2.3.2平面与平面垂直的判定导学案

《§2.3.2 平面与平面垂直的判定》导学案编写：赵刚审稿人：高一数学组编写时间：2013年8月18日班级组别组名姓名【学习目标】:1. 能说出二面角的有关概念，会作二面角的平面角，2. 能说出面面垂直的定义，能熟记并会证明面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.【学习重、难点】学习重点:：能熟记并会证明面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；能求简单二面角平面角的大小；学习难点：会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小，初步学会用定理证明垂直关系；【学法指导及要求】:1、认真研读教材P67---P69页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号；2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理到解错题本上，多复习记忆。

【知识链接】1、⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________.2、⑴什么是直线与平面所成的角?⑵直线与平面所成的角的范围为_____________.【学习过程】探究1：二面角的有关概念问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?1、二面角的定义及相关概念半平面：二面角：二面角的表示：如右图二面角的画法：（1）卧式法（2）立式法探究2：二面角的大小怎么确定呢？二面角的平面角：如图，叫做二面角的平面角。

直二面角：叫直二面角.反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角? 它们的平面角的大小有什么关系？⑵二面角的大小范围是多少？⑶二面角的平面角必须满足哪几个条件？（4）二面角平面角的大小和O点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究3：两个平面垂直的定义，画法问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？定义; 两个平面互相垂直：两个互相垂直的平面画法：平面α与β垂直，记作：探究4：两个平面垂直的判定问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？平面与平面垂直的判定定理：符号语言： 证明:典型例题例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC.例2 如图，在正方体中，求面A D CB ''与面ABCD 所成二面角的大小（取锐角）. .例3. 如图在空间四边形SABC 中，ASC ∠=90°，60ASB BSC ∠==°，SA SB SC ==， ⑴求证：平面ASC ⊥平面ABC .⑵求二面角S AB C --的平面角的正弦值.【归纳小结】【达标训练】1. 以下四个命题，正确的是（ ）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ ）. A 、,//,//m n m n αβ⊥ B 、,,m n m n αβα⊥=⊂C 、//,,m n n m βα⊥⊂D 、//,,m n m n αβ⊥⊥3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ ）. A.相交不垂直 B.相交成60°角 C.互相垂直 D.互相平行4. 二面角的大小范围是________________.5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______. .【学习反思】【课后作业】.1. 如图11-8，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=，求证：312cos cos cos θθθ=2. 如图11-8，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值.（取锐角）3. 二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ，作AB β⊥于点B ，再作BO l ⊥于O ，连接OA ，则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)。

高二数学必修2 2.3.2平面与平面垂直的判定学案【学习目标】:理解二面角的概念,掌握平面与平面垂直的判定【重难点】重点：能用面面垂直的判定定理证明面面垂直及求二面角的大小.难点: 求二面角的大小【知识】1、二面角(1)半平面的定义: 平面内的一条直线把这个平面分成________部分, 其中的每一部分都叫做半平面.(2)二面角的定义: 从一条直线出发的两个_________所组成的_________叫做二面角。

其中的直线叫做二面角的_____, 这两个半平面叫做二面角的_______.(3)二面角的记法: 棱为AB, 面分别为α, β的二面角记作二面角也可以用点记如二面角(4)二面角的平面角:在二面角的棱l上任取一点O, 以点O为垂足, 在半平面α和β内分别作__________于棱l的射线OA和OB, 则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 范围为2、面面垂直1、定义：平面角是_____的二面角叫做直二面角. 就说两个平面互相垂直2、判定定理①文字语言: 一个平面过另一个平面的__________, 则这两个平面垂直.②符号语言:【学法指导】垂直的转化（线面垂直→面面垂直）【学习内容】课本69页例3课本69页探究变式：如图2，P 是△ABC 所在平面外一点，AP、AB、AC两两垂直．求证：平面PAC⊥平面PAB.例2：如图4，已知PA ⊥平面ABCD，ABCD 为矩形，PA＝AD，M、N 分别是AB、PC 的中点，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.【学习小结】面面垂直的判定【达标检测】1.过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A. 0个B. 1个C. 无数个D. 1个或无数个2. 在三棱锥P－ABC中, 已知PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则在三棱锥P－ABC 的四个面中, 互相垂直的面有______对.3三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点．1)求证：B1C∥平面AC1M；(2)求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B.【学习反思】垂直的转化作业：试卷。

