直线与平面的位置关系---垂直导学案Word版

2.3.3-4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质导学案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1罗田一中高一数学必修2导学案2.3.3～4直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质编者：刘秀丹 审核：杨德兵 学生____________一．学习目标1.掌握直线与平面垂直的性质定理及平面与平面垂直的性质定理的应用。

2.进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想。

3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律，培养空间想象能力、逻辑思维能力和类比思维能力。

二．自学导引1.直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________. （线面垂直→线线平行）.符号表示：_______________________________.拓展:直线与平面垂直的其它性质：⑴ 直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线；⑵ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行2.平面与平面垂直的性质定理： _________________________________________ __________________________________________.（面面垂直→线面垂直） 符号表示：拓展:两个平面垂直的其它性质：⑴ 如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；⑵ 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面； ⑶ 三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.三.典型例题：题型一 直线与平面垂直的性质的应用例一．已知,l CA αβα⋂=⊥与A ，B ,CB a a AB βα⊥⊂⊥于点，，求证//a l［规律方法］利用线面垂直的性质证明线线平行，关键是找（构造）出平面，使所证直线都与该平面垂直。

［变式1］已知一条直线l 和一个平面α平行，求证:直线l 上各点到平面α的距离相等题型二 平面与平面垂直的性质的应用例二．在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是等边三角形，平面VAD ⊥底面ABCD.(1) 求证：AB ⊥平面VAD.(2) 求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的正切值。

《8.6.2 直线与平面垂直》教案第2课时直线与平面垂直的性质【教材分析】在直线与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线垂直关系延续和提高，也是后续研究平面与平面垂直的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。

【教学目标与核心素养】课程目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：直线和平面垂直的性质定理.难点：直线和平面垂直的性质定理的应用.【教学过程】一、情景导入问题1：长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？问题2：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本153-155页，思考并完成以下问题1、垂直与同一条直线的两条直线有什么位置关系？2、与线面垂直有关的结论有哪些？3、怎样定义直线与平面的距离、平面与平面的距离？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、直线与平面平行的性质定理常用结论:(1)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.(2)已知a⊥α.若平面α外的直线b与直线a垂直，则b//α.(3)已知a⊥α.β//α，则a⊥β.2、距离(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.四、典例分析、举一反三题型一直线与平面垂直的性质定理的应用例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证：（1）MN∥AD1;（2）M 是AB 的中点. 【答案】证明见解析【解析】（1）因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,所以AD 1⊥A 1D.又因为CD ⊥平面ADD 1A 1,AD 1⊂平面ADD 1A 1,所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D∩CD=D,所以AD 1⊥平面A 1DC. 又因为MN ⊥平面A 1DC,所以MN ∥AD 1. (2)设AD 1∩A 1D=O,连接ON,在△A 1DC 中, A 1O=OD,A 1N=NC.所以ONCDAB,即ON ∥AM.又因为MN ∥OA,所以四边形AMNO 为平行四边形,所以ON=AM. 因为ON=AB,所以AM=AB,即M 是AB 的中点.解题技巧（证明两条直线平行的常见方法） (1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 跟踪训练一1、如图，已知平面α∩平面β=l ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，B 为垂足，直线a ⊂β，a ⊥AB.求证：a ∥l .12121212【答案】证明见解析【解析】因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a. 又因为a⊥AB，AB∩EB=B，所以a⊥平面ABE.因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l. 又因为EA∩EB=E，所以l⊥平面ABE.所以a∥l.题型二空间中的距离问题例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.【答案】18.【解析】由长方体ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1 E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，AB=3，所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=13×3×6×3=18.解题技巧 (空间中距离的转化)（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.跟踪训练二1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E 是BC的中点，M是PD的中点.(1)求证：AE⊥平面PAD.(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.【答案】(1)证明见解析，(2)√33.【解析】解析 (1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，因为AD∥BC，所以AE⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.(2)因为AB=AP=2，则AD=2，AE=√3，所以VP-ACM =VC-PAM= 13S△PAM·AE= 13×12×12×2×2×√3＝√33五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本155页练习，162页习题8.6的13、14、15、16题.【教学反思】通过本节课性质定理的学习，使学生进一步了解线线垂直和线面垂直时刻相互转化的，即空间问题和平面问题可以相互转化.《8.6.2 直线与平面垂直》教案第2课时直线与平面垂直的性质【学习目标】知识目标1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：直线和平面垂直的性质定理.【学习难点】：直线和平面垂直的性质定理的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本153-155页，填写。

