人教版高中数学全套教案导学案231直线与平面垂直的判定2

2.3.1直线与平面垂直的判定【教学目标】1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.【教学重难点】教学重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

教学难点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

【教学过程】1. 从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义．2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么设计意图：主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则)设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法．通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法．3.探究直线与平面垂直的判定定理创设情境猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理．学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（组织学生动手操作、探究、确认）设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直．问题6：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD 抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线．问题7：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）问题8：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出“为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解．4.直线与平面垂直判定定理的应用如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理． 3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通．5.总结反思，当堂检测（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述．（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？检测设计1．课本66P探究：如图2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1．2．如图９，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．【板书设计】一、直线与平面垂直的定义二、直线与平面垂直的判定定理三、例题例1变式1【作业布置】课本67P练习22.3.1直线与平面垂直的判定导学案课前预习学案一、预习目标：借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；二、预习内容：问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么直线与直线垂直是的定义________________________________________________________________思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？(3) 如何判定一条直线直线和平面垂直呢？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：（1）探究出直线与平面垂直的判定定理（2）利用定理解决实际问题学习重点：运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

第二章第三节直线与平面垂直判定三维目标1.理解直线和平面垂直定义及判定定理；2.会判定直线和平面垂直；3.了解直线和平面所成角.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.举出现实生活中，直线和平面垂直例子.问题2.直线与平面垂直定义是什么?有什么作用? 并请用图形语言和符号语言表示垂直定义.问题3. 除定义外如何判断直线和平面垂直？请用符号语言与图形语言表示出来.问题4. 线面角定义是怎样?线面角范围在什么范围?请用图形语言和符号语言表示线面角.【学做思2】1. 如图2.3-6，已知a ∥b ，a α⊥，求证：b a ⊥.图2.3-62．如图3.3-9，在正方体中，求直线A B '和平面A B CD ''所成角.图2.3-93. 如图10-11，在正方体中，O 是底面中心，B H D O ''⊥，AD C '.图10-11达标检测1.过ABC ∆所在平面α外一点，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA 、PB 、PC .(1)若PA=PB=PC,C ∠=︒90,则O 是AB 边 点.(2)若PA=PB=PC,则点O 是ABC ∆ 心.(3)若PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，则点O 是ABC ∆ 心.2.求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面任何垂线都和这条直线垂直.*3.如图，已知ABC ∆为等腰直角三角形，P 为空间一点，且BC AC =25=，AC PC ⊥， BC PC ⊥ ，5=PC ，AB 中点为M ，求PM 与平面ABC 所成角* 4.如图，在三棱锥ABC S -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形， 90=∠BAC ，O 为BC 中点．证明：⊥SO 平面ABC。

