第十八章 含参变量的广义积分

目录摘要 (1)前言 (2)一、预备知识 (2)（一）、含参变量积分的定义 (2)（二）、含参变量反常积分的定义 (2)（三）、定理 (3)1、含参变量积分的相关定理 (3)2、含参变量反常积分的相关定理 (4)二、含参变量积分的应用 (5)（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式 (5)1、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式 (5)2、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式 (6)（二）、证明等式 (7)（三）、证明不等式 (9)（四）、求极限 (10)（五）、求隐函数的导数 (12)三、含参量反常积分的性质 (13)（一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性 (13)1、局部一致收敛概念 (13)2、连续的等价条件 (13)3、几种收敛性的关系 (15)（二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法 (17)1、主要结果 (17)2、主要引理 (18)（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法 (21)1、利用反常积分的定义和变量替换求解 (21)2、通过建立微分方程求积分值 (21)3、引入收敛因子法求解 (22)4、级数解法 (23)5、利用其他的积分 (24)总结 (25)参考文献 (25)含参变量积分赵洁（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。

首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。

关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分Parameter IntegralZhao Jie(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract：In this paper, two kinds of parameter integral are studied:parameter (normal) integral and parameter improper integral.Firstly their definitions and related theorems are given;Secondly the applications of parameter (normal) integral in proving equality,proving inequality and solving limit are introduced;Finally the qualities and some special solving methods of parameter improper integral are given.Keywords：parameter integral;double integral;definite integral;improper integral;locally uniformly convergence;uniform covergence;parameter improper integral前言含参变量积分是一类比较特殊的积分, 由于含参变量积分是函数且以积分的形式给出，所以含参变量（正常）积分在积分的计算，等式的证明，不等式的证明及极限的求解等方面都有着广泛的应用。

含参量广义积分
广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间无限分割后的极限求和。

在实际应用中，有时需要对含有参数的函数进行积分，这就是含参量广义积分。

含参量广义积分的形式为：
$int_{a}^{+infty}f(x,t)dx$
其中，$t$为参数，$f(x,t)$为含有参数$t$的函数。

含参量广义积分的求解需要满足收敛性条件，即当$x$趋于无穷时，积分值能够收敛于一个有限的实数。

如果不满足收敛性条件，那么含参量广义积分的积分值就不存在。

对于一些特殊的函数，含参量广义积分可以通过换元、分部积分等方法进行求解。

例如，当$f(x,t)$为$e^{-tx^2}$时，积分的结果可以表示为$t$的函数形式。

含参量广义积分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。

例如，在统计物理中，可以通过对含参量广义积分的求解，得到粒子的分布函数。

在经济学中，含参量广义积分可以用来表示收益函数和成本函数。

总之，含参量广义积分是微积分中的一个重要概念，它在实际应用中具有广泛的应用价值。

- 1 -。

第十八章 含参变量的广义积分1． 证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) 220cos() (0)xy dy x a x y +∞≥>+⎰； (2) 20cos() ()1xy dy x y +∞-∞<<+∞+⎰； (3)1 ()x y y e dy a x b +∞-≤≤⎰； (4) 1cos (0,0)xy p y e dy p x y +∞->≥⎰； (5) 20sin (0)1p x dx p x+∞≥+⎰. 2． 讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：(1)20 (0)x dx αα-<<+∞⎰； (2) 0xy xe dy +∞-⎰，（i ）[,] (0)x a b a ∈>，（ii ）[0,]x b ∈； (3) 2()x e dx α+∞---∞⎰，（i ）a b α<<，（ii ）α-∞<<+∞； (4) 22(1)0sin (0)x y e xdy x +∞-+<<+∞⎰.3． 设()f t 在0t >连续，0()t f t dt λ+∞⎰当,a b λλ==皆收敛，且a b <。

