高中数学学案：直线与平面垂直

2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质【知识导图】【学法指导】1.线面垂直、面面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系，提供了它们之间相互转化的依据．因此，在应用时要善于运用转化的思想．2．利用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是解题的关键．3．学习线面垂直的性质定理时，要注意区分与其相似的几个结论．【自主预习】知识点一直线与平面垂直的性质文字语言垂直于同一个平面的两条直线符号语言}a⊥αb⊥α⇒图形语言①线面垂直⇒线线平行；作用②作平行线1．直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．知识点二平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，则垂直于的直线与另一个平面α⊥βα∩β＝l⇒a⊥β符号语言}图形语言①面面垂直⇒垂直；作用②作面的垂线对面面垂直的性质定理的理解1．定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．2．已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．[小试身手]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β2．已知△ABC和两条不同的直线l，m，l⊥AB，l⊥AC，m⊥AC，m⊥BC，则直线l，m的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．垂直3.如图，BC是Rt△BAC的斜边，P A⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是()A．3 B．5C．6 D．84．如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的______心．【课堂探究】类型一线面垂直的性质定理的应用例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.方法归纳线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：(1)a∥b，b∥c⇒a∥c.(2)a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.跟踪训练1如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.方法归纳(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．(2)证明线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α⇒a⊥α.跟踪训练2在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.类型三垂直关系的综合应用例3如图，在几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，P A⊥平面ABCD，P A∥EB，且P A＝2EB＝4 2.(1)证明：BD∥平面PEC；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.方法归纳空间线线垂直、线面垂直、面面垂直是重点考查的位置关系，证明时一般是已知垂直关系考虑性质定理，求证垂直关系考虑判定定理．跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【参考答案】【自主预习】知识点一 直线与平面垂直的性质平行 a ∥b知识点二 平面与平面垂直的性质一个平面内交线 垂直 a ⊂α a ⊥l线面[小试身手]1．解析：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β，故选B. 答案：B2．解析：因为直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，所以直线l ⊥平面ABC ，同理直线m ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得l ∥m .答案：A3.解析：由P A ⊥平面ABC ，知△P AC ，△P AD ，△P AB 均为直角三角形，又PD ⊥BC ，P A ⊥BC ，P A ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面P AD .∴AD ⊥BC ，易知△ADC ，△ADB ，△PDC ，△PDB 均为 直角三角形．又△BAC 为直角三角形，所以共有8个直角三角形，故选D.答案：D4．解析：三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，易证投影是底面三角形的垂心．答案：垂【课堂探究】类型一 线面垂直的性质定理的应用例1【证明】 如图所示，连接A 1C 1，C 1D ，B 1D 1，BD .∵AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D①.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D②.由①②可知EF∥BD1.跟踪训练1证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC.因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.类型二面面垂直的性质定理的应用例2【证明】如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，CF⊂平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD ∩EG ＝G ，所以CF ⊥平面BDE .跟踪训练2证明：如图所示，在平面P AB 内作AD ⊥PB 于点D .∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵P A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三 垂直关系的综合应用例3【证明】 (1)如图，连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF .∵四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，∴OF ∥P A ，且OF ＝12P A . ∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ，∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形，∴EF ∥BD .又EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴BD ∥平面PEC .(2)如图，连接PB ，∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ， ∴∠PBA ＝∠BEA ，∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°，∴PB ⊥AE . ∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面APEB ，∴平面ABCD ⊥平面APEB .∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE .又BC∩PB＝B，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.∵G为BC上的动点，∴PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.跟踪训练3解：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，CE⊂平面ABC可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。

2．3.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质[提出问题]世界上的高楼大厦太多了：中国上海中心大厦632米，天津高银117大厦621米，位于深圳的平安国际金融大厦600米(如右图)．问题1：上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直．问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？ 提示：平行． [导入新知]直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b .(4)作用：①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线． [化解疑难]对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．[提出问题]教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？ 提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)． 问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可． [导入新知]平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线． [化解疑难]对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.[例1] 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .[解] 证明：取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ， 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE .则GF ∥AB . 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG . ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . [类题通法]1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析．2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．[活学活用]如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD .(1)若AC ＝6，BD ＝8，PB ＝3，求三棱锥A ­PBC 的体积； (2)若点E 是DP 的中点，证明：BD ⊥平面ACE . 解：(1)∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD 与AC 相互垂直平分，∴底面ABCD 的面积S 菱形ABCD ＝12×6×8＝24，∴S △ABC ＝12S 菱形ABCD ＝12.又PB ⊥平面ABCD ，且PB ＝3，∴三棱锥A ­PBC 的体积V A ­PBC ＝V P ­ABC ＝13×PB ×S △ABC ＝12.(2)证明：如图，设BD 与AC 相交于点O ，连接OE ，∵O 为BD 的中点，E 是DP 的中点，∴OE ∥PB . 又PB ⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ，∴OE ⊥BD ， 由(1)知AC ⊥BD ，又AC ∩OE ＝O ， ∴BD ⊥平面ACE .[例2] 如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .[解] 证明：(1)连接PG ，由题知△PAD 为正三角形，G 是AD 的中点，则PG ⊥AD . 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，∴PG ⊥平面ABCD . ∵BG ⊂平面ABCD ， ∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形， 且∠DAB ＝60°， ∴△ABD 是正三角形． 则BG ⊥AD .又∵AD ∩PG ＝G ，且AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴BG ⊥平面PAD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又∵BG ，PG 为平面PBG 内两条相交直线， ∴AD ⊥平面PBG .∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.[类题通法]证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[活学活用]如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H是线段EF 的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)求此几何体的体积．解：(1)证明：连接AE，在菱形ABEF中，因为∠ABE＝60°，所以△AEF是等边三角形．又因为H是线段EF的中点，所以AH⊥EF，所以AH⊥AB.因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AH⊥平面ABCD，所以AH⊥BC.在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝90°，得到AC＝BC＝22，从而AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又AH∩AC＝A，所以BC⊥平面AHC.又BC⊂平面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE.(2)连接FC，因为V＝V E­ACB＋V F­ADC＋V C­AEF，又易得S△ACB＝4，S△ADC＝2，S△AEF＝43，所以V＝V E­ACB＋V F­ADC＋V C­AEF＝13(23×4＋23×2＋2×43)＝2033.[例3] 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[解] 证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．[类题通法]线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直．[活学活用]如图，在三棱锥P­ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.5.垂直性质定理应用的误区[典例] 已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0[解析] 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，所成角为60°，①错误；②正确．对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，过平面AA1D1D内点D1作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，④错误．[答案] C[易错防范]对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．[成功破障]如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案：A[随堂即时演练]1．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α答案：B3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a ⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________(填序号)．答案：①④4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．答案：平行5.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.[课时达标检测]一、选择题1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0答案：C2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )A．0条B．1条C．无数条D．任意条答案：C3．(浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案：D5.如图，线段AB的两端在直二面角α­l­β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．75°答案：B二、填空题6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案：平行7.如图，四面体P­ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.答案：78.如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有______(把所有正确的序号都填上)．答案：①④三、解答题9.如图，三棱锥P­ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC ⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.- 11 -。

2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质 学习目标：1.掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用2.掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律及其转化关系，培养空间想象能力、逻辑思维能力、和类比思维能力。

知识链接：问题1：直线与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题2：平面与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题3：两个平面垂直的定义是什么? .探究问题1.已知直线b a ,和平面α，如果αα⊥⊥b a ,，那么直线b a ,一定平行吗？直线与平面垂直的性质定理： 符号表示：证明：探究问题2.（1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线与另一个平面垂直吗？（2）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内能否找到一条直线与另一个平面垂直？ ，怎么画出来？请在下图中画出来平面与平面垂直的性质定理： 这个定理实现了什么关系的转化?符号表示：证明：预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（ ）（2）两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（ ）（3）两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直于这个平面；（ ）（4）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（ ）（5）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ）（6）垂直于同一个平面的两个平面互相平行.（ ）2.两个平面互相垂直，下列命题A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C 、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D 、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.正确的个数是 个3.对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一个条件是（ ）A.,m n m ⊥∥α，n ∥βB. m n ⊥，m αβ⋂=，n α⊂C. m ∥n ，n β⊥ ，m α⊂D. m ∥n ，,m n αβ⊥⊥例题剖析例1.CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ，l αβ=，a α⊂，且a AB ⊥.求证：a ∥l .例2.如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.探究：设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，则直线a 与平面α具有什么位置关系？请说明理由.例3.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC. 求证：BC ⊥平面PAC例4.如图，P 是四边形ABCD 外一点，四边形ABCD 是60DAB ︒∠=,边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .若G 为AD 的中点.(1) 求证:BG ⊥面PAD(2) 求证:AD PB ⊥参考答案预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）正确 （2）正确（3）正确 （4）错误 （5）正确 （6）错误2. 13. C例题剖析例1.证明：∵CA α⊥且 a α⊂∴CA ⊥a ,又∵a AB ⊥（已知），CA AB A =,CA ⊂面CAB,AB ⊂ 面CAB.∴a ⊥面CAB. ① 另外CA α⊥，CB β⊥，l αβ=，∴CA ⊥l , CB ⊥l 又CA CB C =,CA ⊂面CAB,CB ⊂ 面CAB.∴l ⊥面CAB ②由①②知a ∥l例2 略 例3.证明：过A 点做PC 的垂线交PC 与点M.连接AM∵平面PAC ⊥平面PBC ，且PAC∩PBC=PC, AM ⊂平面PAC ∴AM ⊥平面PBC, BC ⊂平面PBC,∴AM ⊥BC, ①又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴PA ⊥BC ②又PA∩AM=A ，AM ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC.③∴由①②③知 BC ⊥平面PAC例4. 证明：（1）解：（1）证明：连结BD ．∵ABCD 为棱形，且∠DAB=60°， ∴△ABD 为正三角形．又G 为AD 的中点，∴BG ⊥AD ．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴BG ⊥平面PAD ．（2）∵PAD 为正三角形且G 为AD 的中点.∴PG ⊥AD ① 由（1）知BG ⊥AD 且PG∩BG=G ， PG ⊂PBG, BG ⊂PBG.② 由①②知 AD ⊥PBG又PB ⊂PBG ∴AD PB ⊥。

