人教版高中数学必修2学案：2.3.1直线与平面垂直的判定

数学辅导教案学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版数学必修2 第2章直线、平面平行的判定预习教案教学目标知识目标：理解并掌握直线、平面之间垂直的判定定理与性质定理以及它们之间的转化，会求线面角及二面角.能力目标：能应用线面、面面垂直的判定定理与性质定理证明空间中线面的垂直关系情感态度价值观：进一步培养学生的空间想象能力教学重点与难点重点：理解且能证明直线和平面垂直，面面垂直难点：线面角及面面角的求法第1讲：直线、平面垂直的判定【知识梳理】一、1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面a互相垂直记法l a⊥相关概念直线l叫做平面a的垂线，平面a叫做直线l的垂面。

它们唯一的公共点p叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言 ,l a l b a b l a b P ααα⎫⎪⊂⊂⇒⎬⎪⋂=⎭⊥，⊥⊥作用判断直线与平面垂直 3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 二：平面与平面垂直的判定1．二面角2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β .(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．(3)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言llααββ⎫⇒⎬⊂⎭⊥⊥作用判断两平面垂直【典型例题】考点1 ：线面垂直的判定【例1】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.【变式1】如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB 的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．考点2 ：求线面角【例2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．考点3：求二面角【例3】：在正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)求二面角D′－AB－D的大小；(2)求二面角A′－AB－D的大小．【变式1】如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D－AP－C的正弦值；(3)若M为PB的中点，求三棱锥M－BCD的体积．【方法技巧】：1.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．2．作二面角的平面角的方法方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．【变式2】如图，AB是圆的直径，P A垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面P AC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，P A＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．【课堂训练】1．若直线a与平面α内的两条直线垂直，则直线a与平面α的位置关系是()A．垂直B．平行C．斜交或在平面内 D．以上均有可能2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④3．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．二面角是指()A．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形B．一个半平面与另一个半平面组成的图形C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形D．两个相交的平行四边形组成的图形5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的余弦值大小为________．6.如图，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－P A－C的大小等于________．【课后作业】1．下列命题中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．32．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是()A．(0°，90°) B．[0°，90°] C．(0°，90°] D．[0°，180°]3.如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．2对B．3对C．4对D．5对4．如右图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面P AD.5.如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，BC＝CD，∠ACB＝∠ACD.求证：BD⊥平面P AC.。

2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标核心素养1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言3.直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线P A斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线P A在平面α上的射影为AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围[0°，90°]有直线”“无数条直线”？[提示]定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABCC[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．45°[如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.证线面垂直的方法：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.[证明]设圆O所在的平面为α，∵P A⊥α，且BM⊂α，∴P A⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM. 由于直线P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM，而AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．故A N⊥平面PBM.直线与平面所成的角[探究问题]1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？[提示]需要P A⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？[提示]在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[证明](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ， ∴∠A 1BO＝30°，即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.在本例正方体中，若E 为棱AB 的中点，求直线B 1E 与平面BB 1D 1D所成角的正切值．[解] 连接AC 交BD 于点O ，过E 作EO 1∥AC 交BD 于点O 1，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴EO 1⊥平面BB 1D 1D ，∴B 1O 1是B 1E 在平面BB 1D 1D 内的射影， ∴∠EB 1O 1为B 1E 与平面BB 1D 1D 所成的角． 设正方体的棱长为a ， ∵E 是AB 的中点，EO 1∥AC ， ∴O 1是BO 的中点，∴EO 1＝12AO ＝12×2a 2＝2a4， B 1O 1＝BO 21＋BB 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 42＋a 2＝3a 22， ∴tan ∠EB 1O 1＝EO 1B 1O 1＝2a 43a 22＝13.求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．1．线线垂直和线面垂直的相互转化：2．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直A[若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m 不可能平行．]2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定A[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°. 故选A.]4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D. [证明]如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.。

《直线与平面垂直的判定（一）》教学设计课程名称《直线与平面垂直的判定（一）》授课人学校名称教学对象高一科目数学课时安排 1一、教材分析本节课是人教版必修2第2章第3节第1课。

本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。

本节课中的线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！学好这部分内容，对于进一步培养和发展学生逻辑推理能力以及运用图形语言进行交流的能力；对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。

二、教学目标及难重点（知识与技能，方法和过程，情感态度与价值观）教学目标：1．知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理并能进行简单应用；（2）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.2．过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）加深对转化思想的认识，进一步熟练将空间问题转化为平面问题加以解决的思想方法；3．情态、态度与价值观在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想，亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理；教学难点：操作确认直线与平面垂直的判定定理及其初步应用.三、教学策略选择与设计借助对周围线面垂直的实例、图片以及多媒体手段，让学生更直观地获得事物印象，激发学生兴趣，调动学生的积极性；以问题为驱动，引导学生思考，探究，归纳；重视合作交流，动手探究规律，以学生为中心，关注学生的认知过程，因材施教，使不同层次的学生思维，情感态度都得到发展。

四、教学环境及设备、资源准备教学环境：多媒体学生准备：课本、笔、练习本、作业本、三角形纸片；教师准备：教学课件、三角板；教学资源：生活资源，实践性资源，电化资源。

2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定一、课标解读（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握直线和平面所成角的概念（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（5）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

二、自学导引问题1：（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、树干与地面的位置有什么关系？（2）请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？ （3）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？有什么生活实例能验证这一关系呢？直线与平面垂直的定义：用符号语言表示为：问题2：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD 与桌面垂直吗？DCBA②如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ 直线与平面垂直的判定定理：用符号语言表示为：问题3：直线与平面所成角的概念？问题4：怎样作出二面角的平面角？问题5：平面与平面垂直的定义？问题6：两个平面互相垂直的判定方法有哪些？ 三、典例精析例1 已知两两垂直所在平面外一点，是PC PB PA ABC P ,,∆,H 是ABC ∆ 的垂心.求证：⊥PH 平面ABC变式训练1 如图所示，ABC PA O C O AB 平面上的一点，为圆的直径，为圆⊥, F CP AF E BP AE 于于⊥⊥,.求证：AEF BP 平面⊥例2 如图所示,已知 60,90=∠=∠=∠CSA BSA BSC ,又SC SB SA ==. 求证:平面SBC ABC 平面⊥变式训练２ 如图所示,在四面体ABCD 中,AC CD CB AD AB a BD =====,2 =a ,求证:平面BCD ABD 平面⊥._ C例3 如图所示,已知的斜线，是平面内，在平面ααOA BOC ∠且AOCAOB ∠=∠=60,a OC OB OA ===,a BC 2=,求所成的角与平面αOA .变式训练3 如图所示，在矩形ABCD 中，3,33==BC AD ,沿着对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到'C 点，且'C 点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上.（1）求证：D AC BC ''平面⊥（2）求直线AB 与平面D BC '所成角的正弦值四、自主反馈1. 如图BC 是Rt ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α 垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个2.下列说法正确的是 ( ) A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 ( )A.aB. 2aC.22a D. 3a 4.已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 。

