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有限元法概述

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有限元法的原理_求解域_概述及解释说明

有限元法的原理_求解域_概述及解释说明

有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。

它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。

有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。

1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。

1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。

通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。

此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。

2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。

它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。

在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。

2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。

这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。

这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。

2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。

第1章 有限元法概述

第1章 有限元法概述

第一章有限元法概述第一节有限元法的发展及基本思想随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。

为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移。

但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。

弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。

因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。

有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。

这个方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。

1960年美国的克劳夫(C l o u g h)采用此方法进行飞机结构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”(finite element method），简称“有限元法”。

有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。

对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。

最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。

图1.1是用有限元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析，其中图1.1(a)为有限元模型，图1.1(b)是最大切应力等应力线图。

在图1.1(a)中采用8节点四边形等参数单元把轮齿划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。

有限元法(FEM)简介

有限元法(FEM)简介

EA ( − cosθ sin θ u1 − sin 2 θ v1 + cosθ sin θ u2 + sin 2 θ v2 ) + EA ( v2 − v3 ) l1 l2
节点3的x方向 节点3的y方向
Fx 3 = Rx23 = 0 EA 2 Fy 3 = Ry 3 = ( −v2 + v3 ) l2
u12=1，u11= v11= v12= 0
EA R = k13 = − cos 2 θ l1
1 x1
v12=1，u11= v11= u12= 0
R11 = k14 = − x R11 = k24 = − y
1 Rx 2 = k34 =
EA cos θ sin θ l1 EA 2 sin θ l1
EA R = k23 = − cos θ sin θ l1
写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
EA ( cosθ sin θ u1 + sin 2 θ v1 − cosθ sin θ u2 − sin 2 v2 ) l1
EA ( − cos2 θ u1 − cosθ sin θ v1 + cos2 θ u2 + cosθ sin θ v2 ) l1
节点2的y方向
2 Fy 2 = R1 2 + Ry 2 = y

有限元法的概述

有限元法的概述

有限元法的概述有限元方法(Finite Element Method)是力学，数学物理学，计算方法，计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物。

在人类研究自然界的三大科学研究方法(理论分析，科学试验，科学计算)中，对于大多数新型领域，由于科学理论和科学实践的局限性，科学计算成为一种最重要的研究手段。

在大多数工程研究领域，有限元方法是进行科学计算的重要方法之一;利用有限元方法几乎可以对任意复杂的工程结构进行分析，获取结构的各种机械性能信息，对工程结构进行评判，对工程事故进行分析。

有限元法在设计过程中有极为关键的作用。

人们对各种力学问题进行分析求解，其方法归结起来可以分为解析法(Analytical Method)和数值法(Numeric Method).如果给定一个问题，通过一定的推导可以用具体的表达式来获得问题的解答，这样的求解方法就称为解析法。

但是由于实际结构物的复杂性，除了少数极其简单的问题外，绝大多数科学研究和工程计算问题用解析法求解式极其困难的。

因此，数值法求解便成为了一种不可替代的广泛应用的方法，并取得了不断的发展，如有限元法，有限差分法，边界元方法等都是属于数值求解方法。

其中有限元法式 20 世纪中期伴随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种数值分析方法，它的数学逻辑严谨，物理概念清晰，应用非常广泛，能活灵活现处理和求解各种复杂的问题。

有限元方法采用矩阵式来表达基本公式，便于计算机编程，这些优点赋予了它强大的生命力。

有限元方法的实质是将复杂的连续体划分成为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为优先自由度问题，将连续场函数的(偏)微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。

用有限元方法分析工程结构的问题时，将一个理想体离散化后，如何保证其数值的收敛性和稳定性是有限元理论讨论的主要内容之一，而数值解的收敛性与单元的划分及单元形状有关。

在求解过程中，通常以位移为基本变量，使用虚位移原理或最小是能原理来求解。

有限元方法编程

有限元方法编程

有限元方法编程摘要：1.有限元方法概述2.有限元方法编程的基本步骤3.有限元方法编程的实例4.有限元方法编程的注意事项5.结论正文：1.有限元方法概述有限元方法是一种数值分析方法，主要用于求解偏微分方程问题。

它通过将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域（有限元），并将这些子区域的边界上的函数值用有限个节点上的函数值来表示，从而将偏微分方程转化为求解有限元系统的线性或非线性代数方程组。

