八年级数学上册 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理学习指导素材 (新版)北师大版

第一章第一节勾股定理第1课时 1.1勾股定理（1）1、我国是最早发现勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角．如果勾（即直角三角形中较短的直角边）等于3，股（即直角三角形中较长的直角边）等于4，那么弦（即直角三角形中的斜边）等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式．因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”．在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理．相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜．但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示．关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。

所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智．例如：高24米的天线杆，在离地面9米处断裂，如果线杆底部仍和地面垂直，顶部到底部的距离唯一吗？如何解决？解答：上半截杆高24-9=15米，即直角三角形的斜边为15米，一条直角边为9米，由勾股定理可得152-92=144，所以，另一直角边长为12米。

2、如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作<勾股圆方图》它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。

请你拼出如图所示的图形并，根据面积验证勾股定理。

解：设直角三角形边长如图：则()22142c ab a b =+-×整理得222c a b =+3、 勾股定理又称商高定理或毕达哥拉斯定理。

据记载，最早给出勾股数的是巴比伦人，在一块公元前18世纪的泥板上刻有十五组勾股数，至今已有三千七百多年。

我国古书《周髀算经》记述了约公元前110年周公和商高的对话中，明确提出"勾三股四弦五"的关系，因此在我国称为商高定理。

勾股定理第一节 探索勾股定理●应知 基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。

2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。

（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。

（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。

一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。

【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。

【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。

3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。

【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会 基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。

在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。

《探索勾股定理》学习指导一、学习要点勾股定理背景我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对对勾股定理有了明确认识．勾股定理从发现到现在已有三千年的历史，在西方它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国晚了几百年．勾股定理把直角三角形这个几何图形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合的思想．旧知回顾1.直角三角形两个锐角关系：直角三角形的两个锐角互余．2.三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．目标导航重点：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解探索勾股定理的各种方法及其内在联系，进一步发展空间概念和合情推理能力．难点：掌握勾股定理，知道该定理反映了直角三角形三边间的数量关系，它是直角三角形的重要性质之一，并能运用勾股定理解决一些实际问题．考点：能运用勾股定理由已知直角三角形的两边长求第三边的长．二、学习引导尝试通过测量、数格子等方法探索得到勾股定理1）动手在纸上作出几个直角三角形，分别测量它们的三条边，填写好下表．观察三条边的平方有什么关系？(其中a、b是两直角边长，c是斜边长)a2 b2 c2 可能的关系2）如图所示，思考以下几个问题✧图1-2中，如何计算直角三角形三边的平方（即正方形面积），是否满足探究方法一中猜想的数量关系？✧图1-3中，如何计算正方形面积？思考后根据以下提示计算．①直接数出正方形内部所包含的完整的小方格的个数，而将不足一个小方格的都算作半个．②将不足一个方格的部分进行适当拼凑，以拼凑出若干个完整的小方格．③将斜边上的正方形划分为若干个边长为整数的直角三角形，再利用三角形面积公式求得．④在斜边上的正方形的边长上各补一个直角三角形，得到一个大的正方形．结论：我们古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称为．从而得到著名的勾股定理：．如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．通过拼图验证勾股定理为了计算图1-4中大正方形的面积，对这个大正方形适当进行了割补，如1-5和1-6所示，思考：①将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；图1-5：图1-6：②两图中正方形ABCD的面积分别为多少？有哪些表示方式？图1-5：图1-6：方式：③分别用两图验证勾股定理．学以致用1）求出下列直角三角形中未知边的长度．2）求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积．3）我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？思考前面已讨论了直角三角形的三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边也满足这一关系吗？通过数格子的方法验证．A BC结论：锐角三角形中，222a b c +<；钝角三角形中，222a b c +>练一练必做题：1、如图，隔湖有两点A 、B ，从与BA 方向成直角的BC 方向上的点C ，测得AB=40cm ，CB=30cm ，求AC 的长度．（第1题图） （第2题图）2、一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少?3、已知直角三角形两直角边BC 和AC 的长分别为3cm 和4cm ，那么高CD 有多长？B C将数据标到图上，方便分析选做题：4、若一个直角三角形的一条直角边长为7，其它两条边长为两个连续整数，则这个直角三角形的周长是．5、如图，有一个长方体纸盒，长、宽、高分别为15cm、8cm、5cm，请你估算一下，能否把一根长为18cm的铅笔放入这个纸盒里面？。

数学家故事·毕达哥拉斯无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。

以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。

后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。

毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC-497 BC)古希腊数学家、哲学家。

毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。

例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。

他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。

当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。

“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。

但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线()却不能用整数之比来表达。

这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在 (即无理数)的秘密。

天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。

但很快就引起了数学思想的大革命。

科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。

第1章 勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A A D BC CB D A。