2．3.3 直线与平面垂直的性质 2．3.4 平面与平面垂直的性质【课标要求】1．掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理． 2．能运用性质定理解决一些简单问题. 【核心扫描】1．线面垂直、面面垂直性质定理的应用．(重点) 2．线线、线面、面面垂直关系的相互转化．(难点)新知导学1．温馨提示：线与直线平行的结论．(2)该定理可用来判定两直线平行，揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化．温馨提示 其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A ∈α，A ∈b ，b ⊥β⇒b ⊂α.(2)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b ⊥β⇒b ∥α或b ⊂α.互动探究探究点1 垂直于同一直线的两个平面有什么关系？ 提示 平行(可用此结论判定面面平行)．探究点2 两个平面均垂直于一个平面，这两个平面有什么关系？ 提示 关系不能确定，平行、相交(垂直)都有可能．类型一利用线面垂直性质定理证平行问题【例1】如图所示，在正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.[思路探索]分别证明EF、BD都垂直平面ACB1即可．1证明如图所示：连接AB1，B1D1，B1C1，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.[规律方法]线面垂直的性质是证明线线平行的方法之一，还可进而证明线面、面面平行．【活学活用1】如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE ＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC.证明取AB的中点G，连接FG、GC，则FG为△BEA中位线，∴FG∥AE.∵AE⊥平面ABC，FG∥AE，∴FG⊥平面ABC.∵FG⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，∴FG ∥CD .又FG ＝12AE ＝CD ＝a .∴四边形CDFG 为平行四边形，FD ∥CG .∵FD ∥CG .CG ⊂平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . 类型二 利用面面垂直的性质定理证垂直问题【例2】 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l . 求证：l ⊥γ.[思路探索] 根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l 与其平行即可．证明 法一 在γ内取一点P ，作P A 垂直α与γ的交线于A ，PB 垂直β与γ的交线于B ，则P A ⊥α，PB ⊥β.∵l ＝α∩β，∴l ⊥P A ，l ⊥PB .又P A ∩PB ＝P ，且P A ⊂γ，PB ⊂γ， ∴l ⊥γ.法二 在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ.∴m ∥n .又n ⊂β，∴m ∥β.又m ⊂α，α∩β＝l ， ∴m ∥l .∴l ⊥γ.[规律方法] 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．【活学活用2】 如图，在三棱锥P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB .∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三 利用面面垂直的性质定理求二面角【例3】 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝BC ＝CD ＝a ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°，沿AC 将四边形折成直二面角B -AC -D .(1)求证：平面ABC ⊥平面BCD ；(2)求平面ABD 与平面ACD 所成的角的度数． [思路探索] 关于折叠问题，关键明确在折叠前后哪些量发生变化，如线与线的位置关系，角的大小等，要抓住不变量来解题．(1)证明 如图所示，其中图(1)是平面四边形，图(2)是折后的立体图．在四边形ABCD 中， ∵AB ＝BC ，AB ⊥BC ， ∴∠ACB ＝45°，而∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝135°， ∴∠ACD ＝90°，即CD ⊥AC .又平面ABC 与平面ACD 的二面角的平面为直角，且平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴CD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面BCD ，∴平面ABC ⊥平面BCD . (2)解 过点B 作BE ⊥AC ，E 为垂足，则BE ⊥平面ACD . 又过点E 在平面ACD 内作EF ⊥AD ，F 为垂足，连接BF . 由已知可得BF ⊥AD ， ∴∠BFE 是二面角B -AD -C 的平面角．∵E 为AC 的中点，∴AE ＝12AC ＝22a .又sin ∠DAC ＝CD AD ＝33，EF ＝33AE ，∴EF ＝22a ·33＝66a ，tan ∠BFE ＝BEEF＝ 3.∴∠BFE ＝60°，即平面ABD 与平面ACD 所成的角的度数为60°.[规律方法] 当一个平面与二面角的一个面垂直时，常利用面面垂直的性质作出二面角面的垂线，而作出平面角．【活学活用3】 如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 分别为AD 、PC 中点．(1)求异面直线EF 和PB 所成角的大小； (2)求证：平面PCE ⊥平面PBC ； (3)求二面角E -PC -D 的大小．(1)解 如图，取PB 的中点G ，连接FG 、AG ， ∵E 、F 分别为AD 、PC 中点，∴FG 綉12BC ，AE 綉12BC ，∴FG 綉AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥FE ，∵P A ＝AD ＝AB ，∴AG ⊥PB ，即EF ⊥PB ， ∴EF 与PB 所成的角为90°.(2)证明 由(1)知AG ⊥PB ，AG ∥EF ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥P A ， ∵BC ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ， ∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AG ，又∵PB ∩BC ＝B ， ∴AG ⊥平面PBC ， ∴EF ⊥平面PBC ， ∵EF ⊂平面PCE ，∴平面PCE ⊥平面PBC .(3)解 作EM ⊥PD 于点M ，连接FM ， ∵CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥EM ， ∴EM ⊥平面PCD ，EM ⊥PC ，由(2)知EF ⊥平面PBC ，∴EF ⊥PC ， 又EM ∩EF ＝E ， ∴PC ⊥平面EFM ， ∴FM ⊥PC ，∴∠MFE 是二面角E -PC -D 的平面角或其补角．∵P A ＝AD ＝2，∴EF ＝AG ＝2，EM ＝22，∴sin ∠MFE ＝EM EF ＝12，∴∠MEF ＝30°，即二面角E -PC -D 的大小为30°. 方法技巧 转化思想在垂直关系转换中的应用 线线垂直、线面垂直和面面垂直的转换关系如下：当证明垂直关系时，要灵活地应用垂直之间的转换关系．当运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．【示例】 如图所示，在四棱锥V -ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面三角形VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明AB ⊥平面VAD ；(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角的正切值． [思路分析] (1)用面面垂直的性质 (2)由(1)利用垂线法作平面角．(1)证明 ∵底面四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD .又∵平面VAD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，且平面VAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴AB ⊥平面VAD .(2)解 如图所示，取VD 的中点E ，连接AE ，BE . ∵△VAD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝32AD .∵AB ⊥平面VAD ， ∴AB ⊥VD .又∵AE ∩AB ＝A ， ∴VD ⊥平面ABE .∴BE ⊥VD .因此∠AEB 就是所求二面角的平面角，于是tan ∠AEB ＝233.[题后反思] 证明垂直问题，要结合条件充分利用已知或证出的垂直关系的性质灵活地进行垂直间的转化．课堂达标1．平面α⊥平面β，a⊥α，则有()．A．a∥βB．a∥β或a⊂βC．a与β相交D．a⊂β解析由已知易得：a∥β或a⊂β.答案 B2．(2012·济宁高一检测)已知平面α⊥平面β，则以下说法正确的个数是()．①平面α内的直线必垂直平面β内的无数条直线；②在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作平面α与平面β的交线的垂线，此直线必垂直于α.A．4 B．3C．2 D．1解析①②正确，③④不正确．答案 C3．已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，正确的命题是________．①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假．答案①③4．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析①也可能是直线l⊂α；②正确；③中的两个点可以在平面的两侧；④正确．答案②④5．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A ＝AB，点E是PD的中点．(1)求证：AC⊥PB；(2)求证：PB∥平面AEC；(3)求二面角E-AC-B的大小．(1)证明(1)由P A⊥平面ABCD可得P A⊥AC.又AB⊥AC，所以AC⊥平面P AB，所以AC⊥PB.(2)证明如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB.又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC.(3)解如图，取AD的中点F，连接EF，FO，则EF是△P AD的中位线，∴EF∥P A.又P A⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.同理，FO 是△ADC 的中位线， ∴FO ∥AB ，∴FO ⊥AC . 因此，∠EOF 是二面角E -AC -D 的平面角．又FO ＝12AB ＝12P A ＝EF ，∴∠EOF ＝45°.而二面角E -AC -B 与二面角E -AC -D 互补，故所求二面角E -AC -B 的大小为135°.课堂小结1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．3．灵活进行线线、线面、面面垂直关系之间的转换，是判定和运用垂直关系的关键．。