课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析：通过教学活动，
(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：
a.二面角的大小是用平面角来度量的.
b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.
c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所
确定的平面和二面角的棱垂直.
(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.
(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.
2.教学难点、重点：
(1)重点：
确定二面角，面面垂直判定定理的应用.
(2)难点：
各种情景下确定二面角的平面角.
3.教学方式与手段：
采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.
借助多媒体电脑平台.
4.教学基本流程(总体设计)：
从生活实例让学生感性认识二面角
↓
二面角的概念
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二面角的平面角
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定义两平面垂直
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面面垂直的判定
↓
应用、探究
↓
课堂小结、作业
5.页面设计(相应内容逐步演示):
课题:平面与平面垂直的判定
1.二面角概念
2.确定二面角的平面角的方法
3.平面与平面垂直的定义
4.平面与平面垂直的判定定理
5.应用举例
6.小结与作业。

2.3.2 平面与平面垂直的判定问题导学一、面面垂直的判定活动与探究1在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，E∈BB1，且BE＝EB1．求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1(注：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱)．迁移与应用1．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有__________对．2．在四棱锥P－ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形，求证：平面PAC⊥平面PBD．证明面面垂直有两种基本方法：①定义法：先作(或找)出二面角的平面角，再证明该角是90°；②判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明该直线与另一个平面垂直．二、求二面角的大小活动与探究2四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．迁移与应用1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1－AB－C的平面角是__________；二面角C1－BD－C的平面角是__________，其正切值为__________．2．在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，BC⊥AC，则二面角S－BC－A的平面角是__________．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，再求出角的大小．三、线面垂直与面面垂直的综合应用活动与探究3如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求证：平面PEC⊥平面PCD．迁移与应用1．过一条直线和一个平面垂直的平面有( )A．一个B．无数个C．一个或无数个D．0个2．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．证“面面垂直”转化为“线面垂直”，证“线面垂直”转化为“线线垂直”，即线线垂直→线面垂直→面面垂直．当堂检测1．下列命题中①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③ B．②④ C．③④ D．①②2．对于直线a，b，c和平面α，β，已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α与β的位置关系是( )A．α⊥β B．α∥βC．α∩β＝l D．不确定3．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．5．在四面体A－BCD中，BD＝2a，其余棱长均为a，则二面角A－BD－C的大小为__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．两个半平面二面角的棱二面角的面α－AB－βP－AB－Qα－l－βP－l －Q2．垂直于l射线OA和OB直二面角预习交流1(1)提示：0°≤θ＜180°(2)提示：二面角α－l－β的平面角∠AOB满足的条件是：①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l．(3)提示：根据等角定理，二面角的平面角的大小与在棱上选取的点的位置无关．3．直二面角预习交流2提示：90°4．垂线a⊥α，a⊂β，则α⊥β预习交流3 提示：要证明两个平面垂直，只需在一个平面内找(或作)一条直线与另一个平面垂直，并证明即可．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：要证明平面A1EC⊥平面ACC1A1，只需在平面A1EC内找一条线与平面ACC1A1垂直．证明：取A1C的中点F，AC的中点G，连接EF，FG，BG，则GF 12AA1．又BE 12AA1，∴GF BE．∴EF∥GB．∵△ABC是等边三角形，∴BG⊥AC．∴EF⊥AC．又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BG．∴EF⊥AA1．∵AC∩AA1＝A，∴EF⊥平面ACC1A1．∵EF⊂平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面ACC1A1．迁移与应用1．32．证明：∵PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴PA ⊥BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ．∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ．活动与探究2 思路分析：(1)证明面PAD ⊥面PCD ；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD ．PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ． 又CD ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．∴二面角A －PD －C 平面角的度数为90°． (2)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥PA ，AD ⊥PA ．∴∠BAD 为二面角B －PA －D 的平面角．又由题意∠BAD ＝90°， ∴二面角B －PA －D 平面角的度数为90°． (3)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥PA ，AC ⊥PA ．∴∠BAC 为二面角B －PA －C 的平面角．又四边形ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45°，即二面角B －PA －C 平面角的度数为45°．迁移与应用 1．∠C 1BC ∠C 1OC 2 2．∠SCA活动与探究3 思路分析：(1)取PC 中点G ，可证AF ∥EG ；(2)证明AF ⊥平面PCD ，则EG ⊥平面PCD ，可得平面PEC ⊥平面PCD ．证明：(1)取PC 的中点G ；连接EG ，FG ．∵F 是PD 的中点，∴FG12CD ．又AE 12CD ， ∴AE FG ．∴四边形AEGF 是平行四边形．∴AF ∥EG ． 又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又∵CD ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ． ∴CD ⊥AF ，CD ⊥PD ．∴∠PDA 是二面角P －CD －B 的平面角，即∠PDA ＝45°． 又∵PA ⊥AD ，F 是PD 中点，∴AF⊥PD．∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD．∵EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．迁移与应用1．C2．证明：如图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF．因为F为ABCD对角线AC 与BD的交点，所以F为AC的中点．又E为SA的中点，所以EF为△SAC的中位线，所以EF∥SC．又SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．又EF⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD．【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．垂直5．90°。