一数学 SX-10-01-0062.3 《直线、平面垂直的判定及其性质》导学案【学习目标】（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论；（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理；（5）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用【重点难点】重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究；平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小【学法指导】实物观察，类比归纳，语言表达【知识链接】空间点、直线、平面之间的位置关系【学习过程】一.预习自学1.线面垂直定义：如果一条直线l和平面α内的，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作，其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的, 直线与平面的交点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理：3.平面的斜线：4.直线和平面所成的角：5.二面角：6.二面角的平面角：7．面面垂直两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.记作两平面垂直的判定定理：8.直线和平面垂直的性质定理：9.两平面垂直的性质定理：二.典型例题例1. 已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a ∥直线b ，直线a ⊥平面α，则直线b ⊥平面α”例2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1 D 1中, 求AC 1与面ADD 1 A 1所成的角的正弦值为 .例3.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C例4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点 （1）求证：AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角；（3）证明平面AED ⊥平面A 1FD 1例5.正四棱锥P -ABCD 中，AB =4，高为2，求二面角P -BC -D 的大小.三.课堂检测1D A BCO E P 1.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线 （ ） A ．只有一条 B ．有无数条 C ．所有直线 D ．不存在 2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．1个或无数个 3.已知直线m ⊥平面α，直线⊂n 平面β，下列说法正确的有 （ ）①若n m ⊥则,//βα ②若βα⊥，则m //n ③若m //n ，则βα⊥④若,//m n αβ⊥则A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等 ⑤直线l 垂直于平面α内的无数条直线,则l ⊥α5.在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有A. SG ⊥平面EFGB. SD ⊥平面EFGC. FG ⊥平面SEFD. GD ⊥平面SEF6.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 17.在三棱锥S —ABC 中，N 是S 在底面ABC 上的射影，且N 在△ABC 的AB 边的高CD 上，点M ∈SC ，截面MAB 和底面ABC 所成的二面角M —AB —C 等于∠NSC ，求证：SC ⊥截面MAB 8.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是 PC 的中点.求证：平面P AC ⊥平面BDE ．四.归纳小结五.课外作业 A ．若αα⊥⊥b a b a 则,,// B ．若b a b a //,//,,则βαβα⊥⊥C ．若b a b a //,//,//,//则βαβαD ．若b a b a ⊥⊥⊥⊥则,,,βαβα2. A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是面β内一点，PB ⊥l 于点B ，P A 和l 所成的角为450，P A 和面α所成的角为300，则二面角α—l —β 的大小为（ ） A ．450B ．300C ．600D ．7503.若直线l 与平面所成角为3π，直线a 在平面内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 0， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π 0， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π 3π， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 3π， 4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD.5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、CC 1的中点. 求证：面EFG ⊥面AA 1C 1C .6.如图，在正三棱锥S —ABC 中，E 、F 分别是侧棱SA 、SB 的中点，且平面CEF ⊥平面SAB . （1）若G 为EF 的中点，求证：CG ⊥平面SAB ；（2）求此三棱锥的侧面积与底面积的比值.7.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD （1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论;（2）当a =4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ;（3）若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值范围.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质答案二.典型例题例2.例4.（2）900 例5. 450三.课堂检测1.B2.D3.B4.②④5.A6. AC BD ⊥五.课外作业1.C2.A3.C 6.(2) 7.(1) 2a = (2)M 为中点时 （3）4a ≥。

直线与平面垂直的判定学案【教学目标】知识与技能1、掌握直线与平面垂直的定义及判定定理.2、使学生掌握判定直线与平面垂直的方法.过程与方法培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论情感、态度与价值观在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣，从而培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质.培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.重点：直线与平面垂直的定义及判定定理.难点：直线与平面垂直的定义及判定定理和线面角的求法.一创设情景直观感知请同学们想一下旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？二探究新知探究一直线与平面垂直的定义思考：当太阳的角度发生变化时，旗杆与它的影子的位置关系会发生变化吗？总结：如何定义直线与平面垂直？________________________________________________________________探究二思考：除定义外，有没有比较方便可行的方法来判断一条直线与一个平面垂直呢？活动：请同学们合作完成课本的学生活动折纸实验总结：直线与平面垂直的判定定理：探究三阅读课本第指出下图所体现的知识三尝试应用如图,在三棱锥V-ABC中,VA＝VC,AB＝BC, K是AC的中点.求证：AC⊥平面VKB．四典例示范例1 如图，已知a∥b、a⊥α.求证：b⊥α.例2、如图，正方体ABCD-中，求（1）直线AB和平面所成的角。

