六年级第6讲 抓“不变量”解题教案

六年级奥数——抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练【例题1】437将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。

619解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是7分母的，由此可求出新分数的分子和分母。

”97分母：（61-43）÷（1－）＝8197分子：81×＝63981-61＝20或63-43＝20437解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以6197将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

97①的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）9777×963②约分后所得的在约分前是：＝＝98199×9③所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

1练习1：9721、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？1815132、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？13535 的分子、分母加上同一个数并约分后得、，那么加上的数是多少？31975824、将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是793多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。

534解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”5523可知，分母比分子的倍还多2。

由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，432从而将原题转化成一个盈亏问题。

35分子：（2+1）÷（－）=12243分母：12× -1＝172解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

抓不变量巧解题唐洋镇小学杨梅一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。

如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。

但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。

在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。

抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。

根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。

一、总量不变这类应用题的特点是：题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。

解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。

[问题1]：小丽有故事书108本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3倍。

问小芳借了多少本故事书给小丽？[思路点拔]：小芳借了若干本故事书给小丽前后，小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化，但两人拥有故事书的总本数不变，这是本题解题的关键。

即(108+140)本就是小芳现有故事书的本数的(3+1)倍，因此小芳现有故事书的本数是(108+140) ÷(3+1)=62本，所以小芳借给小丽故事书的本数是140-62=78（本）。

可以验证一下：(108+78)÷(140-78)=186÷62=3，答案正确。

[问题2]：有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：7，求原来上、下层各有多少本书？[思路点拔]：根据题意，上、下两层书的本数都发生了变化，而上下两层书的总数量是不变的，可把总数量看作单位“1”。

抓住总数量不变，根据上层与下层书的数量比是2:3,知道上层书占总数的2/5；又根据上层与下层书的数量比是3:7,知道上层书占总数的3/10，两人故事书的总本数是：15÷（2/5-3/10）=150（本），所以上层原有书150×2/5=60（本），下层原有书150-60=90（本）。

小学六年级数学第六单元《解决问题的策略》的教案：培养学生抓住问题本质，准确分析的能力》
一、教学目标：
1.培养学生抓住问题本质，准确分析的能力。

2.提高学生解决问题的能力。

二、教学方法：
1.讲授法
2.练习法
3.提问法
三、教学内容：
1.问题的本质
2.问题的分析方法
3.解决问题的策略
四、教学步骤：
1.导入新课
教师出示一道数学问题，让学生尝试解决。

