ∙≤12(234b a +)2=3，当且仅当“a=34b ”时等号成立. 方法二:设P 到BC 的距离为a ，到AC 的距离为b. 由相似三角形易，得53,54PA b PB a ==， ∴534PAPB b a +=+=1.以下解法同方法一. 答案:3【例3】 已知y=x+x1(x≠0)，证明|y|≥2. 活动:教师点拨学生注意，本例中的x 可正、可负.因此需要分类讨论，创造条件，应用基本不等式. 证明：（1）当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2，当且仅当x=x1，即x=1时，等号成立. (2)当x ＜0时，-x ＞0，y=x+x 1=-[(-x)+x 1]. 由(1)可知(-x)+)(1x -≥2，当且仅当x=-1时等号成立.所以-[(-x)+)(1x -]≤-2，即y=x+x 1≤-2.综上，可知|y|≥2.点评:应用基本不等式必须有“一正、二定、三相等”的条件，当条件不够时，需创造符合基本不等式的条件.【例4】 若正数a 、b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是________________.解析：方法一:令ab =t(t>0)，由ab=a+b+3≥2ab +3，得t 2≥2t+3，解得t≥3，即ab ≥3，故ab≥9. 方法二:由已知得ab-b=a+3，b(a-1)=a+3，∴b=13-+a a (a>1). ∴ab=a·13-+a a =［(a-1)+1］13-+a a =a+3+13-+a a =a-1+4+141-+-a a =a-1+14-a +5≥214)1(-∙-a a +5-9，当且仅当a-1=14-a 时取等号，即a=b=3时，ab 的最小值为9.∴ab 的取值范围是［9，+∞). 答案:［9，+∞)【例5】 当x>-1时，求函数f(x)=1132++-x x x 的值域.解:∵x>-1，∴x+1>0.∴f(x)=1133++-x x x =15)1(5)1(2+++-+x x x =x+1+15+x -5≥2525)15)(1(=-++x x -5，当且仅当(x+1)2=5时，即x=5-1时取“=”.另一解x=-5-1<-1(舍去)，故函数值域为［25-5，+∞).点评:本题解法常用方法有单调性，图像法，还有判别式法.利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错.本例给出了用基本不等式法求值域的方法，既简单又不易出错.【变式训练】（2007湖北八校）已知x 1·x 2·x 3·…·x 2006=1，且x 1、x 2、x 3、…、x 2006都是正数，则(1+x 1)(1+x 2) …(1+x 2006)的最小值是______________.解析:∵x 1>0，则1+x 1≥21x ，同理，1+x 2≥22x ，……1+x 2006≥22006x ， 各式相乘，得(1+x 1)(1+x 2)…(1+x 2006)≥20062·2006321x x x x ∙∙∙∙ =20062，取“=”的条件为x 1=x 2=x 3=…=2006x =1.∴所求最小值为20062. 答案:20062三. 基本不等式解决实际问题引例 已知a 、b ∈R ，且a 21b -+b 21a -=1，求证:a 2+b 2=1.这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，如能联想到基本不等式，在“相等关系”中构造出“不等关系”另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，则又可别开生面，这就是数学的魅力所在.证明如下：证明：∵a 21-1222b a b -+≤，b 21a -1222a b -+≤，两式相加得a 1-1-122≤+a b b .又已知a 1-1-122=+ab b ，则上述两不等式必同时取等号，即a=2-1b ，b=2-1a .∴a 2+b 2=1.【例1】 如图3，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大?图3解：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由“有可围36 m 长网的材料”，得 4x+6y=36，即2x+3y=18.设面积S=xy. 由于2x+3y≥2y x 32∙=2xy 6， 所以2xy 6≤18，得xy≤227， 即S≤227，当且仅当2x=3y 时，等号成立. 解方程组⎩⎨⎧=+=,1833,32y x y x 得⎩⎨⎧==.3,5.4y x 答:每间虎笼设计长、宽分别为4.5 m 和3 m 时，可使面积最大.【例2】 某人购买小汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少? 解:设使用x 年的平均费用为y 万元，则y=1010211010122)2.02.0(9.010x x x x xx x ∙∙+≥=+=+++=3， 当且仅当x 10=10x ，即x=10时取等号. 答:使用10年平均费用最少.【变式训练】（2006天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=____________吨. 解析:设一年总费用为y 万元，则y=4·xx x 16004400=++4x ≥2x x41600∙=160， 当且仅当x 1600=4x ，即x=20时，等号成立. 答案:20课堂小结在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时，应创造条件.一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值;见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值.”作业1.已知正数x 、y 满足21x y +=，求11x y+的最小值．2.已知0,0x y >>，且3412x y +=。
