流体力学第四章概论

2
基准线 z1 1
z
0
z2 2
0
水力坡度： 常用符号 J 表示， J= hf / L。 含义： 单位长度流程上的水头损失。
核心问题4： 恒定气流能量方程
z1 +
p1 γ
+ α1v12 2g
=
z2
+
p2 γ
+ α2v22 2g
+ hw
恒定总流伯努利方程是在不可压缩这样的流动模 型基础上提出的,但在流速不高（小于 68m / s ) ，压 强变化不大的情况下，同样可以应用于气体。
这篇文章用实验说明水流分为层流与紊流两种形态，并提出以 无量纲数Re作为判别两种流态的标准。雷诺于1886年提出轴 承的润滑理论，1895年在湍流中引入应力的概念。他的成果 曾汇编成《雷诺力学和物理学课题论文集》两卷。
其相应的水头损失称局部水头损失（hm）。 局部水头损失一般发生在管道入口、转弯、突扩 （缩）、三通、阀门等附近的局部流段上。
总水头损失
hw hf hm
液流产生水头损失的两个条件
(1) 液体具有粘滞性。 (2) 由于固体边界的影响，液流内部质点 之间产生相对运动。 液体具有粘滞性是主要的，起决定性作用。
1、理想流体
总水头线
v2 z p 常数 H
2g
b
v12 / 2g
c
p1 /
b'
v22 / 2g
静水头线 c'
速 位压 度 置强 水 水水 头 头头
动
静
水
水
头
头
线
线
总
水
1
头
z1
0
a
总 水 头 线

8
欧拉法
欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动 参数（速度、压力、密度等），并给出这些参数与空 间点和时间的分布：
速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)，
w=w (x, y, z, t) 压力：p=p (x, y, z, t) 密度：ρ =ρ (x, y, z, t)
28
‹#›
‹#›
例4-1：已知u=-(y+t2)，v=x+t, w=0
求t=2，经过点（0，0）的流线
解: t=2时，u=－(y+4)，v=x+2，w=0
流线方程 d z =0
dx dy ( y 4) x 2
z c， 1 (x 2)2 1 ( y 4)2 c
26
图示为t 时刻经过点0的流线,以及t 时刻经过点 0的迹线.
对定常流动，迹线和流线重合。
27
迹线和流线的区别：
• 迹线是流体质点在t0—t时间段的运动轨迹，是实在的； 流线是某一时刻流场中连续质点运动的方向和速度大小 的假象线。 • 迹线随质点而变，一个质点对应一条迹线；流线随时间 而变与质点无关。 • 迹线可以相交，而流线不能相交。对于定常流迹线与流 线重合。
9
‹#›
‹#›
当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的
迁移加速度是某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而产 生的。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
两个加速度的物理意义：
如图4-1所示，不可压流体流过一个有收缩的变截面管道，截 面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。当流 体质点从1点流到2点时，由于截面收缩引起速度增加，从而 产生迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入 量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。

p1 p2 z1 z2 hf g g
p1 p2 hf z1 g z2 g
流动为均匀流，惯性力为零，列平衡方程
p1 A p2 A gAl cos 0l 2r0 0
p1 p2 2 0l z1 g z2 g gr h f 0
z1 z2
r0 h f r0 0 g g J 2 l 2
J——单位长度的沿程损失 （水力坡度） 同理 g
r J 2
r 0 r0
2.断面流速分布
du 牛顿内摩擦定律 dr r 又 g J 2
gJ du rdr 2
gJ rdr 积分 0 du r0 2
x
d ux 1 dy
b.脉动流动—— 2 （附加切应力、惯性切应力、雷诺切应力）
' ' 2 ux uy
c.切应力
1 2
Re数较小时，1 占主导地位 Re数很大时， 2 1
4.混合长度理论—— 2 的计算 普朗特混合长度理论的要点（假设） （1）流体质点因脉动横向位移l1到达新的空间点， 才同周围点发生动量交换，失去原有特征，l1称混合 长度
l v2 hf d 2g
l v2 pf d 2
达西-魏斯巴赫公式
λ——沿程阻力系数
2.局部阻力——局部损失
v2 hj 2g
v2 p j 2
ζ——局部阻力系数
3.总能量损失
hw hf hj
惯性力 ma L3 v2 L vL Re 粘性力 Adu dn L2 v L

J 8
ro4

J 128
d4
u
τ
τ0
dr r0
（三）断面平均流速
J d 4 v Q 128 J d 2
A d 2 32
4 由断面流速分布
u

J 4
(ro2

r2
)
umax

J 4
r02

J 16
d2
因此


1 2
umax
圆管层流断面上的最大速度是平均速度的二倍
静力学
[相对平衡]
动力学
学习进程
由 静
恒定元流
由 简
止
单
到
片
运 动
恒定总流
复 杂
由
理想流体 理
想
到
实际流体
现 实
出现了一系列假定与修 正系数，结论是经验或 半经验公式。
§4.3 圆管中的层流流动
一、均匀流动方程式
在下图所示的均匀流中，在任选的两个断面1-1
和2-2列能量方程：
Z1
p1