这种方法可以大大简化问题的求解过程，提高计算效率，并可以方便地用于计算机编程。

2.有限元方法编程的基本步骤有限元方法编程的基本步骤如下：（1）建立有限元模型：根据问题的实际需求，选择合适的有限元类型（如四面体、六面体等），并根据几何形状将求解区域划分为有限个小的子区域。

（2）编写有限元方程：根据有限元模型，编写有限元方程，将偏微分方程转化为求解有限元系统的线性或非线性代数方程组。

（3）选择合适的数值方法：根据问题的特点，选择合适的数值方法（如有限差分法、有限体积法等）对有限元方程进行求解。

（4）编写求解程序：根据所选数值方法，编写求解程序，实现有限元方程的求解。

（5）结果分析与后处理：对求解结果进行分析，并进行必要的后处理（如绘制等值线图、计算梯度等）。

3.有限元方法编程的实例以求解一个简单的二维热传导问题为例，我们可以按照以下步骤进行有限元方法编程：（1）建立有限元模型：将求解区域划分为多个矩形单元，并在每个单元的边界上设置节点。

（2）编写有限元方程：根据热传导方程，编写有限元方程。

（3）选择合适的数值方法：选择有限差分法对有限元方程进行求解。

（4）编写求解程序：根据有限差分法，编写求解程序，实现有限元方程的求解。

（5）结果分析与后处理：对求解结果进行分析，并绘制温度分布的等值线图。

4.有限元方法编程的注意事项在进行有限元方法编程时，应注意以下几点：（1）选择合适的有限元类型和网格划分：合适的有限元类型和网格划分可以降低求解的复杂度，提高计算效率。

工程电磁场数值分析(有限元法)

工程电磁场数值分析(有限元法)
使用适当的数值方法求解离散方程组，得到场函数的近似解 。
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01

第五章偏微分方程的有限元法


有限元空间与基函数
针对椭圆型方程的特点，构造适当的有限元空间及 基函数，使得近似解能够较好地逼近真实解。
刚度矩阵与载荷向量
利用有限元基函数对椭圆型方程进行离散化 ，得到以刚度矩阵和载荷向量为未知量的线 性方程组。
抛物型偏微分方程的有限元法
时间离散与空间离散
抛物型偏微分方程涉及时间变量，需要采用合适的时间离散方案， 并结合空间有限元离散进行求解。
刚度矩阵反映了单元内部节点间的相 互作用力，需要根据形函数和单元刚 度矩阵进行组装得到整体刚度矩阵。
载荷向量组装
载荷向量反映了作用在节点上的外力 ，需要根据形函数和节点载荷进行组 装得到整体载荷向量。
边界条件处理与方程求解
边界条件处理
对于给定的边界条件，需要在整体刚度矩阵 和载荷向量中进行相应的处理，以保证求解 的正确性。常见的边界条件有Dirichlet边界 条件和Neumann边界条件。
分片插值
在每个单元内，选择基函数，用 单元基函数的线形组合来逼近单 元中的真解。
求解线性方程组
将问题的控制方程转化为等效的 线性方程组进行求解，得到每个 节点的待求量。
有限元法的发展历程
起源
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其 方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
素。
有限元法的实现过
04
程
网格划分与单元构造
网格划分
将求解区域划分为有限个互不重叠的子 区域，即单元。常见的网格划分方法有 结构化网格和非结构化网格。
VS
单元构造
对于每个单元，需要确定其形状、大小、 节点数及节点坐标等信息。常见的单元类 型有三角形、四边形、四面体等。

《有限元基本原理》课件

这些有限元在节点处相互连接，形成 一个离散化的模型，用于模拟真实结 构的力学行为、热传导、电磁场分布 等。
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。

有限元法_精品文档

这种方法要求能建立微分方程，并能给出边 界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的 几何形状和不规则的特殊边界条件难以应用。
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。

