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3.2.2一元二次不等式的应用课件(北师大版必修5)

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3.2.1《一元二次不等式的解法》课件(北师大版必修5)

3.2.1《一元二次不等式的解法》课件(北师大版必修5)

(2)原不等式可化为 2x2－x＋6>0， ∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数 y＝2x2－x＋6 的图像开口向上，与 x 轴无交点． ∴观察图像可得，不等式的解集为 R. (3)因为 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2>0，
1 xx≠－ 所以原不等式的解集为 2 .

2

4．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集 是 ；
b xx＜ a
b xx＞ a



当a＜0时，解集是 解集是 ； R 当a＝0，b≤0时，解集是
；当a＝0，b＞0时，
∅
.




1．一元二次不等式 一个 二次 一般地，含有 未知数，且未知数的最高 次数为 的不等式，叫做一元二次不等式． 使某个一元二次不等式 叫这 成立的x的值 个一元二次不等式的解． 一元二次不等式的 组成的集合，叫做 所有解 这个一元二次不等式的解集．
1．已知二次函数f(x)的两个零点分别为x1、x2 则f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ． 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 当Δ<0时，没有 实数根；当Δ＝0时，有 两个相等 b 实数根x＝ ；当Δ>0时，有 －b± b －4ac 实 －2a 两个不等 2a 数根x＝ . {－1,3} 3．若y＝x2－2x－3，则当x∈ 时，y (－∞，－1)∪(3，＋∞) (－1,3) ＝0；当x∈ 时，y>0；当x∈ 时，y<0.
解析：

3.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为 a＝－3， (1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的 即 ， b＝2 解集．

必修五3.2.2 一元二次不等式恒成立及其应用

必修五3.2.2 一元二次不等式恒成立及其应用

3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤： (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等 关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关 系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题． 思考：解一元二次不等式应用题的关键是什么？
此不等式等价于(x－4)x－23≥0 且 x－23≠0， 解得 x<32或 x≥4，
∴原不等式的解集为xx<32或x≥4
.
[规律方法] 1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元 一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要 去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
思考：x－1>0 在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等 式 x－1>0 的解集有什么关系？
[提示] x－1>0 在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数 y＝x－1 在区间 [2,3]上的图象恒在 x 轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式 x－1>0 的解， 反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式 x－1>0 的解集的子集．
要使对任意 a∈[－3,1]，y<0 恒成立，只需满足gg－1<30<，0， 即 x2－2x＋4<0， x2－10x＋4<0. 因为 x2－2x＋4<0 的解集是空集， 所以不存在实数 x，使函数 y＝x2＋2(a－2)x＋4 对任意 a∈[－3,1]，y<0 恒成立．
例 3、已知 f(x)＝x2＋ax＋3－a，若 x∈[－2,2]，f(x)≥0 恒成立，求 a 的 取值范围.

2021-2022学年北师大版必修5 3.2.2 一元二次不等式的应用 教案

2021-2022学年北师大版必修5 3.2.2 一元二次不等式的应用 教案

不等式恒成立问题解法研究教学设计教材地位与教学内容分析：1、本节课在高考中的地位：不等式恒成立问题，特别是含参不等式，把导数，不等式，函数，三角，几何，数列等内容有机地结合起来，覆盖知识点广，渗透的数学思想方法多，解题方法灵活，能很好的考查学生的创新能力和潜在的数学素质。

正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。

2、本节课的主要教学内容：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法等解决不等式恒成立问题教学目标1、掌握求不等式恒成立问题中参数范围的常见策略与方法，能根据不同的条件，选择恰当的方法，确定不等式恒成立中的参数范围.2、通过不等式恒成立问题解法研究，理解换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法.3、培养学生思维的灵活性、创造性，提高学生的综合解题能力.教学重难点重点：变更主元法，二次函数性质〔判别式法，单调性〕，别离参数法，数形结合法难点：根据不同条件用适当方法求参数范围教学方法：引导发现，合作探究，总结归纳教具：多媒体课件教学时间：40分钟教学过程：〔一〕导入不等式恒成立问题是中学数学的一类重要题型，它散见于许多知识板块中，载体较多，而且不少情况下题意较为隐含。

