高中数学8.6.1直线与直线垂直8.6.2直线与平面垂直第1课时学案新人教A版必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直（第1课时）教学设计课题8.6.2直线与平面垂直（第1课时）教学目标 1.通过实例感知、操作，抽象归纳出线面垂直的定义；了解点到平面的距离概念2.通过感知、确认发现线面垂直的判定定理，能够利用判定定理证明直线与平面垂直.教材分析直线与平面垂直是直线与平面相交中一种特殊情况，它是空间直线与直线位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心.直线与平面垂直也是定义点到平面的距离、直线与平面所成角、直线到平面的距离与两个平行平面之间的距离等内容的基础，具有承上启下的作用.直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法.直线与平面垂直的判定定理把定义中要求的与任意一条直线转化成只要求与两条相交直线垂直，其中蕴含了由复杂向简单，无限问题向有限问题，直线与平面垂直向直线与直线垂直的转化.基于以上分析，确定本节课的教学重点：①直线与平面垂直定义的抽象②直线与平面垂直判定定理的发现与验证.教学手段借助生活中大量实物图片，直观想象，动手操作抽象概括直线与平面垂直的定义，对于直线与平面垂直的判定定理，让学生通过探究和动手实践，初步认识到当直线与平面内两条相交直线垂直时，直线与这个平面垂直.但在缺少逻辑推证的情况下，如果马上把这个猜想作为定理来对待，学生可能会怀疑解困的正确性.教学时需要引导学生通过亲身反复验证并结合直线与平面垂直的定义进行思辨来解决以上问题，也可以结合平面向量基本定理，从向量的角度让学生体会利用“两条相交直线”来判断的合理性.本节课的教学难点：发现并验证直线与平面垂直的判定定理.（一）创设情境感知，抽象出直线与平面垂直的定义问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图片中旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那么怎么去定义直线与平面垂直呢？预设学生的可能回答。

8．6 空间直线、平面的垂直 8．6.1 直线与直线垂直 8．6.2 直线与平面垂直第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题： 1．异面直线所成的角的定义是什么？ 2．异面直线所成的角的范围是什么？ 3．异面直线垂直的定理是什么？ 4．直线与平面垂直的定义是什么？ 5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b 垂直，记作a ⊥b ．(3)范围：设θ为异面直线a 与b 所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨] 当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．()(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：CB1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度在正方体ABCD-A数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD 所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．∥CG，因为M，N分解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF别是BF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角．解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°， 即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 ．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交． 又因为m ⊂α，所以l 与m 相交或异面． 由直线与平面垂直的定义，可知l ⊥m . 故l 与m 不可能平行．(2)对于A ，直线l ⊥m ，m 并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B ，因为l ⊥α，则l 垂直于α内任意一条直线，又l ∥m ，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m ⊥α，故B 正确；对于C ，也有可能是l ，m 异面；对于D ，l ，m 还可能相交或异面．【答案】 (1)A (2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC.又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面P AD，AG⊂平面P AD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，又P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥P A ， 因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，又FH ⊂平面P AC ， 所以BD ⊥FH .2．[变条件]若本例中P A ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG . 证明：因为P A ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥P A ， 又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又P A ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面P AD ，又AG ⊂平面P AD ， 所以AG ⊥DC ，因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ， 又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ， 所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ， 所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 易知CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线()A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC 所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，因为AP⊂平面P AC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面ABCD，且P A＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，P A∩PQ＝P，则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：2B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是9.如图，在直三棱柱ABC-ABC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ， 所以AD ⊥C 1E .10．如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF ， 在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，所以EF ∥CD ，所以∠BEF (或其补角)即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ， 所以AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. [B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得 cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A.因为在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点， 所以在折起过程中，D 点在平面ABCE 上的投影如图．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：(3)线段A如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

8.6.1 直线与直线垂直学习目标1. 掌握异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角。

2. 掌握直线与直线垂直的定义。

基础梳理1. 空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线。

2. 已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线，我们把直线与所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）。

3. 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。

直线a 与直线b 垂直，记作。

4. 当两条直线a ，b 相互平行时，我们规定它们所成的角为0。

所以空间两条直线所成角α的取值范围是0<a<90。

随堂训练1、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A.平行 B.相交C.异面D.以上都有可能2、如果点M 是两条异面直线外的一点,则过点M 且与a ,b 都平行的平面( ) A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 没有或只有一个D. 有无数个3、如图，在直三棱柱111ABC A B C 的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、已知两异面直线,a b 所成的角为80o ,过空间一点P 作直线，使得l 与,a b 的夹角均为50o ,那么这样的直线有（ ）条 A ．1B ．2C ．3D ．45、将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的中线折起得到空间四面体ABCD （如图2），则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是（ ）A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直6、在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点，则( ) A. 11A E DC ⊥B. 1A E BD ⊥C. 11A E BC ⊥D. 1A E AC ⊥ 7、在三棱锥P ABC -中,已知PA AB AC ==,BAC PAC ∠=∠,点,D E 分别为棱,BC PC 的中点,则下列结论正确的是( ) A.直线DE ⊥直线AD B.直线DE ⊥直线PA C.直线DE ⊥直线ABD.直线DE ⊥直线AC8、如图,正方体1111ABCD-A B C D 中, M 、N 分别为棱11C D 、1C C 的中点,有以下四个结论: ①直线AM 与1CC 是相交直线; ②直线BN 与1MB 是异面直线; ③直线AM 与BN 是平行直线; ④直线AM 与1DD 是异面直线.其中正确的结论为__________.9、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中, ,,,E F G H 分别为1111,,,AA AB BB B C 的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于__________.10、设,a b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在的直线与,a b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB 与a 成60o 角时, AB 与b 成30o 角; ②当直线AB 与a 成60o 角时, AB 与b 成60o 角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45o ; ④直线AB 与a 所成角的最大值为60o .其中正确的是__________(填写所有正确结论的编号)11、如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======．若PB 的中点为,M BC 的中点为,N 求AC 与MN 的夹角答案 随堂训练 1答案及解析： 答案：D解析：在空间,垂直于同一条直线的两条直线可能平行,相交,异面. 2答案及解析： 答案：C解析：当过点M 与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时,此时找不到一个过M 的平面与两条异面直线都平行；当过点M 与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线不平行时,利用线面平行的判断定理,可得1个平面与a ,b 都平行．故选C ． 3答案及解析： 答案：C解析：在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线有:11A B ，AC ,1AA ，共3条.4答案及解析： 答案：C解析：过P 作与,a b 平行的直线','a b 如图,80CPD ∠=o直线AG 过点P 且50APC APD ∠=∠=o ,这样的直线有两条又100FPC ∠=o ,直线PE 为FPC ∠的平分线，则50FPC EPC ∠=∠=o综上，满足条件的直线的条数为3 5答案及解析： 答案:C解析: 对于原图：∵AD 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的中线，∴AD BC ⊥.在四面体ABCD 中，∵AD BD ⊥，AD DC ⊥，AD DC D =I ，∴AD ⊥平面BCD .∴AD BC ⊥.又AD与BC 是异面直线.综上可知：在四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是异面垂直.所以C 选项是正确的. 6答案及解析： 答案：C解析：∵1A E 在平面ABCD 上的投影为AE ,而AE 不与,AC BD 垂直,∴,B D 错误; ∵1A E 在平面11BCC B 上的投影为111,B C B C BC ⊥,∴11A E BC ⊥,故 C 正确; ∵1A E 在平面11DCC D 上的投影为1 D E ,而1 D E 不与1DC 垂直,故A 错误.故选C. 7答案及解析： 答案：D 解析：如图，，，，得，取PB 中点G ，连接AG ，CG ，则，，又，，则， D 、E 分别为棱BC 、PC 的中点，，则。

