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数电1-6 公式化简法

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数电1-6_公式化简法

数电1-6_公式化简法
数字电子技术基础
阎石主编（第五版）
信息科学与工程学院基础部
标准与或式和标准或与式之间的关系
【 】
内容 回顾
k
若Y

mi，
则Y

k i
m k
M
k i
如果已知逻辑函数Y=∑mi时，定能将Y 化成编号i以外的那些最大项的乘积。
1
2.6 逻辑函数的化简方法
逻辑函数的最简形式
常见逻辑函数的几种形式
5
【例3】 Y AB AC BC AB ( A B)C
AB ( AB )C
AB C
6
5. 配项法 利用公式 A A A 和 A A 1 先配项 或添加多余项，然后再逐步化简。 【例1】 Y A BC ABC ABC
15
一.卡诺图
1. 定义：将逻辑函数的真值表图形化，把真值表中 的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成 二维图表，即为卡诺图，它是由卡诺（Karnaugh） 和范奇（Veich）提出的。 2. 卡诺图的构成：将最小项按相邻性排列成矩阵，就 构成卡诺图。实质是将逻辑函数的最小项之和以图形 的方式表示出来。最小项的相邻性就是它们中变量 只有一个是不同的。
（AB AB） (BC BC)
AB AB(C C) BC( A A) BC
配项
被吸收
AB ABC A BC ABC A BC BC
被吸收
AB AC(B B) BC
AB AC BC
整体提公因子A 只有一个变量不同的 两个最大项的乘积等 于各相同变量之和
(A+C)
10
解:
1.Y AB B AB

数电1-6_公式化简法

数电1-6_公式化简法
数字电子技术基础
阎石主编（第五版）
0
【 】 标准与或式和标准或与式之间的关系
内容 回顾
若Y
mi， 则Y
mk
Mk
ki
ki
如果已知逻辑函数Y=∑mi时，定能将Y 化成编号i以外的那些最大项的乘积。
1
【 】 2.6 逻辑函数的化简方法
内容 回顾
逻辑函数的最简形式
常见逻辑函数的几种形式
与或式、与非-与非式、与或非式、或非-或非式
AC ABC C( AD D)
AC ABC C( A D)
AC ABC AC CD A(C BC C ) CD
A CD
13
公式化简法评价： 特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快 的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运 用的熟练程度有关。 优点：变量个数不受限制。 缺点：结果是否最简有时不易判断。
【例2】
Y AB B AB A B AB A B
5
【例3】 Y AB AC BC AB ( A B)C AB ( AB)C AB C
6
5. 配项法
利用公式 A A A 和 A A 1先配项 或添加多余项，然后再逐步化简。
【例1】 Y ABC ABC ABC
14
2.6.2 逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：公式法简化逻辑函数不直观，且要熟练掌 握逻辑代数的公式以及简化技巧,目前尚无一套完整 的方法，结果是否最简有时不易判断。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。
它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺
点。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑
ABC ABC ABC ABC

数字电路与系统-逻辑运算与简化（常用三个公式）

数字电路与系统-逻辑运算与简化（常用三个公式）

数字电路与系统-逻辑运算与简化（常⽤三个公式）
常⽤公式
这些个公式实际上就是教⼈如何利⽤前⾯所述的定律，规则来进⾏简化或论证逻辑函数。

1.并项公式
从名字可以看出，⽅便逻辑运算时简化式⼦。

AB+A'B=B, （A+A'=1,A'是A变量的反变量，逻辑变量是⼆值逻辑，只能是0或者1），此处这种等式还可以进⾏对偶的扩展，
（A+B)(A'+B)=B，这样也侧⾯说明对偶对于公式的论证是有帮助的。

并项顾名思义，并的各部分先得有相同的因⼦，然后合并的部分互成反量即可。

并项也能反应出吸收率A+AB=A(1+B)=A
2.销冗余因⼦公式
消除冗余因⼦定义中主要有两部分组成，从两项到三项。

A+A'B=A+B,从公式看确实是消除了左式中的⼀项的因⼦，证明过程：(A+A')(A+B)=A+B,这步是⽤了分配律的知识，逻辑运算中的分配律挺奇怪，尤其是本式中出现的分配律，⼀个变量“或”两个变量就是可以采⽤逻辑运算中的分配律来进⾏，“或”的这种分配律是貌似算术运算中的分配律。