2.3.1 直线与平面垂直的判定学习目标：通过本节课的学习，同学们要能够理解直线与平面垂直的定义、直线与平面所成的角的概念，能够掌握直线与平面垂直的判断定理及其应用，会求直线与平面所成的角.一、课前准备：预习教材64~67P P的内容．广场上的旗杆给我们垂直于广场平面的形象，如何从数学的角度来判断旗杆与广场的垂直？二、新课导学：（一）探究活动：探究1、直线与平面垂直的定义：．直线与平面垂直的画法：探究2：直线与平面垂直的判定定理：动动手：同学们准备一块三角形纸片，过顶点A随意翻折纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（要求BD、DC与桌面接触），折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使得AD 与桌面垂直？直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都，则该直线与此平面．符号语言：．探究3：直线与平面所成的角：1. 斜线：．2. 斜线在平面内的射影：．3.斜线与平面所成的角：．（二）典型例题：【例1】已知,,//α⊥aba求证：α⊥b【例2】如图，一块正方体木料的上底面有一点E，经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直，怎样画？说明理由．【例3】如图，在正方体1111ABCD A BC D-中，求直线1A B和平面11A B CD所成的角．ED1C1B1A1D CBAMD1C1B1A1D CBA三、自我检测：1．若三条直线OA OB OC ，，两两垂直，则直线OA 垂直于 （ ）A ．平面 OAB B ．平面 OAC C ．平面 OBCD ．平面ABC2．在正方形123SG G G 中，E F 、分别是1223G G G G 、的中点，现沿S S E F 、、EF 把这个正方形折成一个四面体，使123G G G 、、重合于点G ，则有 （ ） A ．SG ⊥平面 EFG B ．EG ⊥平面SEF C ．GF ⊥平面SEF D ．SG ⊥平面SEF3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 （ ）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30°4．若平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，那么它与这条斜线在平面内的射影 ； 若平面内的一条直线与该平面的一条斜线的射影垂直，那么它与这条斜线的位置关系是 ．5．在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，求证：AC VB ⊥6．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，（1）求证：111B D AC ⊥， （2）111B D AC B ⊥平面；D 1C 1B 1A 1D CBAG 3G 2G 1FESVDABC。

2.3.3 直线与平面垂直的性质【学习目标】1．理解且能证明直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．【知识梳理】直线与平面垂直的性质定理 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α______证明两条直线____名师点拨直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”关系的内在联系．【做一做】 在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行 【重点难点】1．理解直线与平面垂直的性质定理剖析：(1)直线与平面垂直的性质定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．(4)定理的推证过程采用了反证法．(5)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．2．直线与平面垂直的性质剖析：(1) ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αb ⊂α l ⊥b ； (2) ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α a ∥b ； (3) ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α b ⊥α； (4) ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α a ⊥β； (5) ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β α∥β.【典型例题】题型：证明两条直线平行【例】 如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，EF 与异面直线AC ，A 1D 都垂直相交．求证：EF ∥BD 1.反思：当题中垂直条件很多，但又需证明两条直线的平行关系时，就要考虑直线与平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．【随堂练习】1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是( )①若m ⊥n ，n α，则m ⊥α；②若a⊥α，aβ，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若mα，nβ，α∥β，则m∥n.A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④2．已知直线m平面α，直线n平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是__________．3．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__________.4．已知直线l，m，a，b，l⊥a，l⊥b，m⊥a，m⊥b，且a，b是异面直线，求证：l∥m. 5．如图所示，已知α∩β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，aα，a⊥AB.求证：a∥l.【参考答案】【知识梳理】平行a∥b平行【做一做】B【典型例题】证明：连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示．∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1，同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.【随堂练习】1．B 2.平行 3.64. 证明：如图所示，在直线b上任取一点O，过O作a′∥a，则直线b，a′确定一个平面α.∵a′∥a，l⊥a，∴l⊥a′.又∵l⊥b，a′∩b＝O，∴l⊥α.同理可证m⊥α，∴l∥m.5．证明：∵EA⊥α，EB⊥β，α∩β＝l，∴l⊥EA，l⊥EB.又∵EA∩EB＝E，EA平面EAB，EB平面EAB，∴l⊥平面EAB.又∵aα，EA⊥α，∴a⊥EA.又∵a⊥AB，AB∩EA＝A，AB平面EAB，EA平面EAB，∴a⊥平面EAB.∴a∥l.。