必修二直线与平面垂直判定(一)教学目标1、知识与技能:掌握直线与直线、直线与平面垂直的定义以及直线与平面垂直判定定理及推论2、过程与方法:在教学过程中不断渗透数学思想,培养学生的数学能力.(1)空间想象能力:通过实际操作和联系实际,发展学生的几何直观能力;对空间图形位置关系的认识,遵循了从直观到抽象,从特殊到一般的过程,从平面到空间的过程;图形的运动,帮助学生理清空间关系,这些过程都培养了学生空间想象能力(2)逻辑思维能力:通过对判定定理和其推论的证明以及应用,加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养.(3)转化的思想方法:把空间中的线面关系转化为熟知的线线关系.(4)应用意识和能力:用向量来证明直线与平面垂直判定定理培养了学生应用向量知识来解决实际问题得意识和能力.例题是实际问题培养了学生应用数学知识解决实际生活中的问题的应用意识.3、情感、态度与价值观: 直线与平面垂直判定定理的教学让学生体验“提出问题-------思考------实验发现-------猜想(调整猜想)------论证-----结论-------反思”这一研究问题的全过程,调动了学生发现并解决问题的积极性,教育学生在研究问题时要有严谨的态度,科学的方法.(二)教学重点与难点教学重点:直线与平面垂直的定义,直线与平面垂直判定定理及应用.教学难点:直线与平面垂直判定定理的发现与用向量知识进行证明的过程复习巩固目前学习的空间直线有哪些位置关系?新课讲解一、直线与平面垂直的概念(一)空间中直线与直线垂直:强调:(1)两直线交于一点或平移后交于一点(2)交角为直角特别强调两条异面直线垂直是指将其中一条直线平移与另一条直线相交且交角为直角.请学生在教室中找出一些互相垂直的异面直线.设计意图:通过身边的实例帮助学生理解空间中的直线与直线垂直(二)直线与平面垂直1、观察:旗杆与地面的位置关系,直立的人与地面的位置关系,吊灯的线与地面的位置关系.设计意图:通过一些实例使学生从直观上对线面垂直有一定的认识2、操作:一名学生演示一根细木棍l固定,另一支细木棍m绕的l中点保持垂直同时旋转(其他学生可以用两只笔进行实验),学生观察并思考:(1)木棍m所在直线运动轨迹是什么?(2)木棍l与木棍m的运动轨迹的位置关系是什么?教师演示电脑课件:两条直线垂直相交,其中一条旋转,形成一个平面.设计意图:通过实际操作让学生加深对线面垂直的理解;通过观察直线绕一点旋转成面的过,让学生体会直线不仅通过平移运动能成平面,旋转运动也能成平面,但注意旋转的条件,增强学生从运动的观点看线面关系的意识,同时培养学生的空间想象能力.3、直线与平面垂直的定义:文字语言:图形语言:符号语言:注:直线与平面垂直的定义中我们可以得到(1) 直线与平面垂直的性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.即 直线,l a l a αα⊥⊂⇒⊥平面且直线(2) 直线与平面垂直的判定:定义本身二、直线与平面垂直判断定理的教学思考:直线与平面互相垂直的定义为判段直线与平面平行提供了一种方法,但证明一条直线与平面内任意一条直线垂直是不可操作的,能否将这个条件简化,通过直线与平面内的有限条直线垂直来判断出直线与平面垂直呢?操作:拿一张矩形的纸对折后略微展开,判断折痕AB 与线段CB,BD 的位置关系; (,AB CB AB DB ⊥⊥);将折后的纸竖立在桌面上,观察折痕与桌面的关系.(折痕与桌面垂直)猜想:若学生猜想:若一条直线垂直与平面内的两条直线,则这条直线垂直于已知平面;反例,如图引导学生观察: “操作”中CB,BD 交于点D,因此调整猜想: 一条直线垂直与平面内的两条相交直线,则这条直线垂直于已知平面;论证:已知：直线,,a b l 和平面α，,a b αα⊂⊂,a b O ⋂=,且,la lb ⊥⊥求证：l α⊥ 证明：如图,设i r 与j r 分别是直线a ,b 上的单位向量, 平面α内任意一条直线c ,c r 是直线c 上一单位向量,l r 是直线l 上的单位向量,以{},i j r r 为基底, c r =m i r +n j r因为,l a l b ⊥⊥所以,l i l j ⊥⊥r r r r所以0,0l i l j ==r r r r gg 所以()0l c l mi n j ml i nl j =+=+=r r r r r r r r r gg g g 所以l c ⊥r r ,所以直线l c ⊥因为c 为平面α内任意一条直线所以l α⊥结论:直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这直线与这个平面垂直条数学语言：,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪⋂=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭图形语言： 反思:判定一条直线与平面垂直的条件可以简化为:这条直线与平面内的一条直线垂直吗?不能,举反例设计意图:让学生经历“提出问题-------思考------实验发现-------猜想(调整猜想)------论证-----结论-------反思”这一研究问题的全过程,教给学生研究问题的方法,培养学生发现问题,研究问题,解决问题的意识和能力; “操作”同过直观培养了学生的空间想象能力, 从“操作”到“猜想”是从直观到抽象的过程,这个过程培养了学生把生活中的问题抽象成数学问题的能力;整个研究过程不断引导学生进行思考,能很好地调动学生的思维.选择向量的方法证明判定定理，既可以便于学生理解，又能巩固向量的知识，应用向量知识来解决问题，体现向量的工具作用，培养学生用向量知识解决几何问题的意识。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定一、考纲要求 1线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α 2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 3.斜线: 斜足斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角:一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；(判断直线与平面垂直的方法4) 一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．二、自主学习问题1、结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，直立于地面的旗杆AB 与它在地面上的影子BC 所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC 的位置也会移动,而旗杆AB 与影子BC 所成的角度是否会发生改变? (3)旗杆AB 与地面上任意一条不过点B 的直线B 1C 1的位置关系如何?依据是什么？问题2、直线与平面垂直的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α. 直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。