8.6.2《直线与平面垂直》教案一、教学目标1.理解直线与平面垂直的定义。

2.理解直线与平面垂直的判定定理。

3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。

4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。

5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。

二、教学重难点1.教学重点直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。

2.教学难点直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。

黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！三、教学准备1.《直线与平面垂直》PPT2.每人发一张三角形纸片四、教学过程黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！【提问】有同学认识它吗?（手指着日晷）（学生：认识）（学生：不认识）可能有同学不认识，它叫日晷。

【PPT演示】日晷日晷是中国古代用来测定时间的仪器，日晷通常由晷针指到和晷盘组成（手指着部位）。

如果我们把晷针看成一条直线，晷面看成一个平面,这里就体现了直线与平面的一种非常特殊的位置关系。

同学们知道是什么位置关吗?（学生：垂直）对，直线与平面重直,这就是我们今天所要学习的内容——《直线与平面垂直》【PPT演示图片】课题《8.6.2直线与平面垂直》【板书】8.6.2直线与平面垂直在我们的实际生活中,有许多场景都能给我们以直线与平面重直的直观形象。

同学们你能举出几个例子吗?(让学生多举几个）如：①把老师我看成一条直线,把讲台看成一个平面；②教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系【PPT演示图片】③旗杆所在直线与地面的位置关系④港珠澳大桥雄伟壮观，桥墩所在直线与海面所在平面的位置关系⑤美丽的上海东方明珠塔，如果把塔身看成一条直线，海面看成一个平面。

这些都能给我们以直线与平面重直的形象。

⑥意大利萨斜塔,它能体现直线与平面垂直的形象吗?（学生：不能）对，不能，塔身所在直线与地面所在平面是不重直的。

《8.6.2直线与平面垂直》说课稿大家好！今天我说课的课题是《直线与平面垂直（第一课时）》。

下面我将从以下几个方面对本课题进行阐述：一、说教材《直线与平面垂直》是人教A版必修二教材第8章第6.2节的课题，属于空间与图形邻域的知识。

在此之前，学生们已经学习了直线与平面位置关系，直线与直线垂直的定义与判定，这为过渡到本课题的学习起到了铺垫的作用。

其中，直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备。

因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容。

线面垂直是空间垂直关系间转化的重心，它在整个教材中起着承上启下的作用。

本课中，重点是直线与平面垂直的判定定理，难点是理解线面垂直及其相关概念、判定定理的猜想与归纳和定理的发现，关键点是理解任意的含义，无限到有限的转化以及两条直线相交垂直的判定。

二、说学情本节课主要学习线面垂直的定义、判定定理及其初步运用。

学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象。

同时，学生已经学习了空间点、直线、平面之间的位置关系、直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构，这为学习者学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。

并且，在前面学习立体几何的基本内容后，已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。

三、说目标《数学课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．。

考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生在构建线面垂直定义的基础上探究线面垂直的判定定理，并进行定理的初步运用。

故而确立以下教学目标：1.理解直线与平面垂直的定义及其相关概念，以及判定定理。

8．6空间直线、平面的垂直8．6.1直线与直线垂直8．6.2直线与平面垂直第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定考点学习目标核心素养异面直线所成的角会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的定义理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性直观想象直线与平面垂直的判定定理掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b垂直，记作a⊥b．(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨]当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直■名师点拨(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α■名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．()(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是() A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：C在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD 所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF═∥CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角．解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°， 即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 ．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．(2)对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】(1)A(2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC.又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面P AD，AG⊂平面P AD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥P A，因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，又FH⊂平面P AC，所以BD⊥FH.2．[变条件]若本例中P A＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.证明：因为P A⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥P A，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又P A ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面P AD ，又AG ⊂平面P AD ， 所以AG ⊥DC ，因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ， 又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ， 所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ， 所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 易知CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线()A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB 与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD 1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC ⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，因为AP⊂平面P AC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面ABCD，且P A＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，P A∩PQ＝P，则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABC-A 1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，所以∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角．在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，所以AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，所以BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，所以EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，所以BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.[B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED .A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.因为在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，所以在折起过程中，D点在平面ABCE上的投影如图．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

《8.6.1 直线与直线垂直》教案【教材分析】直线与直线垂直是所有垂直关系的基础，在初中已经学过矩形，直角三角形等垂直关系，本节教材重点介绍了异面直线所成角，对平面中直线与直线的垂直关系进一步深化.也为后续线面垂直、面面垂直打下基础.【教学目标与核心素养】课程目标1. 理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角；2. 进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.数学学科素养1. 逻辑推理：找两异面直线所成角，证明两直线垂直.2．数学运算：求两异面直线所成角【教学重点和难点】重点：求两异面直线所成角.难点：求两异面直线所成角.【教学过程】一、情景导入观察长方体，你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本146-148页，思考并完成以下问题1、什么是异面直线所成角？2、异面直线所成角的范围是多少？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°.(3)如果两条异面直线a,b 所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作a ⊥b.四、典例分析、举一反三 题型一 证明两直线垂直例1如图，在正方体中，为底面的中心.求证【答案】见解析【解析】如图所示：连接，是正方体.∴四边形是平行四边形.∴直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接，易证.又为底面的中心，1111ABCD A B C D -1O 1111D C B A 1AO BD⊥11B D 111,,AD AB AO 1111ABCD A B C D -11//BB DD∴11BB D D 11//B D BD ∴1AO 11B D 1AO BD 11,AB AD 11AB AD =1O 1111D C B A为的中点解题技巧（证明两直线垂直的常用方法）(1)利用平面几何的结论,如矩形,等腰三角形的三线合一，勾股定理;(2)定义法:即证明两条直线夹角是90°;(3)利用一些事实:两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线,则其平行线也垂直此直线.跟踪训练一1．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：.。