第5讲 直线、平面垂直的判定与性质[最新考纲]1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.知 识 梳 理1．直线与平面垂直(1)定义：若直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b .2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a ⊂α，α∩β＝b ，a ⊥b ⇒a ⊥β.3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．辨 析 感 悟1．对线面垂直的理解(1)直线a ，b ，c ；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .(×)(2)直线l 与平面α内无数条直线都垂直，则l ⊥α.(×)(3)(教材练习改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(√)(4)(教材习题改编)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若α⊥β，l∥α，则l⊥β.(×) 2．对面面垂直的理解(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)[感悟·提升]三个防范一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等，如(1)；二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”，如(2)；三是判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况，如(6)．考点一直线与平面垂直的判定和性质【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.学生用书第118页规律方法三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．【训练1】如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E 为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.证明过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BEF中，BE＝ 3.在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.证明∵ABC－A1B1C1是棱柱，且AB＝BC＝AA1＝BB1，∴四边形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1.由AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，得BB1⊥平面ABC.∵AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB，又∵AB＝BC，且AC＝2BC，∴AB⊥BC，而BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1.∴B1C⊥平面ABC1，而B1C⊂平面B1CD，∴平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.证明由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N 分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.审题路线(1)取PA的中点H⇒证明四边形DCEH是平行四边形⇒CE∥DH⇒根据线面平行的判定定理可证．(2)证明AB⊥EF⇒证明AB⊥FG⇒证明AB⊥平面EFG⇒证明MN⊥平面EFG⇒得到结论．证明 (1)如图，取PA 的中点H ，连接EH ，DH .因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，且EH ＝12AB . 又AB ∥CD ，且CD ＝12AB ， 所以EH 綉CD .所以四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE ∥平面PAD .(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA .又AB ⊥PA ，且EF ，PA 共面，所以AB ⊥EF .同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC .又AB ∥DC ，所以MN ∥AB ，因此MN ⊥平面EFG .又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN .学生用书第119页规律方法 依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】 如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为PA中点，得QM∥PC，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC.所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.考点四线面角、二面角的求法【例4】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；(3)求二面角A－PD－C的正弦值．审题路线(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角．(1)解在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩CD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt △PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°.所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°.(2)证明 在四棱锥P －ABCD 中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ，∴AE ⊥CD .由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示．由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A －PD －C 的平面角．由已知，可得∠CAD ＝30°.设AC ＝a ，可得PA ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a . 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA ·AD PD ＝a ·233a 213a ＝277a . 在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144. 所以二面角A －PD －C 的正弦值为144. 规律方法 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．【训练4】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为A.23B.33C.23 D.63解析 如图，连接BD 交AC 于O ，连接D 1O ，由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O＝62，∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63.答案 D1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破7——求解立体几何中的探索性问题【典例】 (2012·北京卷) 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.(1)求证：DE ∥平面A 1CB ；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.学生用书第120页突破1翻折后：DE ∥BC，DE⊥A1D，DE⊥CD.突破2：要证A1F⊥BE，转化为证A1F⊥平面BCDE.突破3：由A1D＝CD，可想到取A1C的中点P，则DP⊥A1C，进而可得A1B的中点Q为所求点．(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩DE＝D，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误． 【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，点E 为AC 中点，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2.(1)求证：DA ⊥BC ；(2)在CD 上找一点F ，使AD ∥平面EFB .(1)证明 在图1中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ，∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ADC ，又AD ⊂平面ADC ， ∴BC ⊥DA .(2)解 取CD 的中点F ，连接EF ，BF ， 在△ACD 中，E ，F 分别为AC ，DC 的中点， ∴EF 为△ACD 的中位线， ∴AD ∥EF ，又EF⊂平面EFB，AD⊄平面EFB，∴AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b ⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.答案 A2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β解析与α，β两垂直平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D；存在α∥β情况，故D错；由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确．答案 C3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l ⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.答案 D4.(2014·深圳调研)如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )．A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.答案 C5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是( )．A．①④B．②④C．②③D．③④解析如图，由题意，β∩γ＝l，∴l⊂γ，由α⊥γ，α∩γ＝m，且l⊥m，∴l⊥α，即②正确；由β∩γ＝l，∴l⊂β，由l⊥α，得α⊥β，即④正确；而①③条件不充分，不能判断．答案 B二、填空题6.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析 ∵PC 在底面ABCD 上的射影为AC ，且AC ⊥BD ，∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC )7．已知平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为π4和π6，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′，B ′，则AB ∶A ′B ′＝________.解析 连接AB ′和A ′B ，设AB ＝a ，可得AB 与平面α所成的角为∠BAB ′＝π4，在Rt △BAB ′中，有AB ′＝22a ，同理可得AB 与平面β所成的角为∠ABA ′＝π6，所以A ′A ＝12a ，因此在Rt △AA ′B ′中，A ′B ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝12a ，所以AB ∶A ′B ′＝a ∶12a ＝2∶1. 答案 2∶18．设α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．解析 逐一判断．若①②③成立，则m 与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确． 答案 ①③④⇒②(或②③④⇒①) 三、解答题9.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，且CD⊂平面PCD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)解当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下：取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )．A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部解析 由BC 1⊥AC ，又BA ⊥AC ，则AC ⊥平面ABC 1，因此平面ABC ⊥平面ABC 1，因此C 1在底面ABC 上的射影H 在直线AB 上．答案 A2．(2014·北京东城区期末)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )．A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13解析 取BD 的中点O ，连接A ′O ，OC ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD .平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴A ′O ⊥平面BCD ，∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD .假设A ′C ⊥BD ，又A ′C ∩A ′O ＝A ′，∴BD ⊥平面A ′OC ，∴BD ⊥OC 与OC 不垂直于BD 矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，A 错误．∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′D ，∴A ′C ＝2，∵A ′B ＝1，BC ＝BD 2＋CD 2＝3，∴A ′B 2＋A ′C 2＝BC 2，A ′B ⊥A ′C ，B 正确．∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误．V A ′－BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误，故选B. 答案 B 二、填空题3．(2013·河南师大附中二模)如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面PAE ；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．解析 由PA ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，得PA ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴AE ⊥PB ，①正确；又平面PAD ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面PAD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立，③错；在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确． 答案 ①④ 三、解答题4．如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，二面角S －CD －A 的平面角为45°，M 为AB 的中点，N 为SC 的中点．(1)证明：MN ∥平面SAD ； (2)证明：平面SMC ⊥平面SCD ；(3)记CD AD＝λ，求实数λ的值，使得直线SM 与平面SCD 所成的角为30°. (1)证明 如图，取SD 的中点E ，连接AE ，NE ，则NE ＝12CD ＝AM ，NE ∥CD ∥AM ，∴四边形AMNE 为平行四边形， ∴MN ∥AE .∵MN ⊄平面SAD ，AE ⊂平面SAD ，∴MN ∥平面SAD . (2)证明 ∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA ⊥CD .∵底面ABCD 为矩形， ∴AD ⊥CD . 又SA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面SAD ，∴CD ⊥SD ，∴∠SDA 即为二面角S －CD －A 的平面角，即∠SDA ＝45°，∴△SAD 为等腰直角三角形，∴AE ⊥SD .∵CD ⊥平面SAD ，∴CD ⊥AE ，又SD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面SCD . ∵MN ∥AE ，∴MN ⊥平面SCD ，又MN ⊂平面SMC ， ∴平面SMC ⊥平面SCD .(3)解 ∵CD AD＝λ，设AD ＝SA ＝a ，则CD ＝λa .由(2)知MN ⊥平面SCD ，∴SN 即为SM 在平面SCD 内的射影， ∴∠MSN 即为直线SM 与平面SCD 所成的角，即∠MSN ＝30°. 在Rt △SAM 中，SM ＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫λa 22，而MN ＝AE ＝22a ，∴在Rt △SNM 中，由sin ∠MSN ＝MN SN 得12＝22a a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫λa 22，解得λ＝2，∴当λ＝2时，直线SM 与平面SCD 所成的角为30°.基础回扣练——空间几何体及点、线、面之间的位置关系(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·中山模拟)一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是( )．解析∵该几何体的正视图和侧视图都是正方形，∴其可能为正方体或底面直径与高相等的圆柱或底面是等腰直角三角形且其腰长等于高的直三棱柱，但不可能是一个底面矩形长与宽不相等的长方体．∴选D.答案 D2.(2013·豫西五校联考)如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为( )．A．30° B．45°C．60° D．90°解析还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.答案 C3．(2013·浙江五校联盟联考)关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是( )．A ．若l ∥α，α∩β＝m ，则l ∥mB ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥mC ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥βD ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α 答案 C4．若直线m ⊂平面α，则条件甲：直线l ∥α是条件乙：l ∥m 的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若l ∥α，m ⊂α，不一定有l ∥m ；若l ∥m ，m ⊂α，则l ⊂α或l ∥α，因而甲乙，乙甲． 答案 D5．(2014·揭阳二模)一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．7 B.223 C.476D.233解析 依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为23－2×13×12×1×1×1＝233.答案 D6．(2013·温州二模)下列命题正确的是( )．A ．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αB ．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面αC ．若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lD ．若直线l 不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l 答案 B7．(2014·潍坊模拟)设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )．A ．m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nB ．m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥nC ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β解析 A 中的直线m ，n 也有可能异面，所以不正确．B 正确．C 中α，β不一定垂直，错误．D 中当m ，n 相交时，结论成立，当m ，n 不相交时，结论不成立．所以选B. 答案 B8．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为 ( )．A ．48B ．64C ．80D ．120解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8 cm)，直观图如图，PE 为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5 cm.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △PAB ＝4×12×8×5＝80 (cm 2)．答案 C9．(2013·广州二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是A ．12πB ．24πC ．32πD ．48π解析 该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为CC 1＝4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为AC 1＝43＝2R ，所以球的半径为R ＝23，所以球的表面积是4πR 2＝4π×(23)2＝48π.答案 D10．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为A.5π12B.π3C.π4D.π6解析 如图，O 为底面ABC 的中心，连接PO ，由题意知PO 为直三棱柱的高，∠PAO 为PA 与平面ABC 所成的角，S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OPOA＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.答案 B 二、填空题11．(2014·苏锡常镇四市二调)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m ⊂β，n ⊂α，则m ∥n ；②若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ；③若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n .上面命题中，所有真命题的序号为________．解析 ①只要画出两个平行平面，可以发现分别在两个平面内的直线是可以异面的，即m 与n 可以异面，不一定平行；③满足条件的两条直线m 和n 也可以相交或异面，不一定平行． 答案 ②④12．(2013·深圳二调)某机器零件的俯视图是直径为24 mm 的圆(包括圆心)，正视图和侧视图完全相同，如图所示，则该机器零件的体积是________mm 3(结果保留π)．解析 依题意，该机器零件可视为是从一个圆柱中挖去一个圆锥，因此该机器零件的体积为π×122×24－13×π×122×12＝2 880π(mm 3)．答案 2 880π13.正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，设三棱锥D －GAC 的体积为V 1，三棱锥P －GAC 体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析 设棱锥的高为h ，V 1＝V D －GAC ＝V G －ADC ＝13S △ADC ·12h ，V 2＝V P －GAC ＝12V P －ABC ＝V G －ABC ＝13S △ABC ·h2.又S △ADC ∶S △ABC ＝2∶1，故V 1∶V 2＝2∶1. 答案 2∶114．(2014·皖南八校第三次联考)点E ，F ，G 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形； ②过点F ，D 1，G 的截面是正方形； ③点P 在直线FG 上运动时，总有AP ⊥DE ；④点Q 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1QC 的体积是定值；⑤点M 是正方体的平面A 1B 1C 1D 1内的到点D 和C 1距离相等的点，则点M 的轨迹是一条线段． 解析 对于①，三棱锥A －BCC 1的四个面都是直角三角形，故①为假命题；对于②，截面为矩形FGD 1D ，易知其边长不等，故②为假命题；③易证DE ⊥平面AFG ，又AP ⊂平面AFG ，故DE ⊥AP ，故③为真命题；④由于BC 1∥平面ACD 1，故三棱锥Q －ACD 1的高为定值，即点Q 到平面ACD 1的距离为定值，而底面积S △ACD 1也为定值，故三棱锥体积VA －D 1QC ＝VQ －ACD 1为定值，故④为真命题；⑤到D ，C 1距离相等的点的轨迹为平面A 1BCD 1(中垂面)，又点M 在平面A 1B 1C 1D 1中，故点M 的轨迹为线段A 1D 1，故⑤为真命题． 答案 ③④⑤ 三、解答题15．(2014·济南一模)在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，AD ∥EF ∥BC ，BE ＝AD ＝EF ＝12BC ，G 是BC 的中点．(1)求证：AB ∥平面DEG ； (2)求证：EG ⊥平面BDF .证明 (1)∵AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC . 又∵BC ＝2AD ，G 是BC 的中点，∴AD 綉BG ， ∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG . ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG .(2)连接GF ，四边形ADFE 是矩形， ∵DF ∥AE ，AE ⊥底面BEFC ，∴DF ⊥平面BCFE ，EG ⊂平面BCFE ，∴DF ⊥EG . ∵EF 綉BG ，EF ＝BE ， ∴四边形BGFE 为菱形， ∴BF ⊥EG ，又BF ∩DF ＝F ，BF ⊂平面BFD ，DF ⊂平面BFD ， ∴EG ⊥平面BDF .16.(2014·成都一模)如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，△ABF 是等边三角形，棱EF ∥BC ，且EF ＝12BC .(1)求证：EO ∥面ABF ；(2)若EF ＝EO ，证明：平面EFO ⊥平面ABE .证明 (1)取AB 的中点M ，连接FM ，OM .∵O 为矩形ABCD 的对角线的交点， ∴OM ∥BC ，且OM ＝12BC ，又EF ∥BC ，且EF ＝12BC ，∴OM ＝EF ，且OM ∥EF ，∴四边形EFMO 为平行四边形，∴EO ∥FM ， 又∵FM ⊂平面ABF ，EO ⊄平面ABF ，∴EO ∥平面ABF . (2)由(1)知四边形EFMO 为平行四边形，又∵EF ＝EO ，∴四边形EFMO 为菱形，连接EM ，则有FO ⊥EM ， 又∵△ABF 是等边三角形，且M 为AB 中点， ∴FM ⊥AB ，易知MO ⊥AB ，且MO ∩MF ＝M ， ∴AB ⊥面EFMO ，∴AB ⊥FO .∵AB ∩EM ＝M ，∴FO ⊥平面ABE . 又∵FO ⊂平面EFO ，∴平面EFO ⊥平面ABE .17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .证明 (1)如图，在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD .又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD . (2)连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形． 因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD . 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD . 又因为BF ⊂平面BEF ， 所以平面BEF ⊥平面PAD .18．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .(1)证明 在等边△ABC 中，AD ＝AE ， 在折叠后的图形中，仍有AD ＝AE ，AB ＝AC ， 因此AD AB ＝AEAC，从而DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， 所以DE ∥平面BCF .(2)证明 在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ，所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ＝CF ＝12，BC ＝22.，所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以 BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ， 所以CF ⊥平面ABF .(3)解 由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ， 由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ， 又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ， 所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG . 在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32. 由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ，所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG ＝EG ＝23×12＝13，AG ＝23×32＝33，所以FG ＝AF －AG ＝36.故V 三棱锥F －DEG ＝V 三棱锥E －DFG ＝13×12DG ·FG ·GE ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·36＝3324.。