正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而倍受高考命题者的青睐。

今天这节课我们就来探讨不等式恒成立问题的解法。

（二）例题精讲一、利用二次函数性质例1 〔1〕 假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围为〔 〕〔2〕上题假设改为“假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立〞，那么k 的取值范围是.归纳：1、在R 上恒成立问题，利用判别式：对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：〔1〕R x x f ∈>在0)(上恒成立⇔；〔2〕R x x f ∈<在0)(上恒成立⇔ .2、在给定区间上恒成立问题，分类讨论：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⇔],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⇔二、别离参数法 例1〔2〕〔方法二〕：假设一元二次不等式08322<-+kx kx 对于]3,1[∈x 恒成立,那么k 的取值范围是.归纳：假设在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，那么可将恒成立问题转化成函数的最值(或上、下界)问题求解。

3.2.2一元二次不等式的应用课件(北师大版必修5)

3.2.2一元二次不等式的应用课件(北师大版必修5)

Δ≥0 fk>0 b － <k 2a
k<x1≤x2
Δ≥0 fk>0 － b >k 2a
研一研·问题探究、课堂更高效
Δ>0 x1－k· x2－k<0
2.2
x1<k<x2
f(k)<0
Δ≥0 fk1>0 fk >0 2 k1<－ b 2a <k 2
2.2
问题．一般从以下三个方面考虑：
本 课 时 栏 目 开 关
(1)判别式；(2)区间端点函数值的正负； b (3)对称轴 x＝－ 与区间端点的关系． 2a 设 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的两实数 根，f(x)＝ax2＋bx＋c，则 x1，x2 的分布范围与方程系数 之间的关系如下表所示： 根的分布 图像 等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ Δ≥0 x1＋x2>0 x2>0 x1·
研一研·问题探究、课ห้องสมุดไป่ตู้更高效
2.2
问超速行驶谁应负主要责任？
本 课 时 栏 目 开 关
一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用． 这节课 我们将研究一元二次不等式的实际应用．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 问题 一元二次方程根的分布 一元二次方程 f(x)＝ax2＋bx＋c＝0 的根的分布范围
2.2
2.2
【学习要求】
一元二次不等式的应用
本 课 2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加 时 栏 以解决． 目 开 3．会解可化为一元二次不等式的简单高次不等式和分式不等式． 关
1．能运用三个“二次”的关系解决一元二次方程根的分布问题．

《一元二次不等式》公开课ppt北师大版1

《一元二次不等式》公开课ppt北师大版1
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)
(2) 写出ax2+bx+c=0判定△的符号，
(3)求出方程 的实根;画出函数图像 (4)（结合函数图象）写出不等式的解集.
简记为：一化—二判—三求—四写
《 一 元 二 次 不等式 》公开 课ppt北 师大版 1
《 一 元 二 次 不等式 》公开 课ppt北 师大版 1
一、知识点： 1.掌握三个二次的关系，注意结合函
数图像，理解并会求一元二次不等式的解 集
2.一元二次不等式解法步骤 二、数学思想方法：
1.数形结合 2.特殊到一般 3.化未知到已知
《 一 元 二 次 不等式 》公开 课ppt北 师大版 1
《 一 元 二 次 不等式 》公开 课ppt北 师大版 1
一元二次不等式及其解法
人教版高中数学必修5第三章 《不等式》
§3.2一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法
复习：一元二次方程与二次函数.
（1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的解法有那些？ （2）怎么画二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像？
一元二次不等式的定义
我们来考察二次函数
y x2 5x
特殊到一般 2、讨论一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a<0)或 ax2+bx+c<0 (a<0)的解集
化未知到已知
《 一 元 二 次 不等式 》公开 课ppt北 师大版 1
《 一 元 二 次 不等式 》公开 课ppt北 师大版 1

3.2.2一元二次不等式的应用 课件(北师大版必修五)