第一课时直线与平面垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.2．过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法.3．情态、态度与价值观培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.（二）教学重点、难点重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理；（2）直线和平面所成的角.难点：直线与平面垂直判定定理的探究.关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？……师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.探索新知二、直线和平面垂直的判定1．试验如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）.学生动手实验，然后回答问题.生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直.师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.师：怎么证明？生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD……师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.典例剖析例 1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.证明：在平面α内作两条相交直线m、n.因为直线a⊥α，根据直线师：要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线的垂直，又a∥b，问题转化为a与面α内任意直线m垂直，这个结论显然成立.学生依图及分析写出证明巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.与平面垂直的定义知 a ⊥m ，a ⊥n .又因为b ∥a ， 所以b ⊥m ，b ⊥n . 又因为,m n αα⊂⊂，m 、n 是两条相交直线，b ⊥α.过程.……师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.探索新知二、直线和平面所成的角 如图，一条直线PA 和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A 叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线AO 叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.借助多媒体讲授，提高上课效率.典例剖析 例2 如图，在正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.分析：找出直线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，就可以求出A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.解：连结BC 1交B 1C 于点O ，连结A 1O .师：此题A 1是斜足，要求直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角，关键在于过B 点作出（找到，面A 1B 1CD 的垂线，作出（找到）了面A 1B 1CD 的垂线，直线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影就知道了，怎样过B 作平面A 1B 1CD的垂线呢？生：连结BC 1即可. 师：能证明吗？ 学生分析，教师板书，共点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1， A 1B 1⊥B 1B ，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1.所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面A 1B 1CD .所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，∠BA 1O 为A 1B与平面A 1B 1CD 所成的角.在Rt △A 1BO 中，12A B a =，22BO a =， 所以112BO A B =， ∠BA 1O = 30°因此，直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.同完成求解过程.随堂练习1．如图，在三棱锥V –ABC 中，VA = VC ，AB = BC ，求证：VB ⊥AC .2．过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC .（1）若PA = PB = PC ，∠C =90°，则点O 是AB 边的 心.（2）若PA = PB =PC ，则点O 是△ABC 的 心.（3）若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PB ⊥P A ，则点O 是△ABC 的 .心.3．两条直线和一个平面所学生独立完成 答案： 1．略2．（1）AB 边的中点；（2）点O 是△ABC 的外心；（3）点O 是△ABC 的垂心.3．不一定平行. 4．AC ⊥BD .巩固所学知识成的角相等，这两条直线一定平行吗？4．如图，直四棱柱A ′B ′C ′D ′ – ABCD （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么条件时，A ′C ⊥B ′D ′？归纳总结 1．直线和平面垂直的定义判定2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.3．线线垂直线面垂直学生归纳总结教师补充巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力.课后作业2.7 第一课时 习案学生独立完成强化知识 提升能力备选例题例1 如图，在空间四边形ABCD 中，AB = AD ，CB = CD ，M 为BD 中点，作AO ⊥MC ，交MC 于O ．求证：AO ⊥平面BCD ．【解析】连结AM∵AB = AD ，CB = CD ，M 为BD 中点． ∴BD ⊥AM ，BD ⊥CM ．又AM ∩CM = M ，∴BD ⊥平面ACM ． ∵AO 平面ACM ，∴BD ⊥AO ．又MC ⊥AO ，BD ∩MC = M ，∴AO ⊥平面貌BCD ． 【评析】本题为了证明AO ⊥平面BCD ，先证明≠了平面BCD 内的直线垂直于AO 所在的平面．这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直．这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决．例2 已知棱长为1的正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．【解析】取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连AO ． 由已知正方体，易知EO ⊥ABC 1D 1，所以∠EAO 为所求． 在Rt △EOA 中，11122EO EF AD ===，AE =，sin ∠EAO = EO AE=．所以直线AE 与平面ABC 1D 1【评析】求直线和平面所成角的步骤： （1）作——作出斜线和平面所成的角；（2）证——证明所作或找到的角就是所求的角；（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）（4）答．。