人教A版必修第二册§8.6.2 直线与平面垂直教案一、教学内容分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修必修第二册第八章《立体几何初步》第六节《空间直线、平面的垂直》，主要为直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理，是一节新授课。

直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心，是研究空间中的直线与直线垂直关系和直线与平面垂直关系的中介。

直线与平面垂直也是定义点到平面的距离、直线和平面所成的角、直线到平面的距离与平行平面之间的距离等内容的基础，具有承上启下的作用。

直线与平面垂直的判定定理把定义中要求的与任意一条直线垂直转化为只要求与两条相交直线垂直，其中蕴含了由复杂向简单，无限问题向有限问题，直线与平面垂直向直线与直线垂直的转化，体现了以简驭繁的策略。

同时，本节课中，几何直观、空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养。

二、学情分析经过前面的学习，学生有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，能较准确地使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系；已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及直线与直线“垂直关系”的性质和判定方法；已基本掌握解决空间问题的一般方法—平面化，具备学习本节课所需的知识。

然而，学生的能力发展正处于由形象思维向抽象思维转折的阶段，但更注重形象思维，对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段，没有上升到理论。

学生还没有形成完整的空间知识结构体系，内在的知识网络还有待进一步清晰化，所以在学生学习的过程中教师要适时的引导，关注学生的思维及学习过程。

四、教学重难点1.教学重点：通过直观感知、操作确认概括直线与平面垂直的定义和判定定理。

2.教学难点：从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线和平面垂直的定义；探究、归纳、理解直线与平面垂直判定定理，突破“无限”与“有限”的转化。

8.6.2《直线与平面垂直》教学教案教材：人教A版《普通高中教科书必修第二册数学》【教学目标】（一）知识目标：1、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定定理（二）能力目标:1、转化思想：空间问题转化为平面问题是处理立体几何问题的重要思想空间中线线位置关系与线面位置关系的互相转化;2、类比思想：研究线面平行时研究了定义，判定定理和性质定理，类比研究线面垂直3、培养数学思维过程【教学重点】直线与平面垂直的定义、判定定理及其简单应用.【教学难点】1、判定定理的探索与归纳；2、判定定理和定义在解决垂直问题中的交互与转化.【教学方式】启发探究式【教学手段】自制课件、实物模型【教学过程】一、直观感知直线与平面垂直的位置关系问题1：请同学们观看视频和图片，说出运载火箭抽象成一条直线与地面、旗杆与地面的位置关系．问题2：你还能举出生活中直线与平面垂直的例子吗？设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的．二、抽象概括直线与平面垂直的定义思考：如何定义一条直线与一个平面垂直呢？问题3：观察旗杆与它的影子的关系，结合对下列问题的思考，试着给出直线与平面垂直的定义．(1)旗杆AB与它在平面内的影子的位置关系是什么？(2) 旗杆AB与其他地面上的直线的位置关系呢？依据是什么？（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）辨析：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（对辨析可引导学生给出符号语言表述：若，则)三、探究直线与平面垂直的判定定理思考：如何验证学校广场上的旗杆是否与地面垂直？为解决上述问题,引导学生探究下面问题:(1)如果一条直线与平面内的一条直线垂直，这条直线与这个平面垂直吗?(2) 如果一条直线与平面内的两条直线垂直，这条直线与这个平面垂直吗?无数条呢?师生活动：（折纸试验:请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验.）1. 过三角形的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD （如图1）.问题5：怎么折、怎么展、怎么放才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ （组织学生动手操作、探究、确认）根据上述实验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化） 定理应用：两位工人师傅的做法：假设旗杆高8米，先从旗杆的顶点A 挂两条长10米长的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上B 、C 两点（和旗杆脚D 不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，则旗杆与地面垂直，你知道这是为什么吗？设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，应用定理．α AC B D8 1010 6 6问题6：与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想.思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理判断旗杆是否与地面垂直的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？设计意图：初步应用判定定理解决实际问题及让学生体会利用判定定理判定直线与平面垂直的关键是与平面内的两条相交直线垂直.四、直线与平面垂直判定定理的初步应用例1 如图，在三棱锥V -ABC 中 ，VA ＝VC ,AB ＝BC ,K 是AC 的中点．求证：AC ⊥平面VKB .设计意图：例题重在对直线与平面垂直判定定理的应用，寻找定理的条件，强调书写的规范．B KC A V设计意图：合作探究在例题的基础上进一步巩固直线与平面垂直的判定定理,让学生领略线面垂直的判定定理和定义在解决垂直问题中的交互与转化，体会线线垂直和线面垂直互相转化的数学思想在解决实际问题中的应用.五、课后小结本节课你收获了什么知识,掌握了什么方法,体会了什么思想?六、作业布置必做题：课本P152 第2.3题选做题：查阅线面垂直判定定理的证明方法.探究题：在学校旗杆旁再竖一根旗杆挂联合国国旗，该怎么做？。

第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题： 1．异面直线所成的角的定义是什么？ 2．异面直线所成的角的范围是什么？ 3．异面直线垂直的定理是什么？ 4．直线与平面垂直的定义是什么？ 5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b 垂直，记作a ⊥b ．(3)范围：设θ为异面直线a 与b 所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨] 当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．( )(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则( )A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：C在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．∥CG，因为M，N分别是解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFBF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 ．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交． 又因为m ⊂α，所以l 与m 相交或异面． 由直线与平面垂直的定义，可知l ⊥m . 故l 与m 不可能平行．(2)对于A ，直线l ⊥m ，m 并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B ，因为l ⊥α，则l 垂直于α内任意一条直线，又l ∥m ，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m ⊥α，故B 正确；对于C ，也有可能是l ，m 异面；对于D ，l ，m 还可能相交或异面．【答案】 (1)A (2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ， 因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥FH .2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG . 证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥PA ， 又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ， 所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ， 又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ， 所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点， 所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ， 所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 易知CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒] 要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线( )A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC 所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A 基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是( )A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( )解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P，则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF ， 在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，所以EF ∥CD ，所以∠BEF (或其补角)即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ， 所以AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. [B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED . A ．1个 B ．2个 C．3个D ．4个解析：选A.因为在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点， 所以在折起过程中，D 点在平面ABCE 上的投影如图．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C 拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