2.3.3 直线与平面垂直的性质学习目标：（1）理解并掌握直线与平面垂直的性质定理； （2）了解反证法的思想和步骤； （3）掌握平行与垂直关系的转化.一、课前准备：预习教材70P 内容：问题1：某公司门前的广场上竖立着三根旗杆，这三根旗杆与地面的位置关系怎样？你感觉它们之间的位置关系怎样？它们与地面内的直线是什么关系？问题2：如图，长方体的四条棱1111,,,AA BB CC DD 所在直线与底面ABCD 的位置关系怎样？它们之间又是什么位置关系？二、新课导学：（一）探究活动：1.一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的 .2.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 .用符号语言叙述线面垂直的性质定理 .（二）、典例剖析：【例1】证明直线与平面垂直的性质定理【例2】CA A CB B αβ⊥⊥如图已知于点于点，，，,,l a a AB αβα=⊂⊥.求证：//a l .【例3】如图PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．求证：MN AB ⊥．DMNAPDCBAA 1D 1C 1B1三、自我检测：1. PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A 、B 的任一点，则下列关系 不正确的是 （ ）A . PA BC ⊥B .BC ⊥平面PAC C .AC PB ⊥D. PC BC ⊥2. 已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列说法：①若m α⊂，//n α，则//m n ②若//m α，//m β，则//αβ ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β ④若m α⊥，m β⊥，则//αβ其中正确说法的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 3. 下面四个命题错误的是 （ ）A .,//a b a b αα⊥⊥⇒B .,//a b a α⊥b α⇒⊥C .,//a b α⊥b a ⊥⇒αD .,//a a b b α⊥⊥⇒α 4. 已知平面α与平面β相交，a 是α内一条直线，则有 （ ） A.在β内必存在与a 平行的直线 B.在β内必存在与a 垂直的直线 C.在β内不存在与a 平行的直线 D.在β内不一定存在与a 垂直的直线5. 判断下列说法是否正确：（1）两条平行线中的一条垂直某条直线，那么另一条也垂直这条直线；（ ） （2）两条平行线中的一条垂直某个平面，那么另一条也垂直这个平面；（ ） （3）两个平行平面中的一个垂直某个平面，那么另一个也垂直这个平面；（ ） （4）垂直同一条直线的两条直线相互平行；（ ） （5）垂直同一条直线的两个平面相互平行；（ ） （6）垂直同一个平面的两个平面相互平行. （ ）6. 已知直线b a ,和平面α，且,,α⊥⊥a b a 则b 和α的位置关系是 .7. 如图，在三棱锥中PA PB =，AB BC ⊥，若M 是PC 的中点，试在AB 上确定一点N ，使得MN AB ⊥.。

2.3.1 直线与平面垂直的判定高一数学组教材分析本节内容是人教A版教材高一年级必修2第二章第三节第一部分的内容，是在学习了线面平行关系的知识后，对线面关系的再学习，可以看作是对前面学习过的内容的扩展，要求通过观察图形来提高学生对线面垂直关系的感知能力.此外，本节对后续内容的学习起着奠基的作用，本节的重点是线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，难点是对线面垂直定义和线面垂直判定定理应用的引导与指导，以及如何发现证明思路．通过探究定义与判定定理的由来过程，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解应用线面垂直的定义及其判定定理解决简单的数学问题.教学目标重点: 线面垂直的定义及其判定定理的讲解.难点：线面垂直的定义及其判定定理的应用，以及如何发现证明思路．知识点：线面垂直的定义及其判定定理.能力点：如何通过探究，总结线面垂直的定义及其判定定理，提高空间现象能力.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何通过探究实验归纳线面垂直的判定定理.考试点：用线面垂直的定义及其判定定理解决简单的数学问题.易错易混点：正用应用线面垂直的判定定理的条件，学生一般在证明步骤上容易出错.教具准备多媒体课件和多功能直尺课堂模式学案导学一、引入新课日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子. 随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直. 也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.【设计意图】从实际背景出发，直观感知直线与平面垂直的位置关系.将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？【设计意图】 感知直线与平面垂直，并观察直线与平面内直线的位置关系.【师生活动】 教师通过结合旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，让学生感知线面 垂直这种位置关系，提出问题：现实生活中，我们经常看到一条直线与一个平面垂直的形象，但一条直线与一个平面垂直的确切意义到底是什么？并组织学生思考、讨论.注意引导学生从实际背景“观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子”出发来分析、归纳直线与平面垂直的定义.二、探究新知（一）归纳直线与平面平行的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直.师：如果直线l 与平面α内的所有直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直.这句话对吗？ 生：对.师：如果直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直.这句话对吗？ 生：不对.师：为什么？请举出反例.学生通过自己手中的课本和笔等物品的摆设给出反例.【设计意图】 学生通过对错误命题的思考，并自己动手找出反例来加深对定义的理解. （二）总结直线与平面平行的判定定理探究：如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过 ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD ，DC 与桌面接触）．（1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在平面α垂直．α⊥l 记为 A B C D A B C D α当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直．【设计意图】 通过操作确认，引导独立发现直线与平面垂直的条件.思考:（1）有人说，折痕AD 所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面 ，你同意他的说法吗？（2）如图，由折痕BC AD ⊥，翻折之后垂直关系不变，即CD AD ⊥,BD AD ⊥ ．由此你能得到什么结论？【设计意图】通过操作确认，引导学生归纳总结直线与平面垂直的判定定理.判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．图形表示：符号语言：例1. 如图，已知 b a // ,α⊥a ，求证:α⊥b . 证明：在平面 内作两条相交直线m ，n ．因为α⊥a ， 所以m a ⊥，n a ⊥因为b a //所以m b ⊥，n b ⊥又因为α⊂m ，α⊂n所以α⊥b .三、课堂练习练习1. 判断下列命题是否正确？若不正确请举出反例.A B C a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = α⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l b a lαA b a n m α ABC D α1. 若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面. ( )2. 若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面. ( )3. 若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面. ( )4.若一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直. ( )练习2. 如图,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB. 求证：PB⊥AC.证明：过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA、OB、OC.∵PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC.又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO.又∵OA⊂平面PAO，∴BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心.∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.∴AC⊥平面PBO.又PB⊂平面PBO，∴PB⊥AC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.【设计意图】让学生通过练习巩固所学知识点，并在做题中找出自己的不足，及时补充.四、课堂小结1.直线与平面垂直的概念（可用来证明线线垂直）2.判定直线与平面垂直的方法：（1）利用定义；（2）利用判定定理。

8.6.2《直线与平面垂直》教案一、教学目标1.理解直线与平面垂直的定义。

2.理解直线与平面垂直的判定定理。

3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。

4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。

5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。

二、教学重难点1.教学重点直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。

2.教学难点直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。

黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！三、教学准备1.《直线与平面垂直》PPT2.每人发一张三角形纸片四、教学过程黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！【提问】有同学认识它吗?（手指着日晷）（学生：认识）（学生：不认识）可能有同学不认识，它叫日晷。

【PPT演示】日晷日晷是中国古代用来测定时间的仪器，日晷通常由晷针指到和晷盘组成（手指着部位）。

如果我们把晷针看成一条直线，晷面看成一个平面,这里就体现了直线与平面的一种非常特殊的位置关系。

同学们知道是什么位置关吗?（学生：垂直）对，直线与平面重直,这就是我们今天所要学习的内容——《直线与平面垂直》【PPT演示图片】课题《8.6.2直线与平面垂直》【板书】8.6.2直线与平面垂直在我们的实际生活中,有许多场景都能给我们以直线与平面重直的直观形象。