（2）直线AB和平面所成的角。

AVBCKa bA BCDA BCD五 达标检测（你一定可以做的很好！相信自己！）1在下图的长方体中，请列举与平面ABCD 垂直的直线。

并说明这些直线有怎样的位置关系？2 如图，圆O 所在一平面为 ａ，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA ⊥平面a 求证：B C ⊥平面PAC3.如图：正方体ABCD-ABCD 中，求:（1）AC 与面ABCD 所成的角（2）AC 与面BBDD 所成的角（3）AC 与面BBCC 所成的角 （4）AC 与面ABCD 所成的角六 课堂小结请同学们锻炼一下自己的概括能力吧！B A ′C ′D ′B A C D P A B C OA B C DA BCD。

2.3.1直线与平面垂直的判定1、认真研读课本6467p p -的内容，完成课前预习，熟记有关知识概念。

2、对不理解的内容和存在的问题先标注，准备课内小组探究，答疑解惑。

【学习目标】1、掌握并会应用直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定． 2、了解斜线在平面上的射影与直线和平面所成的角。

【预习案】1、直线与平面垂直的定义3、直线与平面所成的角 作出图： 叫做这个平面的斜线； 叫做斜足。

叫做斜线在这个平面上的射影； 叫做这条直线和这个平面所成的角。

范围 ；90︒时，直线与平面 ；0︒时，直线与平面 。

4、在正方体1111ABCD A BC D -中，如图（1）1,AA ABCD BD ABCD⊥⊂∴平面平面（2）1AA BD ⊥ ，，且11A BD ACC ∴⊥平面【探究案】探究一： 如图，已知//,a b a α⊥ ，求证：b a ⊥ 。

探究二： 如图，在三棱锥V-ABC 中 ，VA ＝VC,AB ＝BC,K 是AC 的中点。

求证：（1）AC ⊥平面VKB （2）VB ⊥AC【练习案】1已知直线,a b 和平面α，下列推理错误的是（ ）A 、a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭B 、//a b a b αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭C 、//a b a a b ααα⊥⎫⇒⊂⎬⊥⎭或 D 、//a a b b αα⎫⇒⊥⎬⊂⎭2、过ABC 所在的平面α外的一点P ，作PO α⊥，垂足是O ，连接,,PA PB PC 。

（1）若,90PA PB PC C ==∠=︒，则点O 是AB 的 点。

（2）若,PA PB PC ==，则点O 是ABC 的 心。

（3）若,,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥则点O 是ABC 的 心。

直线与平面垂直主备人： 审核人：高一数学组第一部分 课前延伸一、学习目标知识与技能：理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。

过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。

情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

二、新课预习阅读课本第47页-第48页，回答下列问题：1、长方体中哪些棱是互相平行的？哪些棱是互相垂直的？2、课本第48页图1-77灯塔与地面有什么位置关系？3、长方体的一条侧棱与底面有什么位置关系？4、什么是棱锥、圆锥的高及定点到底面的距离？三、课前热身已知直线a , b 和平面α，下列推论错误的是（A ）a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭（B ）//a b a b αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭（C ）//或a b a a b ααα⊥⎫⇒⊂⎬⊥⎭（D ）////a a b b αα⎫⇒⎬⊂⎭四、预习反思：通过自主学习，你认为这部分知识的疑点、难点有哪些？未能解决的问题有哪些？请记录下来上课时小组内一起解决，比比看谁找出的问题最多。

第二部分课内探究一、导入新课，提出目标通过预习我们知道了什么是直线与平面垂直，那么我们怎么判断一条直线与平面垂直呢？二、实验探究，合作交流探究一：一条直线垂直于平面内的一条直线，这条直线一定垂直于这个平面吗？一条直线垂直于平面内的两条平行直线，这条直线一定垂直于这个平面？一条直线垂直于平面内的无数条直线，这条直线一定垂直于这个平面吗？一条直线垂直于平面内的两条相交直线，这条直线一定垂直于这个平面吗？直线与平面垂直的判定定理：Array探究二：（1）如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线和这个平面的位置关系如何？（2）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线是什么位置关系？已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B；求证：l∥m探究三：垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？如何定义两个平行平面的距离？例1过一点和已知平面垂直的直线只有一条。