(计算物理学)第10章有限元方法

02
使用数值方法求解线性方程组，得到每个节点的物 理量值。
03
求解线性方程组是有限元方法的核心步骤，其结果 的精度和稳定性对整个计算过程至关重要。
04
有限元方法的实现与应用
有限元分析软件介绍
COMSOL Multiphysics
COMSOL是一款强大的有限元分析软件， 支持多物理场模拟，包括电磁场、流体动力 学、化学反应等。
求解方程
通过有限元方法求解微分方程， 得到每个有限元的位移、应力 等结果。
建立模型
根据实际问题建立数学模型， 包括几何形状、材料属性、边 界条件等。
施加载荷和约束
根据实际情况，对有限元施加 适当的载荷和约束条件。
结果后处理
对求解结果进行后处理，包括 绘制云图、生成动画等。
有限元方法的应用领域
01
02
案例二：机械零件的应力分析
总结词
机械零件的应力分布和最大承受载荷是设计 时必须考虑的重要因素，有限元方法能够精 确模拟零件在不同工况下的应力状态。
详细描述
利用有限元方法，可以建立机械零件的模型 并模拟其在工作过程中所承受的应力分布。 这种方法能够预测零件在不同工况下的最大 承受载荷，为设计优化提供依据，提高零件
03
结构分析
用于分析结构的应力、应 变、位移等，广泛应用于 航空航天、汽车、土木工 程等领域。
流体动力学
用于分析流体动力学问题， 如流体流动、传热等，广 泛应用于能源、环境等领 域。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电磁场分析
用于分析电磁场问题，如 电磁波传播、电磁感应等， 广泛应用于通信、雷达、 电子设备等领域。
05
有限元方法的优缺点与改进 方向
03
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大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件，最早的 是美国国家宇航局（NASA）在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统，该系统发展到现在已有几十个版本。此外，比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC，法 国AYATUS，美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 （1） ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能，如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析，可以模拟多物理介质的相互作用，具有灵敏度分析 及优化分析能力；后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis ， FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术，是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前，有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用，如，机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等，并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题，求解各类场分布问题，求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
4、有限元的特点
(1) 概念清楚,容易理解。可以在不同的专业背景和水 平上建立起对该方法的理解。从使用的观点来讲,每个人 的理论基础不同,理解的深度也可以不同,既可以通过直观 的物理意义来学习,也可以从严格的力学概念和数学概念 推导。 (2) 适应性强,应用范围广泛。有限元法可以用来求解 工程中许多复杂的问题,特别是采用其他数值计算方法(如 有限差分法)求解困难的问题。如复杂结构形状问题,复杂 边界条件问题,非均质、非线性材料问题,动力学问题等。 目前,有限元法在理论上和应用上还在不断发展,今后将更 加完善,其使用范围将更加广泛。
Explict，对某些特殊问题还提供专用模块。ABAQUS具有 解决庞大复杂问题和模拟高度非线性问题的图特的优点。
（5）COSMOS。 COSMOS是一套强大的有限元分析软件， 能够提供广泛的分析工具以检验和分析复杂零件及其装 配图，能够进行应力分析、应变分析、变形分析、热分 析、设计优化、线性和非线性分析。 COSMOS的主要功 能模块为：前、后处理器是一个在交互图形用户环境中 完全结合几何特征造型和前后处理的处理器；静力分析 模块提供一个完全集成的前后处理器，在操作环境中即 时显示设计过程。此外，还包括频率及屈曲和灵敏性分 析模块、热效分析模块、动力分析模块、非线性分析模 块、疲劳分析模块、优化和灵敏度分析模块、流体分析 模块、紊流分析模块、低频电磁分析模块、高频电磁分
从那时到现在，世界各地的研究机构和大学也发展了 一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元 分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国 的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERS AFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDY
NE等公司的产品。
有限元法分析计算的基本思想：
物体离散化 单元特性分析 — 选择位移模式 — 分析单元的力学性质 — 计算等效节点力 单元组集 求解未知节点位移