求证：0()t f t dt λ+∞⎰关于λ在[,]a b 一致收敛.4． 讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) 220()x F x dy x y +∞=+⎰，(,)x ∈-∞+∞； (2) 20()1x y F x dy y+∞=+⎰，3x >； (3) 20sin ()()x xy F x dy y y ππ-=-⎰，(0,2)x ∈.5． 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续，含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,)a b 收敛，在x b =时发散，证明()I x 在[,)a b 不一致收敛.6． 含参变量的广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =），函数项级数 111(,)()n n A n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰ 在[,]a b 上一致收敛.7． 用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)c I x f x y dy +∞=⎰在[,]a b 的积分交换次序定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.8． 利用微分交换次序计算下列积分： (1) 210()()n n dx I a x a +∞+=+⎰ （n 为正整数，0a >）； (2) 0sin ax bx e e mxdx x--+∞-⎰（0,0a b >>）； (3) 20sin x xe bxdx α+∞-⎰(0α>). 9． 用对参数的积分法计算下列积分： (1) 220ax bx e e dx x --+∞-⎰（0,0a b >>）； (2) 0sin ax bxe e mxdx x --+∞-⎰（0,0a b >>）. 10． 利用2(1)2011y x e dy x+∞-+=+⎰计算拉普拉斯积分 20cos 1x L dx xα+∞=+⎰ 和120sin 1x x L dx x α+∞=+⎰. 11． 20(0)xy e dy x +∞-=>计算傅伦涅尔积分2001sin 2F x dx +∞+∞==⎰⎰ 和21001cos 2F x dx +∞+∞==⎰⎰. 12． 利用已知积分 0sin 2x dx x π+∞=⎰，202x e dx +∞-=⎰计算下列积分： (1) 420sin x dx x+∞⎰； (2) 02sin cos y yx dy yπ+∞⎰； (3)220x x e dx α+∞-⎰ (0)a >； (4) 2()0ax bx c e dx +∞-++⎰(0)a >； (5) 222()a x x e dx -++∞-∞⎰(0)a >. 13． 求下列积分： (1) 01cos t e tdt t+∞-⎰； (2) 220ln(1)1x dx x +∞++⎰. 14． 证明：(1) 10ln()xy dy ⎰在1[,]b b(1)b >上一致收敛； (2) 10y dx x ⎰在(,]b -∞ (1)b <上一致收敛. 15． 利用欧拉积分计算下列积分：(1) 10⎰；(2) ⎰；(3)⎰;(4)0a x ⎰ (0)a >； (5)6420sin cos x xdx π⎰； (6)401dx x +∞+⎰； (7)220n x x e dx +∞-⎰ （n 为正整数）；(8) 0π⎰； (9) 220sin n xdx π⎰ （n 为正整数）； (10) 1101ln n m x dx x -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰ (n 为正整数).16． 将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) 102m n x dx x-+∞+⎰；(2) 1⎰(3) 20tan n xdx π⎰； (4) 101ln p dx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰； (5) 0ln p x x e xdx α+∞-⎰(0)α>. 17． 证明： (1) 11()nx e dx n n +∞--∞=Γ⎰ (0)n >； (2) lim 1nx n e dx +∞--∞→+∞=⎰. 18． 证明：1110(,)(1)b a bx x B a b dx x α--++=+⎰； 10()sx s x e dx ααα+∞--Γ=⎰ (0)s >.。