直线与平面垂直的性质一、学习目标：1、理解并能证明直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理；2、能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题.二、学习重、难点：重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用；难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透.三、学法指导：1、阅读课本，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标；2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本中，多复习记忆.四、知识链接：1、判断直线与平面垂直的方法：（1）定义法直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的都垂直，我们就说直线l 与平面αa l aα⊂⎫⇒⎬⊥⎭任意（2直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直.l al ba lbααα⎫⊥⎪⊥⎪⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊂⎪⎪⎭（3）间接法如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.a baα⎫⇒⎬⊥⎭∥2、知识拓展：（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.五、学习过程：【自主探究】问题1：如图，长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AA 、1BB 、1CC 、1DD 所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：如图，已知a α⊥，b α⊥.求证：a ∥b .【探究结论】直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号表示:a ab b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ 思想：线面垂直⇒线线平行. 作用：实现垂直向平行的转化. 【练习】课本P71页 练习 第1、2题 1、判断题：（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行； （ ） （2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行； （ ） （3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.（ ） 2、已知直线a ，b 和平面α，且a b ⊥，a α⊥，则b 与α的位置关系是 归纳小结：（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即：a a αβ⊥⎫⇒⎬⊥⎭（2）垂直于同一个平面的两条直线平行，即：a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭（3）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线，即：l a αα⊥⎫⇒⎬⊂⎭【例题】如图，已知l αβ=，EA α⊥于点A ，EB β⊥于点B ，a α⊂，a AB ⊥.αab求证：a l ∥.反思：当题中垂直条件很多，而又要证明两条直线的平行关系时，就要考虑直线与平面平行的性质定理，从而完成垂直向平行的转化. 六、达标检测：1、若b a ⊥，b α⊥，则直线a 与平面α的关系是（ ）A. a α∥B. a α⊥C. a α⊂或a α∥D. a α⊂2、如图，已知PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，则图中直角三角形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43、已知直线a 、b 和平面α、β，且a α⊥，那么（ ） A. b b a α⇒⊥∥ B. b a ⊥⇒b α∥ C. a βαβ⊥⇒∥D. a βαβφ⊄⇒≠4、下列命题中，正确的是（ ）A. 过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B. 过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C. 若a ，b 异面，则过a 一定可作一个平面与b 垂直D. 若a ，b 异面，则过不在a ,b 上的点M ，一定可以作一个平面和a ,b 都垂直. 5、如图，正方体1111ABCD A B C D -中，EF 与异面直线AC 、1A D 都垂直相交，P A BCl求证：1EF BD ∥.七、小结: 1、小结：（1）直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号表示:a ab b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ 思想：线面垂直⇒线线平行. 作用：实现垂直向平行的转化.（2）线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。