6.1垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定[学习目标] 1.理解直线与平面垂直的定义． 2.掌握直线与平面垂直的判定定理． 3.会利用判定定理证明或判断有关垂直的问题.【主干自填】1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的□01任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线与平面垂直的判定定理【即时小测】1．思考下列问题(1)旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系是什么？提示：异面垂直．(2)如果平面外一条直线l与平面α的两条相交直线垂直，那么l与α的位置关系是什么？提示：垂直．2．下列说法中正确的是()A．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥αB．如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αC．如果直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线D．如果直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直提示：D如图所示，直线l与α内的无数条直线垂直．但l与α斜交，故A不正确；同理B也不正确；同样由图，l不垂直于α，但α内有与l垂直的直线，且这样的直线有无数条，故C不正确，D正确．3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β提示：C选项A中的m，n可以相交，可以平行，也可以异面，故A错误；选项B中的α与β可以平行，也可以相交，故B错误；选项C是直线与平面垂直的重要结论，故C正确；选项D中的m与β的位置关系可以是平行、相交、m 在β内，故D错误．4．如果一条直线垂直于①三角形的两边，②梯形的两边，③圆的两条直径，④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面图形所在平面垂直的是()A．①③B．②C．②④D．①②④提示：A由直线与平面垂直的判定定理可知，①③能保证该直线与平面垂直，②④不能．因为梯形和正六边形中有平行的两条边．例1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.求证：(1)AC⊥平面B1D1DB；(2)BD1⊥平面ACB1.[证明] (1)∵BB1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，∴BB1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面B1D1DB.(2)连接A1B.由(1)知AC⊥平面B1D1DB，∵BD1平面B1D1DB，∴AC⊥BD1.∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，∴A1D1⊥AB1.又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1＝A1，∴AB1⊥平面A1D1B.∵BD1平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1.类题通法线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件.[变式训练1]如图，Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD.又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，∵BD平面ABC，∴SD⊥BD.∵AC∩SD＝D.∴BD⊥平面SAC.例2如图，已知四棱锥S－ABCD中ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AE ⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.[证明] (1)∵SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC.又∵SC平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF.∵AF平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，AD∩SA＝A，∴DC⊥平面SAD.又AG平面SAD，∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC.∵SD平面SDC，∴AG⊥SD.类题通法线线垂直的证明方法(1)由线面垂直的定义，即l⊥α，aα⇒l⊥a.(2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等．[变式训练2]如图，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.证明取BD中点为E，连接AE，CE.∵AB＝AD，∴AE⊥BD.又∵CB＝CD，∴CE⊥BD.而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC.又∵AC平面AEC，∴AC⊥BD.例3三棱锥P－ABC中，PO⊥平面ABC，P A⊥BC，PB⊥AC.求证：(1)O是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.[证明] (1)连接OA，OB.∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC.又P A⊥BC，PO∩P A＝P，∴BC⊥平面P AO.又AO平面P AO，∴BC⊥AO，即O在△ABC的BC边的高线上．同理，由PB⊥AC可得O在△ABC的AC边的高线上．∴O是△ABC的垂心．(2)连接OC，由(1)可知OC⊥AB.又由PO⊥平面ABC得PO⊥AB，又OC∩PO＝O，∴AB⊥平面PCO.又PC平面PCO，∴AB⊥PC.类题通法根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直.本题的证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化.[变式训练3]已知点P是△ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，则点P 在平面ABC上的射影一定是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心答案B解析如图所示，设点P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC.因为P A＝PB＝PC，OP＝OP＝OP，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以∠APO ＝∠BPO＝∠CPO，所以△P AO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO.即点O到三角形三个顶点的距离相等，所以点O为△ABC的外心．易错点⊳运用线面垂直的判定定理时忽略条件[典例] 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，O为ABCD 的中心，试判断OB1与平面ABCD是否垂直？[错解] 如下图，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OB1.∵AB1＝B1C，∴OB1⊥AC.又AC平面ABCD，∴OB1⊥平面ABCD.[错因分析] 错解在运用线面垂直的判定定理时，忽略了该定理的使用条件，从而致错．[正解]∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∵OB1∩BB1＝B1，∴OB1不垂直于平面ABCD.课堂小结直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.1．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析对①②⑤，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在答案B解析若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC答案C解析由已知得P A⊥平面ABC，所以P A⊥BC，即选项A正确；又由已知AC⊥BC，且AC与P A交于点A，得BC⊥平面P AC，进而BC⊥PC，即选项B、D正确；P A⊥平面ABC，可证得P A⊥AC，若AC⊥PB，得AC⊥平面P AB，故AC ⊥AB，与已知矛盾，所以选项C不正确，故选C.4．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列说法错误的是() A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α答案B解析A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．时间：25分钟1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()A．b⊥βB．b∥βC．bβD．bβ或b∥β答案A解析∵a⊥α，a∥b，∴b⊥α.又∵α∥β，∴b⊥β.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案B解析连接A1D、B1C，由ABCD－A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．有一个或无数个D．可能不存在答案C解析当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．4．