8.6.1 直线与直线垂直~8.6.2 直线与平面垂直(二)『导学聚焦』『问题导学』预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面所成的角的定义是什么？2．直线与平面所成的角的范围是什么？3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？4．如何求直线到平面的距离？5．如何求两个平行平面间的距离？『新知初探』1．直线与平面所成的角(1)定义：如图，一条直线P A和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的，斜线和平面的交点A叫做．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.(3)范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是．■名师点拨把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．2．直线与平面垂直的性质定理■名师点拨(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．3. 线面距与面面距(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的到另一个平面的距离都，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．『基础自测』判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m⊂α，则直线l与m所成的角也是60°.()(2)若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a.()(3)若直线a⊥平面α，直线a⊥直线b，则直线b∥平面α.()下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中正确的个数是()A．0B．1C．2 D．3若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．可能存在也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．『探究互动』探究点一直线与平面所成的角『例1』在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【规律方法】『跟踪训练』如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值．探究点二线面垂直的性质定理的应用『例2』如图，已知正方体A1C.(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.【规律方法】(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．『跟踪训练』如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．探究点三求点到平面的距离『例3』如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P-ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．【规律方法】从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．『跟踪训练』已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝ 2.S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB ＝2，SC＝5，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．『达标反馈』1．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为() A．60°B．45°C．30°D．90°2．已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是()A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．P A⊥BD3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有()A．1条B．2条C．3条D．无数条4.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D是FG的中点，AF＝AG，EF ＝EG.求证：BC∥FG.——★ 参*考*答*案 ★——『新知初探』1．(1)斜线斜足射影角(3) 0°≤θ≤90° 2．平行a ∥b 3. (1)任意一点 (2)任意一点相等『基础自测』『答 案』：(1)× (2)√ (3)× 『答 案』：D『解 析』：选B.当a ⊥b 时，这样的平面存在，当a 和b 不垂直时，这样的平面不存在． 『解 析』：(1)由已知知∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°. (2)连接A 1D ，AD 1，BC 1，交点为O ，则易证A 1D ⊥平面ABC 1D 1，所以A 1B 在平面ABC 1D 1内的射影为OB ， 所以A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO ， 因为A 1O ＝12A 1B ，所以∠A 1BO ＝30°.(3)因为A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，又因为AB 1∩B 1C 1＝B 1， 所以A 1B ⊥平面AB 1C 1D ，即A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角为90°. 『答 案』：(1)45° (2)30° (3)90°『探究互动』探究点一直线与平面所成的角 『例1』『解』 取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1， 从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1内的射影，∠EBM 即为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3. 于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23，即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.『跟踪训练』解：由题意知，A 是M 在平面ABC 内的射影，所以MA ⊥平面ABC ， 所以MC 在平面CAB 内的射影为AC .所以∠MCA 即为直线MC 与平面CAB 所成的角． 又因为在Rt △MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°， 所以MC ＝BM sin ∠MBC ＝5sin 60°＝5×32＝532.在Rt △MAB 中，MA ＝MB 2－AB 2＝52－42＝3. 在Rt △MAC 中，sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235. 即直线MC 与平面CAB 所成的角的正弦值为235.探究点二线面垂直的性质定理的应用 『例2』『证明』 (1)如图，连接A 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1. 因为四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，所以A 1C 1⊥B 1D 1. 又因为CC 1∩A 1C 1＝C 1，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C .又因为A 1C ⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥A 1C . (2)如图，连接B 1A ，AD 1.因为B 1C 1═∥AD ，所以四边形ADC 1B 1为平行四边形，所以C 1D ∥AB 1， 因为MN ⊥C 1D ，所以MN ⊥AB 1.又因为MN ⊥B 1D 1，AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以MN ⊥平面AB 1D 1. 由(1)知A 1C ⊥B 1D 1，同理可得A 1C ⊥AB 1.又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1，所以A 1C ∥MN . 『跟踪训练』证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D . 又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D ∩CD ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC . 又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1. (2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，所以ON ═∥12CD . 因为CD ═∥AB ，所以ON ∥AM .又因为MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形，所以ON ＝AM . 因为ON ＝12AB ，所以AM ＝12AB ，所以M 是AB 的中点．探究点三求点到平面的距离 『例3』『解』 (1)证明：如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为四边形ABCD 为矩形，所以点O 为BD 的中点． 又点E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)V ＝16AP ·AB ·AD ＝36AB .由V ＝34，可得AB ＝32. 作AH ⊥PB 于点H ，由题设知BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，即AH 的长就是点A 到平面PBC 的距离．因为PB ＝AP 2＋AB 2＝132，所以AH ＝AP ·AB PB ＝31313， 所以点A 到平面PBC 的距离为31313. 『跟踪训练』解：法一：如图，连接P A ，PB ，易知SA ⊥AC ，BC ⊥AC .分别取AB ，AC 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ，则EF ∥BC ，PF ∥SA .所以EF ⊥AC ，PF ⊥AC .因为PF ∩EF ＝F ，所以AC ⊥平面PEF ，所以PE ⊥AC .易证△SAC ≌△SBC ，所以P A ＝PB .又E 是AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为AB ∩AC ＝A ，所以PE ⊥平面ABC .从而PE 的长就是点P 到平面ABC 的距离．因为P 是SC 的中点，所以在Rt △APE 中，AP ＝12SC ＝52，AE ＝12AB ＝22， 所以PE ＝AP 2－AE 2＝54－12＝32， 即点P 到平面ABC 的距离为32. 法二：如图，过点A 作BC 的平行线，过点B 作AC 的平行线，两直线交于点D .因为AC ＝BC ＝1，AB ＝2，所以AC ⊥BC .所以四边形ADBC 为正方形，连接SD .易知AC ⊥SA ，又AC ⊥AD ，SA ∩AD ＝A ，所以AC ⊥平面SDA ，所以AC ⊥SD .易知BC ⊥SB ，又BC ⊥BD ，SB ∩BD ＝B ，所以BC ⊥平面SDB ，所以BC ⊥SD .因为BC ∩AC ＝C ，所以SD ⊥平面ADBC .所以SD 的长即点S 到平面ABC 的距离，在Rt △SAD 中，易得SD ＝ 3.因为点P 为SC 的中点，故点P 到平面ABC 的距离为12SD ＝32. 『达标反馈』1．『解 析』：选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段与平面所成的角．又AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝OB AB ＝12，所以∠ABO ＝60°.2．『解 析』：选C.P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥BD ，D 正确；⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥BC ABCD 为矩形⇒AB ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AB ⇒BC ⊥PB .故A 正确； 同理B 正确；C 不正确．3. 『解 析』：选A.显然DD 1是满足条件的一条，如果还有一条l 满足条件，则l ⊥B 1C 1，l ⊥AB .又AB ∥C 1D 1，则l ⊥C 1D 1.又B 1C 1∩C 1D 1＝C 1，所以l ⊥平面B 1C 1D 1.同理DD 1⊥平面B 1C 1D 1，则l ∥DD 1.又l 与DD 1都过M ，这是不可能的，因此只有DD 1一条满足条件．4.证明：连接DE.因为AD⊥AB，AD⊥AC，所以AD⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，所以AD⊥BC.又AE⊥BC，所以BC⊥平面ADE. 因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，同理ED⊥FG.又AD∩ED＝D，所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.。