3.2.2一元二次不等式的应用 课件(北师大版必修五)

必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 资 源
BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1. 会求解方程根的存在性问题和不 课标解读 等式恒成立问题(重点、难点). 2. 会解简单的分式不等式和简单的 高次不等式(重点).
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
●教学建议 解分式不等式的关键是转化， 根据实数运算的符号法则， 分式不等式的同解变形有如下几种： f （x ） f （x ） (1) >0⇔ f (x )g(x )>0；(2) <0⇔ f (x )g(x )<0； g（x ） g（x ） f （x ） f （x ） (3) ≥ 0⇔ f (x )g(x ) ≥ 0 且 g(x ) ≠ 0 ； (4) ≤ g（x ） g（x ） 0⇔ f (x )g(x )≤0 且 g(x )≠0.
必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
菜 单
教 师 备 课 资 源
BS ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
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思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
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菜 单
教 师 备 课 资 源

高中数学必修五北师大版 一元二次不等式的应用 课件(60张)

高中数学必修五北师大版 一元二次不等式的应用 课件(60张)

不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
规律方法 解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一 定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特 值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的 点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次 方根只穿，但不过”，如上图.
解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0. 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次或二次因
【尝试解答】 设f(x)＝x2＋(a＋1)x＋2a. (1)若方程的两根均大于1，如图1所示，则有 Δ≥0 f1>0 a＋1 － 2 >1 a＋12－8a≥0 ⇒2＋3a>0 a<－3
a≥3＋2 2或a≤3－2 2 2 ⇒a>－3 a<－3 解得a∈∅，即不存在．
高次不等式的解法
【例2】
解下列不等式．
(1)x3－2x2＋3<0； (2)(x＋1)(1－x)(x－2)>0； (3)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.
【思路探究】
通过因式分解，把高次不等式化为一
元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相 关性质解答．
【尝试解答】
(1)原不等式可化为(x＋1)(x2－3x＋
第三章
不等式
§2
一元二次不等式
2.2 预习篇
一元二次不等式的应用
巩固篇
课堂篇
课时作业 提高篇
学习目标
1.掌握一元二次方程根的分布问题. 2.会解简单的分式不等式与一元高次不等式. 3.能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题.
重点难点
重点：让学生体会问题的转化过程. 难点：体现在形式的转化与方法的转化.

3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)

3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)

• ． • 2．若ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是∅，则a，b，
c满足的条件是 . a＞0，b2－4ac＜0 • 3．二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(x∈R)的部分对应 值如表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
1 {2} 1．不等式4x2－4x＋1≤0的解集是
解析：
原不等式等价于(2x－1)(3x＋1)＞0，
1 1 ∴x＜－3或 x＞2.
答案： A
x－1 2．不等式 log2 x ≥1 的解集为( A．(－∞，－1] C．[－1,0)
)
B．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
x－1 x＋1 解析： 由已知得 x ≥2，即 x ≤0， 由此解得－1≤x＜0.
其解集如图的阴影部分．
• ∴原不等式解集为{x|x<－5或－5<x<－4或
x>2}．
x2－4x＋1 x2－4x＋1－3x2＋7x－2 (2) 2 <1⇔ <0 3x －7x＋2 3x2－7x＋2 －2x2＋3x－1 2x－1x－1 ⇔ 2 <0⇔ >0 3x －7x＋2 3x－1x－2 ⇔(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0.
[题后感悟]
(1)数形结合法解恒成立问题，
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ①f(x)＞0 在 x∈R
a＞0 上恒成立⇔ Δ＜0 a＜0 上恒成立⇔ Δ＜0
；
②f(x)＜0 在 x∈R
；
③a＞0 时，f(x)＜0
fα＜0 在区间[α，β]上恒成立⇔ fβ＜0
1.解不等式： (1)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3＜0； x2－4x＋1 (2) 2 ＜1； 3x －7x＋2 x2－2x＋1 (3) 2 ≥0. x ＋9x－10

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
2
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.