§12.3 .含参变量的积分教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则． 教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．一、含参变量的有限积分设二元函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤有定义，[,],u αβ∀∈一元函数(,)f x u 在[,]a b 可积，即积分(,)baf x u dx ⎰存在.[,]u αβ∀∈都对应唯一一个确定的积分（值）(,)baf x u dx ⎰.于是，积分(,)baf x u dx ⎰是定义在区间[,]αβ的函数，表为()(,),[,]bau f x u dx u ϕαβ=∈⎰称为含参变量的有限积分，u 称为参变量.定理1.若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)bau f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ也连续.★说明：若函数(,)f x u 满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序. 定理2 .若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)b a u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可导，且[,]u αβ∀∈，有(,)()b a df x u u dx du uϕ∂=∂⎰， 或 (,)(,)bb a a d f x u f x u dx dx du u∂=∂⎰⎰. 简称积分号下可微分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理 3 .若函数(,)f x u 在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，则函数()(,)ba u f x u dx ϕ=⎰在区间[,]αβ可积，且{}{}(,)(,)bbaaf x u dx du f x u du dx ββαα=⎰⎰⎰⎰.简称积分号下可积分.★说明：若函数(,)f x u 满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即(),()a a u b b u ==.但[,]u αβ∀∈，对应唯一一个积分（值）()()(,)b u a u f x u dx ⎰，它仍是区间[,]αβ的函数，设 ()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰.下面给出函数()u ψ在区间[,]αβ的可微性.定理4.若函数(,)f x u 与fu∂∂在矩形域(,)R a x b u αβ≤≤≤≤连续，而函数()a u 与()b u 在区间[,]αβ可导，[,]u αβ∀∈，有(),()a a u b a b u b ≤≤≤≤，则函数()()()(,),[,]b u a u u f x u dx u ψαβ=∈⎰在区间[,]u αβ∈可导，且()''()(,)()[(),]()[(),]()b u a u df x u u dx f b u u b u f a u u a u du uψ∂=+-∂⎰二、例（I ）例1. 求函数1220()ln()F y x y dx =+⎰的导数(0)y >解：0y ∀>，暂时固定，0ε∃>，使1y εε≤≤，显然，被积函数22ln()x y +与22222ln()y x y y x y∂+=∂+ 在矩形域1(01,)R x y εε≤≤≤≤都连续，根据定理2，有11'2222002()ln()y F y x y dx dx y x y ∂=+=∂+⎰⎰11200122arctan 2tan 1x d y x atrc y y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 因为0,0,y ε∀>∃>使1y εε≤≤，所以0y ∀>，有'1()2tanF y atrc y=. 例2 .求0()ln(1cos ),1I r r x dx r π=+<⎰.解：:1r r ∀<，暂时固定，0k ∃>，使1r k ≤<，显然，被积函数及其关于r 的偏导数，即(,)ln(1cos )f x r r x =+ 与cos 1cos f x r r x∂=∂+ 在矩形区域(0,)R x k r k π≤≤-≤≤连续，根据定理2 ，有'00cos ()ln(1cos )1cos xI r r x dx dx r r x ππ∂=+=∂+⎰⎰=0011cos 111(1)1cos 1cos r x dx dx r r x r r x ππ+-=-++⎰⎰ 01.(0)1cos dx r r r r x ππ=-≠+⎰设tan 2xt =（万能换元），有222222111cos (1)(1)11dx t dt dt t r x r r t rt +==-+++-++⎰⎰⎰=221121dt x C r r t r⎫=+⎪⎪+-⎭+-⎰ 从而，1cos 2dx x r x ππ⎫==⎪⎪+⎭⎰. 于是，'()0)I r r rπ=≠ （3）又有'00lim ()lim 0r r I r r π→→⎛⎫=-= ⎝. 将'()I r 在0r =做连续开拓.令'(0)0.I =函数'()I r 在区间[,]k k -连续，对等式（3）等号两端求不定积分，有1()((ln ln I r dr r C r rππ+==++⎰ln(1C π=+.已知'(0)0.I =，有 1ln 2ln 2C ππ=-=.于是 ，11()ln(1ln ln 22I r πππ+=++=.例3 .证明：若函数()f x 在区间[,]a b 连续，则函数11()()(),[,](1)!x n a y x x t f t dt x a b n -=-∈-⎰是微分方程()()()n y x f x =的解，并满足条件'(1)()0,()0,()0n y a y a y a -=== .证明： 逐次应用定理4，求函数()y x 的n 阶导数，有'22'11()(1)()()()().()(1)!(1)!x n n a y x n x t f t dt x t f x x n n --=--+---⎰ =21()()(2)!x n a x t f t dt n ---⎰， ''31()()(),(3)!x n a y x x t f t dt n -=--⎰(1)()(),xn ay x f t dt -=⎰()()()n y x f x =，即函数()y x 是微分方程()()()n y x f x =的解，显然，当x a =时，'()()0,()0,()0n y a y a y a === .例4. 证明：若函数()f x 存在二阶导数，函数()F x 存在连续导数，则函数11(,)[()()]()22x atz atu x t f x at f x at F z dz a +-=-+++⎰是弦振动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂的解. 证明：根据定理4，有''11[()()()][()()()]22u f x at a f x at a F x at a F x at a t a∂=--++++---∂ ''1[()()]['()()]22a f x at f x at F x at F x at =+--+++- 22"'''2[()()][()()]22u a a f x at f x at F x at F x at t ∂=+++++--∂ ''11[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂ 2""''211[()()][()()]22u f x at f x at F x at F x at x a∂=++-++--∂于是，22""''211[()()][()()]22u a f x at f x at F x at F x at x a ∂⎧⎫=++-++--⎨⎬∂⎩⎭222u a x ∂=∂即(,)u x t 是弦振动方程22222u u a t x∂∂=∂∂的解 例5 .求积分1,0ln b ax x dx a b x-<<⎰.解法一 应用积分号下积分法.解： 函数()ln b ax x y x x -=的原函数不是初等函数，函数()y x 在0与1没定义，却有极限0lim0ln b ax x x x+→-=. 11111lim lim lim()1ln b a b a b ax x x x x bx ax bx ax b a xx-----→→→--==-=-. 将函数()y x 在0与1作连续开拓，即0,0,(),01,ln ,1.bax x x y x x x b a x =⎧⎪-⎪=<<⎨⎪-=⎪⎩从而，函数()y x 在区间[0,1]连续.已知()ln ln bb a yb y a ax x x y x x dy x x -===⎰而函数(,)y f x y x =在闭矩形域(01,)R x a y b ≤≤≤≤连续，根据定理3，有{}{}11100ln b abbyyaax x dx x dy dx x dx dy x-==⎰⎰⎰⎰⎰1101ln 111y bb aa x dy bdy y y a++===+++⎰⎰.解法二 应用积分号下微分法. 解： 设 1(),ln y ax x y dx a y b x-Φ=≤≤⎰根据定理2，有'11110001()ln 11y a y yyx x x y dx x dx x y y +⎛⎫-Φ==== ⎪++⎝⎭⎰⎰. 两端求不定积分，有()ln(1).1dyy y C y Φ==+++⎰ 令 y a =，有()0ln(1)a a C Φ==++，即 ln(1).C a =-+ 于是， 1()ln(1)ln(1)ln.1y y y a a +Φ=+-+=+ 令 y b =，有 11()ln .ln 1b a x x b b dx x a -+Φ==+⎰三、含参变量的无穷积分设二元函数(,)f x u 在区域(,)D a x u αβ≤<+∞≤≤有定义。

