直线与平面垂直的性质学案

2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质【知识导图】【学法指导】1.线面垂直、面面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系，提供了它们之间相互转化的依据．因此，在应用时要善于运用转化的思想．2．利用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是解题的关键．3．学习线面垂直的性质定理时，要注意区分与其相似的几个结论．【自主预习】知识点一直线与平面垂直的性质文字语言垂直于同一个平面的两条直线符号语言}a⊥αb⊥α⇒图形语言①线面垂直⇒线线平行；作用②作平行线1．直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．知识点二平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，则垂直于的直线与另一个平面α⊥βα∩β＝l⇒a⊥β符号语言}图形语言①面面垂直⇒垂直；作用②作面的垂线对面面垂直的性质定理的理解1．定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．[小试身手]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β2．已知△ABC和两条不同的直线l，m，l⊥AB，l⊥AC，m⊥AC，m⊥BC，则直线l，m的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．垂直3.如图，BC是Rt△BAC的斜边，P A⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是()A．3 B．5C．6 D．84．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的______心．【课堂探究】类型一线面垂直的性质定理的应用例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.方法归纳线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：(1)a∥b，b∥c⇒a∥c.(2)a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.跟踪训练1如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.方法归纳(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．(2)证明线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α⇒a⊥α.跟踪训练2在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，P A⊥平面ABCD，P A∥EB，且P A＝2EB＝4 2.(1)证明：BD∥平面PEC；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.方法归纳空间线线垂直、线面垂直、面面垂直是重点考查的位置关系，证明时一般是已知垂直关系考虑性质定理，求证垂直关系考虑判定定理．跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【参考答案】【自主预习】知识点一 直线与平面垂直的性质平行 a ∥b知识点二 平面与平面垂直的性质一个平面内交线 垂直 a ⊂α a ⊥l线面[小试身手]1．解析：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β，故选B. 答案：B2．解析：因为直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，所以直线l ⊥平面ABC ，同理直线m ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m .答案：A3.解析：由P A ⊥平面ABC ，知△P AC ，△P AD ，△P AB 均为直角三角形，又PD ⊥BC ，P A ⊥BC ，P A ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面P AD .∴AD ⊥BC ，易知△ADC ，△ADB ，△PDC ，△PDB 均为 直角三角形．又△BAC 为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.答案：D4．解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心．答案：垂【课堂探究】类型一 线面垂直的性质定理的应用例1【证明】 如图所示，连接A 1C 1，C 1D ，B 1D 1，BD .∵AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D①.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D②.由①②可知EF∥BD1.跟踪训练1证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC.因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2【证明】如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，CF⊂平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE .跟踪训练2证明：如图所示，在平面P AB 内作AD ⊥PB 于点D .∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵P A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三 垂直关系的综合应用例3【证明】 (1)如图，连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，∴OF ∥P A ，且OF ＝12P A . ∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ，∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形，∴EF ∥BD .又EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴BD ∥平面PEC .(2)如图，连接PB ，∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ， ∴∠PBA ＝∠BEA ，∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°，∴PB ⊥AE . ∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面APEB ，∴平面ABCD ⊥平面APEB .∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE .又BC∩PB＝B，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.∵G为BC上的动点，∴PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.跟踪训练3解：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。

2.3.3 直线与平面垂直的性质(学案) 高一备课组一、堂前回顾：直线与平面垂直的判定定理是什么？二、学习新知：1、注意观察右面两个图，在长方体ABCD－A ’B ’C ’D ”中，棱AA ’、BB ’、CC ’、DD ’都与平面ABCD 垂直，它们之间具有什么什么关系？2、右图中，已知直线a ，b 和平面α，如果a ⊥α，b ⊥α那么直线a ，b 是否平行呢？直线与平面垂直的性质定理：在上述第2个问题中，假定b 与a 不平行，且b ∩α＝O ，b ’是经过点O 与直线a 平行的直线，直线b 与b ’确定平面β，设α∩β＝c ，因为a ⊥α，b ⊥α，所以a ⊥c ，b ⊥c ，又因为b ’∥a ，所以b ’⊥c ，这样在平面β内，经过直线c 上同一点O 就有两条直线b ，b ’与c 垂直，显然不可能，因此b ∥a 。

一般地，我们得到直线与平面垂直的性质定理定理 垂直于同一平面的两条直线平行。

,a αb αa b ^^O判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。

直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。

3、直线与平面垂直的性质的应用例4、设直线a，b分别在正方体ABCD－A’B’C’D”中两个不同的平面内，欲使a∥b，则a，b应满足什么条件？分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a，b满足的条件。

解：a，b满足下面条件中的任何一个，都能使a∥b，（1）a，b同垂直于正方体一个面；（2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面；（3）a，b平行于同一条棱；（4）如图，E，F，G，H分别为B’C’，CC’，AA’，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等。

评述：此题能充分考察学生对所学知识的应用，达到巩固知识的目的。

思考：你还能找出其他一些条件吗？练习：P73并说明理由或举出反例1：2：作业：P787、8。

直线与平面垂直的判定学案【教学目标】知识与技能1、掌握直线与平面垂直的定义及判定定理.2、使学生掌握判定直线与平面垂直的方法.过程与方法培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论情感、态度与价值观在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣，从而培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质.培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.重点：直线与平面垂直的定义及判定定理.难点：直线与平面垂直的定义及判定定理和线面角的求法.一创设情景直观感知请同学们想一下旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？二探究新知探究一直线与平面垂直的定义思考：当太阳的角度发生变化时，旗杆与它的影子的位置关系会发生变化吗？总结：如何定义直线与平面垂直？________________________________________________________________探究二思考：除定义外，有没有比较方便可行的方法来判断一条直线与一个平面垂直呢？活动：请同学们合作完成课本的学生活动折纸实验总结：直线与平面垂直的判定定理：探究三阅读课本第指出下图所体现的知识三尝试应用如图,在三棱锥V-ABC中,VA＝VC,AB＝BC, K是AC的中点.求证：AC⊥平面VKB．四典例示范例1 如图，已知a∥b、a⊥α.求证：b⊥α.例2、如图，正方体ABCD-中，求（1）直线AB和平面所成的角。