112
2g

Z2

p2



2
22
2g
hf 12
1l
由均匀流的性质：
112
2g


2
22
2g
，
hf
12
hl
P1
r0

2r
z1
hf
(Z1
p1

)

(Z2

p2 )

0
G
2
P2 z2 0

图4-7 水力光滑管和水力粗糙管
第四章 流动阻力与管路水力计算
3.湍流阻力与流速分布 (1)湍流阻力 在湍流中，流体内部不仅存在着因流层间的时均流 速不同而产生的粘滞切应力τ１，而且还存在着由于脉动使流体质 点之间发生动量交换而产生的惯性切应力τ２。
第四章 流动阻力与管路水力计算
(2)湍流速度分布 实验证明，流体在管道中作湍流运动时，过流 断面上的速度分布如图4-8所示。
第四章 流动阻力与管路水力计算
第四章 流动阻力与管路水力计算
3.圆管层流运动时的沿程阻力系数
第四章 流动阻力与管路水力计算
第四章 流动阻力与管路水力计算
解：v=Q/A=4Q/π=4×75×/π×m/s=0.96m/s 二、圆管湍流的沿程损失计算 实际工程中，除少数流动为层流外，绝大多数都属于湍流运动， 因此湍流的特征和运动规律在解决工程实际问题中有重要的作用。 1.湍流脉动现象与时均法
第四章 流动阻力与管路水力计算
均匀流动是指流速大小和方向均沿流程不变的流动。由于这种流 动只能发生在壁面（截面形状、大小、表面粗糙度等）不发生任 何变化的直管段上，所以在均匀流动时，只有沿程损失，没有局 部损失。为了寻找沿程损失的变化规律，需要先建立沿程损失和 沿程阻力之间的关系式，又称为均匀流动方程式。
第四章 流动阻力与管路水力计算
图4-8 湍流速度分布
第四章 流动阻力与管路水力计算
4.湍流沿程阻力系数的确定 由于湍流的复杂性，至今还不能完全通过理论推导的方法确定湍 流沿程阻力系数l，只能借助实验研究总结一些经验或半经验公式。 (1)尼古拉兹实验 为了得到l的变化规律，尼古拉兹在类似图4-2所 示的实验台上，采用人工粗糙管(管内壁上均匀敷有粒度相同的砂 粒)进行了大量实验。

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沿z轴流体微团的旋转角速度分量： 1 1 v u z t 2 t t 2 x y
机械与材料学院©2007
tan
u y y u t ( ) t y 2 2 y
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2013年1月14日12时18分
16
流体运动学基础
u v 当 y x u v 当 y x
矩形ABCD只发生角变形运动，图（c）。
机械与材料学院©2007
流体运动学基础
4. 流管和流束 流管——在流场中作一不是流线的封闭周线C，过该周线上 的所有流线组成的管状表面。 流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外 的流体分开。定常流动中，流管的形状和位置不随时间发生 变化。 流束——充满流管的一束流体。 微元流束——截面积无穷小的流束。微元流束的极限是流线。 微元流束和流线的差别： 流束是一个物理概念，涉及流速、压强、动量、能量、 流量等等； 流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。 总流——截面积有限大的流束。
流体运动学基础
二、 Euler法（欧拉法）
基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。 独立变量：空间点坐标 ( x, y, z )
v v( x, y, z, t )
p p( x, y, z, t )
( x, y, z, t )
速度场
u=u(x,y,z,t) v=v(x,y,z,t) w=w(x,y,z,t)
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流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。 qv 体积流量（ 3 / s ）： v dA v cos(v, n)dA vn dA m