探究基本不等式及其几何意义第一篇：探究基本不等式及其几何意义——探究基本不等式及其几何意义□ 童雁一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A 版）第三章3.4《基本不等式》。
根据任教的学生的实际情况，将《基本不等式》划分为两节课（探究基本不等式及其几何意义，基本不等式及其应用），这是第一节课“探究基本不等式及其几何意义”。
基本不等式是不等式中的重要不等式，应用它不仅可以证明不等式，同时在生活及生产实际中对于部分函数的最值的求法是一个有力的工具，所以对基本不等式的探究很重要。
二、学情分析基本不等式是在学生学习了不等式的基本性质的基础上，对不等式性质及证明的应用。
教材一开始就以中国古代数学家赵爽的弦图为背景，力图探究基本不等式与其几何意义。
同时教材通过例1、例2已经让学生感受到基本不等式的实际背景与应用，但这两个例子匆忙放在第一节来处理，显然会冲淡对基本不等式的结构和几何意义的探究。
因此，本节主要从培养学生数形结合的思想为出发点，设计了一系列基本不等式（链）的问题，通过代数与几何作图方法，使学生感受不等式结构中蕴含的数形结合的美。
三、设计思想1.通过具有一定思考价值的问题情境，提升学生持久的好奇心。
使学生直接感受和体会平均数的实际意义；2.教材对两个基本不等式各给出一种几何解释。
本节课，力图让学生从不同的角度去探究基本不等式，让学生体会到基本不等式不仅是一个简单的式子，而且具有丰富的几何意义。
3.感受数学文化的影响并体会这种数形结合的研究方法,以便能将其迁移到其它不等式与数学知识的研究中去。
4.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
5.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
四、教学目标新课程高中数学教材(必修5)中，对基本不等式的教学提出了“探索并了解基本不等式的证明过程”。
第一节从简到繁：基本不等式的核心概念基本不等式在高一数学必修一中是一个非常基础且重要的概念，它为我们理解和解决各类不等式问题奠定了基础。
在本节中，我们将从简到繁，逐步深入探讨基本不等式的定义、特点和应用。
1.1 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≥b或a≤b的不等式，其中a和b是两个数。
当a≥b时，我们称a大于等于b；当a≤b时，我们称a小于等于b。
在这里，我们需要深入理解等号的含义：等号在不等式中表示两个数相等或等价。
基本不等式并不仅仅局限于大于或小于的关系，更包括了等于的情况。
1.2 基本不等式的特点基本不等式有许多特点，其中最重要的是传递性和对称性。
传递性指的是如果a≥b且b≥c，则a≥c；如果a≤b且b≤c，则a≤c。
对称性则表示如果a≥b，则-b≥-a；如果a≤b，则-b≤-a。
这些特点使得基本不等式在推导和转化过程中能够起到重要作用，也为后续的应用奠定了基础。
1.3 基本不等式的应用基本不等式在实际问题中有着广泛的应用，例如在代数、几何和概率等领域。
特别是在二元一次不等式的求解中，基本不等式的运用尤为重要。
通过将不等式转化为标准形式，我们可以利用基本不等式的特点进行简化和求解，从而解决各类实际问题。
第二节深入探讨：基本不等式的转化和应用2.1 基本不等式的转化在实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行转化或简化的情况。
在这里，我们可以运用基本不等式的传递性和对称性进行变形，并通过加减乘除等运算来实现不等式的转化。
通过加减同一个数或式子，我们可以将不等式的左右两边进行平移或合并；通过乘除正数或负数，我们可以改变不等式的方向或大小。
这些转化方法为我们解决实际问题提供了有力的工具。
2.2 基本不等式在二元一次不等式中的应用二元一次不等式是指形如ax+by≤c的不等式，其中a、b和c为已知数，x和y为未知数。
在实际问题中，通过运用基本不等式的转化和特点，我们可以将二元一次不等式转化为标准形式，并利用基本不等式进行求解。
对一个不等式链的几何解释湟中县第一中学 阿花忠在高中数学必修5的基本不等式的教学中，如何对不等式2211222ba b a ab ba +≤+≤≤+（0,0>>b a 当且仅当”成立）时“==b a 进行几何解释呢？如图，在圆O 中，AB 是直径，点C 是圆周上异于A 、B 的一点，则是直角。