符号语言： 图形语言:a l l a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭是平面内任一直线思想: 直线与平面垂直 ⇒直线与平面垂直思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？即若αα⊂⊥a l ,，则a l ⊥问题3、请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD （如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）（图1）（图2） （1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？问题4、直线与平面垂直的判定定理。

2.3.1 直线与平面垂直的判定一、教材分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面的垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心.本节重点是直线与平面垂直的判定定理的应用.二、教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.2．过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法.3．情态、态度与价值观培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.三、教学重点与难点教学重点:直线与平面垂直的判定.教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.思路2.(事例导入)如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明.如图1，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直.图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①探究直线与平面垂直的定义和画法.②探究直线与平面垂直的判定定理.③用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.④探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.⑤探究点到平面的距离.活动:问题①引导学生结合事例观察探究.问题②引导学生结合事例实验探究.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生思考其合理性.问题⑤引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离.讨论结果：①直线与平面垂直的定义和画法：教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下：如图2，表示方法为：a⊥α.图2 图3②如图3,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ABC的顶点A 翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）.(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面α垂直？容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面α垂直.如图4.(1) (2)图4所以，当折痕AD垂直平面内的一条直线时，折痕AD与平面α不垂直，当折痕AD垂直平面内的两条直线时，折痕AD与平面α垂直.③直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：l⊥α.直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5,图5 图6④斜线在平面内的射影.斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.斜足：斜线和平面的交点. 斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l 与平面内的线a 、b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角. 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°.如图6，l 是平面α的一条斜线，点O 是斜足，A 是l 上任意一点，AB 是α的垂线，点B 是垂足，所以直线OB （记作l′）是l 在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l 与α所成的角. 直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？⑤点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. 点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.（三）应用示例思路1例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂P b a bl a l b a αα图7证明：如图7,在平面α内作两条相交直线m 、n ，设m∩n=A . ************ 变式训练如图8,已知点P 为平面ABC 外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.图8证明：过P 作PO⊥平面ABC 于O ，连接OA 、OB 、OC. ∵PO⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴PO⊥BC.又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO. 又∵OA 平面PAO ，∴BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.∴O 是△ABC 的垂心. ∴OB⊥AC.可证PO⊥AC. ∴AC⊥平面PBO.又PB 平面PBO ，∴PB⊥AC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.例2 如图9,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.图9活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：连接BC 1交B 1C 于点O ，连接A 1O. 设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1,A 1B 1⊥B 1B,所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1. 所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD. 所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，∠BA 1O 为直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角.⊂⊂⊂在Rt△A 1BO 中,A 1B=,BO=,所以BO=,∠BA 1O=30°. 因此,直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.变式训练如图10，四面体A —BCD 的棱长都相等，Q 是AD 的中点，求CQ 与平面DBC 所成的角的正弦值.图10解：过A 作AO⊥面BCD ，连接OD 、OB 、OC ，则可证O 是△BCD 的中心, 作QP⊥OD,∵QP∥AO,∴QP⊥面BCD.连接CP ，则∠QCP 即为所求的角. 设四面体的棱长为a ，∵在正△ACD 中，Q 是AD 的中点,∴CQ=. ∵QP∥AO，Q 是AD 的中点, ∴QP=，得 sin∠QCP=. 点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是找出平面的垂线.思路2例1 （2007山东高考,文20）如图11(1)，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DC=DD 1=2AD=2AB ，AD⊥DC，AB∥DC.(1)（1）求证：D 1C⊥AC 1；（2）设E 是D C 上一点，试确定E 的位置，使D 1E∥平面A 1BD ，并说明理由.a 2a 22B A 121a 23a a a a AO 663621)33(212122=⨯=-=32=CQ QP（1）证明：在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 连接C 1D ，如图11(2).(2)∵DC=DD 1，∴四边形DCC 1D 1是正方形. ∴DC 1⊥D 1C.又AD⊥DC，AD⊥DD 1，DC∩DD 1=D,∴AD⊥平面DCC 1D 1，D 1C 平面DCC 1D 1. ∴AD⊥D 1C.∵AD、DC 1平面ADC 1，且AD∩DC 1=D, ∴D 1C⊥平面ADC 1.又AC 1平面ADC 1，∴D 1C⊥AC 1. (2)解：连接AD 1、AE ，如图11(3).(3) 图11设AD 1∩A 1D=M,BD∩AE=N,连接MN ，∵平面AD 1E∩平面A 1BD=MN ， 要使D 1E∥平面A 1BD ， 需使MN∥D 1E ，又M 是AD 1的中点， ∴N 是AE 的中点.又易知△ABN≌△EDN， ∴AB=DE,即E 是DC 的中点.综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E∥平面A 1BD. 变式训练如图12，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心.求证：A 1O⊥平面GBD.⊂⊂⊂图12证明：BD⊥A 1O.又∵A 1O 2=A 1A 2+AO 2=a 2+()2=,OG 2=OC 2+CG 2=()2+()2=, A 1G 2=A 1C 12+C 1G 2=(a)2+()2=, ∴A 1O2+OG 2=A 1G 2.∴A 1O⊥OG.又BD∩OG=O,∴A 1O⊥平面GBD.点评：判断线面垂直往往转化为线线垂直，勾股定理也是证明线线垂直的重要方法.例2 如图13，ABCD 为正方形，过A 作线段SA⊥面ABCD ，又过A 作与SC 垂直的平面交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影.图13证明：∵SA⊥BC,又∵AB⊥BC,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE. ∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE. 又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SB,即E 为A 在SB 上的射影.同理可证,H 是点A 在SD 上的射影. 变式训练已知Rt△ABC 的斜边BC 在平面α内，两直角边AB 、AC 与α都斜交，点A 在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C 是钝角.证明：如图14，过A 作AD⊥BC 于D ，连接A′D，⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥AO A O A AO A BD BD AC BD A A 1111面平面 a 22223a a 222a 243a 22a 249a ⎭⎬⎫⊂⊥ABCD BC ABCD SA 平面平面 ⇒图14∵AA′⊥α，BC α，∴AA′⊥BC. ∴BC⊥A′D.∵tan∠BAD=＜tan∠BA′D=，tan∠CAD=＜tan∠CA′D=，∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D.∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C 是钝角.（四）知能训练如图15，已知a 、b 是两条相互垂直的异面直线，线段AB 与两异面直线a 、b 垂直且相交，线段AB 的长为定值m ，定长为n （n ＞m ）的线段PQ 的两个端点分别在a 、b 上移动，M 、N 分别是AB 、PQ 的中点.图15求证：（1）AB⊥MN； （2）MN 的长是定值.证明：(1)取PB 中点H,连接HN,则HN∥b. 又∵AB⊥b,∴AB⊥HN. 同理,AB⊥MH.∴AB⊥平面MNH.∴AB⊥MN. (2)∵b⊥平面PAB.∴b⊥PB.在Rt△PBQ 中,BQ 2=PQ 2-PB 2=n 2-PB 2, ①在Rt△PBA 中,PA 2=PB 2-AB 2=PB 2-m 2, ②①②两式相加PA 2+BQ 2=n 2-m 2,∵a⊥b,∴∠MH N=90°.∴MN=(定值).（五）拓展提升1.如图16，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA 1=4,点D 是AB 的中点.⊂AD BD D A BD 'AD CD DA CD'⎭⎬⎫⊥⊥a b AB b ⇒22222221)2()2(m n BQ PA NHMH -=+=+图16（1）求证：AC⊥BC 1;（2）求证：AC 1∥平面CDB 1；（1）证明：∵在△ABC 中,AC=3,AB=5,BC=4, ∴△ABC 为直角三角形.∴AC⊥CB.又∵CC 1⊥面ABC,AC 面ABC,∴AC⊥CC 1.∴AC⊥面BCC 1B 1.又BC 1面BCC 1B 1,∴AC⊥BC 1.（2）证明：连接B 1C 交BC 1于E ，则E 为BC 1的中点，连接DE,则在△ABC 1中,DE∥AC 1. 又DE 面CDB 1,则AC 1∥面B 1CD.（六）课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. （七）作业课本习题2.2 B 组3、4.⊂⊂⊂。