§2.3.2平面与平面垂直的判定1. 掌握平面与平面垂直的判定定理及二面角的定义；2. 掌握平面与平面垂直判定定理的应用，能解决简单的二面角求解问题。

教学重点：平面与平面垂直判定。

教学难点：平面与平面垂直判定和求二面角。

使用说明： （1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；预习案（20分钟）一．知识链接1．直线与平面垂直的判定定理？2. 直线与平面所成的角的定义？范围？求法？探究案（30分钟）二．新知探究实例：（1）修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度。

（2）发射人造地球卫星时，根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。

（3）随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？它们的取值范围分别是?组长评价： 教师评价：问题3：二面角的有关概念及度量（2）二面角的度量--------二面角的平面角 我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？ 应该怎样刻画二两角的大小呢？（模型演示）二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。

说明：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥l ，OB ⊥l ”；（2）∠AOB 的大小与点O 在l 上位置无关；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，范围：],0[πθ∈； （4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

问题4：两个平面互相垂直的概念：。

记作：。

怎样画能体现两个平面垂直？问题5：两个平面垂直的判定定理：。

符号语言：。

作用：。

学习目标：（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；合作探究：知识点1.二面角的定义及相关概念半平面：二面角：二面角的表示：二面角的画法：（1）卧式法（2）立式法二面角的平面角的定义：二面角的平面角的范围：题型一、定义法求二面角例1、如图四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱长均为2，求二面角A-BD-C 的大小。

题型二、无棱二面角的求法例2如图，过正方形ABCD 的顶点A 作PA 平面ABCD ，设PA=AB=a,求平面PAB 和平面PCD 所成的二面角的大小。

A CDB QP知识点2、两个平面垂直的定义，画法两个平面互相垂直：两个互相垂直的平面画法：平面α与β垂直，记作：知识点3、两个平面垂直的判定平面与平面垂直的判定定理：题型三、面面垂直的判定定理例3、如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PA C ⊥平面PBC 。

跟踪练习：如图，在三棱锥P-ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，D 、E 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，求证：（1）平面PBC ⊥平面PAB 。