第八章第五节空间直线、平面的垂直关系一、学习目标【课标解读】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中直线、平面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.【衍生考点】1.与线、面垂直(平行)相关命题的判断2.线面垂直的判定及性质3.面面垂直的判定及性质4.平行、垂直关系的综合应用二、相关知识回顾1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.“任意”与“所有”是同义的,但与“无数”不同如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么a⋂b“相交”条件至关重要该直线与此平面垂直微点拨定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.微思考1当直线m与平面α不垂直时,在α内是否一定存在无数条直线与m垂直?微思考2若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗?2.直线和平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的所成的叫作这条直线和这个平面所成的角.(2)线面角的范围:.微点拨一条直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是0°的角.加上斜线与平面所成的角,故线面角范围是[0°,90°].3.二面角(1)定义:从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角;(2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作的两条射线,这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角.(3)二面角的范围:[0°,180°].微点拨二面角的平面角定义中有三个关键词:一是“棱上一点”,二是“在两个半平面内”,三是“作棱的垂线”.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理定理文字语言图形表示符号表示名称 判定 定理如果一个平面经过另一个平面的一条 ,那么这两个平面互相垂直}⇒α⊥β性质 定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直一是“在面内”,二是“垂直于交线”}⇒l ⊥α微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.微思考若平面α⊥β,且α∩β=l ,若直线m ⊥l ,则m 与平面β一定垂直吗?常用结论1.直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 2.三垂线定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 三、考点精讲精练考点一 与直线、平面垂直(平行)相关命题的判断 典例突破例1.(1)(2021四川凉山州三模)已知三条不重合的直线m ,n ,l ,三个不重合的平面α,β,γ,下列命题中正确的是( )A.{m ⊥l ,n ⊥l ⇒m ∥nB.{m ⊥α,m ⊥β⇒α∥β C.{α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β D.{l ⊥α,l ⊥n⇒n ∥α (2)(2021山西太原二模)如图所示,在三棱锥P-ABC 中,P A ⊥BC 且P A=BC=1,PB=AC=√2,PC=√3,则下列命题不正确的是( ) A.平面P AB ⊥平面PBC B.平面P AB ⊥平面ABC C.平面P AC ⊥平面PBC D.平面P AC ⊥平面ABC对点训练1(1)(2021山东青岛高三期末)设α,β是两个不同的平面,l 是一条直线,以下结论正确的是( ) A.若l ⊥α,α∥β,则l ⊥β B.若l ∥α,l ∥β,则α∥β C.若l ⊥α,α⊥β,则l ⫋β D.若l ∥α,α⊥β,则l ⊥β突破技巧判断与空间平行、垂直关系有关的命题真假的方法 (1)借助几何图形来说明线面关系.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明.(2)(2021湖南师大附中高三月考)若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊥α,n⫋β,则“m∥n”是“α⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件考点二直线、平面垂直的判定及性质(多考向探究)考向1.直线与平面垂直的判定典例突破例2.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2√2,P A=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.对点训练2如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF.考向2.直线与平面垂直的性质典例突破例3.如图,P A⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,P A=AB=1,AD=2,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.(1)求三棱锥E-P AD的体积;(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有AF⊥PE.对点训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为D1D的中点,O为底面ABCD的中心,求证:B1O⊥AP.考点三平面与平面垂直的判定及性质典例突破例4.(2021新高考Ⅰ,20)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.对点训练4(2021陕西咸阳模拟)如图,四边形ABCD为菱形,四边形ADEF为正方形,DE=BD=1,CE=√2,点G为AD的中点,点H为DE的中点.(1)求证:平面ADEF⊥平面ABCD且FH⊥BE;(2)求三棱锥B-CEG的体积.考点四平行、垂直关系的综合应用典例突破例5.在多面体ABCDEF中,BC∥EF,BF=√6,△ABC是边长为2的等边三角形,四边形ACDF是菱形,∠F AC=60°,M,N分别是AB,DF的中点.(1)求证:MN∥平面AEF;(2)求证:平面ABC⊥平面ACDF.对点训练5(2021西南交大附中高三月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,AD⊥AB,AB=AD=PD=12CD,PD⊥平面ABCD.规律方法用几何法证明空间中的平行与垂直关系,关键是灵活运用各种平行(垂直)关系的转化:(1)证明:平面PBD⊥平面PBC;(2)是否存在一点E,使得P A∥平面BDE?若存在,请说明点E的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.。

《8.6.2 直线与平面垂直》教学设计第2课时直线与平面垂直的性质【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要直线与平面垂直的性质及其应用，直线到平面的距离、两平行平面间的距离。

课本从长方体的侧棱垂直与底面，考虑侧棱之间的关系入手，通过用反证法证明垂直与一个平面的两直线平行，引入直线与平面垂直的性质定理，通过例题引入直线到平面的距离的定义以及两平行平面之间的距离定义。

直线与平面垂直的性质定理是判断两直线平行的一种方法。

【教学目标与核心素养】【教学重点】：直线与平面平行的性质定理，直线到平面的距离，两平行平面的距离；【教学难点】：用直线与平面平行的性质定理解决相关问题。

【教学过程】2.直线与平面垂直的判定定理【答案】一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

二、探索新知观察：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1所在直线与底面ABCD 的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？【答案】平行思考：如图，已知直线a ,b 和平面α，如果a ⊥α,b ⊥α，则那么直线a ,b 一定平行吗？已知：a ⊥α， b ⊥α 求证：a ∥b ． 证明：假设b 不平行于a,是经过点O 与直线a 平行的直线。

因为。

即经过同一个点O 的两条直线b,c 都垂直于平面，这是不可能的。

因此，a//b.1.直线和平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言：图形语言：作用：证线线平行。