同学们你能举出几个例子吗?(让学生多举几个）如：①把老师我看成一条直线,把讲台看成一个平面；②教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系【PPT演示图片】③旗杆所在直线与地面的位置关系④港珠澳大桥雄伟壮观，桥墩所在直线与海面所在平面的位置关系⑤美丽的上海东方明珠塔，如果把塔身看成一条直线，海面看成一个平面。

这些都能给我们以直线与平面重直的形象。

⑥意大利萨斜塔,它能体现直线与平面垂直的形象吗?（学生：不能）对，不能，塔身所在直线与地面所在平面是不重直的。

2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂.（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面.要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化.要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到.这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法.2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）.（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；αβ=，求证：AB∥c.（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行.（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c.【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直.如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明.举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，P A=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由P A⊥底面ABCD，可得CD⊥P A，又CD⊥AC，故CD⊥面P AC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE.【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．举一反三：==，ABED是边长为1的正方形，平【变式1】如图，三角形ABCD中，AC BC AB面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点.（1）求证：GF∥底面ABC；（2）求证：AC⊥平面EBC；（3）求几何体ADEBC的体积V.类型二：平面与平面垂直的性质例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键.证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷.由此可见，我们必须熟练掌握这一推论.举一反三：【变式1】已知△ABC，AB=AC=3a，BC=2a，D为BC的中点，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，且满足AA1 平面ABC，AA1=3a.如图所示，E是CC1上一点，且CE=2a，求二面角D—AE—C的正弦值.【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面的角、直线与平面所成的角、平面的垂线等.类型三：综合应用例4．如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD ∥FE ，∠AFE =60°，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，122AF FE AB AD ====，点G 为AC 的中点.（1）求证：EG ∥平面ABF ；（2）求三棱锥B —AEG 的体积；（3）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由.【思路点拨】（1）取AB 中点M ，连接MG ，则EF ∥MG ，①即得证.（2）转换三棱锥B —AEG 为E —ABG 即可求得体积.（3）只要证明AE ⊥CDE 即可.例5．如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，,D E 分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE △沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2．(1)求证：//DE 平面1A CB ；(2)求证：1A F BE ⊥；(3)线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由．【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化.举一反三：【变式1】如下图，已知三棱锥P—ABC中，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.（1）求证：P A⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直——面面垂直来实现的.因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.【变式2】如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）判定AE 与PD 是否垂直，并说明理由．（2）设AB =2，若H 为PD 上的动点，若△AHE P —ABCD 的体积．【总结升华】本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的体积等几个知识点．在题中出现了探究性问题，请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想．【变式3】四棱锥S ABCD -中，//AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．(1)证明：SD SAB ⊥；(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．【参考答案】【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇.∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇.又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α.（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇.又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面.∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c.∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面，故c∥AB.举一反三：【变式1】【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.例2．【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥P A．又CD⊥AC，P A∩AC=A，∴CD⊥面P AC，∵AE⊂面P AC，故CD⊥AE．（2）由P A=AB=BC，∠ABC=60°，可得P A=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵P A⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE举一反三：【变式1】【证明】（1）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点，∴HG∥BC，HF∥DE，又∵ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC，∴GF∥平面ABC证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点，∴GM∥BE，且12GM BE=，NF∥DA，且12NF DA=，又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF，∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC 证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE ∩BD =F ，且F 是AE 中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，∴GF ∥平面ABC（2）∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，∴GF ∥平面ABC又∵平面ABED ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC ∴BE ⊥AC又∵CA 2+CB 2=AB 2，∴AC ⊥BC ，∵BC ∩BE =B ，∴AC ⊥平面BCE（3）连接CN ，因为AC =BC ，∴CN ⊥AB ，又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴CN ⊥平面ABED.∵三角形ABC 是等腰直角三角形，∴1122CN AB ==， ∵C —ABED 是四棱锥， ∴111113326C ABED ABED V S CN -=⋅=⨯⨯= 类型二：平面与平面垂直的性质例3．【解】已知：αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，求证：l γ⊥.证法1：如图（左），在γ内取一点P ，作P A 垂直于α与γ的交线于A ， PB 垂直于β与γ的交线于B ，则P A ⊥α，PB ⊥β，∵l αβ=，∴l ⊥P A ，l ⊥PB.∵P A γ⊂，PB γ⊂，P A ∩PB =P ，∴l γ⊥.证法2：如图（右），在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线，∵αγ⊥，βγ⊥，∴m γ⊥，n γ⊥，∴m ∥n.又n β⊂，∴m ∥β，∴m ∥l ，∴l γ⊥.证法3：如图，在l 上取一点A ，过A 作直线m ，使m γ⊥.∵αγ⊥，且A l α∈⊂，∴m α⊂，同理m β， ∴m l αβ==，即l 与m 重合，∴l γ⊥.举一反三：【变式1】【解】 ∵AA 1⊥平面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥平面ABC.又CC 1⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面ABC.作DH ⊥AC 于H ，DH ⊥平面AEC ，作HF ⊥AE 于F ，连接DF ，则DF ⊥AE ，∴∠DFH 是二面角D —AE —C 的平面角.在Rt △ADC 中，AD DC DH AC ⋅==.在Rt △ADE （易证得）中，AD DE DF AE ⋅==.在Rt △DHF 中，sin DH DFH DF ∠==∴二面角D —AE —C 类型三：综合应用例4．【证明】（1）证明：取AB 中点M ，连FM ，GM.∵G 为对角线AC 的中点，∴GM ∥AD ，且12GM AD =， 又∵FE ∥12AD ，∴GM ∥FE 且GM =FE. ∴四边形GMFE 为平行四边形，即EG ∥FM.又∵EG ⊄平面ABF ，FM ⊂平面ABF ，∴EG ∥平面ABF .（2）作EN ⊥AD ，垂足为N ，由平面ABCD ⊥平面AFED ，面ABCD ∩面AFED =AD ，得EN ⊥平面ABCD ，即EN 为三棱锥E —ABG 的高∵在△AEF 中，AF =FE ，∠AFE =60°，∴△AEF 是正三角形∴∠AEF =60°，由EF ∥AD 知∠EAD =60°，∴sin 60EN AE =⋅︒=∴三棱锥BAEG 的体积为11122332B AEG E ABG ABG V V S EN --==⋅=⨯⨯⨯= （3）平面BAE ⊥平面DCE ，证明如下： ∵四边形ABCD 为矩形，且平面ABCD ⊥平面AFED ，∴CD ⊥平面AFED ，∴CD ⊥AE∵四边形AFED 为梯形，FE ∥AD ，且∠AEF =60°，∴∠F AD =120°又在△AED 中，EA =2，AD =4，∠EAD =60°，由余弦定理，得ED =∴222EA ED AD +=，∴ED ⊥AE又∵ED ∩CD =D ，∴AE ⊥平面DCE又 AE ⊂面BAE ，∴平面BAE ⊥平面DCE例5．【解】(1)证明：因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC ， 又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB ．(2)证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC ．所以DE ⊥A 1D ．DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC ．而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F ．又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE ．所以A 1F ⊥BE ．(3)解：线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P,Q，则PQ∥BC．又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP．由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C．又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP．所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．举一反三：【变式1】证明：（1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.因为平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面P AC.又P A 平面P AC，所以DF⊥P A.作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥P A.又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，所以P A⊥平面ABC.（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）.因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE.所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB.又因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，所以AB⊥平面P AC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.【变式2】【证明】（1）AE ⊥PD因为四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴△ABC 为等边三角形．因为E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，结合BC ∥AD ，得AE ⊥AD∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AEP A ∩AD =A ，且P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD∴AE ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴AE ⊥PD（2）由（1），EA ⊥平面P AD ，∴EA ⊥AH ，即△AEH 为直角三角形，Rt ⊥EAH 中，AE =当AH 最短时，即AH ⊥PD 时，△AEH 面积的最小此时，12EAH S EA AH AH ∆=⋅=⇒=又AD =2，所以∠ADH =45°，所以P A =2，P ABCD V -=【变式3】【解】（1）取AB 中点E ，连结DE 、SE ，∴四边形BCDE 为矩形，DE =CB =2，∵侧面SAB 为等边三角形，∴,SE AB SE ⊥=又∵SD =1，222ED SE SD =+，∴DSE ∠为直角．又∵,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=，∴AB ⊥平面SDE ，∴AB SD ⊥．又SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直．∴SD ⊥平面SAB ．（2）作SF DE ⊥垂足为F ，FG ⊥BC ，垂足为G ，连结SG∵AB ⊥平面SDE ，∴平面ABCD ⊥平面SED ，∴SF ⊥平面ABCD ，∵BC ABCD ⊂平面，∴SF BC ⊥，又 ∵FG ⊥BC ，SF FG F =，∴BC ⊥平面SFG ，∵BC SBC ⊂平面，∴平面SBC ⊥平面SFG ．作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC ．又∵在Rt SDE ∆中，SD SE SF DE ⨯==，在Rt SFG ∆中，SG ===∴SF FG FH SG ⨯===，即F 到平面SBC ．∵ED //BC ，∴ED //平面SBC ，∴E 到平面SBC 的距离d ．设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin d EB α==．。