数电 第二章 逻辑代数基础(3)

数电 第二章 逻辑代数基础(3)

3、将合并后的各个乘积项进行逻辑相加。
数字电子技术
16
•
注意：
• 每一个1必须被圈，不能遗漏。
• 某一个1可以多次被圈，但每个圈至少包含一个新的1。
• 圈越大，则消去的变量越多，合并项越简单。圈内1 的个数应是2n（n=0，1，2…）。
• 合并时应检查是否最简。 • 有时用圈0的方法更简便，但得到的化简结果是原函 数的反函数。
在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0， 所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将 约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。
数字电子技术
21
二.任意项
在输入变量的某些取值下函数值是1 还是 0皆可，并不影响电路的功能。
由于任意项的取值不影响电路的功能。所 以既可以把任意项写入函数式中，也可以不 写进去。
数字电子技术
28
例： 例1 Y
ABC D ABCD ABC D
给定约束条件为： ABCD+ABC D+ABC D+AB C D+ABCD+ABCD+ABCD=0
AB
00 00 0 01 0
CD
01 1 x 0 x
AD
AD
Y BC 00 A 0 0 1 1
数字电子技术
01 1 1 1
11 1 0
10 1 1
13
二、用卡诺图化简函数
例1： 将 Y ( A, B, C ) AC AC BC BC 化简为最简与或式。 Y BC 00 A 0 0 1 1
01 1 1
11 1 0
10 1 1
Y BC 00 A 0 0 1 1
ABC D ABCD ABC D

数字电路复习例题

数字电路复习例题

数电例题：一、公式化简法1、化简函数Ｌ＝EAB++ABD解：先用摩根定理展开：AB＝BA+再用吸收法Ｌ＝D++＝E++BA+ABD＝)++((D+)＝)A++D+A1()1(EBB＝BA+2、化简函数Ｌ＝ABCA++B+BBAEA解：Ｌ＝ABCA+++BBEABA＝)B+E++(ABC()＝)A+B+E+BA)((BCB＝)BCBA+B++++))(A)((BBB(C=)BA+++CBA)(C(=AC+B++=CA+B+BA3、化简函数Ｌ＝B A++A+BBCBC解：Ｌ＝BBA+++CACBB＝)+A++BB⋅⋅+C+C(C)(BAABCA＝CA+CB+++⋅+⋅BABCBACABBCA＝)++⋅⋅A+++)(()(BCBBA＝)()1()1(B B C A A C B C B A +++++⋅ ＝C A C B B A ++⋅4、将下列函数化简成最简的与－或表达式 1）Ｌ＝A D DCE BD B A +++ 2) L=AC C B B A ++ 3) L=ABCD B AB +++ 解：1）Ｌ＝A D DCE BD B A +++ ＝DCE A B D B A +++)( =DCE A B D B A ++ =DCE B A D B A ++ =DCE D +++))(( =DCE D B A ++ =D B A + 2) L=AC C B B A ++ =AC C B C C B A +++)( =AC A A +++ =)1()1(A C B B AC +++ =C B AC +3) L=ABCD C B C A AB +++=ABCD A A C B C A AB ++++)( =ABCD AB ++++ ＝)()(ABCD AB ++++=)+++AB+1()1(BCD＝CAB+A二、逻辑函数的化简—卡诺图化简法：卡诺图是由真值表转换而来的，在变量卡诺图中，变量的取值顺序是按循环码进行排列的，在与—或表达式的基础上，画卡诺图的步骤是：1.画出给定逻辑函数的卡诺图，若给定函数有n个变量，表示卡诺图矩形小方块有n2个。