并询问学生如何解决该问题。

2.引入新知
教师讲解问题的本质，引导学生分析题目中存在的问题，清楚问题的定义、范围和限制，找出问题解决的关键点。

3.培养问题的分析方法
教师分别介绍抽象思维、演绎思维、归纳思维和比较思维等分析问题的方法，归纳出适用于该问题的思考方法。

4.解决问题的策略
教师引导学生应用前述方法，解决数学问题。

教师分别讲解：举例法、数学模型法、归纳法、分析法、探究法、反序思考法、特例法等解决问题的策略。

五、课堂练习
1.学生独自解决若干道题目，师生共同讨论。

2.教师提供一道开放式问题，学生分小组进行讨论并列举可
能的解决方案。

3.教师布置课后作业，要求学生根据讲解和练习的训练，解决更多的问题。

六、教学效果评价
1.学生对问题分析的能力。

2.学生对解决问题的策略的掌握情况。

3.学生在解决数学问题中表现的情况。

六年级奥数抓不变量解题
在六年级奥数中，抓不变量是一种常用的解题方法。

抓不变量是指在问题的每一步变换中，通过找到一个保持不变的性质来解决问题。

以下是一些常见的抓不变量解题方法和例子：
1. 总数不变：问题中的某些属性总数保持不变。

例子：有一串递增的连续整数，如果删除其中一个数，则剩下的数可以排成递增的连续整数。

这里总数不变的抓不变量是递增的连续整数的总数。

2. 和不变：问题中的某些数的和保持不变。

例子：一个棋盘上有若干个棋子，每次转动或移动棋盘上的一行或一列。

证明每次转动或移动后，棋盘上白色棋子的和与黑色棋子的和保持相同。

这里和不变的抓不变量是白色棋子的和与黑色棋子的和。

3. 差不变：问题中的某些数之间的差保持不变。

例子：有一组数字，每次选择其中的两个数a和b，然后将它们替换为a+b 和|a-b|。

证明无论选择哪两个数，替换后的数列的最小值都保持不变。

这里差不变的抓不变量是任意两个数的差的绝对值。

抓不变量方法通常需要通过观察问题的性质和变换规律来发现，并根据它们构造合适的抓不变量。

通过抓不变量，可以简化问题的复杂性，提供思考方向，使问题的解决更加直观和简单。

六年级上册数学教案第六讲工程问题、还原问题、寻不变量问题人教版教学内容本讲教学内容围绕工程问题、还原问题、寻不变量问题三大类问题，旨在培养学生解决实际问题的能力。

工程问题主要涉及工作量、工作效率、工作时间的关系；还原问题则关注于事物变化后的状态恢复；寻不变量问题则是通过找出问题中的不变量来解决实际问题。

教学目标1. 理解工程问题、还原问题、寻不变量问题的概念和基本解题思路。

2. 学会运用数学知识解决工程问题、还原问题、寻不变量问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

教学难点1. 理解工程问题中的工作量、工作效率、工作时间的关系。

2. 掌握还原问题的解题方法，能够准确找出变化前后的关系。

3. 学会寻找问题中的不变量，并将其应用于解决问题。

教具学具准备1. 教学PPT2. 教学视频3. 实例题目4. 解题工具（如计算器、草稿纸等）教学过程1. 导入：通过实例引入工程问题、还原问题、寻不变量问题，激发学生兴趣。

2. 基本概念讲解：详细讲解工程问题、还原问题、寻不变量问题的基本概念和解题思路。

3. 实例解析：通过实例解析，让学生深入了解各类问题的解题方法。

4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，教师巡回指导。

板书设计1. 工程问题：工作量、工作效率、工作时间的关系。

2. 还原问题：变化前后的关系，如何恢复原状。

3. 寻不变量问题：找出问题中的不变量，解决问题。

作业设计1. 工程问题：设计一道实际工程问题，让学生计算工作量、工作效率、工作时间。

2. 还原问题：设计一道还原问题，让学生找出变化前后的关系，恢复原状。

3. 寻不变量问题：设计一道寻不变量问题，让学生找出问题中的不变量，解决问题。

课后反思本节课通过实例引入、概念讲解、实例解析、课堂练习等方式，让学生掌握了工程问题、还原问题、寻不变量问题的解题方法。

在教学过程中，要注意引导学生理解各类问题的本质，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

抓不变量解答分数应用题一、抓住和不变1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人? 练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。

如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户?2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱?3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?二、抓住部分不变1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。

又买来多少本科技书？练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克?2、现有质量分数为20％的食盐水80克。

把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克?练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块?2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？三、抓住差不变王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？综合练习：1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。

那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个?2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克?3、乙队原有人数是甲队的3/7。

六年级奥数解题方法-抓不变量
奥数学习有利于训练孩子的思维能力，让孩子在解题的过程中能够从不同的角度进行思考。

下面是小编整理的小学五年级奥数题及解析，大家可以看下。

数学题中，常常会出现数量的增减变化，但这些量变化时，与它们相关的另外一些量却没有改变。

这种“不变量”往往在分析数量关系时起到重要作用。

例一今年小明8岁，小强14岁。

几年后小明和小强岁数的和是40岁?
从年龄上不变来找解题的“突破口”
小明和小强的年龄差是：14-8=6(岁)
小明那一年是：(40-6)÷2=17(岁)
是在几年之后呢?17-8=9(年)
例二王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比1大)。

王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。

两个数的积究竟是多少?
91=7×13 =1×91 ，所以175和91的公约数是1或7，因为乙数比1大，所以乙数一定是7。

抓住：一个因数(乙数)没有变，乙是91和175的公约数
91÷7=13……王进看错了的甲数
175÷7=25……张明看错了的甲数。

15×7=105。

一对一个性化辅导教案学生姓名学校年级小六教师姓名辅导科目数学消耗课时次数第 1 次授课时间课题抓不变量解决问题教学重点在化新为旧，化繁为简中理解转化策略的价值，丰富学生的策略意识，会用“转化”策略解决问题。

