小学奥数六年级举一反三第21周 抓不变量解题

学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第15讲——抓“不变量”解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想，并能用这些思想教学目标解决现实生活中的问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。

如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。

但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。

在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。

抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。

根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。

典例分析考点一：总量不变题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。

解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。

例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?例2、小军原有的钱数是小明的3/4，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。

小军原来有多少元钱？例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16，后来又转走了4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原来有学生多少名？P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。

问又转入多少名女生？课后反击1、育才小学六（1）班原有女生26人，其中女生人数占全班人数的13/29，现又转出若干名女生，这时，女生人数占全班的3/7。

六年级奥数举一反三第21周抓不变量解题专题简析；一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子·分母的差，或分子·分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

例1．将4361 的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

解法一；因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题；“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。

”分母；【61-43】÷【1－79 】＝81分子；81×79 ＝6381-61＝20或63-43＝20解法二；4361 的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将79的分子·分母同时扩大【18÷2=】9倍。

① 79 的分子·分母应扩大；【61-43】÷【9-7】＝9【倍】②约分后所得的79 在约分前是；79 ＝7×99×9 ＝6381③所加的数是81-61＝20答；所加的数是20。

练习1；1· 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？2· 分数113 的分子·分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少？3·319 的分子·分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？ 4· 将5879 这个分数的分子·分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？例2；将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。

解法一；因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。

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2015年暑期六年级奥数——抓住不变量解题讲义姓名一、抓住和不变1．甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨,甲乙原来各有多少吨？2．某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的14,后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的13，问某班五年级有学生多少人?3．甲、乙两人原有钱的比是3∶4,后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的12,原来两人各有多少元钱?二、抓住部分量不变4．有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的19，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的16.又买来多少本科技书？5．有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98%，晾晒后的蘑菇重多少千克？6．现有浓度为20%的食盐水80克。

把这些食盐水变为浓度为75％的食盐水，需要再加食盐多少克?三、抓住差不变7．王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3∶2，他们两家每月支出为1200元,两家每月结余的钱数比为9∶4,王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？8．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中,如果增加10个奶糖,巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。

那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个？2015年暑期六年级奥数——抓住不变量解题过关练习1姓名1．甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的13给乙，甲还比乙多15,甲乙原来各有多少吨?2．明放一群鸭子,岸上的只数是水中的34,从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?3．煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算,没交款的户数占已交款户数的18.如果少收2户,则没交款的户数恰好占已交款户数的16，这幢楼有多少住户?4．有一堆糖果，其中奶糖占45%,再放16块水果糖后,奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块？5．在阅览室里,女生占全室人数的13，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的513，阅览室原有多少人?6．现有浓度为20%的食糖水160克,把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克？7．乙队原有人数是甲队的37。

抓“不变量”解决实际问题
1、有甲乙两筐水果，甲占总数的55%，若从甲筐中拿出
7.5千克放入乙筐，这时乙筐是总数的3/5,两筐共重多少千
克？
2、一本书读了3天后，已读的页数是未读页数的3/4，再
读36页，已读的是未读的4/5，这本书共有多少页？
3、学校买来彩色粉笔是白色粉笔的1/5，后来检查发现错
误的把2盒彩色粉笔当成白色粉笔，实际彩色粉笔是白色粉笔的1/4，学校共买来多少盒粉笔？
4、甲、乙二人共有科技书若干本，其中甲占总数的60%，若甲给乙14本，则甲剩下的书占总数的25%，甲、乙两人共有科技书多少本？
5、甲、乙两水泥堆，原来甲堆水泥是乙堆的5/7，若从乙堆中调出6袋给甲堆，甲堆水泥是乙堆的4/5，原来一共有多水泥多少吨？
6、甲、乙两个仓库，甲仓库存水泥是总数的56%，如果从甲仓库调6吨水泥到乙仓库，这时两仓库水泥重量相等，两仓库共有水泥多少？。