《直线与平面垂直的判定》教案
教材选自：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2
“2.3.1直线与平面垂直的判定”第一课时
一、重难点
教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

教学难点：概括直线与平面垂直的定义和判定定理时如何将直线和平面的垂直转化为直线与直线的垂直。

二、教学目标
1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.
三、教学方法
采用“引导—探究式”教学方法,教学过程中突出“问”、“动”两方面。

四、教学过程。

《直线与平面垂直的判定（一）》说课教案一、教材分析1、教材的地位与作用地位：前面已经研究了线在面内，线面平行这两种线面位置关系，在此基础上研究线面垂直是对空间线面位置关系的延续与完善;同时线面垂直又是连接线线垂直与面面垂直的纽带,是空间中垂直关系间转化的重心。

作用：通过对线面垂直位置关系的研究，能帮助学生进一步认识客观世界，进而能够解决“数学中的空间几何问题”。

2、学情分析学习本节课前，学生已初步感知部分空间线面位置关系，但学生的抽象概括能力、空间想象能力还有待提高，对研究空间元素位置关系的思维脉络尚未成形，力求通过本节教学让学生有一个新的飞跃。

3、重点与难点教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理及简单应用；教学难点：①判定定理的探索与归纳；②判定定理及定义在解决垂直问题中的交互与转化。

二、教学目标分析（1）知识与技能目标：通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。

（2）过程与方法目标：通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。

（3）情感、态度与价值观目标：通过创设情境让学生亲身经历数学研究的过程，通过判定定理的探索过程，提高学生动手、观察、分析、归纳的能力，激发学生的学习热情，培养学生探索发现的学习习惯。

三、教法、学法分析依据“教师主导，学生主体”的新课程理念,我采用的教学方法是:教师设置情境，引领分析，总结归纳;学法是学生探究，感悟，归纳。

四、教学过程设计教学流程设计如下：（一）情境创设，学生活动【教师活动】首先借助问题情境从线面平行的研究流程入手，寻找知识的最近发展区，让学生明确这节课将“怎样研究”,然后通过多媒体观看神十发射现场,引导学生观察,如果把运载火箭抽象成一条直线，它与地面的位置关系是什么，再结合天安门广场的旗杆与地面的垂直关系，直观感知线面垂直，然后请同学们举出生活中线面垂直的例子，如教室内的墙角线与地面，路灯与地面等，当学生的学习热情被充分调动起来以后，引导学生进入下一环节。