数字电子电路卡诺图法化简

数字电子电路卡诺图法化简
4. 真值表
A
F
0.3V
+VCC
3.6V
0.3V
A
F
0
1
1
0
表2-4 三极管非门的真值表
A与F相反
可见实现了非逻辑Y=A
二极管门电路
逻辑关系
逻辑表达式
电路组成
逻辑功能简述
逻辑符号
与
Y=A·B
全1出1 见0出0
或
Y=A+B
全0出0 见1出1
非
见0出1 见1出0
集电极开路 集电极开路门（OC门）
TTL门电路的使用知识
与其它输入端并联使用。 将不用的输入端按照电路功能要求接电源或接地。 比如将与门、与非门的多余输入端接电源，将或门、或非门 的多余输入端接地。 多余或暂时不用的输入端可以悬空，相当于高电平，如果不悬空可按以下方法处理：
返回
项目知识目标测试
（1）逻辑变量的取值，１比０大。 （ ） （2）在时间上和数值上均作连续变化的电信号称为模拟信号；在时间上和数值上离散的信号叫做数字信号。 （ ） （3）在数字电路中，最基本的逻辑关系是与、或、非。（ ） （4）具有“相异出1，相同出0”功能的逻辑门是与门。（ ） （5）一般TTL集成电路和CMOS集成电路相比，TTL集成门电路的输入端通常不可以悬空。 （ ） （6）TTL与非门多余输入端的处理方法是接地。（ ） （7）普通的逻辑门电路的输出端不可以并联在一起，否则可能会损坏器件。 （ ） （8）CMOS或非门与TTL或非门的逻辑功能完全相同。（ ）
从圈1写最简与或表达式的方法：
将每个圈用一个与项表示
看圈内变量的取值的变化，如变化就消去，如不变就保留。留同去异
取值为1用原变量，

数字电子技术 布尔代数、逻辑函数化简课件

一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来表示， 每一种函数对应一种逻辑电路。
例 5 将函数与或表达式
解 (1) 与非-与非式。
_
F AB A转C换为其它(qítā)形式。
将与或式两次取反，利用摩根定律可得
_
_
F AB AC AB AC
共四十五页
(2) 与或非式。
首先求出反函数
_
_
_ __
F AB AC A B AC
_
A
(因为B B 1)
在吸收律2的证明中， 也只证第二式：
（证毕）
A+AB=A(1+B) =A (因为1+B=1)
吸收律3也只证第二式：
（证毕）
_
A A B ( A A)( A B)
AB
_
(因为A A 1) （证毕）
共四十五页
表3-3 求反律的真值表
多余项定律(dìnglǜ)证明如下：
◆ 变量(biànliàng)的最小 项定义
对于给定个数的一组变量，所有变量参加相“与”的项叫做最小项。 在一个最小项中， 每个变量只能以原变量或反变量出现一次。
一个变量A有二个最小项：
A, A
二个变量A、B有四个最小项：
__ _
_
A B, A B, A B, AB
三个变量A、B、C有八个最小项： ABC , ABC, ABC , ABC,
逻辑(luó jí)函数与逻辑(luó Ají)图
B
_
F AB A B
&
≥1 F
&
图3-2 逻辑(luó jí)
函数
从逻辑问题概括出来的逻辑函数式， 不一定是最简式。 化简电路， 就是

数字电路逻辑函数的化简方法ppt


四变量 得卡诺图: 十六个最小项
CD
AB 00 01 11 10
00 m0 m1 m3 m2
几
01 m4 m5 m7 m6
何
11 m12 m13 m15 m14
相 邻
10 m8 m9 m11 m10
五变量 得卡诺图: CDE
三十二个最小项
AB 00
000 m0
001 m1
01几1 何01相0 邻110 m3 m2 m6
AB AB C
四、配项消项法:
[例] Y BC AC AC BC AB
BC AC AB 或 BC AC AC BC AB
冗余项
AB AC BC
[例 1、 2、 Y AB AC BC AB AC BC 15]
AB AC BC 或 AB AC BC AB AC BC
AB AC BC
综合练习:
Y ACE ABE BC D BEC DEC AE E ( AC AB BC DC A ) BC D E ( C B D A ) BC D
CE BE DE AE BC D E (B C D) AE BC D
E BC D AE BC D E AE BC D E BC D
核心
Y AB AC BC 最简与或式
最简 与非-与非式
AB AC
AB AC
最简或与非式 ( A B)( A C )
最简与或非式 AB AC BC 最简或与式 ( A B) ( A C )
A B AC
最简或非-或式
最简或非-或非式
AB AC
1、 2、 2 逻辑函数得公式化简法 （与或式 公式 最简与或式）
CD AB 00 01 11 10
00 0