（2）直线AB和平面所成的角。

AVBCKa bA BCDA BCD五 达标检测（你一定可以做的很好！相信自己！）1在下图的长方体中，请列举与平面ABCD 垂直的直线。

并说明这些直线有怎样的位置关系？2 如图，圆O 所在一平面为 ａ，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA ⊥平面a 求证：B C ⊥平面PAC3.如图：正方体ABCD-ABCD 中，求:（1）AC 与面ABCD 所成的角（2）AC 与面BBDD 所成的角（3）AC 与面BBCC 所成的角 （4）AC 与面ABCD 所成的角六 课堂小结请同学们锻炼一下自己的概括能力吧！B A ′C ′D ′B A C D P A B C OA B C DA BCD。

2.3.3直线与平面垂直的性质课前预习学案一、预习目标：通过对图形的观察，知道直线于平面垂直的性质二、预习内容：1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？2、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？3、判断题（判断下列命题是否正确）（1）、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（2）、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

（3）、垂直于同一平面的两直线互相平行。

（4）、垂直于同一直线的两平面互相平行。

4、若直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：（1）明确直线与平面垂直的性质定理。

（2）利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。

学习重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

学习难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

二、学习过程探究一、直线与平面垂直的性质1、如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？2、 已知：a ，b 。

求证：b ∥a （由1让学生自行证明）得直线与平面垂直的性质定理三种语言刻画探究二、定理的应用例1已知变式1：下列命题中错误的是（ ）A 、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。

B 、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

C 、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面D 、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。

（四）课堂检测1、课本页：1、2.2、设直线a,b 分别在正方体ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内,欲使b ∥a ,a 、b 应满足什么条件？课后巩固练习与提高1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是（ ）α⊥α⊥βαβα//,,求证⊥⊥ll 71P ,,a b c αa α⊥2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。

2.3.3-2.3.4 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质学 案一、复习准备：1.直线与平面垂直的定义：定理：如果直线l 与平面α内的 直线都垂直，就说直线l 与平面α ， 记作：2.过空间一点可作一个平面的垂线多少条？答：3..直线与平面垂直的判定定理、推论及作用：α P 定理：一条直线与一个平面的 直线都垂直，该直线与此平面垂直.符号表示：作用：推论：符号表示：作用：4.校门前的路边的一排电杆，这排电杆均与地面垂直，这排电杆所在的直线之间具有什么位置关系？5.如图，已知直线a 、b 和平面α，如果a ⊥α、b ⊥α，那么a 、 b 一定平行吗？(由此归纳出直线与平面垂直的性质定理： )二、讲授新课：1. 教学直线与平面垂直的性质定理：定理： （线面垂直→线线平行） 符号表示： a ⊥α、b ⊥α⇒a ∥b已知; ,求证：分析、尝试用反证法证明之巩固练习： (P 71 练习 T1、2)1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”(1) 垂直于同一条直线的个平面两互相平行. ( )(2) 垂直于同一个平面的两条直线平行. ( )(3) 一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. ( )2.已知直线a 、b 和平面α，且a ⊥b,a ⊥α,则b 与α的位置关系是2.教学平面与平面垂直的性质定理：思考：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ l定理：（面面垂直→线面垂直）已知如图(图自己画) α⊥β，α∩β=CD ，AB ⊂α，AB ⊥CD 于B ，求证AB ⊥β证明：面面垂直的性质定理符号表示：面面垂直的性质定理作用：巩固练习：两个平面互相垂直，下列命题中，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”1、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线( )2、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线( )3、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面( )4、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.( )例1、如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.三、归纳小结,课后巩固（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？它是如何发现的？有什么作用？用符号如何表示？（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？四、课后阅读：教材P71、72页五、巩固深化、发展思维(课后思考)1、设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，直线a 与平面α具有什么位置关系？2、ααββαβα与平面a ，直线a ，⊥a ，⊥，若a 和直线已知平面⊄、 具有什么位置关系？。