2.3.1 直线与平面垂直的判定高一数学组教材分析本节内容是人教A版教材高一年级必修2第二章第三节第一部分的内容，是在学习了线面平行关系的知识后，对线面关系的再学习，可以看作是对前面学习过的内容的扩展，要求通过观察图形来提高学生对线面垂直关系的感知能力.此外，本节对后续内容的学习起着奠基的作用，本节的重点是线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，难点是对线面垂直定义和线面垂直判定定理应用的引导与指导，以及如何发现证明思路．通过探究定义与判定定理的由来过程，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解应用线面垂直的定义及其判定定理解决简单的数学问题.教学目标重点: 线面垂直的定义及其判定定理的讲解.难点：线面垂直的定义及其判定定理的应用，以及如何发现证明思路．知识点：线面垂直的定义及其判定定理.能力点：如何通过探究，总结线面垂直的定义及其判定定理，提高空间现象能力.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何通过探究实验归纳线面垂直的判定定理.考试点：用线面垂直的定义及其判定定理解决简单的数学问题.易错易混点：正用应用线面垂直的判定定理的条件，学生一般在证明步骤上容易出错.教具准备多媒体课件和多功能直尺课堂模式学案导学一、引入新课日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子. 随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直. 也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.【设计意图】从实际背景出发，直观感知直线与平面垂直的位置关系.将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？【设计意图】 感知直线与平面垂直，并观察直线与平面内直线的位置关系.【师生活动】 教师通过结合旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，让学生感知线面 垂直这种位置关系，提出问题：现实生活中，我们经常看到一条直线与一个平面垂直的形象，但一条直线与一个平面垂直的确切意义到底是什么？并组织学生思考、讨论.注意引导学生从实际背景“观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子”出发来分析、归纳直线与平面垂直的定义.二、探究新知（一）归纳直线与平面平行的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直.师：如果直线l 与平面α内的所有直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直.这句话对吗？ 生：对.师：如果直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直.这句话对吗？ 生：不对.师：为什么？请举出反例.学生通过自己手中的课本和笔等物品的摆设给出反例.【设计意图】 学生通过对错误命题的思考，并自己动手找出反例来加深对定义的理解. （二）总结直线与平面平行的判定定理探究：如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过 ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD ，DC 与桌面接触）．（1）折痕AD 与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在平面α垂直．α⊥l 记为 A B C D A B C D α当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直．【设计意图】 通过操作确认，引导独立发现直线与平面垂直的条件.思考:（1）有人说，折痕AD 所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面 ，你同意他的说法吗？（2）如图，由折痕BC AD ⊥，翻折之后垂直关系不变，即CD AD ⊥,BD AD ⊥ ．由此你能得到什么结论？【设计意图】通过操作确认，引导学生归纳总结直线与平面垂直的判定定理.判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．图形表示：符号语言：例1. 如图，已知 b a // ,α⊥a ，求证:α⊥b . 证明：在平面 内作两条相交直线m ，n ．因为α⊥a ， 所以m a ⊥，n a ⊥因为b a //所以m b ⊥，n b ⊥又因为α⊂m ，α⊂n所以α⊥b .三、课堂练习练习1. 判断下列命题是否正确？若不正确请举出反例.A B C a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = α⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l b a lαA b a n m α ABC D α1. 若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面. ( )2. 若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面. ( )3. 若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面. ( )4.若一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直. ( )练习2. 如图,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB. 求证：PB⊥AC.证明：过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA、OB、OC.∵PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC.又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAO.又∵OA⊂平面PAO，∴BC⊥OA.同理,可证AB⊥OC.∴O是△ABC的垂心.∴OB⊥AC.可证PO⊥AC.∴AC⊥平面PBO.又PB⊂平面PBO，∴PB⊥AC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.【设计意图】让学生通过练习巩固所学知识点，并在做题中找出自己的不足，及时补充.四、课堂小结1.直线与平面垂直的概念（可用来证明线线垂直）2.判定直线与平面垂直的方法：（1）利用定义；（2）利用判定定理。