直线、平面垂直的判定与性质{INCLUDEPICTURE"基础知识要打牢.tif"|[知识能否忆起]一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论3．直线与平面垂直的性质定理二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理2．平面与平面垂直的性质定理[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α、β都垂直 解析：选D A 中平面可与α平行或相交，不正确． B 中直线可与α垂直或斜交，不正确． C 中平面可与直线l 平行或相交，不正确．2.(2012·厦门模拟)如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( )A ．A 1DB ．AA 1C ．A 1D 1D ．A 1C 1解析：选D 易知A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 又B 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴A 1C 1⊥B 1O .3．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n B ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α C ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n D ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β解析：选C 对于选项A ，若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n ，或m ，n 是异面直线，所以A 错误；对于选项B ，n 可能在平面α内，所以B 错误；对于选项D ，m 与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β，或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．4.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案：45．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB.则下列命题正确的有________．①P A⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.解析：由P A⊥平面ABC，∴P A⊥AD，故①正确；②中两平面不垂直，③中AD与平面P AE相交，BC∥AD，故不正确；④中PD与平面ABC所成角为45°.答案：①1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．典题导入[例1](2012·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n ⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答]①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．[答案] ①③④由题悟法解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．以题试法1．(2012·长春模拟)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α；②若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β；③若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂α；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 对于①，由b 不在平面α内知，直线b 或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b 与平面α相交，则直线b 与直线a 不可能垂直，这与已知“a ⊥b ”相矛盾，因此①正确．对于②，由a ∥α知，在平面α内必存在直线a 1∥a ，又a ⊥β，所以有a 1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a 与平面α相交于点A ，过点A 作平面α、β的交线的垂线m ，则m ⊥β，又α⊥β，则有a ∥m ，这与“直线a 、m 有公共点A ”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O 分别向平面α、β引垂线a 1、b 1，则有a ∥a 1，b ∥b 1，又a ⊥b ，所以a 1⊥b 1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.典题导入[例2] (2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12|AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2|，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .[自主解答] (1)证明：因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， 所以PH ⊥AB .因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，连接BH ，取BH 的中点G ，连接EG . 因为E 是PB 的中点，所以EG ∥PH ， 且EG ＝12|PH ＝12|.因为PH ⊥平面ABCD ， 所以EG ⊥平面ABCD .因为AB ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥AD .所以底面ABCD 为直角梯形．所以V E －BCF ＝13|S △BCF ·EG ＝13|·12|·FC ·AD ·EG ＝212|.(3)证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME . 因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12|AB .又因为DF 綊12|AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB .因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB .由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)． (4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．以题试法2．(2012·启东模拟)如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 证明：(1)连接AC ，AN ，BN ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AC ，在Rt △P AC 中，N 为PC 中点，∴AN ＝12|PC .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ， P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .∴BC ⊥PB .从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12|PC .∴AN ＝BN .∴△ABN 为等腰三角形，又M 为AB 的中点，∴MN ⊥AB ， 又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .(2)连接PM ，MC ，∵∠PDA ＝45°，P A ⊥AD ，∴AP ＝AD .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴AP ＝BC . 又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM . 而∠P AM ＝∠CBM ＝90°， ∴△P AM ≌△CBM . ∴PM ＝CM .又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC .由(1)知，MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD .典题导入[例3] (2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .[自主解答] (1)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1， CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD . 又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE .由题悟法1．判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．以题试法3．(2012·泸州一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若点M 在线段PC 上，且PM ＝tPC (t >0)，试确定实数t 的值，使得P A ∥平面MQB .解：(1)因为P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD .连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°， 所以AB ＝BD . 所以BQ ⊥AD .因为BQ ⊂平面PQB ，PQ ⊂平面PQB ， BQ ∩PQ ＝Q ， 所以AD ⊥平面PQB .因为AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD . (2)当t ＝13|时，P A ∥平面MQB .证明如下：连接AC ，设AC ∩BQ ＝O ，连接OM .在△AOQ 与△COB 中， 因为AD ∥BC ，所以∠OQA ＝∠OBC ，∠OAQ ＝∠OCB .所以△AOQ ∽△COB .所以AO OC |＝AQ CB |＝12|.所以AO AC |＝13|，即OC AC |＝23|.由PM ＝13|PC ，知CM CP |＝23|，所以CM CP |＝OCAC |，所以AP ∥OM .因为OM ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，所以P A ∥平面MQB .1．(2012·杭州模拟)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α解析：选C 对于选项C ，在平面α内存在c ∥b ，因为a ⊥α，所以a ⊥c ，故a ⊥b ；A ，B 选项中，直线a ，b 可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 选项中一定有a ∥b .2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α；③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；④若α∥β，l ⊄β，且l ∥α，则l ∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④D ．③④解析：选D 对于①：若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ，前者不是后者的充分条件，比如当α∥γ时，也有α⊥β，β⊥γ.对于②：显然错误，当l ⊥α，l ∩α＝A 时，l 上到A 距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．3．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；(4)a ，b 是两条异面直线，P 为空间一点，过P 总可以作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B (1)错，也可能相交；(2)正确；(3)“α⊥β”是“m ⊥β”的必要条件，命题错误；(4)当异面直线a ，b 垂直时才可以作出满足要求的平面，命题错误．4.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－AB1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③解析：选B对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM ∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．6.(2012·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．(2012·忻州一中月考)正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是BC 的中点，动点P 在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的长为________．解析：如图，设AC ∩BD ＝O ，连接SO ，取CD 的中点F ，SC 的中点G ，连接EF ，EG ，FG ，设EF 交AC 于点H ，连接GH ，易知AC ⊥EF ，GH ∥SO ， ∴GH ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥GH ，∴AC ⊥平面EFG ，故动点P 的轨迹是△EFG ，由已知易得EF ＝2|， GE ＝GF ＝62|，∴△EFG 的周长为2|＋6|，故动点P 的轨迹长为2|＋6|. 答案：2|＋6|9.(2013·蚌埠模拟)点P 在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________．解析：连接BD 交AC 于O ，连接DC 1交D 1C 于O 1，连接OO 1，则OO 1∥BC 1. ∴BC1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变， ∴三棱锥P －AD 1C 的体积不变． 又VP －AD 1C ＝VA －D 1PC ，∴①正确． ∵平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ， ∴A 1P ∥平面ACD 1，②正确． 由于DB 不垂直于BC 1显然③不正确； 由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1， ∴DB 1⊥平面AD 1C .DB 1⊂平面PDB 1， ∴平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确． 答案：①②④10. 如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC .证明：(1)由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP .又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC .(2)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC .又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC .11.(2012·北京海淀二模)如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在AB |上，且OM ∥AC .(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ；(2)求证：平面P AC ⊥平面PCB .证明：(1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥P A .因为P A ⊂平面P AC ，OE ⊄平面P AC ，所以OE ∥平面P AC .因为OM ∥AC ，且AC ⊂平面P AC ，OM ⊄平面P AC ，所以OM ∥平面P AC .因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，所以平面MOE ∥平面P AC .(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .因为BC ⊂平面PCB ，所以平面P AC ⊥平面PCB .12．(2012·珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD是梯形，AB ∥CD ，四边形ACFE 是矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，AD ＝DC ＝CB ＝AE ＝a ，∠ACB ＝π2|. (1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)若M 是棱EF 上一点，AM ∥平面BDF ，求EM 的长．解：(1)证明：因为∠ACB ＝π2|，所以BC ⊥AC .又因为BC ⊂平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .(2)记AC ∩BD ＝O ，在梯形ABCD 中，因为AD ＝DC ＝CB ＝a ，AB ∥CD ，所以∠ACD ＝∠CAB ＝∠DAC .所以π＝∠ABC ＋∠BCD ＝∠DAB ＋∠ACD ＋∠ACB ＝3∠DAC ＋π2|，所以∠DAC ＝π6|，即∠CBO ＝π6|. 又因为∠ACB ＝π2|，CB ＝a ，所以CO ＝33|a .连接FO ，由AM ∥平面BDF 得AM ∥FO ，因为四边形ACFE 是矩形，所以EM ＝CO ＝33|a .1.如图，在三棱锥D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选C 要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .2．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，则△ACD 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B ∵a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ，∴b ⊥面ABC ，∴AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形．3.(2012·莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△P AC ，△ABC 分别是以A ，B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.(1)现给出三个条件：①PB ＝3|；②PB ⊥BC ；③平面P AB ⊥平面ABC .试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：P A⊥平面ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．解：法一：(1)选取条件①在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，∴BC＝1，AC＝2|.又∵P A＝AC，∴P A＝2|.∴在△P AB中，AB＝1，P A＝2|.又∵PB＝3|，∴AB2＋P A2＝PB2.∴∠P AB＝90°，即P A⊥AB.又∵P A⊥AC，AB∩AC＝A，∴P A⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC，V三棱锥P－ABC＝13|P A·S△ABC＝13|×2|×12|×12＝26|.法二：(1)选取条件②∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.又∵P A⊥AC，且BC∩AC＝C，∴P A⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知P A⊥平面ABC. ∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝2|，∴P A＝2|，∴V三棱锥P－ABC＝13|P A·S△ABC＝13|×12|AB·BC·P A＝13|×12|×1×1×2|＝26|.法三：(1)选取条件③若平面P AB⊥平面ABC，∵平面P AB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB.∵P A⊂平面P AB，∴BC⊥P A.∴P A ⊥平面ABC .(2)同法二．1．(2012·福建高考)如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点．(1)求三棱锥A －MCC 1的体积；(2)当A 1M ＋MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC .解：(1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，AD ⊥平面CDD 1C 1，∴点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1.又S △MCC 1＝12|CC 1×CD ＝12|×2×1＝1， ∴VA －MCC 1＝13|AD ·S △MCC 1＝13|. (2)证明：将侧面CDD1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C ′共线时，A 1M ＋MC 取得最小值．由AD ＝CD ＝1，AA 1＝2，得M 为DD 1中点．连接A 1M ，B 1M ，在△C 1MC 中，MC 1＝2|，MC ＝2|，CC 1＝2，∴CC 21|＝MC 21|＋MC 2，得∠CMC 1＝90°，即CM ⊥MC 1. 又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1，∴B 1C 1⊥CM .又B 1C 1∩C 1M ＝C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M .同理可证，B 1M ⊥AM .又AM ∩MC ＝M ，∴B 1M ⊥平面MAC .2．(2012·江西模拟)如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，P A ，NC 都垂直于平面ABCD ，且P A ＝AB ＝4，NC ＝2，M 是线段P A 上的一动点．(1)求证：平面P AC ⊥平面NEF ；(2)若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值．解：(1)证明：连接BD ，∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD .∴BD ⊥平面P AC .又∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，∴EF ∥BD .∴EF ⊥平面P AC ，又EF ⊂平面NEF ，∴平面P AC ⊥平面NEF .(2)连接OM ，∵PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ，∴PC ∥OM ，∴PM P A |＝OC AC |＝14|， 故PM ∶MA ＝1∶3.3．(2012·陕西高考)(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图1，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λ b ＋μ n ，则a·c ＝a·(λ b ＋μ n )＝λ(a·b )＋μ(a·n )．因为a ⊥b ，所以a·b ＝0.又因为a ⊂π，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图2，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c .∵PO ⊥π，a ⊂π，∴直线PO ⊥a .又a ⊥b ，b ⊂平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO .又c ⊂平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．。