2018-2019学年北师大版必修五 3.2.2一元二次不等式的应用 课件(29张)

2018-2019学年北师大版必修五 3.2.2一元二次不等式的应用 课件(29张)
价为 12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求，计划 提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 ＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的 比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？
• 即x2－10x＋24≤0，得4≤x≤6.
• 最高定价：当x＝6 时，2＋0.2x＝3.2(元)；
• 最低定价：当x＝4时，2＋0.2x＝ 2.8(元)．
• 故杂志定价应在2.8元到3.2元之间．
• 令y＝(2＋0.2x)(100 000－5 000x)
• ＝－1 000(x2－10x)＋200 000
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一元二次不等式的实际应用练习 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为 1 万元/辆， 出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆，本年度为适应市场需 要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增 加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x，同时预计 年销量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年 销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 之间的 关系式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比 例 x 应在什么范围内？
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解：(1)由题意得 y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0 ＜x＜1)，
整理得 y＝－6 000x2＋2 000 x＋20 000(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 y－12－10×10 000＞0， 0＜x＜1， 即－ 0＜6x0＜001x，2＋2 000x＞0， 解得 0＜x＜13， 所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．

高中数学 3.2.2 一元二次不等式的应用同步课件 北师大版必修5

高中数学 3.2.2 一元二次不等式的应用同步课件 北师大版必修5

值范围(fànwéi).
【解析】当a=0时，不等式为2x＞0，显然不合题意，
故a≠0.若原不等式在R上恒成立，须满足
解得:a＞ 2. 2
a＞0 4 8a2＜0
第四十二页，共42页。
第十九页，共42页。
【例】解不等式
x(x 1)2 (x 2)(x 1)3
0.
【审题指导】首先将分式不等式转化为整式不等式，然后
再用“穿针引线(chuān zhēn yǐn xiàn)法”求解.
第二十二页，共42页。
【规范范解(解g答u答īf】】àn不不)等解等等式答式式等】等等价不价价于等于于x式x(x(x等(x-x-1价-1)1)2于2)(2x((++xx1+1-)1)133))(23x((+xx+2+)1)2≥≥))300≥(且且x0+x且x≠2≠x)-≥-≠110,-,且1,x≠-1, xx≠≠--22,,
各 各因因式式式的的(的yī根根根ns分分分h别别ì别)的为为为根000,,分11,1，，别，－－为－1101，，,1，－，－－2－2，2，1，其，其其中－中中12为，1(q为双其íz双重中hō重根1n为根，g双，)1重为根双，重根， － －－111为为为333重重重根根根((1(11为为为偶偶偶次次次根根，根，－，－1－1为为1奇为奇次奇次根根次)，)根，)，
x2
对吗？ 提示：不对.当x=-2时前者无意义而后者却能成立，所以 (suǒyǐ)它们的解集是不同的.
第五页，共42页。
第六页，共42页。
正确理解“穿针引线法” “穿针引线法”又称为(chēnɡ wéi)“数轴标根法”.这种方法的本 质是“列表讨论法”的简化及提炼.这样的“线”也可看成是函数 y=f(x)的图像草图(y轴未画).利用“穿针引线法”要先把x的系数化 为正数，最好是1，否则很容易写错结论.

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式简解不等式的方法—序轴标根法素材北师大版必修5(new)

高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式简解不等式的方法—序轴标根法素材北师大版必修5(new)

简解不等式的方法——序轴标根法对于解一元高次或分式不等式，常规方法是转化为等价不等式组法或表格法，都比较繁琐，下面介绍一种简易解法——序轴标根法。

序轴标根法解题步骤是：（1） 变形：将不等式化为（x-x 1)（x —x 2）…（x-x n ）＞0（＜0）的形式,为了统一、方便，使各项x 的符号化为“+”（2） 求根：令（x-x 1）（x-x 2)…（x-x n ）=0，求出各根x 1，x 2,…x n ,在序轴上用连续曲线在表示各根的点处自右方开始穿线，每个根穿一次。