2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质问题导学一、线面垂直性质的应用活动与探究1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．迁移与应用1．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为()①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．A．1 B．2 C．3 D．02．已知α∩β＝l，EA⊥α于点A，EB⊥β于点B，a⊂α，a⊥AB．求证：a∥l．名师点津线面垂直的性质也是得到线线平行的一个方法，在有线面垂直的条件下，要得平行线，可先考虑线面垂直的性质．二、面面垂直的性质的应用活动与探究2如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．若G为AD的中点，求证：(1)BG⊥平面P AD；(2)AD⊥PB．迁移与应用如图，已知V是△ABC外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC．求证：AC⊥AB．名师点津面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．三、线线、线面、面面垂直的综合应用活动与探究3如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．迁移与应用如图，平面P AC⊥平面ABC，试作出二面角P－AB－C的平面角．名师点津线面垂直的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，在解答垂直关系问题时要注意已知垂直条件，特别是线面垂直与面面垂直性质的应用．当堂检测1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能2．下列说法中不正确的是()A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边B．同一个平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3．平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有()A．l∥βB．l⊂βC．l与β相交D．以上三种情况都有可能4．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长度．5．如图所示，三棱锥S－ABC中，平面SBC⊥底面ABC，且SA＝SB＝SC，试判断△ABC 的形状．参考答案问题导学活动与探究1【解析】对于(1)要证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC．对于(2)可利用平行的传递性加以证明．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D ． 又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1．∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON12CD 12AB ． ∴ON ∥AM ．又∵MN ∥OA ， ∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ．∴M 是AB 的中点． 迁移与应用 1．B2．证明：EA ⊥α，EB ⊥β, α∩β＝l ⇒⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥EA l ⊥EB ⇒l ⊥平面EAB ． 又∵a ⊂α，EA ⊥α，∴a ⊥EA ． 又∵a ⊥AB ，∴a ⊥平面EAB ．∴a ∥l ．活动与探究2 【解析】(1)可利用面面垂直的性质定理去证明；(2)可通过垂直关系来转化． 证明：(1)连接BD ，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为正三角形．又G 为AD 的中点，∴BG⊥AD．又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，∴BG⊥平面P AD．(2)∵△P AD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．由(1)知BG⊥AD，又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG．∴AD⊥PB．迁移与应用证明：在平面VAB内，过点B作BD⊥VA于D．∵平面VAB⊥平面VAC，且交线为VA，∴BD⊥平面VAC．∴BD⊥AC．∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC．∵BD∩VB＝B，且VB⊂平面VBA，BD⊂平面VBA，∴AC⊥平面VBA，∴AC⊥AB．活动与探究3【解析】根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l与其平行即可．解：已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．求证：l⊥γ．证明：方法一：在γ内取一点P，作P A垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，则P A⊥α，PB⊥β．∵l＝α∩β，∴l⊥P A，l⊥PB．又P A∩PB＝P，且P A⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ．方法二：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ．∴m∥n．又n⊂β，∴m∥β．又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l．∴l⊥γ．迁移与应用解：如图，在平面P AC内，过点P作PO⊥AC于O，在平面ABC内，过O作OD⊥AB于D，连接PD．则∠PDO就是二面角P－AB－C的平面角，证明如下：∵PO⊥平面ABC，∴AB⊥PO．又∵OD⊥AB，∴AB⊥平面PDO，∴AB⊥PD．∴∠PDO满足二面角的平面角的定义，即是二面角P－AB－C的平面角．当堂检测1．D2．D3．D4．解：∵AC⊥l，AC＝3 cm，AB＝4 cm，∴BC＝5 cm．∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD⊂β，∴BD⊥α．又BC⊂α，∴BD⊥BC．在Rt△BDC中，DC＝BD2＋BC2＝13 cm．5．解：如下图所示，取BC的中点O，∵SB＝SC，∴SO⊥BC．∵平面SBC⊥底面ABC，∴SO⊥平面ABC．∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC．∴∠A＝90°．∴△ABC为直角三角形．。

2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质 学习目标：1.掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用2.掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律及其转化关系，培养空间想象能力、逻辑思维能力、和类比思维能力。

知识链接：问题1：直线与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题2：平面与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题3：两个平面垂直的定义是什么? .探究问题1.已知直线b a ,和平面α，如果αα⊥⊥b a ,，那么直线b a ,一定平行吗？直线与平面垂直的性质定理： 符号表示：证明：探究问题2.（1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线与另一个平面垂直吗？（2）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内能否找到一条直线与另一个平面垂直？ ，怎么画出来？请在下图中画出来平面与平面垂直的性质定理： 这个定理实现了什么关系的转化?符号表示：证明：预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（ ）（2）两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（ ）（3）两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直于这个平面；（ ）（4）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（ ）（5）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ）（6）垂直于同一个平面的两个平面互相平行.（ ）2.两个平面互相垂直，下列命题A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C 、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D 、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.正确的个数是 个3.对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一个条件是（ ）A.,m n m ⊥∥α，n ∥βB. m n ⊥，m αβ⋂=，n α⊂C. m ∥n ，n β⊥ ，m α⊂D. m ∥n ，,m n αβ⊥⊥例题剖析例1.CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ，l αβ=，a α⊂，且a AB ⊥.求证：a ∥l .例2.如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.探究：设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，则直线a 与平面α具有什么位置关系？请说明理由.例3.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC. 求证：BC ⊥平面PAC例4.如图，P 是四边形ABCD 外一点，四边形ABCD 是60DAB ︒∠=,边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .若G 为AD 的中点.(1) 求证:BG ⊥面PAD(2) 求证:AD PB ⊥参考答案预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）正确 （2）正确（3）正确 （4）错误 （5）正确 （6）错误2. 13. C例题剖析例1.证明：∵CA α⊥且 a α⊂∴CA ⊥a ,又∵a AB ⊥（已知），CA AB A =,CA ⊂面CAB,AB ⊂ 面CAB.∴a ⊥面CAB. ① 另外CA α⊥，CB β⊥，l αβ=，∴CA ⊥l , CB ⊥l 又CA CB C =,CA ⊂面CAB,CB ⊂ 面CAB.∴l ⊥面CAB ②由①②知a ∥l例2 略 例3.证明：过A 点做PC 的垂线交PC 与点M.连接AM∵平面PAC ⊥平面PBC ，且PAC∩PBC=PC, AM ⊂平面PAC ∴AM ⊥平面PBC, BC ⊂平面PBC,∴AM ⊥BC, ①又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴PA ⊥BC ②又PA∩AM=A ，AM ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC.③∴由①②③知 BC ⊥平面PAC例4. 证明：（1）解：（1）证明：连结BD ．∵ABCD 为棱形，且∠DAB=60°， ∴△ABD 为正三角形．又G 为AD 的中点，∴BG ⊥AD ．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴BG ⊥平面PAD ．（2）∵PAD 为正三角形且G 为AD 的中点.∴PG ⊥AD ① 由（1）知BG ⊥AD 且PG∩BG=G ， PG ⊂PBG, BG ⊂PBG.② 由①②知 AD ⊥PBG又PB ⊂PBG ∴AD PB ⊥。