逻辑函数的公式化简法(经典实用)

逻辑函数的公式化简法（经典实用）逻辑函数公式化简法是一种在数字逻辑设计中常用的方法，用于简化逻辑函数表达式，以便更有效地进行逻辑电路设计。

以下是一些经典实用的逻辑函数公式化简法：
1.摩根定律
摩根定律可以将两个逻辑函数表达式进行等价转换。

它有两个版本：
① 0-1律：¬(A+B) = ¬A * ¬B
② A律：¬(A*B) = ¬A + ¬B
使用摩根定律可以将复杂的逻辑函数表达式转换为更简单的形式。

2.吸收律
吸收律可以用来简化逻辑函数表达式中的冗余项。

它有两个版本：
① A+AB=A
② A+A'B=A+B
使用吸收律可以消除逻辑函数表达式中的冗余项，使表达式更简洁。

3.分配律
分配律可以将逻辑函数表达式中的括号展开，使表达式更易于分析。

它有两个版本：
① A*(B+C)=AB+AC
② A+(B C)=(A+B)(A+C)
使用分配律可以简化逻辑函数表达式中的括号，使表达式更简洁。

4.反演律
反演律可以用来求得一个逻辑函数的反函数。

它在数字逻辑设计中非常有用，因为它允许我们在一个逻辑函数和它的反函数之间进行转换。

反演律的公式为：A' * (A * B) = B。

通过使用以上经典实用的逻辑函数公式化简法，我们可以将复杂的逻辑函数表达式转换为更简单的形式，从而更有效地进行逻辑电路设计。

《数电》教材习题答案 第1章习题答案

思考题与习题1-1 将下列二进制数转化为十进制数。

(1)（100101100）2=（300）10 (2)（101011）2=（43）10(3)（1111111）2=（127）10 (4)（1011110）2=（94）101-2 将下列十进制数转化为二进制数。

(1)（28）10=（11100）2 (2) （100）10=（1100100）2(3)（210）10=（11010010）2 (4)（321）10=（101000001）2 1-3 将八进制数34、567、4633转化为二进制数。

（34）8=（11100）2 （567）8=（101110111）2（4633）8=（100110011011）21-4 将二进制数转化为八进制数。

（1011010）2=（132）8 （11010011）2=（323）8 1-5 将二进制数转化为十六进制数。

（100100110101）2=（935）16 （1010110011）2=（2B3）16 1-6 将十六进制数转化为二进制数。

（7AF4）16=（ 111101*********）2 （F9DE ）16=（1111100111011110）2 1-7 将十进制数691用8421BCD 码表示。

（691）10=（0110 1001 0001）8421BCD1-8 写出如图T1-8所示逻辑函数的逻辑表达式。

图T1-8BC)C B (A C B )C B (A G CB A )C B (A H +⊕⋅=⋅+⊕⋅=⊕⊕=⊕⊕= 1-9 用真值表证明下列等式成立：（1）A B + A B = (A +B )(A+B)可见，左式＝右式，得证。

（2）A ⊕B =A ⊕B可见，左＝右，得证。

（3）A ⊕0 = A可见，左式＝右式，得证。

（4）A ⊕1 = A可见，左式＝右式，得证。

1-10 利用公式和运算规则证明下列等式：（1）ABC + A BC + A B C = BC + AC证明：左＝（ABC + A BC ） +（ A B C ＋ABC ）＝ BC + AC ＝右（2）C AB = AB + C证明：左＝C AB C AB +=+＝右（3）(A +B)(A + C)(B + C + D) = (A + B)(A + C)证明：将以上等式两边作对偶变换，可得到以下公式：AB ＋A C ＋BCD ＝AB ＋A C由常用公式四可知该式是成立的，则由对偶定理可知，对偶等式成立，则原等式也成立。