8.6.1 直线与直线垂直本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课是第2课时，本节课主要学习直线与直线垂直。

课本从空间两条直线的位置关系入手，引如异面直线所成的角的定义，进而在正方体中找互相垂直的异面直线及求异面直线的夹角，本节是证明两条异面直线垂直的一种方法。

求异面直线的夹角为90度可以证明两异面直线垂直。

直线与直线垂直是立体几何中证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的基础，是后续所学知识的基础。

1.教学重点：异面直线所成角的定义；2.教学难点：用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角。

多媒体教学过程 教学设计意图 核心素养目标一、复习回顾，温故知新 1.空间两直线的位置关系： 【答案】相交、平行、异面2.在平面内，两直线所成的角是什么？【答案】在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角, 用以刻画两直线的错开程度 二、探索新知观察：如图，在正方体D C B A ABCD ''''-中，直线C A ''与直线AB ，直线D A ''与直线AB 都是异面直线，直线C A ''与D A ''相对于直线AB 的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 【答案】不同思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找 出这个夹角？ 1.异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a ，b,经过空间任一点O 作直线a′//a ，b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).思考 : 这个角的大小与O 点的位置有关吗 ? 即O 点位置不同时, 这一角的大小是否改变? 【答案】无关，不改变。

通过复习前面所学两条直线位置关系，引入本节新课。

建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过观察与思考，引入异面直线所成角的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

教学设计课程基本信息学科数学年级高一年级学期春季课题8.6.2直线与平面垂直（第一课时）教科书书名：人教A版（2019）数学必修第二册出版社：人民教育出版社教学目标1.理解直线与平面垂直的定义及其相关概念，以及判定定理。

2.掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化关系，从而体会降维化归的思想。

3.会用自然语言、图形语言、符号语言来表示定义和判定定理。

4.能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。

教学内容教学重点：1. 直线与平面垂直的定义。

2. 直线与平面垂直的判定定理。

教学难点：1.“任意”的含义——进行线面垂直判定与部分性质的关键。

2.无限到有限的转化——推导线面垂直判定方法的关键。

3.两条直线相交垂直——突破直线与平面垂直判定定理难点的关键。

教学设想人教A版教材基于重视几何直观，适当引入公理化思想体系以及合情推理与逻辑推理并重的考量，从现实情境中的旗杆与地面垂直引入线面垂直的概念，给出了折纸的实验，然后直接给出线面垂直的判定定理，没有进行严格证明（设置了思考题让学生从向量的角度探索证明思路，但是学生还未学习空间向量，无法严谨证明）。

这种“直观感知、操作确认、归纳总结”的方式虽然能够减轻学生的课业负担，有助于培养学生的直观想象能力，但是会让学生将信将疑，不利于培养的学生逻辑推理能力。

其实，历史上数学家曾先后给出过多种线面垂直判定定理的证明。

这些证明可以让学生体会数学严谨求实、不断创新的精神，对于培养学生的逻辑推理能力有一定的价值。

因此，我在本节课中引入了数学史，带领同学们领略数学家的风采，在数学史中体会数学文化的魅力，鼓励他们给出线面垂直判定定理的严谨证明。

教学过程一、知识回顾——直线与平面的位置关系问题1：直线和平面的位置关系有哪些？（引出今天的课题）二、情景引入——生活中的线面垂直实例问题2：直线与平面垂直的定义是什么？能否用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？（引出定义）三、情景探究——以旗杆和地面为例探究问题3：在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？（引出线面垂直的定义）问题4：那对于地面上不过点B的任意一条直线B1C1与旗杆AB所在的直线的位置关系如何？四、探究新知（一）线面垂直的定义1. 直线与平面垂直的定义（三种语言的表达：文字语言、符号语言、图形语言）2. 关于定义的数学史：历史上的线面垂直概念的变化3. 定义剖析：对“任意”的含义的理解（“任意”与“所有”，“任意”与“无数”）4. 垂线与垂面的唯一性问题5：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？（过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，体现类比的数学思想）推广：在空间中，过一点有无数条直线与已知直线垂直，这无数条直线共面，且该平面与已知直线垂直。

