有限元

对有限元的认识
有限元是一种用于数值计算和模拟的数学方法，它在工程、科学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

有限元的核心思想是将一个复杂的连续体或系统划分为许多小的单元，这些单元通过节点相互连接。

通过对每个单元进行简单的数学分析，可以得到整个系统的近似解。

这种离散化的方法使得对复杂问题的求解变得更加容易和高效。

有限元方法的优点之一是能够处理复杂的几何形状和边界条件。

无论是二维平面问题还是三维空间问题，有限元都可以灵活地适应各种几何结构，并考虑不同的边界条件和载荷情况。

有限元还提供了强大的数值求解能力，可以计算结构的应力、应变、变形和温度分布等物理量。

通过有限元分析，可以预测物体的行为和响应，帮助工程师和科学家进行设计优化、故障分析和性能评估。

此外，有限元软件的发展使得有限元的应用变得更加便捷和高效。

这些软件提供了友好的用户界面和可视化工具，使得用户能够轻松地建立模型、施加边界条件和进行后处理分析。

然而，有限元方法也存在一些局限性，例如对复杂问题的计算成本较高、对模型的准确性和可靠性要求较高等。

因此，在应用有限元方法时，需要合理选择单元类型、网格密度和求解算法，以确保计算结果的准确性和有效性。

总的来说，有限元是一种非常重要的数值分析方法，它为工程师、科学家和研究人员提供了强大的工具来解决复杂的实际问题。

随着计算技术的不断发展，有限元方法将在各个领域继续发挥重要的作用。

有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一局部，具有无限多个自由度。

在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。

2、形函数收敛准那么〔写出某种单元的形函数，并讨论收敛性〕P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。

可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。

4、等参元的概念、特点、用时注意什么？〔王勖成P131〕答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规那么的单元转换成总体〔笛卡尔〕坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。

即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体〔笛卡尔〕坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。

称前者为母单元，后者为子单元。

还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。

如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,那么称这种变换为等参变换。

5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个局部，各局部之间用有限个点相连。

每个局部称为一个单元，连接点称为结点。

对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。

这种单元称为常应变三角形单元。

常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。

有限元和有限体积引言有限元和有限体积方法是数值计算中常用的一种数值方法，用于求解连续介质力学问题。

有限元方法通过将连续介质分割为无数个小单元，通过对小单元进行分析，来近似求解整个问题。

而有限体积方法使用有限体积元胞对区域进行离散化，通过求解元胞边界上的通量和源项来逼近整体问题的解。

本文将详细讨论这两种方法的基本原理、应用领域和优缺点。

有限元方法基本原理有限元方法是将连续介质划分为一个个小的有限元，每个有限元都有自己的形状函数和自由度。

通过将连续问题离散化为有限个自由度上的代数方程，再通过求解代数方程组来近似求解连续问题的解。

具体步骤如下：1.将连续介质划分为有限个小的有限元；2.在每个有限元上选择适当的形状函数；3.建立有限元刚度矩阵和载荷向量；4.组装有限元刚度矩阵和载荷向量；5.边界条件的处理；6.求解代数方程组得到近似解。

有限体积方法基本原理有限体积方法是将连续介质划分为有限个的离散控制体积，通过对每个控制体积内部的平衡方程进行积分，得到离散控制方程。

以控制体积为基本单位，建立离散方程，通过对自由度进行遍历，求解整个问题。

具体步骤如下：1.将连续介质划分为有限个的离散控制体积；2.在每个控制体积内部建立平衡方程并进行积分；3.得到离散控制方程；4.边界条件的处理；5.求解离散方程组得到近似解。

有限元方法和有限体积方法的区别有限元方法和有限体积方法都是数值计算的重要方法，但在求解连续介质力学问题时有一些差异。

离散化方式不同有限元方法对连续介质进行的离散化是基于几何结构的，将连续域划分为小的有限元。

而有限体积方法则是基于控制体积划分，离散化程度相对较小。

近似程度不同有限元方法是在各个有限元上进行近似，通过调节有限元的数量和自由度的精度来改变近似程度。

有限体积方法是在每个控制体积上进行平衡方程的积分，通过选取不同大小的控制体积来改变近似程度。

单元法程度的力学意义不同有限元方法中的单元法是具有力学意义的，可以通过单元的应力、应变等物理量来反映力学本质。

有限元三大方程公式有限元方法是一种重要的数值分析技术，用于求解结构力学、流体力学和热传导等工程学问题。

有限元方法基于有限元法，将连续的问题离散化成为微小的单元，并利用数值技术求解单元边界上的方程，最终通过组合这些边界方程得到整个问题的解。

在有限元方法中，三个常见的方程是：平衡方程、力学方程和能量方程。

下面将详细介绍这三个方程的公式及其意义。

一、平衡方程平衡方程是指物体在受到外力作用时，各部分之间保持力的平衡。

在力学中，平衡方程可表示为：∑F=0其中，∑F代表物体的所有外力的矢量和。

这个方程表明，在平衡状态下，物体上各个部分所受的外力的合力为零。

通过将平衡方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的平衡方程。

二、力学方程力学方程是用于描述物体内部受力情况的方程，一般由胡克定律得到。

对于线性弹性材料，力学方程可表示为：σ=(E/ν)[ε-α(T-T0)]其中，σ代表应力，E代表弹性模量，ν代表泊松比，ε代表应变，α代表线膨胀系数，T代表温度，T0代表参考温度。