2.3.3 直线与平面垂直的性质【学习目标】①.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理．②.能运用性质定理解决一些简单问题【重点难点】重点:直线与平面垂直性质的简单应用难点: 直线与平面垂直性质的简单应用【使用说明及学法指导】阅读课本P70~P71，完成下列题目预习案一、知识梳理1、 直线与平面垂直的性质定理 ：_____________________________________________符号语言： ；直线与平面垂直的性质告诉我们：__________________________________________二、问题导学1、过平面外一点可以作几条直线垂直于这个平面？2、垂直于同一条直线的两条直线是否平行？三、预习自测1、 判断题①．平行于同一条直线的两条直线互相平行; （ ）②．垂直于同一条直线的两条直线互相平行; （ ）③．平行于同一个平面的两条直线互相平行； （ ）④．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ ）⑤．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂 直，则这两条直线互相垂（ ） ⑥ （ ）2、已知直线a 、b 和平面α，且a ⊥b ，a ⊥α，则b 与α的位置关系：____________3、如图，AB ∥α，AD ⊥α，BC ⊥α，垂足为D 、C ，PA ⊥AB ，求证：CD ⊥平面PAD.探究案 【例1】：如图 ，四棱锥 P －ABCD 中， P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，点 E 是 PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面 ABE .//,,a a b b αα⊥⊥则α P D CB A【例2】.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点 求证：（1）;MN CD ⊥（2）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥面PCD课堂检测1、已知 b ⊥平面α，a ⊂α， 则直线a 与直线b 的位置关系是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．直线 a 与直线 b 垂直相交D ．直线 a 与直线 b 垂直且异面2.已知直线a 、b 和平面βα,，下列命题中错误的是（ ）A ．若αα⊥⊥b a b a 则,,//B ．若b a b a //,//,,则βαβα⊥⊥C ．若b a b a //,//,//,//则βαβαD ．若b a b a ⊥⊥⊥⊥则,,,βαβα3. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD.4．已知H 是锐角三角形ABC 的垂心，过H 作平面ABC 的垂线，在垂线上取一点P ，使∠APB =90º，求证：PB ⊥平面P ACPAB C M N。

《直线与垂直平面垂直的性质》教学设计直线与垂直平面垂直的性质教学设计
简介
本次教学设计旨在介绍直线与垂直平面垂直的性质。

通过这个教学设计，学生将了解直线与垂直平面之间的关系，并学会判断直线与垂直平面之间是否垂直。

教学目标
1. 了解直线与垂直平面之间的定义和性质；
2. 能够判断直线与垂直平面之间是否垂直；
3. 掌握垂直平面的相关概念和判定方法。

教学内容
1. 直线与垂直平面之间的定义；
2. 直线与垂直平面垂直的条件；
3. 垂直平面的相关理论。

教学步骤
步骤一：导入
通过举例引出直线与垂直平面之间的关系，引发学生的兴趣，并预测直线与垂直平面是否垂直。

步骤二：知识讲解
详细介绍直线与垂直平面的定义和性质，并解释直线与垂直平面垂直的条件。

步骤三：示例分析
选取一些具体的示例，引导学生通过判断直线与垂直平面之间的关系，练应用所学知识。

步骤四：巩固练
设计几个练题，让学生在书写答案的同时解答问题，巩固所学知识。

步骤五：拓展应用
提出一些拓展问题，引导学生思考直线与垂直平面之间的其他应用场景。

步骤六：总结归纳
对本节课的内容进行总结归纳，让学生对直线与垂直平面垂直的性质有更深入的理解。

教学评价
1. 通过学生的课堂参与度和答题情况，评估学生对直线与垂直平面垂直的性质的掌握程度；
2. 通过练题的答案和解答过程，评价学生的解题思路和推理能力。

扩展活动
为了提高学生对直线与垂直平面垂直性质的理解，可以组织一些相关实践活动，如拓展研究、实验观察等。

参考资料
- XX教材第X章节
- 相关课外阅读资料。

《直线与垂直平面垂直的性质》教学设计直线与垂直平面垂直的性质教学设计教学目标- 了解直线与垂直平面之间的垂直关系- 能够判断直线与垂直平面之间是否垂直- 能够应用垂直关系解决几何问题教学内容1. 介绍直线与垂直平面的定义和性质2. 讨论直线与垂直平面垂直的条件3. 提供实际生活中的例子，展示垂直关系的应用4. 解决几何问题，强化学生对垂直关系的理解教学步骤1. 引入直线与垂直平面的概念，并给出示意图，让学生对垂直关系有一个初步的了解。

2. 通过示例讲解直线与垂直平面垂直的条件，例如两条直线的斜率相乘为-1，或者两条直线的方向向量垂直。

3. 与学生一起探讨垂直关系在实际生活中的应用，例如建筑物的垂直墙面、垂直树干等。

4. 给学生提供一些几何问题，要求他们判断直线与垂直平面之间的垂直关系，并解决问题。

这样可以让学生通过实际操作巩固所学知识。

教学资源- PowerPoint演示文稿：包括直线与垂直平面的定义、性质以及示例图片- 实物例子：例如直线、垂直平面的示意图、建筑物或物体的照片等- 练题：包括判断直线与垂直平面垂直关系的题目和解答教学评估1. 在课堂上观察学生对直线与垂直平面垂直关系的理解情况，并提供即时反馈和指导。