如下图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF 的中点，现沿AE、AF、EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是()A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF答案A解析∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G∴AG⊥平面EFG.5．如图所示，BC是Rt△ABC的斜边，P A⊥平面ABC，PD⊥BC于点D，则图中直角三角形的个数是()A．8 B．7C．6 D．5答案A解析易知P A⊥AC，P A⊥AD，P A⊥AB，BC⊥AD，BC⊥PD，AC⊥AB.图中的直角三角形分别为△P AC，△P AD，△P AB，△ADC，△ADB，△PCD，△PDB，△ABC，共8个，故选A.6．如下图，α∩β＝l，点A、C∈α，点B∈β，且BA⊥α，CB⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定答案C解析∵BA⊥α，α∩β＝l，∴BA⊥l，同理CB⊥l，而BA∩CB＝B，∴l⊥平面ABC，而AC平面ABC，∴l⊥AC.故选C.7．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面ABCD外一点，且P A ＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的位置关系是________．答案垂直解析由P A＝PC，PB＝PD，知PO⊥AC，PO⊥BD.又AC∩BD＝O，故PO ⊥平面ABCD.8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则平面AB1C，平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中，与直线OM垂直的是________．答案平面AB1C，平面A1C1D解析因为AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM，同理可证B1C⊥OM，AC∩B1C ＝C，所以OM⊥平面AB1C；同理，OM⊥平面A1C1D.9．如图，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，BE⊥CD于E，AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD.证明取AB的中点F，连接CF，DF.∵AC＝BC，∴CF⊥AB.又AD＝BD，∴DF⊥AB.∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.又CD平面CDF，∴AB⊥CD.又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.又AH平面ABE，∴CD⊥AH.又AH⊥BE，且BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD.10．如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD.∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB平面ABE，AE平面ABE，∴PD⊥平面ABE.。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定问题导学一、直线与平面垂直的证明活动与探究1如图所示，Rt△A BC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．迁移与应用1．一直线和三角形两边所在直线都垂直，则该直线和三角形所在平面的位置关系是__________．2．在三棱锥V－ABC中，VA＝VC，BA＝BC，O是AC的中点，则AC与平面VOB的关系是________．利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直，就是在平面内找(或作)两条相交直线，再证明已知直线与这两条相交直线都垂直．二、直线与平面垂直定义的应用活动与探究2如下图，已知AP⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．迁移与应用1．如图，P为△ABC所在平面外的一点，且PA，PB，PC两两垂直，则PA与BC的关系是__________．2．如下图，α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B．求证：CD⊥AB．在立体几何中，为证两直线垂直，常需证明一条直线与另一条直线所在的平面垂直．这体现了线线垂直与线面垂直的相互转化，也是证明两直线垂直的重要方法．三、直线与平面所成的角活动与探究3如图所示，Rt△BMC中，斜边BM=5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．迁移与应用如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．求斜线与平面所成角的步骤：①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；③把该角放入三角形中计算．当堂检测1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．32．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB3．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b D．a与b不一定垂直4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为__________．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数为__________．用最精练的语言把你当答案：课前预习导学【预习导引】1．任意一条垂直l⊥α垂线垂面垂足预习交流1(1)提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．(2)提示：l⊥a．2．(1)两条相交直线(3)a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b预习交流2(1)提示：定理中“相交”二字不可去掉，否则直线与平面不一定垂直．(2)提示：设法在平面内找(或作)两条相交直线与已知直线垂直．3．(1)斜线斜足(2)垂足O和斜足A(3)射影锐角(4)直角0°0°≤θ≤90°课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：由于D是AC中点，SA＝SC，则SD是△SAC的高，可证△SDB≌△SDA．由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA ＝SB，∴△ADS≌△BDS．∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC．(2)∵BA ＝BC ，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ． 又由(1)知SD ⊥BD ，于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线．∴BD ⊥平面SAC ． 迁移与应用 1．垂直 2．AC ⊥平面VOB活动与探究2 思路分析：要证AE ⊥平面PBC ，∵AE ⊥PC ，只需证AE ⊥BC ； 要证AE ⊥BC ，只需证BC ⊥平面PAC ．证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面，而BC 在⊙O 所在平面内，∴PA ⊥BC ． 又∵AB 为⊙O 直径，∴AC ⊥BC ．又PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ．∵AE ⊂平面PAC ， ∴BC ⊥AE ．又∵AE ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ， ∴AE ⊥平面PBC ． 迁移与应用 1．垂直2．证明：∵EA ⊥α，CD ⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA ．同样，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD ． 又EA ∩EB ＝E ，∴CD ⊥平面AEB ．又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB ．活动与探究3 解：由题意知，A 是M 在平面ABC 内的射影， ∴MA ⊥平面ABC ．∴MC 在平面CAB 内的射影为AC ． ∴∠MCA 即为直线MC 与平面CAB 所成的角．又∵在Rt△MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°，∴MC ＝BM ·sin∠MBC ＝5sin 60°＝5×32＝523． 在Rt△MAB 中，MA ＝MB 2－BA 2＝52－42＝3．在Rt△MAC 中，sin∠MCA ＝MA MC ＝3523＝253．即MC 与平面CAB 所成角的正弦值为253．迁移与应用 解：取AA 1的中点M ，连接EM ，BM ．因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD ．又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3，于是在Rt△BEM 中，s in∠EBM ＝EM BE ＝23，即直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23． 【当堂检测】1．B 2．B 3．C 4．135．4。