修改整理加入目录，方便查用，六年级奥数举一反三目录第1讲定义新运算 (3)第2讲简便运算（一） (6)第3讲简便运算（二） (9)第4讲简便运算（三） (11)第5讲简便运算（四） (14)第6讲转化单位“1”（一） (17)第7讲转化单位“1”（二） (19)第8讲转化单位“1”（三） (22)第9讲设数法解题 (25)第10讲假设法解题（一） (28)第11讲假设法解题（二） (31)第12讲倒推法解题 (34)第13讲代数法解题 (37)第14讲比的应用（一） (40)第15讲比的应用（二） (43)第16讲用“组合法”解工程问题 (47)第17讲浓度问题 (50)第18讲面积计算（一） (53)第19讲面积计算（二） (58)第20讲面积计算 (63)第二十一周抓“不变量”解题 (68)第二十二周特殊工程问题 (70)第二十三周周期工程问题 (74)第二十四周比较大小 (81)第二十五周最大最小问题 (85)第26周加法、乘法原理 (88)第27周表面积与体积（一） (90)第28周表面积与体积（二） (99)第二十九周抽屉原理（一） (102)第三十周抽屉原理（二） (107)第三十一周逻辑推理（一） (111)第三十二周逻辑推理（二） (118)第三十三周行程问题（一） (124)第三十四周行程问题（二） (131)第三十五周行程问题（三） (140)第三十六周流水行船问题 (147)第三十七周对策问题 (150)第三十八周应用同余问题 (152)第三十九周“牛吃草”问题 (154)第四十周不定方程 (157)第1讲 定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

小学数学奥数六年级举一反三小学数学奥数一直是中国学生最喜欢的学科，尤其是小学六年级的孩子们，最为热衷，他们会花大量的时间钻研算法，努力解决枯燥难点，尤其是举一反三这一题型，非常考验学生的深度思考和逻辑推理能力。

首先，我们来看看什么是举一反三这个题型，它是指用一个例子来进行分析、推理，从而得到更多的结论，也就是由一而多的过程。

这是一种通过深度思考和逻辑推理，将一般的问题转变为丰富的方法的做法，它的基本步骤是：首先，要仔细分析题目，确定问题的实质；其次，要从一个例子出发，利用逻辑思维，归纳推理出更多的例子；最后，要通过分析，形成完整的总结结论。

在小学数学奥数中，举一反三是很典型的一种题型，它可以很好地考验孩子的深度思考能力和逻辑推理能力。

其次，小学数学奥数举一反三要求孩子们灵活运用数学知识解决实际问题，在孩子们掌握了解决问题的基本方法后，帮助他们提高抽象思维能力。

学习中，可以通过一系列实际问题来检验孩子们的综合运用能力和深度思考能力，比如：例题1：有一个正六边形，其中有一个顶点上有三个颜色，分别是红、黄、蓝色，求这个正六边形的其它顶点上的颜色。

解答：由于正六边形，所以这个问题有三个解：第一个解：每个顶点上的颜色都不一样，即：红、黄、蓝、绿、紫、橙。

第二个解：每个顶点上的颜色都一样，即：红、红、红、红、红、红。

第三个解：三个颜色交替出现，即：红、蓝、黄、紫、橙、绿。

以上就是小学数学奥数中的举一反三题型，它考验孩子们的深度思维和逻辑推理能力。

再来讲讲，如何指导小学六年级的学生们进行举一反三的学习。

首先，要清楚的了解、熟悉举一反三的技巧，以便在实际应用中能够熟练操作；其次，要充分发挥孩子们的潜能，让孩子们实现想象力的自由发挥，这样才能激发他们的学习兴趣；最后，要多给孩子们一些实际的练习机会，让他们不断的积累经验和熟悉步骤。

以上就是小学数学奥数六年级举一反三的介绍，从而可以看出，举一反三是不仅是考验孩子们的深度思考、逻辑推理能力，更是考验孩子们思维技能的一种能力，清楚理解举一反三的技巧，灵活运用数学知识解决实际问题，这是小学数学奥数六年级学生学习举一反三的重要基础。