2. 给学生布置作业，包括判断直线与垂直平面垂直关系的问题，并要求他们解答并解释答案的依据。

3. 对学生的作业进行评分和讲评，以评估他们对垂直关系的掌握程度。

教学延伸- 引导学生观察并发现更多实际生活中的垂直关系的例子。

- 引导学生自己设计问题，并交换解答，以提高他们对垂直关系的应用能力。

参考资料- 高中数学教材- 几何学相关参考书籍。

2.3 直线与平面垂直的性质-人教A版必修二教案背景直线与平面是空间中常见的几何学概念。

在立体几何学中，直线与平面之间的关系是非常重要的性质。

垂直是基础的几何学概念之一，直线与平面的垂直关系也是很重要的。

目标1.学习直线与平面相交的情况；2.理解直线与平面垂直的概念；3.学会利用向量法、坐标法和公式法判定直线与平面的垂直关系。

活动1.学生通过阅读教材，回答下列问题：•直线与平面重合一定垂直？•直线与平面垂直，必然相交吗？•直线与平面相交，是否就一定垂直？2.教师向学生介绍直线与平面垂直的定义及性质，引导学生理解该概念。

3.教师使用向量法、坐标法和公式法分别说明怎样判断直线与平面的垂直关系，并且通过实例引导学生解决相关问题。

例如，对于以下直线和平面：直线 l: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, -1, 1)平面 A: 2x + y - z = 3通过向量法，我们可以求出直线 l 的方向向量为 (1, -1, 1)，平面A 的法向量为(2, 1, -1)。

由于这两个向量的点积为 0，所以直线 l 与平面 A 垂直。

通过坐标法，我们可以将直线上的点代入平面的方程，计算得到一个数值，如果该值为 0，则直线与平面垂直；反之，则不垂直。

通过公式法，我们可以利用直线和平面的法向量计算它们之间的夹角，并判断垂直关系。

4.学生独立完成练习题，巩固所学知识。

总结通过本课程的学习，学生了解了直线与平面的基本概念和垂直关系，并掌握了判断直线与平面垂直关系的方法和技巧。

在实际应用中，这些知识和方法将发挥重要作用。

2.3.3 直线与平面垂直的性质【学习目标】1．理解且能证明直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．【知识梳理】直线与平面垂直的性质定理 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α______证明两条直线____名师点拨直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”关系的内在联系．【做一做】 在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行 【重点难点】1．理解直线与平面垂直的性质定理剖析：(1)直线与平面垂直的性质定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．(4)定理的推证过程采用了反证法．(5)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．2．直线与平面垂直的性质剖析：(1) ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αb ⊂α l ⊥b ； (2) ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α a ∥b ； (3) ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α b ⊥α； (4) ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α a ⊥β； (5) ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β α∥β.【典型例题】题型：证明两条直线平行【例】 如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，EF 与异面直线AC ，A 1D 都垂直相交．求证：EF ∥BD 1.反思：当题中垂直条件很多，但又需证明两条直线的平行关系时，就要考虑直线与平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．【随堂练习】1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是( )①若m ⊥n ，n α，则m ⊥α；②若a⊥α，aβ，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若mα，nβ，α∥β，则m∥n.A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④2．已知直线m平面α，直线n平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是__________．3．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__________.4．已知直线l，m，a，b，l⊥a，l⊥b，m⊥a，m⊥b，且a，b是异面直线，求证：l∥m. 5．如图所示，已知α∩β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，aα，a⊥AB.求证：a∥l.【参考答案】【知识梳理】平行a∥b平行【做一做】B【典型例题】证明：连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示．∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1，同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.【随堂练习】1．B 2.平行 3.64. 证明：如图所示，在直线b上任取一点O，过O作a′∥a，则直线b，a′确定一个平面α.∵a′∥a，l⊥a，∴l⊥a′.又∵l⊥b，a′∩b＝O，∴l⊥α.同理可证m⊥α，∴l∥m.5．证明：∵EA⊥α，EB⊥β，α∩β＝l，∴l⊥EA，l⊥EB.又∵EA∩EB＝E，EA平面EAB，EB平面EAB，∴l⊥平面EAB.又∵aα，EA⊥α，∴a⊥EA.又∵a⊥AB，AB∩EA＝A，AB平面EAB，EA平面EAB，∴a⊥平面EAB.∴a∥l.。

直线与平面垂直的性质一、学习目标：1、理解并能证明直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理；2、能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题.二、学习重、难点：重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用；难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透.三、学法指导：1、阅读课本，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标；2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本中，多复习记忆.四、知识链接：1、判断直线与平面垂直的方法：（1）定义法直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的都垂直，我们就说直线l 与平面αa l aα⊂⎫⇒⎬⊥⎭任意（2直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直.l al ba lbααα⎫⊥⎪⊥⎪⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊂⎪⎪⎭（3）间接法如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.a baα⎫⇒⎬⊥⎭∥2、知识拓展：（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.五、学习过程：【自主探究】问题1：如图，长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AA 、1BB 、1CC 、1DD 所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：如图，已知a α⊥，b α⊥.求证：a ∥b .【探究结论】直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号表示:a ab b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ 思想：线面垂直⇒线线平行. 作用：实现垂直向平行的转化. 【练习】课本P71页 练习 第1、2题 1、判断题：（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行； （ ） （2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行； （ ） （3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.（ ） 2、已知直线a ，b 和平面α，且a b ⊥，a α⊥，则b 与α的位置关系是 归纳小结：（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即：a a αβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭（2）垂直于同一个平面的两条直线平行，即：a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线，即：l a αα⊥⎫⇒⎬⊂⎭【例题】如图，已知l αβ=，EA α⊥于点A ，EB β⊥于点B ，a α⊂，a AB ⊥.αab求证：a l ∥.反思：当题中垂直条件很多，而又要证明两条直线的平行关系时，就要考虑直线与平面平行的性质定理，从而完成垂直向平行的转化. 六、达标检测：1、若b a ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的关系是（ ）A. a α∥B. a α⊥C. a α⊂或a α∥D. a α⊂2、如图，已知PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，则图中直角三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43、已知直线a 、b 和平面α、β，且a α⊥，那么（ ） A. b b a α⇒⊥∥ B. b a ⊥⇒b α∥ C. a βαβ⊥⇒∥D. a βαβφ⊄⇒≠4、下列命题中，正确的是（ ）A. 过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B. 过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C. 若a ，b 异面，则过a 一定可作一个平面与b 垂直D. 若a ，b 异面，则过不在a ,b 上的点M ，一定可以作一个平面和a ,b 都垂直. 5、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，EF 与异面直线AC 、1A D 都垂直相交，P A BCl求证：1EF BD ∥.七、小结: 1、小结：（1）直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号表示:a ab b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ 思想：线面垂直⇒线线平行. 作用：实现垂直向平行的转化.（2）线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。