2.3 直线、平面垂直的判定和性质2.3.1直线和平面垂直的判定和性质（第2课时）教学目标（一）核心素养（1）掌握直线和平面垂直的性质定理，并能应用它们灵活解题.（2）进一步掌握线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决的数学转化思想. （二）学习目标（1）直线和平面垂直的性质定理.（2）点到平面的距离.（3）直线和平面的距离.（三）学习重点（1）掌握直线和平面垂直的性质定理.（2）掌握点到平面的距离及一条直线和一个平面平行时这条直线和平面的距离的定义.（四）学习难点线、面垂直定义的性质定理的证明中反证法的学习，应让学生明确，对于一些条件简单而结论复杂的命题，可考虑使用反证法.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第70页到第75页，填空：性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.预习自测1.已知下列命题：①若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；②平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；③若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直； ④若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直.上述命题正确的是（ ）.A .①②B .②③C .③④D .②④【解题过程】本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形.①已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；②平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；③根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；④根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性.故选D.【答案】D.2.在四面体P ABC 中，PC PB PA 、、两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PCA PBC PAB 、、的距离分别是632、、，则M 到P 的距离是（ ） A .7 B .8 C .9 D .10【解题过程】M 到P 的距离相当于以M 到三个面PCA PBC PAB 、、的距离为长宽高的长方体的体对角线长，故选A .【答案】A.3.如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体对角线A 1C 和AC 1的交点，E 为棱BB 1的中点，则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能是( )【解题过程】依题意，注意到题中的空间四边形OEC1D1在平面CC1D1D、平面DD1A1A、平面ABCD上的正投影图形分别是选项B、C、D，故选A.【答案】A.(二)课堂设计1.知识回顾（1）直线和平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直.（2）判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（3）一个重要的结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言：ba//，α⊥a.求证：α⊥b.2.问题探究探究一直线和平面垂直的性质定理●活动①类比推理，导出直线和平面垂直的性质定理同学们，通过初中的学习我们知道在同一个平面内，两条不同直线都垂直于第三条直线，则这两条直线平行.那么通过类比推广到平面得到的结论：“两条不同直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行.”是否是真命题呢？答案是肯定的，而且生活中的实例很多如：“教室中前面的交线均和地面垂直，并且都和地面平行”等.【设计意图】通过类比推理，引导学生将平面内概念往空间拓展，并辨析正误.●活动②逐步引导，证明定理提问：写出已知条件和结论，并在黑板上画出图形如下：已知：b⊥α，a⊥α.求证：a∥b.（如下图）【解题过程】a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行.我们能否从另一个角度来证明，比如a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法.老师：你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？学生：否定结论→推出矛盾→肯定结论老师：第一步，我们做一个反面的假设，假定a、b不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1（线线平行定理），在这个定理的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线.●活动③层层推进，证明定理证明：假定a、b不平行a b O，'b是经过点O与直线a平行的直线，设=∵a∥'b，a⊥α，∴'b⊥α.经过同一点O的两条直线b、'b都垂直于平面α是不可能的.因此，a∥b.由此，我们得到：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 师：这就是直线和平面垂直的性质定理.【设计意图】通过定理的证明，加深对定理内涵与外延的理解，突破重点.探究二阐释距离，举一反三●活动①互动交流，初步实践学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.那么如何定义直线到平面的距离呢？为了弄清这个概念，先看下面这个例子.例1 已知：一条直线l和一个平面α平行.求证：直线l上各点到平面α的距离相等.【知识点】直线和平面距离的概念辨析【解题过程】首先，我们应该明确，点到平面的距离定义，在直线l 上任意取两点A 、B ，并过这两点作平面α的垂线段，现在只要证明这两条垂线段长相等即可.证明：过直线l 上任意两点A 、B 分别引平面α的垂线11BB AA 、，垂足分别为11B A 、. ∵11,AA BB αα⊥⊥，∴11AA BB ∥（直线与平面垂直的性质定理）.设经过直线11,AA BB αα⊥⊥的平面为β，11A B αβ=∵l ∥α，∴11B A ∥l∴11=AA BB （直线与平面平行的性质定理）即直线上各点到平面的距离相等.【思路点拨】本例题的证明，实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题.这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法，是解决立体几何问题时常常用到的方法.因此，我们得到直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.【答案】见解题过程.●活动② 巩固基础，检查反馈 例2 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）.①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于同一个平面的两条直线互相平行A .仅②不正确B .仅①、④正确C .仅①正确D .四个命题都正确【知识点】直线和平面垂直的概念辨析.【解题过程】①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线α⊥平面α，α⊂b ，α⊂c ，且b c A =，则a ⊥b ，a ⊥c ，即平面α内两条相交直线b 、c 都垂直于同一条直线a ，但b 、c 的位置关系并不是平行.另外，b 、c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时b 、c 的位置关系是异面.③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A B A D A =，因此该命题是错误的.④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.综上可知①、④正确，故选B.【思路点拨】本题要求的是两直线之间的关系，根据题中所给条件，利用线线平行、线面平行和线面垂直的性质，即可得出两直线之间的关系.【答案】B.例3如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF .【知识点】性质定理，公垂线的概念.【解题过程】证明 连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥，∴11C A EF ⊥. 又D A EF 1⊥，1111A D AC A =，∴D C A EF 11平面⊥.① ∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂，∴111C A BB ⊥.∵四边形1111D C B A 为正方形，∴1111D B C A ⊥，1111B D BB B =， ∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥.同理11BD DC ⊥，1111DC AC C =，∴D C A BD 111平面⊥.②由①②可知：1//BD EF .【思路点拨】证明1//BD EF ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键.由于EF 是AC 和D A 1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用.【答案】见解题过程.例4. 如图，在△ABC 中，∠B =90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N 、M ，求证：MN ⊥SC .【知识点】线面垂直，线线垂直.【解题过程】证明 ∵SA ⊥面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴SA ⊥BC .∵∠B =90°，即AB ⊥BC ，BA SA A =，∴BC ⊥平面SAB .∵⊂AN 平面SAB .∴BC ⊥AN .又∵AN ⊥SB ，B BC SB = ，∴AN ⊥平面SBC .∵⊂SC 平面SBC ，∴AN ⊥SC ，又∵AM ⊥SC ，A AN AM = ，∴SC ⊥平面AMN .∵⊂MN 平面AMN .∴SC ⊥MN .另证：由上面可证AN ⊥平面SBC .∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影.∵AM ⊥SC ，∴MN ⊥SC .【思路点拨】在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直.立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的.本题若改为下题，想想如何证：已知SA ⊥⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上任意一点（C 与A 、B 不重合）.过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点M 、N ，求证：AN ⊥SC .【答案】见解题过程.活动③ 强化提升，灵活应用例5. 如图，已知正方形ABCD 边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG =2，E 、F 分别是AB 、AD 中点，求点B 到平面GEF 的距离.【知识点】距离，线面平行【解题过程】证明 连结BD 、AC ，EF 和BD 分别交AC 于H 、O ，连GH ，作OK ⊥GH 于K .∵ABCD 为正方形，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，H 为AO 中点.∵BD ∥EF ，⊄BD 平面GFE ，∴BD ∥平面GFE .∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离.∵BD ⊥AC ，∴EF ⊥AC .∵GC ⊥面ABCD ，∴GC ⊥EF .∵C AC GC = ，∴EF ⊥平面GCH .∵⊂OK 平面GCH ，∴EF ⊥OK .又∵OK ⊥GH ，GH EF H =，∴OK ⊥平面GEF .即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离.∵正方形边长为4，CG =2， ∴24=AC ，2=HO ，23=HC .在Rt △HCG 中，2222=+=CG HC HG .在Rt △GCH 中，11112=⋅=HG GC HO OK .【思路点拨】求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法.由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长.用此法的关键在于准确找到垂足位置.如本题可用下列证法：延长CB 交FE 的延长线于M ，连结GM ，作BP ⊥ME 于P ，作BN ∥CG 交MG 于N ，连结PN ，再作BH ⊥PN 于H ，可得BH ⊥平面GFE ，BH 长即为B 点到平面EFG 的距离.二是转移法.将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是体积法.已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到底面的距离，可逆用体积公式. 【答案】11112.同类训练 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ，三棱锥P －ABD 的体积V A 到平面PBC 的距离.【知识点】距离，线面平行，等体积法.【数学思想】转化思想【解题过程】(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥P B.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AE C.(2)解：V＝16PA·AB·AD＝3A B.又V＝34，可得AB＝32.作AH⊥PB交PB于H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PB C.在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝132，所以313PA ABAHPB⋅==所以A到平面PBC的距离为313 13.【思路点拨】体积法.已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到底面的距离，可逆用体积公式求点到平面的距离.