同的规律。因此，在计算管流水头损失时必须首先判别出流动状态。
大量的实验表明，流体的流动状态不仅由临界速度一个参数决定。
影响流体流动类型的因素：
①流体的流速 ｕ；②管径 ｄ；③流体密度 ρ；④流体的粘度 μ。
ｕ、ｄ、ρ越大，μ越小，就越容易从层流转变为湍流。上述中四个因素所组成的复合数群 ｄｕρ／μ，是
差计，其液面高差△ｈ＝４ｃｍ，
求作用水头 Ｈ。
考点二 雷诺实验
实际流体的流动由于粘滞性的存在而具有两种不同的状态，英国物理学家雷诺（Ｒｅｙｎｏｌｄｓ）通过 大量的实验研究发现，实际流体在管路中流动存在着两种不同的状态，并且测定了管路中的能量损失 与不同的流动状态之间的关系，此即著名的雷诺实验。
试验过程（装置如下图）： 实验过程中使水箱中的水位保持恒定。实验开始前水箱中颜色水的阀门以及玻璃管上的阀门都是关 闭的。开始实验时，逐渐打开玻璃管出口端上的阀门，并开启颜色水的阀门，使颜色水能流人玻璃管中。 ①层流：流动状态主要表现为流体质点的摩擦和变形，这种流体质点互不干扰各自成层的流动称 为层流。 ａ．流体质点做直线运动； ｂ．流体分层流动，层间不相混合、不碰撞； ｃ．流动阻力来源于层间粘性摩擦力。
湿周较小———外部阻力较小
{ } 面积 Ａ较小———内部阻力较小
水力半径小
综合阻力较大
湿周较大———外部阻力较大
水力半径与阻力特性
例题 图中所示为一从水箱引水的水平直管。已知管径 ｄ＝２０ｃｍ，
管长 Ｌ＝４０ｍ，局部水头损失系数：进口 ζ１＝０．５，阀门 ζ２＝０．６。当通过流 量 Ｑ＝０．２ｍ３／ｓ时，在相距△Ｌ＝１０ｍ的 １－１及 ２－２断面间装一水银压
试验方法：
在试验段上接出两根测压管。液体在等直径的水平管路中稳定流时，由伯努利方程可得：ｈｆ

u ,v yx
引用流函数，并考虑：
BBB
QVndlVdyidxjdldlVdyidxj
dl nkdyidxjdl
dl
()/
AAA
BBB
AAA udyvdyxxdydxd)
表明:经过以为端点的任何曲线的流体通量，决定于该两 点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。
用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。
23
习题
习题4-2-2是否存在既满足无幅散条件又满足无旋条 件的流动？如果存在，举例说明。
20
u=x+y v=x-y
15
10
5
5
10
15
20
无旋：流点自传
24
三、二维流动
一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐 散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均 不为零，即满足：
vu
0
xy
D D xy
2VVVVD()()()
dV
1
FpDV ()
dt
3
39
dV
1
FpDV ()
dt
3
dV
1
FpDD ()
dt
3
dV
14 FpD
dt
3
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变化的方程：
d dV l
dt
dt
14
FlpllDl
3
40
ddV dtdt
3 （1）
（2）
lFlpllDl14 （3）
（4）
化为全微分=0
对于粘性流体运动，纳维——斯托可斯方程为：
dVV 12 dtt 3
VVpgVV
方程的平流项变换： VVVV

up um
v
λv——速度比尺
时间比例尺
t
tp tm
lp lm
vp vm
l v
加速度比尺
a

v t

v2 l
流量比例尺
q

qV p qVm

l
3 p
lm3
tp tm
3l t
2lv
运动粘度比例尺 角速度比例尺
lv


v l
Q vA vl 2 Q vl2 佛劳德准则： v l Q 5l 2 Qp Qm5l 2 300 205 2 537000L / s 537m3 / s
F ma v2l 2 F 2vl2 密度不变的水： 1 由佛劳德准则 v l F 3l
§4-2 量 纲 分 析
1.量纲 量纲的和谐性 基本量纲——相互独立的 不可压缩流体的基本量纲——M、L、T
物理量A的量纲 dim A M a LbT c 如 dim F MLT2
a 0 b 0 c 0 ——几何学量
a0
c 0 ——运动学量
a0
——动力学量
2.无量纲的物理量
（2）瑞利法 有关物理量少于5个
f q1, q2 , q3, q4 0
3个基本量，只有一个π项
小结：变量的选取——对物理过程有一定程度 的理解是非常重要的
谢谢!
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的
（3）动力相似
密度比例尺


p m
质量比例尺
m

mp mm

pVp mVm
3l
力的比尺

整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量ρdxdydz则得
X 1 p dux
x dt
Y 1 p duy
y dt
Z 1 p duz
z dt
§3-5 理想流体微元流束的伯努利方程
一、理想流体微元流束的伯努利方程 1.公式推导 理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下
才能求解。在下列几个假定条件下： (1)不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；
g
2. 方程的物理意义和几何意义
为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该 方程的物理意义和几何意义。
1）物理意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（4-7）中，左端
前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即
第一项z表示单位重量流体所具有的位势能； 第二项p/(ρg)表示单位重量流体的压强势能； 第三项u2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m的物体以速度V运 动时，所具有的动能为Mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为V2/(2g) 即(mV2/2)/(mg)= V2/(2g) 。所以该项的物理意义为单位重量流体具 有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。
因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作 定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具 有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但 位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方 程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。
2）几何意义图
Xdxdydz Ydxdydz Zdxdydz
处于运动状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是：
Fma
例如，对于x方向，则为