8．6.2 直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定[目标] 1.掌握直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能应用判定定理证明直线和平面垂直．[重点] 直线与平面垂直的证明．[难点] 对直线与平面垂直定义的理解；对直线与平面所成角定义的理解．要点整合夯基础知识点一直线与平面垂直的定义[填一填]1．如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．2．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．[答一答]1．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．2．“任何直线”、“所有直线”、“无数条直线”表达的是同一意思吗？提示：“任何直线”与“所有直线”的意义相同，但与“无数条直线”不同，“无数条直线”仅是“任何直线”中的一部分．3．若l⊥α，a为平面α内的任一条直线，则l与a是否垂直？提示：垂直，由直线和平面垂直的定义可知，直线和平面内的所有直线都垂直，这也是证明两条直线垂直的一种方法．知识点二直线与平面垂直的判定定理[填一填]1．文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．2．图形语言：如右图所示．符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[答一答]4．如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？为什么？提示：无法判断这条直线和这个平面是否垂直．因为当这两条直线相交时，由判定定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不一定垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交．5．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(C)A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC知识点三直线与平面所成的角[填一填]1．如右图，一条直线l和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．2．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．3．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.直线与平面所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.[答一答]6．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角为45°.解析：∵BB1⊥平面ABCD，∴∠B1AB是AB1与平面ABCD所成的角．又∠B1AB＝45°，所以AB1与平面ABCD所成的角为45°.典例讲练破题型类型一直线与平面垂直的定义及判定定理[例1]下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于平面α，则平面α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于平面α，则平面α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1C．2 D．3[解析]由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与平面α不垂直时，l可能与平面α内的无数条直线垂直，故③不对，④正确．[答案] D(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.[变式训练1]如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l 与直线AC的关系是(C)A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：因为BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，所以BA⊥l，同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以l⊥AC.类型二直线与平面垂直的证明[例2]如图，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面P AB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到P A⊥平面ABC，可想到P A⊥AB、P A⊥BC、P A⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是P A⊥BC，联系已知，问题得证．[证明](1)∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩P A＝A，∴BC⊥平面P AB.(2)∵BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.[变式训练2]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD ⊥PD ； (2)EF ⊥平面PCD .证明：(1)因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥P A .又在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD . (2)如图，取PD 的中点G ，连接AG ，FG ， 又因为F 是PC 的中点，所以GF 綉12CD ，所以GF 綉AE .所以四边形AEFG 是平行四边形， 所以AG ∥EF .因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 因为CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . 所以CD ⊥AG .所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD . 类型三 直线与平面所成的角[例3] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中．(1)求直线A 1C 与平面ABCD 所成的角的正切值； (2)求直线A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角．[分析] (1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A 1作平面BDD 1B 1的垂线，该垂线必与B 1D 1、BB 1垂直，由正方体的特性知，直线A 1C 1满足要求．[解] (1)∵直线A 1A ⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角， 设A 1A ＝1，则AC ＝2， ∴tan ∠A 1CA ＝22. (2)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于O ，在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥A 1C 1. 又BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，垂足为O .∴∠A 1BO 为直线A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角． 在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°.即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.[变式训练3] 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，且AB ＝4，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC .点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD ＝DB .(1)求证：CD ⊥平面P AB ；(2)求直线PC 与平面P AB 所成的角．解：解法1：(1)证明：如图，连接CO ，由3AD ＝DB 知，点D 为AO 的中点．又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB .由3AC ＝BC 知，∠CAB ＝60°，所以△ACO 为等边三角形．故CD ⊥AO .因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，所以PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ⊂平面P AB ，AO ⊂平面P AB ，且PD ∩AO ＝D ，得CD ⊥平面P AB .(2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面P AB 所成的角，又△AOC 是边长为2的正三角形，所以CD ＝ 3.在Rt △PCD 中，PD ＝DB ＝3，CD ＝3， 所以tan ∠CPD ＝CD PD ＝33，所以∠CPD ＝30°，即直线PC 与平面P AB 所成的角为30°.解法2：(1)证明：因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB .在Rt △ABC 中，由AB ＝4,3AD ＝DB ，3AC ＝BC ，得DB ＝3，BC ＝23，所以BD BC ＝BC AB ＝32，则△BDC ∽△BCA ，所以∠BCA ＝∠BDC ，即CD ⊥AO . 因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， 所以PD ⊥平面ABC .又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD . 由PD ⊂平面P AB ，AO ⊂平面P AB ， 且PD ∩AO ＝D ，得CD ⊥平面P AB .(2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面P AB 所成的角． 在Rt △PCD 中，PD ＝BD ＝3，CD ＝BC 2－BD 2＝3， 所以tan ∠CPD ＝CD PD ＝33，所以∠CPD ＝30°，即直线PC 与平面P AB 所成的角为30°.课堂达标练经典1．下列表述正确的个数为( A )①若直线a ∥平面α，直线a ⊥b ，则b ⊥α； ②若直线a ⊄平面α，b ⊂α，且a ⊥b ，则a ⊥α； ③若直线a 平行于平面α内的两条直线，则a ∥α； ④若直线a 垂直于平面α内的两条直线，则a ⊥α. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：①中b 与平面α还可能平行、斜交或b 在平面α内；②中a 与平面α还可能平行或斜交；③中a 还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错．2．如图所示，如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面，那么MA 与BD 的位置关系是( C )A ．平行B ．垂直相交C ．垂直但不相交D ．相交但不垂直解析：连接AC ，因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .又MC ⊥平面ABCD ，则BD ⊥MC .因为AC ∩MC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC .又MA ⊂平面AMC ，所以MA ⊥BD .显然直线MA 与直线BD 不共面，因此直线MA 与BD 的位置关系是垂直但不相交．3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为13.解析：连接A 1C 1.∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴∠AC 1A 1为直线AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角．∵AA 1＝1，AB ＝BC ＝2，∴A 1C 1＝22，AC 1＝3，∴sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13.4．如图所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为4.解析：∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC . 又BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ， ∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .5．如图所示，AB 是圆柱的母线，BD 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上一点，且AB ＝BC ＝2，∠CBD ＝45°.(1)求证：CD ⊥平面ABC ；(2)求直线BD 与平面ACD 所成角的大小．解：(1)证明：因为BD是底面圆的直径，所以CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.因为AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC.(2)如图，取AC的中点E，连接BE，DE，由(1)知BE⊥CD，又E是AC的中点，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，所以BE⊥AC，所以BE⊥平面ACD，所以直线BD与平面ACD所成的角为∠BDE.而BE⊥平面ACD，则BE⊥ED，即△BED为直角三角形．又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，则BD＝22，BE＝2，所以sin∠BDE＝BEBD＝12，所以∠BDE＝30°.——本课须掌握的三大问题1．直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°；(2)线面垂直，则线线垂直．3．求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．学科素养培优精品微课堂正确找出直线与平面所成的角开讲啦找斜线在平面内的射影时，不能只说斜线在平面内的射影是哪条线，还要进而证明其正确性，才能说明某个角就是斜线与平面所成的角．[典例] 如图，已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．[分析] 抓信息，找思路．[解] 取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于点O ，连接AO ，B 1C . 由已知ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，又B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC 1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面AC 1，D 1C 1⊂平面AC 1， ∴B 1C ⊥平面AC 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点， ∴EF ∥B 1C .∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为所求线面角． 在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22，AE ＝A 1E 2＋AA 21＝⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105.∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. [对应训练] 已知线段AB 的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为60°.。