【答案】（1）见解题过程；（2）313 13.同类训练 已知在长方体1111D C B A ABCD -中，棱51=AA ，12=AB ，求直线11C B 和平面11BCD A 的距离.【知识点】距离，线面平行.【数学思想】转化思想.【解题过程】如图，∵BC C B //11，且1111BCD A C B 平面⊄，11BCD A BC 平面⊂， ∴1111//BCD A C B 平面.从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求.过点1B 作B A E B 11⊥于E ，∵11ABB A BC 平面⊥，且B B AA E B 111平面⊂，∴E B BC 1⊥.又1BC A B B =，∴111BCD A E B 平面⊥.即线段E B 1的长即为所求，在B B A Rt 11∆中，13601251252211111=+⨯=⋅=B A BB B A E B ，∴直线11C B 到平面11BCD A 的距离为1360.【思路点拨】本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解. 【答案】1360.活动④ 翻折问题，弄清题意例6 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【知识点】翻折，垂直.【解题过程】(1)证明：因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DE∥B C.又因为DE 平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥A C.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩DE＝D，所以DE⊥平面A1D C.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.且BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C、A1B 的中点P、Q，则PQ∥B C.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.【思路点拨】在平面图形的翻折过程中的难点就是空间几何体是动态的，要注意变与不变的量.【答案】（1）见解题过程；（2）见解题过程；（3）存在，理由见解题过程.3. 课堂总结知识梳理1.线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b .2.重难点归纳（1）线面垂直概念的辨析.（2）点到平面的距离常用三种方法：一是直接法.由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长.二是转移法.将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离.三是体积法.已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到底面的距离，可逆用体积公式.（三）课后作业基础型 自主突破1.已知b 、a 为不重合的直线, α为平面,则下面四个命题:①b ∥a ，a α⊥,则b α⊥;②若a α⊥，b α⊥,则b ∥a ;③若a α⊥,a b ⊥,则b ∥α;④若α∥a , a b ⊥,则b α⊥;其中正确的命题是（ ）A.①②B.①②③C.②③④D.①②④【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】①②显然正确；③中b 可能在α内；④中b ⊥α或b ∥α或b ⊂α.故选A.【思路点拨】利用线面垂直的性质，可知①②正确，③④写出所有可能即可.【答案】A.2.若l 、m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的（ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【知识点】空间直线和平面、直线和直线的位置关系.【解题过程】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥ ”是“//l α 的必要不充分条件，故选B.【思路点拨】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究.【答案】B.3.设c b a 、、是空间三条直线，α、β是空间两个平面，则下列命题中，命题不成立的是（ ）A.当c α⊥时，若c β⊥，则α∥βB.当b β⊥，若c α⊥，则b ∥cC.当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D.当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】当c α⊥时，若c β⊥，则由平面与平行的判定定理知α∥β，故A 正确；当b β⊥，若c α⊥，由直线与平面垂直的判定定理知b ∥c ；当α⊂b 时，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则由三垂线定理知a b ⊥，故C 正确；当α⊂b ，且α⊄c 事，若c ∥α，则b 与c 平行或异面，故D 错误.【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.【答案】D.4.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在（ ）A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线AC 上D.△ABC 内部解析：【知识点】直线和平面垂直的概念辨析.【解题过程】由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.BCC⊥平面ABC，再由线面【思路点拨】由题意结合线面垂直的判定可得平面1垂直的性质可得1C在底面ABC的射影H的位置.【答案】A.⊥，平行则四边形ABCD一5.已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC BD定是.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】根据题意，画出图形如图.∵PA垂直平行四边形ABCD所在平面，∴PA⊥BD，又∵PC⊥BD，PA⊂平面ABCD，PC⊂平面ABCD，PA∩PC=P，∴BD⊥平面PA C.又∵AC⊂平面PAC，∴AC⊥B D.又ABCD是平行四边形，∴平行四边形一定是菱形.综上所述，答案为菱形.【思路点拨】根据题意，画出图形，利用线面平行的判定定理和性质定理可知AC⊥BD，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论.【答案】菱形.6.四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是点A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形.则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】四棱锥P－ABCD的直观图如图所示，结合图形可知，满足题中要求的有PA⊥BC、PA⊥CD、AB⊥PD、BD⊥PA、BD⊥PC、AD⊥PB，共6对.【思路点拨】由题设知四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，ABCD是边长为a 的正方形，PA=a，由此能求出在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线有多少对.【答案】6.7.在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的的高是_______，体积等于________.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】依题意，.32260sin21=⨯⨯⨯=ABCS△∵PA⊥底面ABC，∴PA是三棱锥的高，∴h=PA=3，∴.3333131=⨯⨯=⨯⨯=-PASVABCABCP△【思路点拨】熟悉空间中的线面关系的概念和定理. 【答案】3；.38.在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝12BC，G是BC的中点.求证：(1)AB∥平面DEG；(2)EG⊥平面BDF.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】证明：(1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥B C. 又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD//BG且AD=BG，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG .(2)连接GF ，四边形ADFE 是矩形，∵DF ∥AE ，AE ⊥底面BEFC ，∴DF ⊥平面BCFE ，EG ⊂平面BCFE ，∴DF ⊥EG .∵EF =BG 且EF //BG ，EF ＝BE ，∴四边形BGFE 为菱形，∴BF ⊥EG ，又BF ∩DF ＝F ，BF ⊂平面BFD ，DF ⊂平面BFD ，∴EG ⊥平面BDF .【思路点拨】判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【答案】见解题过程.9.如图所示，在平面β内有ABC ∆，在平面β外有点S ，斜线AC SA ⊥，BC SB ⊥，且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，设点S 与平面β的距离为cm 4，BC AC ⊥，且cm AB 6=.求点S 与直线AB 的距离.【知识点】空间中的线面关系.【数学思想】【解题过程】作SD ⊥平面β，垂足为D ，连DA 、DB . ∵AC SA ⊥，BC DB ⊥，∴由三垂线定理的逆定理，有：AC DA ⊥，BC DB ⊥，又BC AC ⊥，∴ACBD 为矩形.又∵SB SA =，∴DB DA =，∴ACBD 为正方形，∴AB 、CD 互相垂直平分.设O 为AB 、CD 的交点，连结SO ，根据三垂线定理，有AB SO ⊥，则SO 为S 到AB 的距离.在SOD Rt ∆中，cm SD 4=，cm AB DO 321==，∴cm SO 5=. 因此，点S 到AB 的距离为cm 5.【思路点拨】由点S 向平面β引垂线，考查垂足D 的位置，连DB 、DA ，推得AC DA ⊥，BC DB ⊥，又︒=∠90ACB ，故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点. 由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求.(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离.(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算.【答案】5cm.能力型 师生共研10.一个盛满水的三棱锥容器S －ABC ，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D ，E ，F ，且SD ∶DA ＝SE ∶EB ＝CF ∶FS ＝2∶1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的______倍.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】设点F到平面SDE的距离为h1，点C到平面SAB的距离为h2，当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多.V F－SDE V C－SAB ＝13S△SDE·h113S△SAB·h2＝13·SD·SE·sin∠DSE·h113·SA·SB·sin∠ASB·h2＝SDSA·SESB·h1h2＝23×23×13＝427.故最多可盛原来水的1－427＝2327.【思路点拨】由实际情况可以得到，当DEF面与地面平行时盛水最多，由图了利用相似比求得V F－SDEV C－SAB，从而求得最大值.【答案】2327.探究型多维突破11.如果平面α与α外一条直线a都垂直b，那么α//a.已知：直线α⊄a，ba⊥，α⊥b.求证：α//a.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】证明：(1)如图，若a与b相交，则由a、b确定平面β，设'a=αβ .αααβαα////,,'''''aaaaaabaababab⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵.(2)如图，若a与b不相交，则在a上任取一点A，过A作bb//'，a、'b确定平面β，设'aβα=.αααβααα////,,////'''''''''''a a a a a a a b a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵【思路点拨】若证线面平行，只须设法在平面α内找到一条直线'a ，使得'//a a ，由线面平行判定定理得证.【答案】见解题过程.自助餐12.如图所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点.(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D -BCG 的体积.附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高.【知识点】空间中的线面关系.【解题过程】(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝D C.又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同理BG ⊥A D.又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BG C.又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于点O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BD C.又G为AD的中点，所以G到平面BDC的距离h是AO长度的一半. 在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以V D-BCG＝V G-BCD＝13·S△DBC·h＝13×12·BD·BC·sin 120°·32＝12.【思路点拨】1.利用等腰三角形的三线合一性质是突破点；2.利用比例转化体积的标准之一是方便求高.【答案】（1）见解题过程；（2）1 2.。

