平面问题有限元解法(公式推导讲解)

2. 平面问题用有限元求解力学的平面问题，不仅本身具有实际意义，而且还带有一定的典型性。

其中的三角形单元又其中的基础。

2.1 弹性力学基础1弹性力学的基本假定如下：1）物体是连续的2）物体是完全弹性的3）物体是均匀的4）物体是各向同性的5）位移和形变是微小的，即小变形满足条件1）～4）的物体，称之为理想弹性体。

2 弹性力学中的基本变量：弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。

体力——体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。

面力——面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。

应力——物体受到外力作用，或由于温度改变，其内部将产生内力。

物体内某一点的内力就是应力。

3 应力状态物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量、、、、、来表示。

x σy σz σxy τyz τzxτ4 位移位移就是位置的移动。

物体内任意一点的位移，用位移在x ，y ，z 坐标轴上的投影u 、v 、w 表示。

5 应变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。

各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。

两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用γ表示。

物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示。

zx yz xy z y x γγγεεε、、、、、6 平面应力问题弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。

平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

平面应力问题设有很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。

设板的厚度为t ，在板面上：，，，由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有，，，，剩下平行于XY 平面的三个应力分量未知。

()02=±=t z z σ()02=±=t z zx τ()02=±=t z zy τ0=z σ0=zx τ0=zy τ平面应变问题设有很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。

第三章平面问题有限元法重庆大学机械工程学院一、平面单元一、平面单元矩形单元正方形单元二、三角形三节点单元2.1 单元位移模式xy{}(,,)Ti ii u v i j m δ ={}T TeTT T i j mi i j j m m u v u v u v δδδδ ==节点数:3；自由度自由度（（DOF ): 6节点位移节点位移：：单元位移单元位移：：二、三角形三节点单元三角形三节点单元位移模式123456u x y v x y αααααα=++=++(3-1)节点：i ()i i y x ,()i i v u ,节点：j ()j j y x ,()j j v u ,()m m y x ,()m m v u ,节点：m二、三角形三节点单元将三个节点的坐标和位移代入将三个节点的坐标和位移代入（（3-1），），得得ii i y x u 321ααα++=jj j y x u 321ααα++=mm m y x u 321ααα++=321ααα，，ii i y x v 654ααα++=j j j y x v 654ααα++=mm m y x v 654ααα++=654ααα，，二、三角形三节点单元mm m j j ji i iy x v y x v y x v A214=αmmmj j ji i i y x u y x u y x u A211=αm mj j i i y u y u y u A111212=αmm j ji i u x u x u x A111213=αmm j ji i y v y v y v A111215=αmm j j i i v x v x v x A111216=αmmj ji iy x y x y x A 1112=(3-2)二、三角形三节点单元将（3-2）代入代入（（3-1），），并整理并整理i i j j m m i i j j m m u N u N u N u v N v N v N v =++=++(3-3))(2111121y c x b a A y x y x yxAN i i i m mj ji ++==)(2111121y c x b a A y x y xy x AN j j j mmii j ++==)(2111121y c x b a A yxy x y x AN m m m j jiim ++==m j i N N N ,,称为形函数二、三角形三节点单元jm m j mmj j i y x y x y x y x a −==m i i m ii mmj y x y x y x y x a −==ij j i jji i m y x y x y x y x a −==mj mji y y y y b −=−=11im im j y y y y b −=−=11ji jim y y y y b −=−=11二、三角形三节点单元)(m j mj i x x x x c −−==)(11i m im j x x x x c −−==)(11j i jim x x x x c −−==二、三角形三节点单元将（3-3）写成矩阵形式：{}}}ee v uf =(3-4)形函数的性质1）形函数形函数在节点处的值为处的值为11，在其余节点处之值为零i N i≠==ij i j y x N j j i 01),((3-5)mj N N ,？？形函数的性质2）在单元内任一点的三个形函数之和等于在单元内任一点的三个形函数之和等于在单元内任一点的三个形函数之和等于11(3-6)1i j m N N N ++=3）在单元某一边上的形函数与第三个顶点的坐标无关形函数的性质0),(=y x N m )/()()/()(),(i j j i j j i y y y y x x x x y x N −−=−−=)/()()/()(),(i j i i j i j y y y y x x x x y x N −−=−−=在边上ij形函数的性质4）形函数在单元面积形函数在单元面积A A 上的二重积分之值上的二重积分之值，，等于高为等于高为11、底为底为A A 的三角锥的体积的三角锥的体积。