物体离散化

将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这 一步称作单点相互连接起来；单 元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形 形态的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单 元数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实际情况相 符合
能力，可以进行线性和非线性结构分析，如线性/非线性 静力分析、模态分析、简谐响应分析、频谱分析、随机 振动分析、动力响应分析、静/动力接触、屈曲/失稳、失 效与破坏分析等。它提供了丰富的结构单元、连续单元、 特殊单元的单元库，几乎每种单元都具有处理大变形几 何非线性、材料非线性和包括接触在内的边界条件非线 性以及组合的高度非线性的能力。MARC的结构分析材 料库提供了模拟金属、非金属、聚合物、岩土、复合材 料等多种线性和非线性复杂材料行为的材料模型、MAR C软件还提供了多种加载步长自适应控制技术，能够自动 确定分析屈曲、蠕变、热弹塑性和动力响应的加载步长。 此外，它还具有分析非结构场问题（温度场、流场、电 场、磁场）、模拟流-热-固、土壤渗流、声-结构、耦合 电磁、电-热、电-热-结构、以及热-结构等多种耦合场的 能力。
5、计算机实现及大型有限元软件简 介
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机， 所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设 计和分析中将得到越来越广泛的重视。 国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的 人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最 为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美 国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有 限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前 世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。
他们的研究工作打开了利用计算机求解复杂平面弹性 问题的新局面。1960年Clough进一步处理了平面弹性问 题，并第一次提出了"有限单元法"的名称，使人们开始认 识了有限单元法.
3、有限元法在机械工程领域的应用
有限元分析法的应用使设计水平发生了质的飞跃，在 机械工程领域主要表现在以下几个方面： 1. 增加设计功能，减少设计成本； 2.缩短设计和分析的循环周期； 3. 增加产品和工程的可靠性； 4. 采用优化设计，降低材料的消耗或成本；
兼有静力分析功能（如动力分析前的预应力计算和薄板冲 压成形后的回簧计算）；军用和民用相结合的通用结构分 析非线性有限元软件。 LS-DYNA 利用 ANSYS 、 LS-INGRID 、 ETA/FEMB及LS-POST强大的前后处理模块，具有多种自动网 格划分选择，并可与大多数的CAD/CAE软件集成并有接口。 前处理：有限元直接建模与实体建模；布尔运算功能， 实现模型的细雕刻；模型的拖拉、拷贝、蒙皮和倒角等操 作；完善、丰富的网格划分工具，自由网格划分、映射网 格划分、智能网格划分、自适应网格划分等。后处理：结 果的彩色等值线显示，梯度显示，矢量显示，等值面，粒 子流显示，立体切片，透明及半透明显示，变形显示及各 种动画显示；图形的 PS 、 TLFF 及 HPGL 格式输出与转换等
5.在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 6. 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 7. 进行机械事故分析，查找事故原因。
轴承强度分析
汽车碰撞实验
刹车制动时地盘的应力分析
钢板精轧机热轧制分析
三维椭圆封头开孔补强
水轮机叶轮的受力分析模拟
人体股骨端受力分析
半导体芯片温度场的数值仿真
力
法：选择节点力作为基本未 知量时称为力法；
混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未 知量时称为混合法。
位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法
中位移法应用范围最广。
2、有限元法的发展
有限单元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1 943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形区域上的 分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St· Venant 扭转问题。相继一些应用数学家、物理学家和工程师由于 各种原因都涉足过有限单元的概念。 但真正的应用实际问题是到1960年以后，随着电子 数值计算机的广泛应用和发展，有限单元法的发展速度才 显著加快。现代有限元法第一个成功的尝试，是将刚架位 移法推广应用于弹性力学平面问题，这是Turner，Cloug h等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。他们第一 次给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。
析模块等。同时COSMOS的强大而完整的分析能力，能够在 设计造型与机构模拟之后，快速且直接的取得该设计的有 限元分析信息。 （6）LS-DYNA。 LS-DYNA是以显示为主、，隐式为辅的通 用非线性动力分析有限元软件，特别适合求解各种二维、 三维非线性机构的高速碰撞、爆炸和金属成形等非线性动 力冲击问题，同时可以求解传热、流体及流固耦合问题。 LS-DYNA软件是功能齐全的几何非线性（大位移、大转动、 大应变）、材料非线性（材料动态模型）和接触非线性软 件。它以Lagrange算法为主，兼有ALE和Euler算法；以显 示求解为主，兼有隐式求解功能；以结构分析为主，兼有 热分析、流体-结构耦合功能；以非线性动力分析为主，
（3）ADINA System。 ADINA System主要包括ADINA、 ADINA T和ADINAF，能够完成结构和流体流动分析。基本线 性结构分析效率高，能有效的考虑非线性效应，如几何非 线性、材料非线性和接触状态等，对于流体能够计算可压 缩和不可压缩流动，具有流体-结构全耦联分析功能。
6、国际上有限元分析方法的发展 趋势：
1、与CAD软件的无缝集成
许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软 件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、 SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。 有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采用了 CAD的建模技术，如ADINA软件由于采用了基于 Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心 的CAD软件（如Unigraphics、SolidEdge、 SolidWorks）实现真正无缝的双向数据交换。