高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案一、教学内容分析《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。

其中核心内容为——直线与平面垂直的定义和判定定理。

本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学习“平面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务.二、教学目标的确定1.课程目标(1)对空间几何体整体观察，认识空间图形;(2)以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;(3)能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定;(4)了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。

2.单元教学目标本单元将在前一单元整体观察、认识几何体的基础上，以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，能进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述集合对象的位置关系，初步体验公理化思想，养成逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.具体目标是：(1)点、线、面之间的位置关系①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，了解公理1、公理2、公理3、公理4以及等角定理作为推理的依据。

高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)《普通高中课程标准实验教科书—数学必修（二）》人教A版直线与平面垂直的判定姓名：单位：《直线与平面垂直的判定（第一课时）》教学设计一、内容和内容解析：本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书——数学必修（二）》第二章第三节：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时），属于新授概念课.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务.线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.通过本节课的学习与研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法.因此学习这部分知识有着非常重要的意义.二、目标和目标解析：《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：① 在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义；② 通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理；③ 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.本节课的课程标准分解如下：（1）从认知角度进行分解：（2）从能力角度进行分解：根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为：（1）在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：评价任务一：能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象，并将其抽象出直线与平面垂直的概念；评价任务二：学生积极参与，通过影子实验，在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成探索.评价任务三：能够从正反例中，通过对比归纳出直线与平面垂直的定义，并用自己的语言描述定义内容.评价任务四：能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论，并写出符号语言，了解定义的双向叙述功能.评价任务五：能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设. 评价任务六：能在实验操作中，确认直线与平面垂直的判定定理，能用自己的语言叙述出定理内容并写出相应的符号语言.评价任务七：能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.三、教学问题诊断分析：1、学生已有基础：学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.2、学生面临的问题：高一学生仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维.认识到这点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程.因此我确定本节课的难点为：直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理.因此，在教学过程中我抓住学生好奇心强，学习积极性较高的特点，我让学生以小组为单位进行合作，通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程，在形成理解上的可能会有思维障碍，所以强调关于定理的证明，会在后续学习中获得.四、教学策略分析：新课程标准明确指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.因此本节课在“目标导引教学”这一理念的指引下，主要采用的是引导发现教学法.教学中，我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象，抽象出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点，从而自发地生成定义；接着让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法，通过折纸活动，让学生在游戏中学习，在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动，通过活动引导学生进行观察、思考、操作、归纳、应用，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，深刻体会到了“做数学、学数学”的乐趣，最终达成了本节课的学习目标.五、课前准备：多媒体课件、三角形纸片（多种形状）、三角板、手电筒、彩色手环、笔（表直线）、纸（表平面）等.六、教学过程：验证跨栏的支架与地面是否垂直，七、教学设计说明：兴趣是最好的老师，它是学生主动学习、积极思考、勇于探索的强大内驱力.因此，本节课我在“目标导引教学”理念及“数学源于生活、又应用于生活”的理念的指引下，以激发学生的学习兴趣为出发点，设置了一系列的动手操作、自主探索的活动，引导学生通过感受、思考、交流、总结，真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有.课堂上加入了多种探究实验与动手操作活动，增加了学生学习的兴趣；加入了影子实验、折纸环节，使学生体会到了学数学的乐趣，达到了让教学生活化、让教学活动化、让教学趣味化的目的.符合新课标中“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”的要求.此外，在整个教学过程中，“学生是学习的主体”这一理念，“让不同的人在数学上得到不同的发展”的理念都得到了充分的体现.总之，本节课的设计使学生的情感和能力都得到了一定的发展，成长过程和长期发展也得到了一定的关注，体现了新课程的要求.八、教学反思：本节课的设计从理解数学、理解学生、理解教学三个维度出发，对高中数学课程结构体系及本节课教学重点的知识进行了较为系统的分析；对学生学习本节课的难点进行了深入思考，并精心设计了重点、难点知识的教学解释；评估了学生的知识理解水平等方面，以达到教学设计的科学、完整和精细，具有一定的可操作性和调控性.本节课树立理解数学、理解学生、理解教学的观念来设计课堂教学，本质与核心是“以学生的发展为本”，这是时代发展的要求.这就要求教师在教学设计中，不仅要看到所教的学科知识，而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用；不仅要研究学生的发展规律，思考学习与发展的关系，而且要研究学生是如何学习的；不仅要以适合学生认知特点的方式传《直线与平面垂直（第一课时）》教学设计授数学知识，而且要在教学过程中时刻体现思想性，从而在提高学生在知识水平的同时，提高他们的素质，丰富他们的精神世界.点评这堂课给人的感觉是充满青春的朝气，一气呵成，如沐春风。