2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂.（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面.要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化.要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到.这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法.2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）.（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；αβ=，求证：AB∥c.（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行.（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c.【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直.如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明.举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，P A=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由P A⊥底面ABCD，可得CD⊥P A，又CD⊥AC，故CD⊥面P AC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE.【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．举一反三：==，ABED是边长为1的正方形，平【变式1】如图，三角形ABCD中，AC BC AB面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点.（1）求证：GF∥底面ABC；（2）求证：AC⊥平面EBC；（3）求几何体ADEBC的体积V.类型二：平面与平面垂直的性质例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键.证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷.由此可见，我们必须熟练掌握这一推论.举一反三：【变式1】已知△ABC，AB=AC=3a，BC=2a，D为BC的中点，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，且满足AA1 平面ABC，AA1=3a.如图所示，E是CC1上一点，且CE=2a，求二面角D—AE—C的正弦值.【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面的角、直线与平面所成的角、平面的垂线等.类型三：综合应用例4．如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD ∥FE ，∠AFE =60°，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，122AF FE AB AD ====，点G 为AC 的中点.（1）求证：EG ∥平面ABF ；（2）求三棱锥B —AEG 的体积；（3）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由.【思路点拨】（1）取AB 中点M ，连接MG ，则EF ∥MG ，①即得证.（2）转换三棱锥B —AEG 为E —ABG 即可求得体积.（3）只要证明AE ⊥CDE 即可.例5．如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，,D E 分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE △沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2．(1)求证：//DE 平面1A CB ；(2)求证：1A F BE ⊥；(3)线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由．【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化.举一反三：【变式1】如下图，已知三棱锥P—ABC中，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.（1）求证：P A⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直——面面垂直来实现的.因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.【变式2】如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）判定AE 与PD 是否垂直，并说明理由．（2）设AB =2，若H 为PD 上的动点，若△AHE P —ABCD 的体积．【总结升华】本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的体积等几个知识点．在题中出现了探究性问题，请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想．【变式3】四棱锥S ABCD -中，//AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．(1)证明：SD SAB ⊥；(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．【参考答案】【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇.∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇.又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α.（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇.又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面.∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c.∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面，故c∥AB.举一反三：【变式1】【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.例2．【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥P A．又CD⊥AC，P A∩AC=A，∴CD⊥面P AC，∵AE⊂面P AC，故CD⊥AE．（2）由P A=AB=BC，∠ABC=60°，可得P A=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵P A⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE举一反三：【变式1】【证明】（1）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点，∴HG∥BC，HF∥DE，又∵ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC，∴GF∥平面ABC证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点，∴GM∥BE，且12GM BE=，NF∥DA，且12NF DA=，又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF，∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC 证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE ∩BD =F ，且F 是AE 中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，∴GF ∥平面ABC（2）∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，∴GF ∥平面ABC又∵平面ABED ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC ∴BE ⊥AC又∵CA 2+CB 2=AB 2，∴AC ⊥BC ，∵BC ∩BE =B ，∴AC ⊥平面BCE（3）连接CN ，因为AC =BC ，∴CN ⊥AB ，又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴CN ⊥平面ABED.∵三角形ABC 是等腰直角三角形，∴1122CN AB ==， ∵C —ABED 是四棱锥， ∴111113326C ABED ABED V S CN -=⋅=⨯⨯= 类型二：平面与平面垂直的性质例3．【解】已知：αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，求证：l γ⊥.证法1：如图（左），在γ内取一点P ，作P A 垂直于α与γ的交线于A ， PB 垂直于β与γ的交线于B ，则P A ⊥α，PB ⊥β，∵l αβ=，∴l ⊥P A ，l ⊥PB.∵P A γ⊂，PB γ⊂，P A ∩PB =P ，∴l γ⊥.证法2：如图（右），在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线，∵αγ⊥，βγ⊥，∴m γ⊥，n γ⊥，∴m ∥n.又n β⊂，∴m ∥β，∴m ∥l ，∴l γ⊥.证法3：如图，在l 上取一点A ，过A 作直线m ，使m γ⊥.∵αγ⊥，且A l α∈⊂，∴m α⊂，同理m β， ∴m l αβ==，即l 与m 重合，∴l γ⊥.举一反三：【变式1】【解】 ∵AA 1⊥平面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥平面ABC.又CC 1⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面ABC.作DH ⊥AC 于H ，DH ⊥平面AEC ，作HF ⊥AE 于F ，连接DF ，则DF ⊥AE ，∴∠DFH 是二面角D —AE —C 的平面角.在Rt △ADC 中，AD DC DH AC ⋅==.在Rt △ADE （易证得）中，AD DE DF AE ⋅==.在Rt △DHF 中，sin DH DFH DF ∠==∴二面角D —AE —C 类型三：综合应用例4．【证明】（1）证明：取AB 中点M ，连FM ，GM.∵G 为对角线AC 的中点，∴GM ∥AD ，且12GM AD =， 又∵FE ∥12AD ，∴GM ∥FE 且GM =FE. ∴四边形GMFE 为平行四边形，即EG ∥FM.又∵EG ⊄平面ABF ，FM ⊂平面ABF ，∴EG ∥平面ABF .（2）作EN ⊥AD ，垂足为N ，由平面ABCD ⊥平面AFED ，面ABCD ∩面AFED =AD ，得EN ⊥平面ABCD ，即EN 为三棱锥E —ABG 的高∵在△AEF 中，AF =FE ，∠AFE =60°，∴△AEF 是正三角形∴∠AEF =60°，由EF ∥AD 知∠EAD =60°，∴sin 60EN AE =⋅︒=∴三棱锥BAEG 的体积为11122332B AEG E ABG ABG V V S EN --==⋅=⨯⨯⨯= （3）平面BAE ⊥平面DCE ，证明如下： ∵四边形ABCD 为矩形，且平面ABCD ⊥平面AFED ，∴CD ⊥平面AFED ，∴CD ⊥AE∵四边形AFED 为梯形，FE ∥AD ，且∠AEF =60°，∴∠F AD =120°又在△AED 中，EA =2，AD =4，∠EAD =60°，由余弦定理，得ED =∴222EA ED AD +=，∴ED ⊥AE又∵ED ∩CD =D ，∴AE ⊥平面DCE又 AE ⊂面BAE ，∴平面BAE ⊥平面DCE例5．【解】(1)证明：因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC ， 又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB ．(2)证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC ．所以DE ⊥A 1D ．DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC ．而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F ．又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE ．所以A 1F ⊥BE ．(3)解：线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P,Q，则PQ∥BC．又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP．由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C．又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP．所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．举一反三：【变式1】证明：（1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.因为平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面P AC.又P A 平面P AC，所以DF⊥P A.作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥P A.又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，所以P A⊥平面ABC.（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）.因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE.所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB.又因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，所以AB⊥平面P AC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.【变式2】【证明】（1）AE ⊥PD因为四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴△ABC 为等边三角形．因为E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，结合BC ∥AD ，得AE ⊥AD∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AEP A ∩AD =A ，且P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD∴AE ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴AE ⊥PD（2）由（1），EA ⊥平面P AD ，∴EA ⊥AH ，即△AEH 为直角三角形，Rt ⊥EAH 中，AE =当AH 最短时，即AH ⊥PD 时，△AEH 面积的最小此时，12EAH S EA AH AH ∆=⋅=⇒=又AD =2，所以∠ADH =45°，所以P A =2，P ABCD V -=【变式3】【解】（1）取AB 中点E ，连结DE 、SE ，∴四边形BCDE 为矩形，DE =CB =2，∵侧面SAB 为等边三角形，∴,SE AB SE ⊥=又∵SD =1，222ED SE SD =+，∴DSE ∠为直角．又∵,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=，∴AB ⊥平面SDE ，∴AB SD ⊥．又SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直．∴SD ⊥平面SAB ．（2）作SF DE ⊥垂足为F ，FG ⊥BC ，垂足为G ，连结SG∵AB ⊥平面SDE ，∴平面ABCD ⊥平面SED ，∴SF ⊥平面ABCD ，∵BC ABCD ⊂平面，∴SF BC ⊥，又 ∵FG ⊥BC ，SF FG F =，∴BC ⊥平面SFG ，∵BC SBC ⊂平面，∴平面SBC ⊥平面SFG ．作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC ．又∵在Rt SDE ∆中，SD SE SF DE ⨯==，在Rt SFG ∆中，SG ===∴SF FG FH SG ⨯===，即F 到平面SBC ．∵ED //BC ，∴ED //平面SBC ，∴E 到平面SBC 的距离d ．设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin d EB α==．。