例1.如图，直线平行于平面，求证：直线上各点到平面的距通过观察与思考，得到直线与平面平行性质定理，的提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过符号语言与图形语言，让学生进一步理解直线与平面垂直的性质定理，提高学生的概括能力。

c O b ,=α αα⊥⊥c a c a 所以,,//αb a b a //,⇒⊥⊥ααl αl α离相等。

ABCDα直线与平面垂直的判定（一）学习目标2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其简单应用.学习过程1.当两条直线的夹角为 ，这两条直线 互相垂直，它们的位置关系是 或 .2.预习教材6466~P P ,找出疑惑之处. 二．新课导学探究一：直线与平面垂直的概念 思考：生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？ 我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义.反思：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直?③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？探究二：直线与平面垂直的判定定理准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕A D ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题3：①如何翻折才能使折痕A D 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕A D B C ⊥，翻折之后垂直关系，即A D C D ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？思考：如图，有一根旗杆A B 高8m ，它的顶端A 挂有两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上),C D .如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？【练一练】1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由.2.判断正误:如果三条共点直线两两垂图1D CAB图2DBA CAA 'BB 'C 'DD 'A VBCKC 直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ( ) 例1：已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．例2：正方体////ABCD A B C D -中，求证://AC BDD B ⊥.练一练 1. 如图，空间中直线l 和三角形的两边A C ,B C 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边A B 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定2.如图，直四棱柱////ABCD A B C D - 中，底面四边形A B C D 满足什么条件时,///A CB D ⊥？三．总结提升四．课后作业1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面A BC D 垂直．（2）正三棱锥P A B C -中，M 为棱B C 的中点，则棱B C 和平面P A M 垂直． 2.如图，圆O 所在一平面为α，A B 是 圆O 的直径，C 是圆周上一点,且P A A C ⊥, P A A B ⊥,求证：（1）P A B C ⊥； （2）B C ⊥平面PAC ；（3）图中哪些三角形是直角三角形.3.如图，在三棱锥V A B C -中，V A V C =，A B B C =．求证：V B A C ⊥．变式引申 如图，在三棱锥V A B C -中，V A V C =，A B B C =，K 是A C 的中点．若E 、F 分别是A B 、B C 的中点，试判断直线E F 与平面V K B 的位置关系．ACEFK V B。

§直线与平面垂直的概念和判定一、学习目标：理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。

二、教学重难点：直线与平面垂直的判定定理。

三、学习过程：复习导入：回忆直线与平面的位置关系有哪几种？如何用符号语言表示？直线与直线存在有垂直关系，直线与平面也存在有垂直关系，今天我们就从理论上加以认识.新课导学：✐知识探究1：直线与平面垂直的概念观察：天安门前竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似的实例吗？活动：（1）将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？（2）如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？讨论：上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系，称为直线与平面垂直.一般地，直线与平面垂直基本特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？结论：定义--直线与这个平面垂直：画法：记法：✐知识探究2：直线与平面垂直的判定问题：用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？能不能有更简便的方法呢？讨论：我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直.（1）如果直线l与平面α内的一条直线垂直，能保证l⊥α吗？（演示）（2）如果直线l与平面α内的两条直线垂直，能保证l⊥α吗？（演示）实验：将一块三角形纸片ABC 沿折痕AD 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上( BD, DC 与桌面接触).观察折痕AD 与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕AD 与桌面垂直呢？结论：直线和平面垂直的判定定理：理解：符号表示：✐知识迁移思考：有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？旗杆脚不在同一直线上）,归纳小结：直线与平面垂直的定义和判定定理。

高一数学必修4 sx-13-04-003 觉得为时已晚的时候，恰恰是最早的时候。

《§ 2. 3. 1直线与平面垂直的判定》导学案编写：赵刚审稿人：高一数学组编写时间：2014年4月15 II班级组别组名姓名【学习目标】：.1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【学习重、难点】学习重点:：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

学习难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

【学法指导及要求】：1、先通读教材P64—P67页，勾画出本节内容的基本概念，找出问题并进行标注，然后再精读教材或查阅资料，解决问题。

2、认真分析研究例题。

3、要求独立完成预习案，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号。

【知识链接】1:当两条直线的夹角为,这两条直线互相垂直；它们的位置关系是或2：如图10-1,直线aua,请你任意作出至少3条和a垂直的直线，并感觉作出的直线中有和平面a • 垂直的直线吗？［学习过程］/a /1.直线与平面垂直定义(1)请同学们观察图片，说出旗杆与地面、树干与地面的位置有什么关系？(2)请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？(3)思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？有什么生活实例能验证这一关系呢？/第1页共1页直线和平面垂直的定义： ________________________________________________图示：用符号语言表示为： ____________________________________________________2.直线与平面垂直的判定定理的探究（1）学校广场上竖了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好办法？（2）如图，观察跨栏、简易木架等实物，你认为其竖杆能竖直立于地面的原因是什么?（3）折纸试验如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验: 过AABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考:①折痕AD与桌面垂直吗?②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?直线和平面垂直的判定定理:图不:用符号语言表示为：3 .斜线，垂线，射影的定义。