（2）AD ⊥平面PBC 。

（3）平面ADE ⊥平面PAC 。

综合应用：若二面角βα--l 的一个半平面α上有一个点A ，点A 到棱l 的距离是它到另一个平面β的距离的2倍，则这个二面角的大小为___________。

“平面与平面垂直的判定”教案一、题目：平面与平面垂直的判定二、课程分析：直线与平面垂直的是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展。

它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空间中垂直位置关系间转化的重心，它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

三、学情分析：在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识。

同时已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。

但是，对于我们十一中的学生而言，他们的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。

四、教学目标：1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

五、教学重点：平面与平面垂直的判定。

教学难点：如何度量二面角的大小。

六、设计理念：七、教学流程：（一）、前提测评1、二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、平面与平面垂直的判定定理：__________________________________________________ ______________；这个定理说明要证明平面与平面垂直，可通过证明___________________垂直来实现。

（二）、目标展示（略）（三）、导学达标新知探究一：二面角的定义及相关概念半平面：二面角：二面角的表示：二面角的画法：（1）卧式法（2）立式法新知探究二：二面角的平面角的定义（怎样来度量二面角？）二面角的平面角：问题1：二面角的平面角必须满足哪几个条件？二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。

2.3.2平面与平面垂直的判定【教学目标】1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3.2平面与平面垂直的判定》课件“新课导入”部分，让学生与大家分享自己的了解。

通过互相交流，引入本节课要学习的知识.二、自主学习知识点一二面角1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．2．相关概念：①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．3．画法：4．记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q，或P－AB－Q.5.二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：α⊥β.2．判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β三、合作探究问题1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角．问题2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角．问题3建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直．探究点1定义法判定两平面垂直例1如图，在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.解因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，所以AE＝AB2－BE2＝22a.同理CE＝22a，在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a.由于AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，所以AE⊥面BCD.又AE⊂面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.反思与感悟 1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：(1)找出两相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．2．此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理，解答时要特别注意．探究点2面面垂直的判定定理判定两平面垂直例2如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD.证明∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.反思与感悟利用面面垂直的判定定理证明两平面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．探究点3求二面角的大小例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值．解 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB ，又CD ⊥AA 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，所以C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)如图，取D 1为A 1B 1的中点，连接DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角． 因CD ⊥面A 1ABB 1，AB 1⊂面A 1ABB 1，所以AB 1⊥CD ，又已知AB 1⊥A 1C ，A 1C ∩CD ＝C ，所以AB 1⊥面A 1CD ，故AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8， 得AA 1＝2 2.从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3.所以，在Rt △A 1DD 1中，cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63. 反思与感悟 求二面角的大小应注意做题的顺序，一般情况下，是先作出二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着是求出这个角的值，最后说明二面角为多少度．这个过程可以简记为：作(找)、证、求、答．四、当堂测试1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直答案 C解析由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案 B解析①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B.3.如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________．答案60°解析如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO 是二面角A －BC －O 的平面角．由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC .又∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，∴设AO ＝a ，则AC ＝2a ，AB ＝2a .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ，∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a . 在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32. ∴∠ADO ＝60°.即二面角A －BC －O 的大小是60°.4.如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：面EFC ⊥面BCD .证明 ∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC .∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?1．求二面角的步骤简称为“一作二证三求”．2．作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．3．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．。

2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定一、课标解读（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握直线和平面所成角的概念（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（5）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