（3） 若不等式每个因式x 的符号为“+”后是“＞0"。

则找“线"在序轴上方的区间;若不等式是“＜0”,则找“线”在序轴下方的区间。

（4）写出不等式的解集 例1 解不等式2x 3—7x 2-4x ＜0。

解：原不等式可化为x （2x 2—7x-4）＜0即x （2x+1）（x-4）＜0用序轴标根法，如图由图得原不等式的解集为{ x ｜x ＜-21或0＜x ＜4} 例2 解不等式21522---x x x ≤0 0 4-21解：原不等式可化为2)3)(5(-+-x x x ≤0 用序轴标根法即得原不等式的解集为{x ｜x ≤—3或2≤x ≤5｝例3 解不等式3252---x x x ＜1 解：原不等式可化为3252---x x x —1＜0 即3232252--++--x x x x x ＜0 322322---+-x x x x ＜0 322322--+-x x x x ＞0 )1)(3()2)(1(+---x x x x ＞0 用序轴标根法，如图由图得原不等式的解集为{ x ｜x ＜—1或1＜x ＜2或x ＞3}点评：（1）在以后的解题中,不必要由)1)(3()2)(1(+---x x x x ＞0，转化为（x —1）（x-2）（x-3)（x+1)＞0。

(2）序轴图可画在草稿纸上不必要画在解答中. 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)

3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)
• 2.2 一元二次不等式的应用
• 1.会求解方程根的存在性问题和恒成立问题． • 2.会解一元三次不等式及可化为一元二次(或三
次)不等式的分式不等式． • 3.能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型， 并加以解决.
• 1.对解分式不等式及恒成立问题的考查是本节
的热点． • 2.本节内容常与方程、函数、图像结合命题． • 3.三种题型均可能出现.
2x2＋x－1x2＋2x－3≥0 即为 2 x ＋2x－3≠0 2x－1x＋1x＋3x－1≥0 即等价变形为 x≠－3且x≠1
如下图所示，可得原不等式解集为
1 xx<－3或－1≤x≤ 或x>1 2
.
2x2＋x－1 (也可将 2 ≥0 转化为不等式组得 x ＋2x－3
[题后感悟]
(1)数形结合法解恒成立问题，
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ①f(x)＞0 在 x∈R
a＞0 上恒成立⇔ Δ＜0 a＜0 上恒成立⇔ Δ＜0
；
②f(x)＜0 在 x∈R
；
③a＞0 时，f(x)＜0
fα＜0 在区间[α，β]上恒成立⇔ fβ＜0
g0＞0 可得 g4＞0
x2－4x＋4＞0 ，即 2 x ＞0
，
解得 x≠0 且 x≠2， 即 x 的取值范围为{x|x∈R 且 x≠0，x≠2}
• (2)解分式不等式注意的问题： • ①解分式不等式一定要等价变形为标准形式，
就是右边为零，左边为分式再等价转化为不等 式组或高次不等式来求解． • ②若分式不等式含等号，等价转化为整式不等 式时，其分母不为零最易丢掉，这一点一定要 注意． • ③当分式不等式分母正负不确定时不可通过不 等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等 式．

北师大版高中数学必修5课件32.1 一元二次不等式的应用 课件

北师大版高中数学必修5课件32.1 一元二次不等式的应用 课件

＜0 f(x)·g(x)＜0
(3)
f x g x
≥0 f(x)·g(x)≥0 且 g(x)≠0
(4)
f x g x
≤0 f(x)·g(x)≤0 且 g(x)≠0
2．高次不等式的解法
含有一个未知数，且未知数的最高次数高于 2 的整式不等式叫一元高次不等式。 处理或解这类不等式我们常用穿针引线法。
又∵0＜x≤10， ∴0＜ x＜5，故 x 的取值范围是{x|0＜ x＜5}
方法小结：
1．归纳整理本节所学的知识方法，整合求解分式不等式及简单高次不等式的思想方法， 及化整为零解决实际问题的思维方法。 2．本节为解一元二次不等式的最后一节，对本节体现的“三个二次问题”以及转化的思想 方法、数形结合的思想方法，要深刻理解，牢牢掌握，并灵活地应用。