直线与平面垂直的性质及平面与平面垂直的性质学习目标：1.直线和平面垂直的性质定理．并能应用它们灵活解题． 2.探究平面与平面垂直的性质定理，并能灵活应用 线面垂直性质一．温故知新：直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直的判定定理：探究一 1.长方体1111D C B A ABCD -中，棱AA'、BB'、CC'、DD' 所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？2.，已知直线a ，b 和平面α，如果a ⊥α，b ⊥α那么直线a ，b 是否平行呢？下面就让我们看看这个命题是否正确？已知：a ⊥α， b ⊥α 求证：a ∥b ．我们能否从另一个角度来证明，比如，a 、b 不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法． 层层推进，证明定理 ：新知： 直线和平面垂直的性质定理：符号语言： 图形语言：例1例2.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC 求证： (1) MN ∥AD 1; (2) M 是AB 的中点.面面垂直性质复习旧知：1.面面垂直的定义： 2.面面垂直的判定定理：探究：（1）黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？如图，长方体ABCD —A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD 垂直,直线A′A 垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A 与平面ABCD 垂直吗？如图,若α⊥β,α∩β=CD,AB ⊂α,AB ⊥CD 于B 请同学们 讨论直线AB 与平面β的位置关系.并给予证明两个平面垂直的性质定理：符号语言： 图形语言：例1. 如图，已知α⊥β，a ⊥β,a ⊄α,试判断直线a 与平面α的位置关系.2 如图，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. 求证：侧面PAB ⊥侧面PBC ；）（相垂直垂直，则这两条直线互另一条直线与这个平面）一条直线在平面内，（）（两条直线平行）垂直于同一个平面的（）（两个平面互相平行）垂直于同一条直线的（：判断下列命题是否正确练习：.3.2.1.1 ABCDA1 B1 C1D1 MNO课堂检测：1.已知a 、b 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；② 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b ；④若α∥β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a ∥b 。

§2.3.3直线与平面垂直的性质导学案【学习目标】1、探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质。