8.6.2直线与平面垂直（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标1.理解直线与平面垂直的意义，理解点到平面的距离、直线与平面成角的概念；2.探索直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题，能求简单的直线与平面所成的角；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“化繁为简”的转化思想.二、教学重难点重点：1.对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解难点：1.概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直”2.求直线和平面所成角时，直线的射影的寻找学生初接触会有点难度.三、教学过程1.复习引入回顾直线和平面的位置关系如下图1：图1【设计意图】由复习旧知可以知道，直线与平面垂直是直线与平面相交关系中的一种，为后续特别是线面角作铺垫.2.观察归纳，形成概念122.1创设情境，引发思考问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图中旗杆与地面的垂直关系，还有书脊与桌面的垂直关系，给我们以直线与平面垂直的形象.那么什么叫做直线与平面垂直呢？【设计意图】列举生活中的例子，使学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，化抽象为具体.然后再应到学生概括出定义.2.2归纳概括，得出定义问题2：能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直思考：（1）书脊AB 与桌面上经过B 点的直线有什么关系？（2）书脊AB 与桌面上不过B 点的直线有什么关系？（3）书脊AB 与桌面上的任意直线有什么关系？追问1：怎么理解“任意”？结论：直线AB 垂直于平面内的任意一条直线,那么它就垂直于这个平面．追问2：可以用“无数”代替“任意”吗？直线与平面垂直的定义：如果一条直线l 垂直于平面α 内的任意一条直线，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直.记作： 【设计意图】这里是对直线垂直于平面定义的形成过程，结合几何直观感知，就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义，并让学生体会到定义的本质是直线与直线垂直；强调直线要与平面内的任意直线都垂直，不等于无数.并规范表达，感受数学思维的严密.α⊥l 图22.3知识拓展:点到平面距离的定义：过点P作直线PO垂直于平面α，垂足为O，垂线段PO长度就是点P到平面α的距离.图3【活动预设】教师提出问题，师生共同探讨，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而提出点到平面的距离的概念，为求棱锥体积做铺垫.【设计意图】类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质；呼应前面棱锥的高的概念.3 实验探究，得出定理3.1 简单探究，得到猜想问题:3：如果直线l与平面α内的一条（两条，无数条）直线垂直，则直线和平面α互相垂直?【活动预设】师生共同探讨以下问题：（1）一条直线（2）无数条直线图4（3）两条平行直线（4）两条相交直线【设计意图】结合图例，让学生感受直线与平面垂直需要两条相交直线，得到猜想，找到一种替代定义去证明线面垂直的办法.3.2 动手操作，验证猜想问题4：为什么两条相交直线可以？怎么去验证这件事情？【活动预设】教师提出问题，并引导学生动手操作；如图准备一块三角形纸片ABC，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，并请学生思考;34(1) 折痕AD 与桌面垂直吗？(2) 如何翻折才能得到使折痕AD 与桌面垂直？为什么？这样就初步验证了刚才的猜想：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线就和这个平面垂直.追问（1）：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线就和这个平面垂直？可能的回答：两条相交直线可以确定一个平面？追问（2）：两条平行直线也可以确定一个平面，为什么两条平行直线都垂直于一条直线的时候，直线和平面就不垂直呢？【设计意图】通过实践操作，让学生有直观感受，初步判断刚才的猜想是正确的；不断追问，引导学生进一步的思考，两条相交直线可以确定一个平面，但是更主要的是他们可以表示这个平面内的所以直线，这里可以用平面向量基本定理来给出解释，从而进一步对于判定定理的正确性给出说明，让学生体会直线与平面垂直向直线与直线垂直转化，体会感知化无限为为有限，以及归纳猜想、思辨论证这一研究问题的思维过程.问题5：试分别用文字语言、图形语言、符号语言来表述直线与平面的判定定理.【设计意图】实现图形语言、文字语言、符号语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要.4 巩固练习，典例剖析例1（课本例3）求证：如果两条平行线中的一条直线垂直与一个平面，那么另一条直线也垂直与这个平面.追问（1）：你能根据条件与结论画出示意图，写出已知、求证吗？追问（2）：结合所画图形，你认为该如何证明此问题？【活动预设】教师要求学生写出已知求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造两条相交直线，既需要做辅助线.可以请一名同学板书，教师反馈，完成证明.追问（3）：你还有不同证明方法吗?可能的答案：尝试用定义证明.【设计意图】通过例题，巩固直线和平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把握判定定理中“两条相交直线”这一关键.通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明时，提高学生思维的灵活性，让学生认识到证明线面垂直的不同方法，从而感受判定定理证明的优越性.5 直线与平面所成的角及其应用问题6：直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.当它们不垂直时，如图，可以发现，不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？【活动预设】教师提出问题，给出斜线的概念.引导学生发现，斜线与平面相交位置的不同在于他们相对于平面的“倾斜程度不同”，进而给出直线与平面所成角的概念，并用它来刻画斜线和平面的位置关系.【设计意图】引出直线与平面所成角的概念，同时建立平面的一条斜线在平面上的射影的概念.例2（课本例4）：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B与平面A1DCB1所成的角.追问：有直线与平面成角的概念知，应该先找到A1B在平面A1DCB1内的射影，怎样找到呢？【活动预设】教师引导学生对题目进行分析，从要解决的问题出发，要求直线和平面的成角，要先找到这条直线在平面上的射影；进而要找到这个平面的垂线，再利用直线与平面垂直的判定定理，问题图65可以解决.然后书写证明过程，规范解题.【设计意图】通过例题教学，巩固直线和平面所成角的概念，以及直线与平面垂直的判定定理.结合分析题目，培养学生养成回归定义思考问题的意识，并引导学生形成解决问题的一般思路,规范书写.6 归纳小结，布置作业问题：本节课你学到了什么？【活动预设】教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，主要从下列2点进行总结：（1）知识内容（2）数学思想方法【设计意图】通过小结，梳理本节所学的知识点，并回顾在学习的过程中所采用的思想方法，培养学生对学习内容的反思意识和习惯，建立知识系统，可以用于后续知识问题的解决.布置作业：教材152页练习.6。

8.6 空间直线、平面的垂直8．6.1直线与直线垂直[目标] 理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角．[重点] 异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明．[难点] 求两异面直线所成的角．要点整合夯基础知识点异面直线所成的角[填一填][答一答]1．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？提示：根据等角定理可知，异面直线a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为65°.提示：∵B 1C 1∥BC ，∴异面直线AE 与B 1C 1所成的角是∠AEB ＝90°－25°＝65°.典例讲练破题型类型一 异面直线所成的角[例1] 如图，P 是平面ABC 外一点，P A ＝4，BC ＝25，D 、E 分别为PC 和AB 的中点，且DE ＝3.求异面直线P A 和BC 所成角的大小．[分析] (1)P A 、BC 移至同一个三角形中．(2)找出P A 和BC 所成的角． [解] 如图，取AC 中点F ，连接DF 、EF ，在△P AC 中，∵D 是PC 中点，F 是AC 中点， ∴DF ∥P A ，同理可得EF ∥BC ，∴∠DFE 为异面直线P A 与BC 所成的角(或其补角)． 在△DEF 中，DE ＝3，又DF ＝12P A ＝2，EF ＝12BC ＝5，∴DE 2＝DF 2＋EF 2.∴∠DFE ＝90°，即异面直线P A 与BC 所成的角为90°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.,可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角α的取值范围为0°<α≤90°.[变式训练1]如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角．(2)FO与BD所成的角．解：(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.类型二线线垂直的证明与应用[例2]直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC ＝CC 1＝1.证明：AB 1⊥MN .[分析] 先找到异面直线AB 1与MN 所成角，再利用勾股定理进行证明． [证明] 由题得MN ∥B 1C ，所以∠AB 1C 就是异面直线AB 1与MN 所成角或补角． 由题得AC ＝4＋1－2×2×1×cos 2π3＝7，AB 1＝5，B 1C ＝2， 因为(2)2＋(5)2＝(7)2， ∴∠AB 1C ＝π2，所以AB 1⊥MN .证明空间中的异面直线的垂直问题，往往先作出异面直线所成的角，再利用勾股定理进行证明.[变式训练2] 如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形且AB ＝BC ＝23，∠ABC ＝120° ，若异面直线A 1B 和AD 1相互垂直，试求AA 1的长．解：连接CD 1，AC ，如图．由题意得四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴∠AD 1C (或其补角)为A 1B 和AD 1所成的角． ∵异面直线A 1B 和AD 1相互垂直， ∴∠AD 1C ＝90°.∵四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝23，且侧面都是矩形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC.∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，AD1＝22AC＝32，∴AA1＝AD21－A1D21＝(32)2－(23)2＝ 6.课堂达标练经典1．经过空间一点P作与直线a成60°角的直线，这样的直线有(D)A．0条B．1条C．有限条D．无数条解析：这些直线可以是以P为顶点，以过点P且平行于a的直线为轴的圆锥的母线所在的直线，共有无数条直线．2．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为(B)A．0°B．90°C．60°D．45°解析：如图所示，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE-CMFB，连接CD，∵CD ∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°.3．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF ＝3，则异面直线AD、BC所成角的大小是60°.解析：设G 为AC 的中点，如图，连接EG ，FG ，因为E 、F 分别是AB 、CD 中点，∴EG ∥BC ，EG ＝12BC ＝1，FG ∥AD ，FG ＝12AD ＝1，所以∠EGF 为异面直线AD 、BC 所成的角(或其补角)，∵EF ＝3，∴三角形EGF 中，cos ∠EGF ＝－12，∴∠EGF ＝120°，即异面直线AD 、BC 所成的角为60°.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，六个面内与BD 成60°角的对角线共有8条． 解析：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，六个面内与BD 成60°角的对角线共有AB 1，BA 1，DC 1，CD 1，AD 1，DA 1，BC 1，CB 1共8条．5.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若EF ＝2，求AD ，BC 所成的角．解：如图，取BD 的中点H ，连接EH ，FH ， 因为E 是AB 的中点，且AD ＝2，所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1，所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF＝2，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.——本课须掌握的问题在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．。