普通高中课程标准实验教科书人教A版（必修2）§2.3.1直线与平面垂直的判定（一）课堂同步学案学习目标：理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理，对判定定理进行初步应用.学习重、难点：直线与平面垂直的定义和判定定理。

复习回顾（课前3分钟）：1.直线与平面的位置关系有哪三种?2.直线m在平面α内，直线n与平面β平行，分别用符号语言如何表示？3.直线与平面平行的判定定理中蕴含什么样的数学思想？4.试列举生活中直线与平面相交的例子？5.直线与平面平行中分别研究了定义、判定、性质、应用。

你认为对于直线与平面的垂直，应该研究什么内容？体现了哪种数学思想？新知一.直线与平面垂直的定义：1.定义：如果直线l与平面α内的垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直. 图形语言和符号语言是什么？2.思考:（1）定义中的“任意一条”四个字怎么理解？（2）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条．．．直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？新知二 .直线与平面垂直的判定定理：1.提出问题：利用定义直接判断直线与平面垂直的不易操作的原因是什么？2.类比猜想：类比直线与平面平行的判定，你认为最少需要几条就能判定直线与平面垂直？3.确认猜想：请拿出准备好的三角形纸片，进行以下实验和思考（1）如右图1沿折痕AD翻折纸片，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触），AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折，折痕AD才能与桌面垂直？（3）如右图2对这张纸片任意翻折，翻折后竖起放置在桌面上，折痕垂直桌面时需要满足什么条件？（4）通过实验验证，你得到什么结论？4.归纳定理：一条直线与一个平面内的直线都垂直，则该直线与此平面垂直．图形语言和符号语言是什么？5.思考:判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”（1）如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面.( )（2）与三角形的两条边同时垂直的直线，垂直三角形的第三条边.()（3）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，A1C1⊥平面DD1B1B.( )新知三 .初步应用：例1.跟踪训练：如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是圆周上一点，证明：BC⊥平面P AC课堂小结：通过本节课的学习，你的收获是什么？作业布置：1.作业本：课本P67练习12.课下思考：课本P66探究3.预习课本P66-67学习反思：AB D CA BACBDD1C1.,,//αα⊥⊥baba求证：如图，已知αabAB C。