数学分析〔3〕〔Mathematical Analysis(3)〕教学大纲一、课程编号：040503二、课程类型：必修课学时/学分：48学时/3学分适用专业：理科〔非数学〕本科专业，如信息与计算科学专业先修课程: 数学分析〔1〕；数学分析〔2〕三、课程性质与任务数学分析〔3〕是理科〔非数学〕本科专业〔如信息与计算科学专业〕的一门重要根底课，立足于有限维空间的函数分析。

开设本课程的目的是使学生获得较系统的函数分析的根本概念、根底理论、根本方法和根本技巧，培养学生逻辑推理能力、运算能力、创新思维能力、自学能力、分析问题和解决问题的能力，为后继课程提供必要的知识，为对学生素质培养发挥作用，为进一步学习现代数学方法奠定必要的根底。

四、教学主要内容、根本要求及学时分配说明1：教学根本要求分为"掌握〞、"理解〞、"了解或会〞三个层次。

所谓掌握是指对根本概念要理解其实质并能给出直观背景，还能从正反两方面进展讨论；对根本理论要比拟熟悉其论证过程，能应用之作较好的推理论证及分析问题；对根本方法要到达比拟熟练的程度，能应用之作较好的运算和解决应用问题的能力，还能比拟恰当的、灵活的运用根本技巧。

所谓理解是指对概念只要求能从正面理解，对根本理论能应用和了解其证明；对根本方法要求能应用，不要求熟练的技巧性。

所谓了解是指对概念只要求知道其意义，对根本理论只要求会应用，不要求证明，对根本方法只要求会做，不要求技巧性。

说明2：附表〔一〕所列单元讲授的次序和时数安排在不影响根本要求的前提下可作适当调整。

其中带*号的内容，供教学时选用。

表〔一〕五、课程内容的重点，深广度要求及对学生课外作业要求见下表〔二〕表〔二〕六、本课程与后续课程的关系本课程是常微分方程、复变函数、泛函分析、数理方法、概率论等后续课程的必要根底。

七、对学生能力培养的要求：通过本课程学习，主要培养学生逻辑推理能力、运算能力、创新思维能力、自学能力、分析问题和解决问题的能力。

第十八章 含参变量的广义积分一 一致收敛的定义定义1 设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，称()(,)aI y f x y dx +∞=⎰含参变量的无穷积分。

定义2设函数),(y x f 定义在[ ,; , ]a c d +∞上，若()000 , A A a εε∀>∃=>, 当0',A A A >时,对一切[],y c d ∈，成立'(,)A Af x y dx ε<⎰或(,)Af x y d x ε+∞<⎰。

就称含参无穷积分(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。

定义3设(,)baf x y dx ⎰对于[],c d 上的每一y 值，以x b =为奇点的积分存在。

若()000 , 0εδδε∀>∃=>,当00,'ηηδ<<时，对一切[],y c d ∈，成立'(,)b b f x y dx ηηε--<⎰或(,)bb f x y dx ηε-<⎰，就称含参无穷积分(,)baf x y dx ⎰关于[],y c d ∈一致收敛。

二 一致收敛积分的判别法 以下假定积分(,)af x y dx +∞⎰收敛。

定理1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数()F x ，使得()(),,,f x y F x a x c y d ≤≤<+∞≤≤如果积分()aF x dx +∞⎰收敛，那么(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛。

例：证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx x xy在+∞<<∞-y 内一致收敛。

三 一致收敛积分的性质 1. 连续性定理定理 2 设函数),(y x f 在[ ,; , ]a c d +∞上连续，(,)af x y dx +∞⎰关于[],y c d ∈一致收敛，那么()(,)aI y f x y dx +∞=⎰是[],c d 上的连续函数。