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010
1
011
0
100
1
101
0
110
0
111
1
卡诺图
23
（2）化为标准与或型 Y mi
把标准与或表达式中所有的最小项在对应的 小方块中填入1，其余的小方块中填入0。 例2:画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
卡诺图
24
逻辑函数 最小项和的形式 卡诺图
17
二变量的卡诺图
二变量
十进 制数
A
B
mi
0 0 0 AB (m0 )
1 0 1 AB(m1 ) 2 1 0 AB (m2 )
3 1 1 AB(m3 )
二变量的卡诺图
AB 0
1
0 m0
m1
1 m2 m3
18
三变量的卡诺图
三变量
十进 制数
A
B
C
mi
0 0 0 0 ABC (m0 )
1 0 0 1 ABC(m1 ) 2 0 1 0 ABC (m2 )
【例1】 Y ABC ABC ABC
ABC ABC ABC ABC
AB(C C) BC( A A)
AB BC
【例2】 Y ABC AB ABC
ABC AB(C C) ABC
ABC ABC ABC ABC
AC BC
7
综合例题：
【例1】 F ABC ABC ABC
Y的卡诺图
例5 用卡诺图表示下面的 逻辑函数
CD AB 00 01 11 10
00
1
Y A' B'C' D A' BD'
A01 11 NhomakorabeaACD AB'
解：其卡诺图如右表所示
11
1
A
10 1 1 1 1
28
观察法：
首先分别将每个与项的原变量用1表示， 反变量对应的变量用0表示，在卡诺图上找出交叉点， 在其方格上填上1;其没有交叉点的方格上填上0。
与或式、与非-与非式、与或非式、或非-或非式
两次取反
与或式
与非-与非式
摩根定理展开
★
摩根定理
展开 与或非式
★
摩
根 定
展 开
★
或非理-或非式
2
2.6.1 公式化简法 ★
1. 并项法
【 】 内容 回顾
利用公式 AB AB A将两项合并成一项， 并消去互补因子。
2. 吸收法
利用公式A+AB=A消去多余的乘积项。
③ 5变量卡诺图相邻项不直观，因此它只适 于表示5变量以下的逻辑函数。
22
二、 用卡诺图表示逻辑函数
（1）从真值表画卡诺图
根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方 块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。
例1： 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。
逻辑函数Y的真值表
ABC
Y
000
0
001
1
Y1 AB B BCD
Y2(A, B,C, D) m(0,1,2,3,4,6,7,8,9,11,15)
Y3 A B C ABCD
31
Y1 AB B BCD
10XX
000 0 111 1 111 1 111 1
32
Y2(A, B,C, D) m(0,1,2,3,4,6,7,8,9,11,15)
ABC AB(C C)
ABC AB
提出A
A(BC B)
提出AB =1
A(C B)
反变量吸收
AC AB
8
【例2】F ((AB AB) • (BC BC)) 反演 （AB AB） (BC BC)
AB AB(C C) BC(A A) BC 配项
AB ABC ABC 被吸收 被吸收 ABC ABC BC
函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一
种方法。
卡诺图的基本组成单元是最小项。
15
一.卡诺图
1. 定义：将逻辑函数的真值表图形化，把真值表中 的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成 二维图表，即为卡诺图，它是由卡诺（Karnaugh） 和范奇（Veich）提出的。
2. 卡诺图的构成：将最小项按相邻性排列成矩阵，就 构成卡诺图。实质是将逻辑函数的最小项之和以图形
CD
AB 00 01 11 10
不 00 m0
相邻 01 四变量ABCD
m4
的卡诺图： 相邻11 m12
10 m8
m1 m3 m5 m7 m13 m15 m9 m11
m2 m6 m14 相邻 m10
20
五变量的卡诺图
21
① n变量的卡诺图有2n个方格，对应表示2n 个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的 方格数就扩大一倍。 ②卡诺图中任何几何位置相邻的两个最小 项，在逻辑上都是相邻的。
