六年级奥数分册第21周 抓不变量解题【最新】

六年级奥数抓住不变量解答分数应用题(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--六年级抓不变量解答分数应用题一、抓住和不变1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。

如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户?2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱?3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?二、抓住部分不变1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。

又买来多少本科技书？练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克?2、现有质量分数为20％的食盐水80克。

把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克?练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块?2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？三、抓住差不变王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？综合练习：1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。

2022-2023学年小学六年级思维拓展专题 抓不变量解题(分数的基本性质)知识精讲一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

典例分析【典例01】将4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。

”分母：(61-43)÷1-79=81分子：81×79=6381-61=20或63-43=20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大(18÷2=)9倍。

179的分子、分母应扩大：(61-43)÷(9-7)=9(倍)2约分后所得的79在约分前是：79=7×99×9=63813所加的数是81-61=20答：所加的数是20。

【典例02】将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54倍还多2。

由“分母加1得23”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：(2+1)÷32-54=12分母：12×32-1=17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

1将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。

23=46=1218，45=12152原分数的分母是：18-1=17或15+2=17答：这个分数为12 17。

【典例03】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于57。

如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于12，求原来的最简分数是多少。

一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有 变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转 化并解答。

二、精讲精练437 将的的分子与分母同时加上某数后得G ，求所加的这个数。

61 9解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18， 所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是g分母的G ，由此可求出新分数的分子和分母。

”9g分母：（61-43）+（1— ）=819 g分子：81X- =63981-61=20或63-43=20 43 g解法二：所的分母比分子多18,-的分母比分子多2,因为分数的与分母的差不变，所以 61 9-将5的分子、分母同时扩大（18+2=）9倍。

9 -①Q 的分子、分母应扩大：（61-43）・（9-7）=9 （倍） 9 - - -X9 63②约分后所得的G 在约分刖是：Q =不二 =*9 9 9X9 81③ 所加的数是81-61=20答：所加的数是20。

练习1：97 21、 分数有 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是三，那么减去的数是多少？181 5六年级奥数——抓“不变量”解题【例题1】43132、分数百的分子、分母同加上一个数后得三，那么同加的这个数是多少？13 5353、w的分子、分母加上同一个数并约分后得亍，那么加上的数是多少？19 758 24、将元这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是耳，那么减去的数是79 3多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得耳，如果将它的分母加上1，则得3，求这个分数。

4解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得5 ”可知，分母比分子的5倍还多2。

由“分母加i得2 ”可知，分母比分子的2倍少1, 从而将原题转化成一个盈亏问题。

抓“不变量”解决实际问题
1、有甲乙两筐水果，甲占总数的55%，若从甲筐中拿出
7.5千克放入乙筐，这时乙筐是总数的3/5,两筐共重多少千
克？
2、一本书读了3天后，已读的页数是未读页数的3/4，再
读36页，已读的是未读的4/5，这本书共有多少页？
3、学校买来彩色粉笔是白色粉笔的1/5，后来检查发现错
误的把2盒彩色粉笔当成白色粉笔，实际彩色粉笔是白色粉笔的1/4，学校共买来多少盒粉笔？
4、甲、乙二人共有科技书若干本，其中甲占总数的60%，若甲给乙14本，则甲剩下的书占总数的25%，甲、乙两人共有科技书多少本？
5、甲、乙两水泥堆，原来甲堆水泥是乙堆的5/7，若从乙堆中调出6袋给甲堆，甲堆水泥是乙堆的4/5，原来一共有多水泥多少吨？
6、甲、乙两个仓库，甲仓库存水泥是总数的56%，如果从甲仓库调6吨水泥到乙仓库，这时两仓库水泥重量相等，两仓库共有水泥多少？。

六年级奥数——抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练【例题1】437将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。

619解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是7分母的，由此可求出新分数的分子和分母。

”97分母：（61-43）÷（1－）＝8197分子：81×＝63981-61＝20或63-43＝20437解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以6197将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

97①的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）9777×963②约分后所得的在约分前是：＝＝98199×9③所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

1练习1：9721、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？1815132、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？13535 的分子、分母加上同一个数并约分后得、，那么加上的数是多少？31975824、将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是793多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。

534解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”5523可知，分母比分子的倍还多2。

由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，432从而将原题转化成一个盈亏问题。

35分子：（2+1）÷（－）=12243分母：12× -1＝172解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

六年级奥数解题方法-抓不变量
奥数学习有利于训练孩子的思维能力，让孩子在解题的过程中能够从不同的角度进行思考。

下面是小编整理的小学五年级奥数题及解析，大家可以看下。

数学题中，常常会出现数量的增减变化，但这些量变化时，与它们相关的另外一些量却没有改变。

这种“不变量”往往在分析数量关系时起到重要作用。

例一今年小明8岁，小强14岁。

几年后小明和小强岁数的和是40岁?
从年龄上不变来找解题的“突破口”
小明和小强的年龄差是：14-8=6(岁)
小明那一年是：(40-6)÷2=17(岁)
是在几年之后呢?17-8=9(年)
例二王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比1大)。

王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。

两个数的积究竟是多少?
91=7×13 =1×91 ，所以175和91的公约数是1或7，因为乙数比1大，所以乙数一定是7。

抓住：一个因数(乙数)没有变，乙是91和175的公约数
91÷7=13……王进看错了的甲数
175÷7=25……张明看错了的甲数。

15×7=105。

第21讲 抓“不变量”解题专题简析：一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

例1．将4361 的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。

”分母：（61-43）÷（1－79 ）＝81分子：81×79 ＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：4361 的分母比分子多18，79 的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