2、掌握直线与平面垂直的性质定理的应用，提高逻辑推理能力。

【学习重难点】直线与平面垂直的性质定理及其应用【使用说明与方法】逐字逐句仔细审题，认真阅读。

把学案中不懂的知识点和疑难问题及时整理。

【我已掌握】直线和平面垂直的定义 : 直线和平面垂直的判定定理：符号表示： 问题提出：1、直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？2、直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？ 【我的知识】（一）.直线与平面垂直的性质定理(阅读课本P.70-71，思考下面问题.)思考1：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？思考2：如果直线a ，b 都垂直于同一条直线l ，那么直线a ，b 的位置关系如何？思考3：一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？思考4：如果直线a ，b 都垂直于平面α，由观察可知a//b ，从理论上如何证明这个结论？直线与平面垂直的性质定理：AA 1BC D B 1C 1D 1符号语言：证明：证明此结论的方法叫做什么法？（二）：有关线面垂直的结论：1、定义：若a⊥α，b在平面α内，则a与b的位置关系.2、性质：若a⊥α，b⊥α，则a与b的位置关系.3、过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.4、若直线a⊥平面α，直线a∥b，则b与平面α的位置关系.【我能解答】1、判断下列命题是否正确；（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（）（2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行；（）（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直（）2、已知直线a、b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系 ____________3、如果直线l⊥平面a，①若直线m⊥l,则m∥a；②若m⊥a,则m∥l；③若m∥a,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥a,上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④4、直角△ABC的斜边BC在平面a内，顶点A在平面a外，则△ABC的两条直角边在平面a 内的射影与斜边BC组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形5、平面α外的两条直线在α内的射影是同一条直线，则这条直线的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.相交或平行6、知△ABC所在的平面α外一点P到△ABC各边的距离相等，O是P在△ABC内的射影，则O是△ABC的( )A.外心B.垂心C.内心D.重心7、如图所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN⊥平面PCD.。

直线与平面垂直的性质教案教案：直线与平面垂直的性质一、教学目标1.知识目标：了解直线与平面的垂直关系，并掌握直线与平面垂直的性质。

2.能力目标：能够判断直线与平面是否垂直，并能够运用垂直的性质解决问题。

3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学习的主动性。

二、教学重点三、教学难点如何判断直线与平面是否垂直。

四、教学准备教师准备：教学课件、黑板、白板、绘图工具等。

学生准备：课本、笔记本等。

五、教学过程Step1：导入新知1.通过引入两个概念：“直线”和“平面”，并介绍其定义、性质和符号表示。

2.通过实际示例，引导学生思考并提出问题：“直线与平面之间是否存在一种特殊的关系？”“你认为直线与平面有什么样的垂直关系？”3.引导学生观察周围环境中直线与平面的垂直关系，并与学生一起讨论。

Step2：理论讲解1.引入直线与平面垂直的定义：“如果直线与平面上的任意一条直线都垂直相交，那么称这条直线与这个平面垂直。

”2.讲解直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直的定理：在同一个平面内，如果一条直线与另一条直线垂直相交，则它们与该平面垂直。

（2）直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面垂直的充分必要条件是这条直线上有一点在这个平面上，且在这个平面上有一般的直线与这条直线垂直。

3.讲解直线飞平面垂直的表示方法：以垂直符号“⊥”表示。

Step3：示例演练1.给出一些具体问题，引导学生分析并判断直线与平面是否垂直，并用判定定理进行解答。

例如：过一个点作平面外的一条直线，该直线与这个平面有什么样的关系？2.引导学生根据给定的条件使用垂直的性质进行证明，以锻炼思维能力。

Step4：归纳总结1.让学生复习并总结判定直线与平面垂直的方法和性质。

2.强化学生对垂直符号“⊥”的理解和应用。

Step5：拓展应用将所学的直线与平面垂直的知识应用到实际问题中，例如建筑工程、地理测量等领域，培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力。

2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质学习目标1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点)3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．(易错点)基础·初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．()(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()教材整理2平面与平面垂直的性质定理2.在长方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直合作学习类型1 线面垂直性质定理的应用例1如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．名师指津1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．跟踪训练1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.类型2 面面垂直性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.名师指津1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．跟踪训练2．如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.探究共研型探究点垂直关系的综合应用探究1如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴转动．当平面ADB⊥平面ABC时，能否求CD的长度？探究2在上述问题中，当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．例3如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.名师指津1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练3．如图，在三棱锥P­ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面P AB；(2)若平面P AC⊥平面ABC，且P A＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.课堂检测1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β2．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则() A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面ACC．ME∥平面ACD．以上都有可能3．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.4．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD 与平面BCD所成的角是________.5．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.参考答案基础·初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理平行a∥b预习自测1. 【答案】(1)√(2)√(3)√【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确． 教材整理2 平面与平面垂直的性质定理 一个平面内 交线 垂直 a ⊂α a ⊥l 预习自测 2. 【答案】D【解析】在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1且平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1，又EF ⊂面A 1ABB 1，EF ⊥A 1B 1，∴EF ⊥平面A 1B 1C 1D 1，答案D 正确．合作学习例1 证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1. ∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. (2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC . ∴ON12DC 12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．跟踪训练1．证明：因为EA ⊥α，α∩β＝l ，即l ⊂α，所以l ⊥EA . 同理l ⊥EB .又EA ∩EB ＝E ，所以l ⊥平面EAB . 因为EB ⊥β，a ⊂β，所以EB ⊥a ， 又a ⊥AB ，EB ∩AB ＝B ，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.例2证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)如图，连接PG.∵△P AD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.跟踪训练2．证明：∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.探究1解：取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE ⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.探究2证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由探究1知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.探究3【答案】垂直问题转化关系如下所示：例3证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A⊥AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.又AD∩P A＝A，所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.跟踪训练3．证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB.(2)∵P A＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面P AC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.课堂检测1．【答案】D【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．2．【答案】A【解析】由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.3．【答案】13【解析】因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝ED2＋CD2＝13.4．【答案】45°【解析】过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.5．证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.。