二、自学导引问题1：（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、树干与地面的位置有什么关系？（2）请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？ （3）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？有什么生活实例能验证这一关系呢？直线与平面垂直的定义：用符号语言表示为：问题2：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD 与桌面垂直吗？DCBA②如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ 直线与平面垂直的判定定理：用符号语言表示为：问题3：直线与平面所成角的概念？问题4：怎样作出二面角的平面角？问题5：平面与平面垂直的定义？问题6：两个平面互相垂直的判定方法有哪些？ 三、典例精析例1 已知两两垂直所在平面外一点，是PC PB PA ABC P ,,∆,H 是ABC ∆ 的垂心.求证：⊥PH 平面ABC变式训练1 如图所示，ABC PA O C O AB 平面上的一点，为圆的直径，为圆⊥, F CP AF E BP AE 于于⊥⊥,.求证：AEF BP 平面⊥例2 如图所示,已知 60,90=∠=∠=∠CSA BSA BSC ,又SC SB SA ==. 求证:平面SBC ABC 平面⊥变式训练２ 如图所示,在四面体ABCD 中,AC CD CB AD AB a BD =====,2 =a ,求证:平面BCD ABD 平面⊥._ C例3 如图所示,已知的斜线，是平面内，在平面ααOA BOC ∠且AOCAOB ∠=∠=60,a OC OB OA ===,a BC 2=,求所成的角与平面αOA .变式训练3 如图所示，在矩形ABCD 中，3,33==BC AD ,沿着对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到'C 点，且'C 点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上.（1）求证：D AC BC ''平面⊥（2）求直线AB 与平面D BC '所成角的正弦值四、自主反馈1. 如图BC 是Rt ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α 垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个2.下列说法正确的是 ( ) A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 ( )A.aB. 2aC.22a D. 3a 4.已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 。

（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.（二）教学重点、难点重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小.（三）教学方法实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？复习巩固，以旧导新探索新知一、二面角1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变.通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握.ABαβ--. 有时为了方便，也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P 、Q ，将这个二面角记作二面角P – AB – Q .如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P –l – Q .2．二面角的平面角 如图（1）在二面角c αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O 点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.探索新知 二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.学生自学，教师点拔一下注意事项.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理.培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达能力.典例分析例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC.师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A –PC–B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中一个平面内找(作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.随堂练习1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S –EFG中必有（ A ）A．SG⊥EFG所在平面B．SD⊥EFG所在平面C．GF⊥SEF所在平面D．GD⊥SEF所在平面2．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？学生独立完成巩固知识提升能力答：面ABC⊥面BCD 面ABD⊥面BCD面ACD⊥面ABC.归纳总结1．二面角的定义画法与记法.2．二面角的平面角定义与范围.3．面面垂直的判定方法.4．转化思想.学生总结、教师补充完善回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力课后作业2.3 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1 如图，平面角为锐角的二面角EFαβ--，A∈EF，AGα⊂，∠GAE = 45°若AG 与β所成角为30°，求二面角EFαβ--的平面角.【分析】首先在图形中作出有关的量，AG与β所成的角(过G到β的垂线段GH，连AH，∠GAH = 30°)，二面角EFαβ--的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH建立联系，抓住GH⊥β这一特殊条件，作HB⊥EF，连接GB，利用相关关系即可解决问题.【解析】作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连结GB，则CB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角.又∠GAH是AG与β所成的角，设AG = a，则21,2GB a GH a==，2sinGHGBHGB∠==.所以∠GBH = 45°反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是S A的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD．【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD”与需证结论“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁．【证明】连结AC、BD，交点为F，连结EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC．∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．又EF⊂平面BDE，BSC∴平面BDE ⊥平面ABCD ．【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键． 例3 如图，四棱锥P – ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ．证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．【分析】由△PAD ≌ △PCD ，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作AE ⊥DP ,垂足为E ，连接EC ，则△ADE ≌△CDE ．∴AE = CE ，∠CED = 90°．故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与BD 相交于点O ．连接EO ，则EO ⊥AC ．∴2a OA AE AD a =<<=， 在△AEC 中，222(2)cos 2AE EC OA AEC AE EC+-∠=⋅ =(2)(2)0AE OA AE OA +-<，∴∠AEC ＞ 90°．所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°． 【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．。

浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定导学案新人教A版必修2一、预案知识点1：二面角的定义__________________________________________________________________知识点2：度量二面角的大小（二面角的平面角）二面角的平面角：_______________________________________________________________知识点3：两个平面互相垂直两个平面互相垂直：_________________________________________两个互相垂直的平面画法：平面 与β垂直，记作：_________知识点4：面面垂直的判定定理判定两个平面互相垂直的定理: _______________________________________二、导案1.学习目标:1）．正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；2）．掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用。

2.学习重、难点重点: 平面与平面垂直的判定；难点:选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题。

3.教学过程：问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：观察打开的门与门框所在平面所成的角，请你类比平面角尝试用数学的语言来描述它。

问题3：我们常说“把门开大些”，是指哪个角大一些？我们应该怎样刻画二面角的大小呢？问题4：这个角的边与二面角的棱有什么关系？角AOB的大小与点O在L上的位置有关吗？问题5：教室相邻的两个面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱平面及其度数。

问题6：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理？例2：已知AB ⊥平面BC D ，BC ⊥CD 你能发现哪些平面互相垂直，为什么？例3:如图四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱长均为2，求二面角A-BD-C 的大小。

必修一 2.3.2平面与平面垂直的判定（一） 导学案 年级高一 学科数学 授课时间_______ 主备人张连君审核人孟凌云 答题人________ ◆课 题：2.3.2平面与平面垂直的判定（一）◆课 型：新授课◆学习目标：1. 理解二面角、二面角的平面角等概念；2. 会求二面角的大小；3.熟练掌握面面垂直的判定定理◆重点难点：求二面角的大小；会利用面面垂直的判定定理解决相关问题；◆学法指导：合作探究◆学习过程【导入课程】复习回顾（1）线面垂直的判定定理：________________________________________________（2）求线面角的方法：____________________________________________________（3）线面角的范围：_____________________【自主学习】1、（1）二面角：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做____________,___________叫做二面角的面。

（2）如右图中的二面角可以记为。

βα--l 的二面角也可以记为、为βα，面分别AB 棱为 ，把二、个半平面内分别取点。

为了方便也可以在两Q P AB βα--。

为Q AB P 面角记--（3）二面角的平面角：如图在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在两个半平面内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角。

【注】①二面角不是个角，是一个图形；二面角的平面角是一个角；②的大小与点AOB ∠在O 上的l 位置有没有关系？二面角的平面角唯一吗？（4）根据二面角的定义，写出二面角的取值范围：_____________________;特别的，当两个平面βα、所成二面角是__________的时候,我们就说这两个平面相互垂直，记作__________.在下方分别画一个锐二面角、钝二面角、直二面角，并作出它们的平面角。

课题：2.3.2平面与平面垂直的判定【使用说明及学法指导】1.阅读探究课本P67-P69的基础知识，自主高效预习，完成预习自学提纲；2.结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。