① 79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381③ 所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

练习1：1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少？3、319 的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？ 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23 ，那么减去的数是多少？例2：将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。

由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

第21周抓“不变量”解题专题简析一些分数的分子与分母发生了加减变化，解答时，关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等不变量进行分析后，再转化并解答。

王牌例题1将43/61的分子与分母同时加上某数后得7/9.求所加的这个数。

【思路导航】解法一:因为分数的分子与分母加上了同一个数，所以分数的分母与分子的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一个简单的分数问题:“一个分数的分子比分母少18，且分子是分母的7/9，由此可求出新分数的分子和分母。

”分母：分子:81×7/9 = 6381—61 = 20 或 63 — 43 = 20解法二:43/61的分母比分子多18，7/9的分母比分子多2。

因为分数的分母与分子差不变，所以将7/9的分子、分母同时扩大到原来的 18÷2=9(倍)。

①7/9的分子、分母应扩大到原来的:(61—43) ÷ (9—7)=9(倍）②约分后所得的7/9在约分前是③所加的数是:81 —61=20答:所加的这个数是20。

举一反三11. 分数97/181的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是2/5。

求减去的这个数。

2. 分数1/13的分子、分母同加上一个数后得3/5。

求同加的这个数。

3. 3/19的分子、分母加上同一个数并约分得5/7.求加上的这个数。

4. 将58/79这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是2/3。

求减去的这个数。

王牌例题2将一个分数的分母减去2得4/5。

如果将它的分母加上1，则得2/3。

求这个分数。

【思路导航】解法一:因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得4/5可知，分母比分子的5/4倍还多2。

由“分母加1得2/3”可知,分母比分子的3/2倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子:分母:解法二:两个新分数在未约分时，分子相同。

①将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3。

第21周抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练【例题1】将4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。

” 分母：（61-43）÷（1－79）＝81 分子：81×79＝63 81-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的79在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？ 2、分数113的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？ 3、319的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？4、将5879这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54 倍还多2。

由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（32－54）=12 分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

六年级奥数抓不变量解题
在六年级奥数中，抓不变量是一种常用的解题方法。

抓不变量是指在问题的每一步变换中，通过找到一个保持不变的性质来解决问题。

以下是一些常见的抓不变量解题方法和例子：
1. 总数不变：问题中的某些属性总数保持不变。

例子：有一串递增的连续整数，如果删除其中一个数，则剩下的数可以排成递增的连续整数。

这里总数不变的抓不变量是递增的连续整数的总数。

2. 和不变：问题中的某些数的和保持不变。

例子：一个棋盘上有若干个棋子，每次转动或移动棋盘上的一行或一列。

证明每次转动或移动后，棋盘上白色棋子的和与黑色棋子的和保持相同。

这里和不变的抓不变量是白色棋子的和与黑色棋子的和。

3. 差不变：问题中的某些数之间的差保持不变。

例子：有一组数字，每次选择其中的两个数a和b，然后将它们替换为a+b 和|a-b|。

证明无论选择哪两个数，替换后的数列的最小值都保持不变。

这里差不变的抓不变量是任意两个数的差的绝对值。

抓不变量方法通常需要通过观察问题的性质和变换规律来发现，并根据它们构造合适的抓不变量。

通过抓不变量，可以简化问题的复杂性，提供思考方向，使问题的解决更加直观和简单。

第十二讲 抓“不变量”解题【典型例题1】将4361的分子与分母同时加上某数后得79。

求所加的这个数。

【分析】解法一:因为分数的分子与分母加上了同一个数,所以分数的分母与分子的差不变,仍是18,所以,原题转化成了一个简单的分数问题:“一个分数的分子比分母少18,且分子是分母的79,由此可求出新分数的分子和分母。

”分母:(61-43)÷（1—79）=81 分子:81×79 =6381-61=20或63-43=20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2。

因为分数的分母与分子差不变,所以将79的分子、分母同时扩大到原来的18÷2=9(倍)。

①79 的分子、分母应扩大到原来的:(61-43)÷(9-7)=9(倍)②约分后所得的79在约分前是:79 = 7×99×9= 4361 ③所加的数是:81-61=20”答:所加的这个数是20。

【随堂练习1】（1）分数 97181 的分子和分母都减去同一个数,新的分数约分后是 25。

求减去的这个数。

（2）分数 113 的分子、分母同加上一个数后得 35。

求同加的这个数。

【典型例题2】将一个分数的分母减去2得 45。

如果将它的分母加上1,则得 23，求这个分数。

【分析】解法一:因为两次都是改变分数的分母,所以分数的分子没有变化,由“它的分母减去2得 45”可知,分母比分子的 54倍还多2。

由“分母加1得 23”可知,分母比分子的 32倍少1,从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子:(2+1)÷（32—54）=12 分母:12×32—1=17 解法二:两个新分数在未约分时,分子相同。

①将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3。

23= 46= 1218； 45= 1215②原分数的分母是:18—1=17或15+2=17 答:这个分数为 1217。

【随堂练习2】1、将一个分数的分母加上2得 79，分母加上3得 34。

第21讲“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练【例题1】将6143的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。

” 分母：（61-43）÷（1－79）＝81 分子：81×79＝63 81-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的79在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25，那么减去的数是多少？2、分数113 的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？3、将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54 倍还多2。

由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（32 －54）=12 分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

第二十一周 抓“不变量”解题专题简析：一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

例1．将4361 的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。

”分母：（61-43）÷（1－79 ）＝81分子：81×79 ＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：4361 的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将79 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

① 79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381③ 所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

练习1：1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少？3、319 的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？ 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？例2：将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。

由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。