ACB ∠ .b BE a AE E AB CE C ==⊥，，设于点作过点1、对不等式时成立）当且仅当b a b a ab ba =>>≥+,0,0(2的几何解释 中，和在CBE ACE ∆∆BCE CAE BEC CEA ∠=∠∠=∠,, 所以，ACE ∆∽CBE ∆ 所以，BE CECE AE =，所以，BE AE CE ⨯=2，所以，ab CE =2又AB 是圆的直径，所以CE AB 2>；当点E 是AB 的中点时，CE AB 2=所以，CE AB 2≥，即,2ab b a ≥+即ab ba ≥+2”成立）时“（当且仅当==b a2、对”成立）时，“当且仅当==+≤+b a b a b a (2222的几何解释在圆O 中，过圆心O 作,AB DO ⊥交圆周于点D 。
在DOE RT ∆中，22ba ba a AO AE OE -=+-=-=， 2ba OD +=所以，DE =2)2()2(222222b a b a b a OE DO +=-++=+在DOE RT ∆中，DO DE > 当点D 和点E 重合时，DO DE =所以，”成立）时，“当且仅当==+≤+b a b a b a (22223、对不等式ab b a ≤+112（当且仅当b a =时，“=”成立）的几何解释O abCE =D ABCE F在COE RT ∆中，过，于点作F OC EF E ⊥则 EF CO CE OE ⨯=⨯2121 所以， ba ab b a b a ab b a CO CE OE EF +-=+⨯-=⨯=)(22 所以，ba b a ab b a ab b a ab b a ab EF CE CF 1122)(4)()()()(2222222+=+=+=+--=-= 在CEF RT ∆中，CF CE > 即ab b a ≤+112（当且仅当b a =时，“=”成立） 即”成立。
高中4个基本不等式链：√[（a+b）/2]≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b）。
平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。
一、基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
二、基本不等式两大技巧“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
三、基本不等式中常用公式（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。
（当且仅当a=b 时，等号成立）（2）√(ab)≤(a+b)/2。
（当且仅当a=b时，等号成立）（3）a²+b²≥2ab。
（当且仅当a=b时，等号成立）（4）ab≤(a+b)²/4。
（当且仅当a=b时，等号成立）（5）||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。
（当且仅当a=b时，等号成立）四、不等式定理口诀解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图、建模、构造法。
为什么把2b a +≥ab （a ，b ＞0）叫做“基本不等式” 1．从“数及其运算”的角度看，2b a +是两个正数a ，b 的“平均数”；从定量几何的角度看，ab 是长为a 、宽为b 的矩形面积，ab 就叫做两个非负数a ，b 的“几何平均”。
因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。
2．有多种等价形式：代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。
在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式；几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a +b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；……函数——本质上是函数凹凸性的反映。
例如，可以直接通过函数xy 1=，x y =，2x y =等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作曲线x y =的切线，切线方程为()121+=x y ，曲线x y =总位于切线的下方，故有，x ≤()121+x 。
令ba x =，代入化简即得重要不等式。
也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x +y =2A ，考察曲线族xy =c （这里c 是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使c 取最大值的曲线，是和直线相切于（A ，A ）的那条曲线，这时c =A 2，于是xy ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 。
3．证明方法的多样性从上所述已经表明，“基本不等式”确是与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂，而且从上述联系性中，事实上也已经给出了证明的各种思路，这些思路与数学的基本概念相关，不涉及太多的技巧。
我们还可以从“平均数”的角度来构造性地证明：设A =2b a +。
引进一个量d =2b a -，则a =A +d ，b =A －d 。
于是 a b =A 2－d 2=222d b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由d ≥0容易得到ab ≤2b a +。