8.6.2 直线与平面垂直学习目标核心素养1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)4.能利用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明．(重点) 1.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2.通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养.『自主预习』1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的．它们唯一的公共点P叫做图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α图形语言3.直线和平面所成的角有关概念对应图形斜线 一条直线l 与一个平面α，但不与这个平面α，图中斜足 斜线和平面的，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点P 向平面α引PO ，过O 和A 的直线AO 叫做斜线在这个平面内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是取值范围『0°，90°』思考1：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？4．直线与平面垂直的性质定理文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线思考2：过一点有几条直线与已知平面垂直？『基础自测』1．若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于( ) A ．平面OAB B ．平面OAC C ．平面OBCD ．平面ABC2．已知直线a ，b ，平面α，且a ⊥α，下列条件中，能推出a ∥b 的是( ) A ．b ∥α B ．b ⊂αC．b⊥α D．b与α相交3．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A．平行B．垂直C. 相交不垂直D. 不确定4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于．『合作探究』类型一直线与平面垂直的判定『例1』如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.『规律方法』证线面垂直的方法：(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.『跟踪训练』1．如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.类型二直线与平面所成的角『探究问题』1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？『例2』在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．『母题探究』在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．『规律方法』求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．类型三线面垂直性质定理的应用『例3』如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.『规律方法』证明线线平行常用如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．『跟踪训练』2．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.『课堂小结』1．线线垂直和线面垂直的相互转化：2．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．『当堂达标』1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直 B．相交但不垂直C．平行 D．不确定3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.——★参*考*答*案★——『自主预习』1．任意一条垂线垂面垂足2.两条相交直线a∩b＝P3. 相交垂直直线P A 交点垂线垂足斜足直角0°的角思考1：『提示』定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．4．平行a∥b思考2：『提示』有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．『基础自测』1．C『由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.』2．C『由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.』3．B『一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．』4．45°『如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.』『合作探究』类型一直线与平面垂直的判定『例1』『证明』(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，AD ＝BD ，由已知SA ＝SB ，所以△ADS ≌△BDS ，所以SD ⊥BD . 又AC ∩BD ＝D ，AC ，BD ⊂平面ABC ，所以SD ⊥平面ABC . (2)因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点， 所以BD ⊥AC .由(1)知SD ⊥BD .又因为SD ∩AC ＝D ，SD ，AC ⊂平面SAC ，所以BD ⊥平面SAC . 『跟踪训练』1．『证明』 设圆O 所在的平面为α， ∵P A ⊥α，且BM ⊂α，∴P A ⊥BM .又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点， ∴AM ⊥BM . 由于直线P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM ，而AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN .∴AN 与PM 、BM 两条相交直线互相垂直，故AN ⊥平面PBM .『探究问题』1．『提示』 需要P A ⊥α，A 为垂足，OA 为斜线PO 的射影，这样∠POA 就是斜线PO 与平面α所成的角．2．『提示』 在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定． 『例2』『证明』 (1)∵直线A 1A ⊥平面ABCD ， ∴∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角， 设A 1A ＝1，则AC ＝2，∴tan ∠A 1CA ＝22. (2)连接A 1C 1交B 1D 1于O (见题图)， 在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴BB 1⊥A 1C 1， 又BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，垂足为O . ∴∠A 1BO 为直线A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角， 在Rt △A 1BO 中，A 1O ＝12A 1C 1＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°，即A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角为30°.『母题探究』『解』 连接AC 交BD 于点O ，过E 作EO 1∥AC 交BD 于点O 1，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴EO 1⊥平面BB 1D 1D ，∴B 1O 1是B 1E 在平面BB 1D 1D 内的射影，∴∠EB 1O 1为B 1E 与平面BB 1D 1D 所成的角．设正方体的棱长为a ，∵E 是AB 的中点，EO 1∥AC ，∴O 1是BO 的中点，∴EO 1＝12AO ＝12×2a 2＝2a 4， B 1O 1＝BO 21＋BB 21＝⎝⎛⎭⎫2a 42＋a 2＝32a 4， ∴tan ∠EB 1O 1＝EO 1B 1O 1＝2a 432a 4＝13. 类型三线面垂直性质定理的应用『例3』『证明』 因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D .又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1.因为A 1D ∩CD ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC .又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1.『跟踪训练』2．『证明』 因为EA ⊥α，α∩β＝l ，即l ⊂α，所以l ⊥EA .同理l ⊥EB .又EA ∩EB ＝E ，所以l ⊥平面EAB .因为EB ⊥β，a ⊂β，所以EB ⊥a ，又a ⊥AB ，EB ∩AB ＝B ，所以a ⊥平面EAB .由线面垂直的性质定理，得a ∥l .『当堂达标』1．A 『若l ∥m ，l ⊄α，m ⊂α，则l ∥α，这与已知l ⊥α矛盾．所以直线l 与m 不可能平行．』2．A 『因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.』3．A 『∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt △AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°. 故选A.』 4．『证明』 如图，连接AC ，∴AC ⊥BD ，又∵BD ⊥A 1A ，AC ∩AA 1＝A ，AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥平面A 1AC ，∵A 1C ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥A 1C ，同理可证BC 1⊥A 1C .又∵BD ∩BC 1＝B ，BD ，BC 1⊂平面BC 1D ，∴A 1C ⊥平面BC 1D .。