机械优化设计试题包括答案

机械优化设计试题包括答案 1 / 6

计算题

1．试用牛顿法求 f X 8x12 5x2 2 的最优解，设 X 0 10 10 T 。

初始点为 X 0 10 10 T

，则初始点处的函数值和梯度分别为

f X 0 1700

f X 0 16x1 4 x2 200 ，沿梯度方向进行一维找寻，有

4x1 10 x2 140

X 1

X 0

f X 0 10 200 10 200 0

0 10 0 140 10 140 0

0 为一维找寻最正确步长，应满足极值必要条件

f X 1 min f X 0 f X 0

min 8 10 200 2 4 10 200 10 140 5 10 140 2

0 0 0 0

min

0 1060000 0 59600 0 ，

59600

从而算出一维找寻最正确步长 0 1060000

则第一次迭代设计点地址和函数值 X 1

10 200

10 140

0

0

f X 1 24.4528302 ，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，即可

求得最优解。

2、试用黄金切割法求函数 f 20 的极小点和极小值，设找寻区间

a, b 0.2,1 （迭代一次即可）

解：显然此时，找寻区间 a,b 0.2,1 ，第一插入两点 1和 2 ，由式

1 b

2 a

计算相应插入点的函数值 f 1 40.0626, f 2 29.4962 。 机械优化设计试题包括答案 2 / 6

由于 f 1 f 2 。因此消去区间 a, 1 ，获取新的找寻区间 1 ,b ，

即1 ,b a,b 0.5056,1 。

第一次迭代：

插入点 1 0.6944 ， 2

相应插入点的函数值 f 1 29.4962, f 2 ，

由于 f 1 f 2 ，故消去因此消去区间 a, 1 ，获取新的找寻区间

1 ,b ，则形成新的找寻区间 1 ,b a,b 0.6944,1 。至此完成第一次迭代，

连续重复迭代过程，最后可获取极小点。

3．用牛顿法求目标函数 f X 16x12 25x22 +5 的极小点，设 X 0 2 2 T 。

f

解：由 X 0

2 2 T

f X 0 x1 32x1 64

，则 f 50x2 100

x2

2 f 2 f

2 f X 0 x12 x1 x2 32 0 ， 其 逆 矩 阵 为

2 f

2 f 0 50

x2 x1 x22

1 0

2

0 1 32

f X

1

0

50

1 0

1 0 2 0 1 0 2 32 64 0

因此可得： X X f X X

f 2 1 100 0

0

50

f X 1 5 ，从而经过一次迭代即求得极小点 X 0 T

5

0 ， f X

4.下表是用黄金切割法求目标函数 f 20 的极小值的计算过程，请完成

下表。 机械优化设计试题包括答案 3 / 6

迭代序号 a 1 2 b y1 比较y2

0 1

1

迭代序号 a 1 2 b y1 比较y2

0 1 〉

1 1 〉

5、 求二元函数 f(x 1,x2)=x 12+x 22-4x1-2x2+5 在 x0=[0 0] T 处函数变化率最大的方向和数值？

解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量 P 表示函数变化率最大和数

值是梯度的模 II f ( x0 ) II 。求 f(x 1,x2)在 x0 点处的梯度方向和数值，计算以下：

f

2x1 4

4

f (x0 ) = x1 = =

f 2x2 2 x 2

x2 0

x0

II f (x0 ) II= ( f )2 ( f ) 2 = ( 4) 2 ( 2) 2 2 5

x1 x2

4 2

P= f ( x0 ) 2 5

f ( x0 ) 2 5 1

5

在 x1 x2 平面上画出函数等值线和 x0 （ 0,0）点处的梯度方向 P，如图 2-1 所示。从图中可

以看出，在 x0 点函数变化率最大的方向 P 即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方

向。 机械优化设计试题包括答案 4 / 6

6、 用共轭梯度法求二次函数 f(x 1,x2)=x 12+2x 22-4x 1-2 x1x2 的极小点及极小值？

解： 取初始点 x01 1 T

则 2x1 2x2 4 4

g0= f ( x0 )

4x2 2x1 x 0 2

取 d 0=-g0= 4

2

沿 d0 方向进行一维找寻，得

1 4 1 4

x1=x0+ 0 d 0= 0

2 1 2 1

0

0

其中的 0 为最正确步长，可经过 f（ x1） = min 1 ( ), 1 ( 0 ) 0

求得 1

0 =

4

则 x1 1 4 1 4

= 0

2 1 2 1

0

0 2

= 1 2

为建立第二个共轭方向 d 1，需计算 x1 点处的梯度及系数 0 值，得

g1= f（ x1） = 2x1 2x2 4 1

4x2 2x1

2 x1

2

5 1

0 g1

2

20 4

g0

从而求得第二个共轭方向

1 1 4 2

1 1 0 3

d =-g + 0 d =

4 2 2 2

再沿 d 1 进行一维找寻，得

2 2 2 2

x2=x1+ 1 d1 = 1 1 3 1 3

2 2 2 2

1

1 机械优化设计试题包括答案 5 / 6

其中的 1 为最正确步长，经过 f （x2） = min 2 ( ), 2 ( 1) 0

求得 1 =1

则 x2=

计算 x2 点处的梯度

2 2 2 2

1 1 3 1 3

2 2 2 2

1 4

=

1 2

g2 = f （ x2） = 2x1 2x2 4 0

4 x2 2x1 0

x2 0

说明 x2 点满足极值必要条件，再依照 x2 点的海赛矩阵

G(x2)= 2 2

2 4

是正定的，可知 x2 满足极值充分必要条件。故 x2 为极小点，即

x* x 2 4

2

而函数极小值为 f ( x* ) 8 。

7、求拘束优化问题

Minf(x)=(x 1 -2) 2 2 2

+(x -1)

s.t. h(x)=x 1+2x 2-2=0

的最优解？

解： 该问题的拘束最优解为 x* 0.2 T , f ( x* ) 0.8 。

由图 4-1a 可知，拘束最优点 x* 为目标函数等值线与等式拘束函数（直线）的切点。

用间接解法求解时，可取 2，变换后的新目标函数为

( x, 2 ) ( x1 2) 2 ( x2 1)2 0.8(x1 2 x2 2)

可以用剖析法求 min x 2

) ，即令 0

，获取方程组

( ,

2(x1 0

x1

2( x2 1) 1.6 0

x2

解此方程组，求得的无拘束最优解为：x* 0.2 T , ( x* , 2 ) 0.8 其结果和原拘束最 机械优化设计试题包括答案 6 / 6

优解相同。图 4-1b 表示出最优点 x* 为新目标函数等值线族的中心。

图 4-1

a）目标函数等值线和拘束函数关系 b）新目标函数等值线