x y ·n· 1 ， 10 10
2 x， 3
∴np 1

x y 1 ＞np， 10 10
∵n＞0，p＞ 0，y＝
∴ 1

x x 2 1 ＞1 整理得 x －5x＜0，解这个一元二次不等式，得 0＜x＜ 5 10 15
例3
国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t，按规定，农户向国家纳税为：每收入100 元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)。为了减轻农民负担，制定积极的收购政策。根据市场规 律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点。试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税 收总收入不低于原计划的78%。
具体操作程序是：
1.先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次或二次不可约因 式积的形式且使最高次项的系数为正； 2.令代数式等于0，求出相应方程的根，并把它们依次标在数轴上，然后 用同一曲线按照自上而下，由右向左依次穿过(遇奇次重根一次穿过，遇 偶次重根不穿过)； 3.这样数轴上方、下方及数轴上的点分别表示使代数式大于0、小于0及 等于0的部分； 4.最后依据不等式的符号写出不等式的解集。

一元二次不等式的应用北师大版ppt课件

一元二次不等式的应用北师大版ppt课件
例 9 m 为何值时 ,方程 x2 (m 3) x m 0 有实数解 ? 解 方程 x2 (m 3)x m 0 有实数解,等价于 (m 3)2 4m 0 ,
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
2.解不等式 (x－1)(x＋2)(2x－1)≥0 解析：如图所示，由穿针引线法可知原不等式
1 的解集为[－2，2]∪[1，＋∞)．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
∴原不等式的解集为{x|x≤1，或 x>2}．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
(2)原不等式可改写为24xx－ －13＋1<0，即64xx－ －43<0， ∴(6x－4)(4x－3)<0， ∴23<x<34， ∴原不等式的解集为{x|23<x<34}．
-1 o 1 2 3 x
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用

高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式2.2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5