在卡诺图中，凡是几何位置相邻的 最小项均可以合并。
★
38
ABC
BC A 00 01 11 10
00 0 1 0 10 0 1 1
ABC ABC BC
ABC
39
AC
BC A 00 01 11 10
01 0 1 1
10
0
1
? 1
卡诺圈 AB
两个最小项相邻且组成矩形框，可以 合并成一项，消去一个不同的因子。
111 1 101 1 001 0 111 0
33
Y3 A B C ABCD
111 1 111 1 111 0 111 1
34
如何根据最大项的表达式填写卡诺图?
必须注意: 在卡诺图中最大项的编号与最小项编号 是一致的，但对应的取值是相反的。
BC A 00 01 11 10
0 AMmB0C0 AMmB1C1 AMmB3C3 AMmBC22 1 AMmBC44 AMmB5C5 AMmB77C AMmBC66
m(0,1,2,3,5,7,9,10)
26
卡诺图如表 Y m(0,1,2,3,5,7,9,10)
Y 的卡诺图 CD AB 00 01 11 10
00 1 1 1 1
01
11
11
10
1
1
27
(3)观察法
采用观察法不需要前两种方法需要将逻辑函数转 换成最小项，而是采用观察逻辑函数，将应为“1”的 项填到卡诺图中
例4 画出下面逻辑函数的卡诺图
Y ABD BD ABD
解： Y A' BD B' D' A' B' D A' B(C C')D ( A A')B'(C C')D' A' B'(C C')D A' BCD A' BC' D AB'CD' AB'C' D' A' B'CD' A' B'C' D' A' B'CD A' B'C' D m7 m5 m10 m9 m2 m0 m3 m1
3 0 1 1 ABC(m3 ) 4 1 0 0 ABC (m4 )
5 1 0 1 ABC(m5 ) 6 1 1 0 ABC (m6 )
7 1 1 1 ABC(m7 )
三变量的卡诺图 BC A 00 01 11 10
0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6
19
BC 正确三认变识量卡AB诺C图的“A逻辑相00邻”0：1是指1除1 了一10个变量不同外 上下的相卡邻诺，图左：右相邻，0 并A呈mB其现0C余“A变循mB1量C环都相AmB相邻3C 同”A的的mBC2两特 个性与，相项邻。 它类似对于角一线个上封 不相闭邻的。球1 面，AmB如C4 同A展mB5C开了AmB的7C世A界mBC6地 图一相样邻。
M0 A B C
M1 A B C
……
35
如何根据最大项的表达式填写卡诺图?
因为使函数值为0的那些最小项的下标与构成函数的 最大项表达式中那些最大项下标相同，所以按这些 最大项的下标在卡诺图相应的方格中填上0，其余方 格上填上1即可。 也就是说，任何一个逻辑函数即等于其卡诺图上 填1的那些最小项之和,也等于其卡诺图上填0的 那些最大项之积。
的方式表示出来。最小项的相邻性就是它们中变量
只有一个是不同的。
16
卡诺图的构成原则
构成卡诺图的原则是： ① N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）； ② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。
逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的 形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合 并。
几何相邻的含义： 一是相邻——紧挨的； 在二五是变相量对和—六—变任量一的行卡或诺一图列中的，两用头相；重来判断 某些最三小是项相的重几—何—相对邻折性起，来其后优位点置是相十重分。突出的。
A BC(A C)
A ABC BC
A BC
只有一个变量不同的 两个最大项的乘积等 于各相同变量之和
(A+C)
4.Y AC ABC ACD CD A(C BC CD) CD
整体提公因子A
(A CD)(C BC CD CD)
A CD
12
另解:
4.Y AC ABC ACD CD
子。
【例1】 Y B ABC B AC
【例2】
Y AB B AB A B AB A B
5
【例3】 Y AB AC BC AB ( A B)C AB ( AB)C AB C
6
5. 配项法
利用公式 A A A和 A A 1先配项
或添加多余项，然后再逐步化简。