3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。

【学习目标】1.掌握面面垂直的定义．2．掌握面面垂直的判定定理，并能用来证明面面垂直．3．掌握二面角及其平面角的概念，会求简单二面角的大小．4.通过自主学习、合作讨论探究，体验学习的快乐;5.小组合作探究时，激情投入.【预习案】一.复习旧知1．直线与平面垂直的判定定理是：．2．直线和平面所成的角是．3．空间两个不重合平面的位置关系有．二．预习新知1．二面角的有关概念(1)半平面的定义：平面的一条直线，把这个平面分成部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角的定义：从一条直线出发的两个所组成的叫做二面角．其中的直线叫做二面角的，这两个半平面叫做二面角的．(3)二面角的记法：棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角 .有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作 .如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或二面角(4)二面角的平面角：在二面角的棱l上取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做．(5)直二面角：平面角是的二面角叫做直二面角．2．两个平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)表示法：两个互相垂直的平面通常画成如下图(1)(2)所示的样子，此时把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．平面α与β垂直，记为 .(3)两个平面互相垂直的判定定理①文字语言：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．②符号语言：.提示：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．学生独自写出证明过程．证明：思考1．作二面角的平面角的目的是什么？提示：平面角就是一个平面图形，可将二面角的求值问题转化到平面内进行，求其平面角的大小．2．作二面角的平面角的关键是什么？提示：二面角的平面角的三要素：(1)角的顶点在二面角的棱上．(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内．(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．【学以致用】1.建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，为什么？2.检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢？【预习自测】1．下列说法错误的是( )A．过二面角的棱上某一特殊点，分别在两个半平面内引垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角即为二面角的平面角B．和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角C．在二面角的一个面内引棱的垂线，该垂线与其在另一面内的射影所成的角是二面角的平面角D．二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于( )A.32B.22C. 2D. 33．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC4．如图，把直角三角形ABC 沿斜边上的高CD 折成直二面角A －CD －B 后，互相垂直的平面有______对．【我的疑惑】_____________________________________________________________________________________【探究案】 探究案一:面面垂直例：⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥α，C 为圆周上不同于A 、B的任意一点．求证：平面PAC ⊥平面PBC ． 探究案二: 二面角问题 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于________．【课堂小结】1.平面与平面垂直的判定定理 应用此定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现了面面垂直向线面垂直的转化．2.利用二面角证明平面垂直面面垂直就是二面角的大小是90°，可转化为其平面角的计算来证明．二面角大小的计算3.求二面角大小的步骤是：(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．【训练案】1．在下列关于直线l ，m 与平面α，β的命题中，正确的命题是( ) A ．若l ⊂β且α⊥β，则l⊥α B ．若l⊥β且α∥β，则l⊥α C ．若l⊥β且α⊥β，则l∥α D ．若α∩β＝m 且l∥m，则l∥α 2．已知三条直线m ，n ，l ，三个平面α，β，γ，则在下面四个命题中，正确的是( )A.⎭⎪⎬⎪⎫α⊥γβ⊥γ⇒α∥β B.⎭⎪⎬⎪⎫m⊥βl⊥m ⇒l∥βC.⎭⎪⎬⎪⎫m∥γn⊥γ⇒m∥nD.⎭⎪⎬⎪⎫m⊥γn ⊂γ⇒m⊥n 3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( ) A ．相等 B ．互补C ．互余 D ．无法确定 4．以下三个命题中，正确的命题有( )①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面； ③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( )A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．不能确定 6．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE、△CDF、△BEF折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P ，那么在四面体P－DEF 中，必有( )A ．DM⊥平面PEFB ．PM⊥平面DEFC ．平面PDE⊥平面PEFD ．平面PDE⊥平面DEF7．若二面角α­l­β的平面角是锐角，点P 到α、β和棱l 的距离分别为22、4和42，则二面角的大小为________．8．已知平面α、β，直线a ，若α⊥β，α∩β＝直线l ，a⊥l，a∥α，则a 与β的位置关系为________． 9．如图，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点． 求证：平面BEF⊥平面BGD. 10．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝7，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE⊥A 1E.求证：平面A 1DE⊥平面ACC 1A 1.11．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ；(2)平面EFC⊥平面BCD.【我的收获】 。

2.3.2平面与平面垂直的判定【自主学习】1、二面角(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角(如图)． 叫做二面角的棱，叫做二面角的面．记法： ，在α，β内，分别取点P 、Q 时，可记作 ；当棱记为l 时，可记作 或 .2、二面角的平面角:①定义：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，如图所示，以点O 为垂足，在 分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB 叫做 ． ②直二面角：平面角是 的二面角．3、面面垂直的定义(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：如图（3）记作： .4、两平面垂直的判定(1)文字语言：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直．(2)图形语言：如图．(3)符号语言： ⇒【释疑点拨】1．对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想．(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.2．对于平面与平面垂直的判定定理的理解平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可．【交流展示】例1 如图，已知AB ⊥平面BCD,BC ⊥CD,你能发现那些平面互相垂直，为什么？例2 已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同与A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC[例3] 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．[思路点拨] (1)证明面PAD⊥面PCD； (2)定义法确定二面角；(3)∠BAC为所求角，可求．【达标训练】1、如图，P是边长为22的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，求二面角P-BD-A的余弦值。