高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式2.2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5
第二十一页，共38页。
【解】 设每件提高x元(0<x<10)，即每件获得利润(2＋x)元，则每天可销 售(100－10x)件，每天获总利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋ 80x＋200.
∵0<x<10，∴当x＝4时，y取得最大值360元， ∴当售价定为14元时，每天所获得利润最大，为360元． 要使每天所获得的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300， 即x2－8x＋10<0，解得4－ 6<x<4＋ 6. 故每件定价在(14－ 6)元到(14＋ 6)元之间时，能确保每天的利润在300元 以上．
第十九页，共38页。
1．根据题意列出不等式是解题的关键，解完不等式后， 要将结论回归 到实际问题中．
2．解不等式应用题，一般可按以下四步进行： (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回扣实际问题．
第二十页，共38页。
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
n)
n)
一
2.2 一元二次不等式的应用
三
阶
段 (j iē d u à
学 业 分 层 测 评
n)
二
第一页，共38页。
1．会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点) 2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)
第二页，共38页。
[基础·初探]
第七页，共38页。
(1)设f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则f(x)的图像与x轴交点的个数为________． (2)(x＋1)(x－2)(x－3)＞0的解集为________．
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a<0 或 Δ<0
；
(4)不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集是全体实数(或恒成立)的等
a＝0 b＝0 c≥0 价条件是
a>0 或 Δ≤0
；
(5)f(x)≤a 恒成立，x∈D⇔[f (x)]max≤a，x∈D； (6)f(x)≥a 恒成立，x∈D⇔[f (x)]min≥a，x∈D.
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【典型例题】 例1 关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k－1)x＋k＝0 有两个正 实数根，求实数 k 的取值范围．
Δ≥0 f0>0 b － >0 2a
0<x1≤x2
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2.2
x1<0<x2
Δ>0 x1x2<0
f(0)<0
x1≤x2<k
Δ≥0 x1＋x2<2k x －k· 1 x2－k>0
Δ≥0 x1＋x2>2k x －k· 1 x2－k>0
fk >0 1 fk2<0 fk3>0
x1、x2∈ (k1，k2)
k1<x1<k2 <x2<k3
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探究点二 数轴穿根法解简单的一元高次不等式 数轴穿根法来源于实数积的符号法则， 例如要解不等式(x －1)(x－2)(x－3)>0.我们可以列表如下： x 的区间 x－1 x－2 x－3 (x－3)(x－2) · (x－1) 上得： x<1 － － － － 1<x<2 ＋ － － ＋ 2<x<3 ＋ ＋ － － x>3 ＋ ＋ ＋ ＋
∅
∅
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2
2.解分式不等式的同解变形法则： fx g(x)>0 ； (1) >0⇔ f(x)· gx fx (2) ≤0⇔ ； gx fx－agx fx (3) ≥a⇔ ≥0. gx gx
gx≤0 fx· gx≠0
2.2
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2
1．一元二次不等式的解集： 判别式 Δ＝b －4ac ax ＋bx＋c>0 (a>0)
2 2
Δ>0 (x1<x2) {x|x<x1
Δ＝ 0 {x|x∈R 且
Δ<0
或 x>x2}
b x≠－2a}
R
ax2＋bx＋c<0 {x|x <x<x } 1 2 (a>0)
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探究点三 一元二次不等式成立问题的关键是转化思想的应用， 一 元二次不等式恒成立问题还可以借助二次函数的图像来 求解，请把下列结论补充完整： (1)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒 成立)的等价条件是
a>0 Δ<0
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2.2
问超速行驶谁应负主要责任？ 一元二次不等式在实际生活实践中有着广泛的应用． 这节课 我们将研究一元二次不等式的实际应用．
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探究点一 问题 一元二次方程根的分布 一元二次方程 f(x)＝ax2＋bx＋c＝0 的根的分布范围
2.2
问题．一般从以下三个方面考虑： (1)判别式；(2)区间端点函数值的正负； b (3)对称轴 x＝－ 与区间端点的关系． 2a 设 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的两实数 根，f(x)＝ax2＋bx＋c，则 x1，x2 的分布范围与方程系数 之间的关系如下表所示： 根的分布 图像 等价条件Ⅰ 等价条件Ⅱ Δ≥0 x1＋x2>0 x2>0 x1·
；
(2)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)的
a＝0 b＝0 等价条件是 c>0
a>0 或 Δ<0
；
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2.2
(3)不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的等
a＝0 b＝0 价条件是 c<0
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2
x－2 3．不等式 >0 的解集是 x＋3 A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
( C )
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2.2
4．方程 x2＋(m－3)x＋m＝0 没有实数解，则实数 m 的取值
1<m<9 ． 范围是________
Δ≥0 fk>0 b － <k 2a
k<x1≤x2
Δ≥0 fk>0 － b >k 2a
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Δ>0 x1－k· x2－k<0
2.2
x1<k<x2
f(k)<0
Δ≥0 fk1>0 fk >0 2 k1<－ b 2a <k 2
2.2
把代数式 (x－ 1)(x－ 2)(x－ 3)的符号规律“浓缩”在数轴
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据此，可写出不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0 的解集是
2.2
{x|1<x<2 或 x>3} ．
一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是： (1)化成形如 p(x)＝(x－x1)(x－x2)„(x－xn)>0 (或<0)的标准 形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点 画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)； (4)根据曲线显现出的 p(x)的符号变化规律， 标出 p(x)的正值 区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内．
解析
Δ＝(m－3)2－4m<0，∴1<m<9.
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2.2
[问题情境] 汽车在行驶中， 由于惯性作用， 刹车后还要继续向前滑行 一段距离才能停住， 我们称这段距离为“刹车距离”． 刹 车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速 40 km/h 以内的弯道上， 甲， 乙两辆汽车相向而行， 发现情况不对， 同时刹车， 但还是相碰了． 事发后现场测得甲车的刹车距 离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m．又知甲、 乙两种车型的刹车距离 S m 与车速 x km/h 之间分别有如 下关系： S 甲＝0.1x＋0.01x2，S 乙＝0.05x＋0.005x2.