这个方程表明，应力取决于应变、温度和材料性质。

在有限元分析中，常将力学方程表示为单元应变和单元应力之间的关系，即：σ=Dε其中，D代表弹性模量矩阵，包含了材料性质的信息。

通过将力学方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的力学方程。

三、能量方程能量方程是用于描述物体内部能量传递和转化的方程。

∂T/∂t=α∇²T其中，T代表温度，t代表时间，α代表热扩散率。

这个方程表明，温度随时间和空间的变化率取决于热传导率。

在有限元分析中，常将能量方程离散化为每个有限元单元的能量方程，即：∂T_i/∂t=∑(N_i∇T)其中，T_i代表单元i的温度，N_i代表形函数，∇T代表温度梯度。

通过将能量方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的能量方程。

综上所述，有限元分析中的三大方程包括平衡方程、力学方程和能量方程。

这些方程为结构力学、流体力学和热传导等工程学问题的求解提供了重要的数学模型，通过将这些方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的方程组，从而得到问题的数值解。

有限元方法分类
有限元方法是一种强大的数值分析工具，广泛应用于工程计算、物理模拟等领域。

按照不同的分类方式，有限元方法可以划分为多个类别：
1. 按求解问题类型划分：结构力学有限元、热传导有限元、电磁场有限元、流体力学有限元、声学有限元等，分别对应于解决固体结构应力变形、热量传递、电磁场分布、流体流动以及声音传播等问题。

2. 按单元性质划分：线性有限元和非线性有限元。

线性有限元处理的是线性问题，如弹性力学中的小变形问题；非线性有限元则是针对材料非线性、几何非线性等问题。

3. 按时间因素考虑划分：静态有限元分析和动态有限元分析。

静态分析处理稳态问题，不考虑随时间变化的影响；动态分析则考虑了随时间演变的效应，如瞬态动力响应。

4. 按离散形式划分：等参有限元、非等参有限元。

等参有限元在单元内部采用一致的坐标变换，非等参有限元则根据实际情况灵活选择节点和形状函数。

5. 按求解流程划分：直接法有限元和迭代法有限元。

直接法直接求解全局刚度矩阵，而迭代法则通过多次迭代逐步逼近解。

总之，有限元方法因其灵活性和普适性，能够处理各类复杂的物理问题，已成为现代工程与科学研究中不可或缺的分析手段。

对有限元的认识有限元是一种数值分析方法，用于计算和求解复杂的物理问题。

它在工程、科学和其他领域中广泛应用。

有限元方法的核心思想是将连续的物理问题离散化为有限数量的简单元素，然后通过求解这些元素的行为来获得整个系统的行为。

有限元方法的基本步骤包括对问题进行建模、离散化、求解和后处理。

首先，需要将实际问题抽象为数学模型，并确定模型中的物理量和边界条件。

然后，将问题的几何区域分割成一系列小的、简单的元素。

每个元素都有一组节点，节点之间通过连接关系形成了整个系统。

接下来，需要定义在节点上的适当数学函数来近似描述问题的解。

通过将这些函数与元素的物理行为相结合，可以建立一个离散的方程组。

求解这个方程组可以得到问题的数值解。

最后，通过对数值解进行后处理，可以获得感兴趣的物理量和结果。

有限元方法的优点之一是它的适应性和灵活性。

它可以处理各种不规则的几何形状和复杂的物理行为。

此外，有限元方法还可以处理多物理场的耦合问题，如结构-流体相互作用、热-力相互作用等。

这使得有限元方法在解决实际工程问题时非常有用。

然而，有限元方法也有一些局限性。

首先，它需要对问题进行合适的离散化，这可能需要一些经验和专业知识。

其次，有限元方法的计算量通常较大，特别是在处理大规模问题时。

此外，有限元方法对网格的质量和精细度要求较高，这可能会增加计算的复杂性和时间成本。

总的来说，有限元方法是一种强大而广泛应用的数值分析工具。

它在解决工程和科学问题时具有重要的作用，并且在不断发展和改进中。

对于那些希望深入了解和应用数值分析的人来说，有限元方法是一个必须掌握的重要工具。

有限元三大方程有限元方法(Finite Element Method, FEM)是一种将连续介质离散为有限数量的小单元来求解力学问题的数值方法。

有限元方法通过三大方程来描述系统的力学行为：平衡方程、运动方程和本构关系。

1. 平衡方程：平衡方程是描述系统在受力平衡状态下的行为。

对于一个连续体，平衡方程可以用微分形式表示为：∇·σ + f = 0其中，∇·表示散度算子，σ是应力张量，f是体力。

在有限元方法中，将连续体离散为小单元后，平衡方程可以用积分形式表示为：∫(∇·σ)dV + ∫fdV = 0这里积分是对整个区域求和，dV表示体积元。

有限元方法的目标是通过对小单元的离散近似求解平衡方程来得到连续体的应力分布。

2. 运动方程：运动方程描述了系统的运动行为。

对于一个静力学问题，运动方程为：ρ∂²u/∂t² + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是介质的密度，u是位移场，v是速度场。

在有限元方法中，将连续体离散为小单元后，运动方程可以写为：∑(∫(ρN∂²u/∂t²)dV) + ∑(∫(N∇u·ρvdV)) = 0这里，∑表示对所有小单元求和，N是形状函数。

有限元方法的目标是通过对小单元的离散近似求解运动方程来得到连续体的位移场。

3. 本构关系：本构关系描述了物质的力学性质。

对于一个线弹性材料，本构关系为：σ = Eε其中，σ是应力张量，E是弹性模量，ε是应变张量。

在有限元方法中，将连续体离散为小单元后，本构关系可以写为：∑(∫(NσdV)) = ∑(∫(B∇u)dV)这里，B是形状函数的导数矩阵。

有限元方法的目标是通过对小单元的离散近似求解本构关系来得到连续体的应力分布。

有限元方法通过将连续体离散为小单元，并在每个小单元内近似求解平衡方程、运动方程和本构关系，来得到连续体的力学行为。

通过不断迭代小单元的解，最终可以得到整个体系的力学行为。