举一反三奥数六年级题目奥数指的是OlympiadMathematics，即奥林匹克数学竞赛，是针对中小学生而举办的竞赛。

它鼓励学生通过理性思考和推理，开发其数学智慧，研究非家数学中的有趣问题，以及学习和解决紧密相关的问题。

本文将介绍一些奥数六年级题目，并以“举一反三”的方法来分析和解决这些题目，以帮助学生更好地理解和掌握奥数思路。

首先，让我们来举一个奥数六年级题目。

假设有三个数A、B、C，满足A + B + C = 24，且A、B、C均是质数，求A、B、C的值。

解决这道题目的方法，就是“举一反三”。

首先，我们可以先确定一个质数。

假设A=5，那么我们就可以推出B=13,C=6，这时A+B+C=24，满足题目要求。

现在，让我们以A=5为例，来反推出其他组合可能的质数构成。

如果A=5，B=13，由于A + B + C = 24，那么C=24-5-13=6，满足题目要求；如果A=5，B=7，由于A + B + C = 24，那么C=24-5-7=12，但是12不是质数，所以不满足题目要求。

如果A=5，B=11，由于A + B + C = 24，那么C=24-5-11=8，但是8不是质数，所以不满足题目要求。

如果A=5，B=17，由于A + B + C = 24，那么C=24-5-17=2，满足题目要求，因此可证明A=5，B=17，C=2也是一种有可能的解。

因此，通过“举一反三”方法，此题的答案可有以下两种：A=5，B=13，C=6；A=5，B=17，C=2。

以上就是一道奥数六年级题目的解决方案，也是“举一反三”的运用。

下面我们将运用“举一反三”的方法，来解决其他类型的奥数六年级题目。

假设有一个正四棱锥，要求计算它的表面积、体积。

解：我们先计算正四棱锥的底面积S，假设正四棱锥的底面是菱形，那么S=ab2，其中a、b为菱形的两条边长之和，那么正四棱锥的表面积A=2S+4S1，其中S1为正四棱锥的侧面积，其计算方法是：以某一个垂足为起点，画出菱形的三边，再将该点连接到菱形边长a 所在的顶点，则此四边形的面积就是正四棱锥的侧面积S1，根据“举一反三”，此侧面积S1与菱形面积S一样大，即S1=S；接下来，根据正四棱锥的体积公式V=1/3Sh，此时就可以求得正四棱锥的体积了。

小学奥数举一反三（六年级）1-20六年级数学奥数举一反三（上册)第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。

但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

【思路导航】这题新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。

这里“*”就代表一种新运算。

在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。

因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。

求27*9。

2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p、q 是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。

求3△(4△6)。

【思路导航】根据定义先算4△6。

在这里“△”是新的运算符号。

练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。

2．设p、q 是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。

求30△（5△3）。

3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。

【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。

小升初数学要抓不变量解题知识导航:在小学数学应用题中犹以分数应用题为学生的一大难点。

其中一类分数应用题以其特有的结构和数理关系使多数学生难以入手。

为此，经过多年的实践和摸索，我总结了一套行之有效的方法，让教者易教，学者易学。

那就是找准题目中的不变量，以不变量为突破口，根据数量间的数理关系解决问题。

抓不变量问题主要分以下三种情况。

一.抓住“和不变”在许多应用题中，看似很复杂，只要抓住某一个量是不变的，问题就好解决了。

和不变，也就是总量不变，就以不变量为单位“1”，再用“量”“率”对应解题，就很简单了。

例如：第一桶柴油的重量是第二桶的6 倍，从第一桶取出12 千克柴油加入第二桶，这时第一桶柴油的重量是第二桶的4 倍，原来第一桶有柴油多少千克？分析：两桶柴油的重量总是不变的，又未知，要看作单位“1”的量。

则“取前”第二桶占两桶总量的1÷（1 6）=1/7，“取后”第二桶占两桶总量的1÷（1 4）=1/5，第一桶取前取后差12千克，占两桶总量的1/5-1/7＝2/35，故两桶总量为：12÷2/35=210（千克）。

原来第一桶：210×6/7=180（千克）二. 抓住“差不变”有些应用题中，原来两个量的总量不同，它们用去同样多后，所剩下的总量还是不同的，但是，原来总量的差等于现在两个量的差，它们的差是不变的。

例如：新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生48 人，六年二班有学生56 人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2/11，两个班各转出多少人？分析：两个班的人数都发生了变化。

谁不变呢？惟有转出人数相同是不变的量，所以转出前后两班人数差是不变的，又未知，必须要先求出来。

即两班人数差为：56－48＝８（人），对应转出后六年二班人数还比六年一班人数多2/11。

因此转出后一班人数为：８÷2/1144（人），转出人数是：48－44＝４（人）。