第二章2.3.2 平面与平面垂直的判定与性质【学习目标】2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想.【学习重点】平面与平面垂直的判定与性质【知识链接】（1）若直线垂直于平面，则这条直线垂直于平面内的任何直线；（2）直线与平面垂直的判定方法有：（3）直线与平面垂直的性质定理有：__________________________________________________.【基础知识】1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图1中的二面角可记作：二面角ABαβ--或lαβ--或P AB Q--.图1 图22.如图2，在二面角lαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线,OA OB，则射线OA和OB构成的AOB∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角. 3.两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图3，α垂直β，记作αβ⊥.图34.两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（简记：线面垂直，面面垂直）反思：定理的实质是什么?5.平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（简记：面面垂直，线面垂直）两个平面垂直的性质还有：⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.【例题讲解】例1 如图4，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于,A B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.（教材）l图4例2如图5，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a 满足a β⊥，a α⊄，求证：a ∥面α.图5例3 如图6，平面α⊥平面γ，βγ⊥平面平面，l αβ=I ，求证：l γ⊥.（教材73页5题）图6【达标检测】1. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ C ）. A.,//,//m n m n αβ⊥ B.,,m n m n αβα⊥=⊂I C.//,,m n n m βα⊥⊂ D.//,,m n m n αβ⊥⊥2. 下列命题错误的是（ A ）.A.αβ⊥⇒α内所有直线都垂直于βB.αβ⊥⇒α内一定存在直线平行于βC.α不垂直β⇒α内不存在直线垂直βD.α不垂直β⇒α内一定存在直线平行于β3. 已知αβ⊥，下列命题正确个数有（ C ）. ①αβ内的已知直线必垂直于内的任意直线②αβ内的已知直线必垂直于内的无数条直线 ③α内的任一直线必垂直于βA.3B.2C.1D.04. 已知αβ⊥，,a b αβ⊂⊂，b 是α的斜线，a ⊥b ，则a 与β的位置关系是（ C ）. A.a ∥β B. a 与β相交不垂直 C. a β⊥ D.不能确定5. 若平面αβ⊥平面，直线a α⊂，则a 与β的位置关系为相交或平行或在面内.6. 直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥,αβ⊥，则n 和β的位置关系为相交或平行或在面内.7. 如图8，,,CD CD AB αββ⊥⊂⊥，CE ,EF ⊂α，90FEC ∠=°，求证：面EFD ⊥面DCE .图88. 如图9，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=，求证：312cos cos cos θθθ=图9βαD F EC B A。

§2.3.2 平面与平面垂直的判定高一数学备课组 李源1. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.一、课前准备 （预习教材P 67~ P 69，找出疑惑之处）二、新课导学※ 典型例题例1 如图11-5，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O所在的平面，C 是圆周上不同于,AB 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC .图11-5例2 如图11-6，在正方体中，求面A D CB ''与面ABCD 所成二面角的大小（取锐角）.图11-6小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角. ※ 动手试试练. 如图11-7，在空间四边形SABC 中，A S C ∠=90°，60ASB BSC ∠==°，SA SB SC ==，⑴求证：平面ASC ⊥平面ABC .⑵求二面角S AB C --的平面角的正弦值.图11-7三、总结提升※ 学习小结1. 二面角的有关概念，二面角的求法；2. 两个平面垂直的判定定理及应用.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 以下四个命题，正确的是（ ）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ ）.A.,//,//m n m n αβ⊥B.,,m n m n αβα⊥=⊂C.//,,m n n m βα⊥⊂D.//,,m n m n αβ⊥⊥3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ ）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行4. 二面角的大小范围是________________.5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.课后作业1. 如图11-8，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=，求证：312cos cos cos θθθ=图11-82. 如图11-8，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值.（取锐角）图11-8。