教学难点抓住不变量，寻找转化突破，初步掌握转化的方法和技巧。

教学目标1.抓住不变量，寻找转化突破，初步掌握转化的方法和技巧；2.初步学会比较系统地、有意识地运用转化策略分析问题，进一步积累运用转化策略解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，主动克服在解决问题中遇到的困难，获得成功的体验。

课堂评价学生上次作业评价：○好○较好○一般○差学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差课堂小结教师签名：管理人员签字：日期：年月日【课前小测】 成绩：_____________1. 六年级两个班共有学生92人，如果从六（1）班调8人到六（2）班，那么六（1）班和六（2）班人数的比是10：13，两个班原来各有多少人？（25分）2. 少年宫招收音乐班学生，已录取女生30人，男生8人。

要使男生达到总人数的52，还要录取男生多少人？（25分）3. 建设工程队第一分队与第二分队人数的比是1：2，从第二分队调出6人到第一分队，这时第一、二分队人数的比是3：4。

原来第一分队比第二分队少多少人？（25分）4. 一杯糖水中糖和水的质量比是3:50，再加入20克糖后，糖和水的质量比变成4:25。

原来这杯糖水中糖有多少克？水有多少克？（25分）【方法探讨】1. 对比下面各题，并解决。

(1) 甜甜、贝贝和丽丽三人收集废旧电池共420节，他们收集数量的比是8﹕12﹕15，他们分别收集多少节？(2) 甜甜、贝贝和丽丽三人收集废旧电池共420节，甜甜与贝贝收集数量的比是2﹕3，贝贝与丽丽收集数量的比是4﹕5，他们分别收集多少节？(3) 甜甜、贝贝和丽丽三人收集废旧电池共420节，甜甜收集数量比贝贝少13，贝贝收集数量是丽丽收集数量的80%，他们分别收集多少节？2. 有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的91，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的61。

变中抓不变（总量不变）执教教师：漳州市华安县高安中心小学林光明指导教师：漳州市华安县高安中心小学邹晓红教学设计思考和提出的问题如何抓住变量中的不变量为解题突破口⒈起点。

知识起点：学生已经掌握分数乘、除法应用题的解题思路以及它们之间的内在联系。

已有生活认知：单位“1”不同需要转化统一。

思维特点：变中抓不变是一个相对抽象的思想，学生在处于从具体到抽象的过渡的思维阶段，如何顺利把握知识的要点，提升思维尤为关键。

⒉终点。

让学生经历整理信息、利用信息的过程，抓准单位“1”，把不变量往单位“1”统一。

⒊过程与方法。

让学生经历“联想”，加深理解和掌握分数应用题解题思路与方法。

把不变量往单位“1”统一是学生学习最大的难点，其难在于学生在探究时，无法找准单位“1”的量，本课在探究过程中，先让孩子感受单位“1”的转化尝试，再介绍变中抓不变的三种形式，为学生形成变中抓不变的思想做好铺垫。

教学内容《义务教育教科书·数学》（人教版）六年级上册解决问题之变中抓不变教学目标1、使学生进一步掌握分数乘、除法应用题的解题思路以及它们之间的内在联系。

加深理解和掌握分数应用题解题思路与方法。

2、使学生会正确、熟练地解答分数应用题,提高学生分析问题和解决问题的能力。

3、使学生经历整理信息、利用信息的过程，初步学习统筹兼顾、优化组合的本领。

4、培养学生的合作意识和自主学习的能力，体会数学就在身边，让学生感受到学习数学的乐趣。

教学重点：找准单位“1”,理清单位“1”的量、分率及分率对应量之间的关系。

教学难点：抓准单位“1”，把不变量往单位“1”统一。

教学具：自制PPT课件、学习单。

教学过程一、故事情境，激发兴趣。

1、讲小猴分桃的故事，学生解疑。

2、找不变量。

3、揭示板书课题。

【设计意图：通过故事情景和抓不变量的练习，既激发学生的学习兴趣，又了解变中抓不变的三种形式，为学生形成变中抓不变的思想做好铺垫。

】二、合作探究，尝试解决。

【例1】高安中心小学合唱队人数是舞蹈队人数的 ，如果将合唱队队员调6人到舞蹈队，则合唱队人数变为舞蹈队人数的 ，原合唱队、舞蹈队一共有多少人？ 1.学生讨论交流，尝试解答。