直线与平面垂直的性质(学案)设计人：徐恩战 审核人：陈长永 使用时间：２０１２―１１学习目标： 探究线面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力；掌握性质定理的应用，提高逻辑推理能力。

重点 难点： 线面垂直的性质定理及其应用一、学习过程：复习巩固：直线与平面垂直的判定定理是什么？二、学习新知：1、注意观察右面两个图，在长方体ABCD－A ’B ’C ’D ”中，棱AA ’、BB ’、CC ’、DD ’都与平面ABCD 垂直，它们之间具有什么什么关系？2、右图中，已知直线a ，b 和平面α，如果a ⊥α，b ⊥α那么直线a ，b 是否平行呢？直线与平面垂直的性质定理：在上述第2个问题中，假定b 与a 不平行，且b ∩α＝O ，b ’是经过点O 与直线a 平行的直线，直线b 与b ’确定平面β，设α∩β＝c ，因为a ⊥α，b ⊥α，所以a ⊥c ，b ⊥c ，又因为b ’∥a ，所以b ’⊥c ，这样在平面β内，经过直线c 上同一点O 就有两条直线b ，b ’与c 垂直，显然不可能，因此b ∥a 。

O一般地，我们得到直线与平面垂直的性质定理定理：（文字语言）垂直于同一平面的两条直线平行。

（符号语言）a⊥α, b⊥α a∥b判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。

直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系。

3、直线与平面垂直的性质的应用例4、设直线a，b分别在正方体ABCD－A’B’C’D”中两个不同的平面内，欲使a∥b，则a，b应满足什么条件？分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a，b满足的条件。

解：a，b满足下面条件中的任何一个，都能使a∥b，（1）a，b同垂直于正方体一个面；（2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面；（3）a，b平行于同一条棱；（4）如图，E，F，G，H分别为B’C’，CC’，AA’，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等。

2.3.3 直线与平面垂直的性质【学习目标】（1）使学生掌握直线与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面的判定定理和性质定理间的相互联系。

【学习重点】1.直观感知，操作确认，概括出直线与平面垂直的性质定理。

2.进一步理解和运用直线和平面垂直的定义。

【学习难点】直线和平面垂直的性质定理的证明。

【学习过程】一、知识回顾1.直线和平面垂直的定义一条直线和平面内的一条直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

2.直线和平面垂直的判定定理(1)如果一条直线和一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直。

(2) 直线和平面垂直的判定定理的符号表示.二、预习自学1、如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？2.星级酒店门口立着三根旗杆，这三根旗杆均与地面垂直，这三根旗杆所在的直线之间具有什么位置关系？3．直线和平面垂直的性质定理(1) 直线和平面垂直的性质定理的内容是什么?(2)图形表示与符号表示.三、典型例题例1、三棱锥P - ABC 中，PA = PB = PC , PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的外心.2:=CD,EA ,EB .: CD AB .A B αβαβ⋂⊥⊥⊥例、已知为垂足，，为垂足求证αβEA B CD四、课堂小结、（1）本节学习了什么性质定理，其内容是什么？文字表示：符号表示：图形表示：（2）判定两条直线平行有哪些定理？（3）你是如何理解直线和平面垂直的定义的？也就是说，如果已知直线l和平面 垂直，那么你能得到什么性质呢？（4）类比直线和平面垂直的判定定理和性质定理，你发现它们之间有何联系？提示并填空：、1.空间平行、垂直之间的转化与联系：2．空间问题解决的重要思想方法：化问题为问题，又称为把问题化；五、达标检测，反馈矫正1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内打对号，错误的打错号。

第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题： 1．异面直线所成的角的定义是什么？ 2．异面直线所成的角的范围是什么？ 3．异面直线垂直的定理是什么？ 4．直线与平面垂直的定义是什么？ 5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b 垂直，记作a ⊥b ．(3)范围：设θ为异面直线a 与b 所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨] 当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．( )(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则( )A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：C在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．∥CG，因为M，N分别是解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFBF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 ．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交． 又因为m ⊂α，所以l 与m 相交或异面． 由直线与平面垂直的定义，可知l ⊥m . 故l 与m 不可能平行．(2)对于A ，直线l ⊥m ，m 并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B ，因为l ⊥α，则l 垂直于α内任意一条直线，又l ∥m ，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m ⊥α，故B 正确；对于C ，也有可能是l ，m 异面；对于D ，l ，m 还可能相交或异面．【答案】 (1)A (2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ， 因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥FH .2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG . 证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥PA ， 又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ， 所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ， 又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ， 所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点， 所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ， 所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 易知CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒] 要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线( )A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC 所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A 基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是( )A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( )解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P，则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF ， 在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，所以EF ∥CD ，所以∠BEF (或其补角)即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ， 所以AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. [B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED . A ．1个 B ．2个 C．3个D ．4个解析：选A.因为在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点， 所以在折起过程中，D 点在平面ABCE 上的投影如图．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C 拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质学习目标1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点)3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．(易错点)基础·初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．()(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．()(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()教材整理2平面与平面垂直的性质定理2.在长方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直合作学习类型1 线面垂直性质定理的应用例1如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．名师指津1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．跟踪训练1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.类型2 面面垂直性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.名师指津1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．跟踪训练2．如图，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.探究共研型探究点垂直关系的综合应用探究1如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴转动．当平面ADB⊥平面ABC时，能否求CD的长度？探究2在上述问题中，当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．例3如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.名师指津1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练3．如图，在三棱锥P­ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面P AB；(2)若平面P AC⊥平面ABC，且P A＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.课堂检测1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β2．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则() A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面ACC．ME∥平面ACD．以上都有可能3．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.4．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD 与平面BCD所成的角是________.5．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.参考答案基础·初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理平行a∥b预习自测1. 【答案】(1)√(2)√(3)√【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确． 教材整理2 平面与平面垂直的性质定理 一个平面内 交线 垂直 a ⊂α a ⊥l 预习自测 2. 【答案】D【解析】在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1且平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1，又EF ⊂面A 1ABB 1，EF ⊥A 1B 1，∴EF ⊥平面A 1B 1C 1D 1，答案D 正确．合作学习例1 证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1. ∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. (2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC . ∴ON12DC 12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．跟踪训练1．证明：因为EA ⊥α，α∩β＝l ，即l ⊂α，所以l ⊥EA . 同理l ⊥EB .又EA ∩EB ＝E ，所以l ⊥平面EAB . 因为EB ⊥β，a ⊂β，所以EB ⊥a ， 又a ⊥AB ，EB ∩AB ＝B ，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.例2证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)如图，连接PG.∵△P AD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.跟踪训练2．证明：∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.探究1解：取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE ⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.探究2证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由探究1知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.探究3【答案】垂直问题转化关系如下所示：例3证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A⊥AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.又AD∩P A＝A，所以CD⊥平面P AD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.跟踪训练3．证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB.(2)∵P A＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面P AC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.课堂检测1．【答案】D【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．2．【答案】A【解析】由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.3．【答案】13【解析】因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝ED2＋CD2＝13.4．【答案】45°【解析】过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.5．证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.。