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第2章 确知信号剖析

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现代通信原理 第2章 确定信号分析

现代通信原理 第2章 确定信号分析

设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
44
第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
45
第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理 若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立 叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时 域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频 谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函 数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
31
第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。

第2章确知信号

第2章确知信号
一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
以上分析表明，信号分成两类：

1.能量信号：能量等于一个有限正值，但平 均功率为0。

2.功率信号：平均功率是一个有限值，但能 量为无限大。

注意：能量信号和功率信号的分类对于确知 信号和非确知信号都适用。
at 例：信号 x(t ) e , t 0 ，其中a > 0；说明此信号为能量

即能量信号可以分解为无数个频率为f ，复振幅为 S ( f )df 的 指数信号 e j 2 ft 的线性组合。
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简
称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称 ，即复数共轭，因
0
n ；傅里叶系数 Cn 反 f0 1 T0 n为整数， 式中， 映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此称 Cn 为信 号的频谱。
【例1】试求图所示周期性方波的频谱。
V , s(t ) 0, s(t ) s(t T ), / 2 t / 2 / 2 t (T / 2) t

因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
【例3】试求图中周期波形的频谱。
s(t ) sin( t ) s(t ) f (t 1)
1
0 t 1 t
s(t)
t
由式(2.1-1)：
Cn 1 T

T /2
T / 2
s (t )e j 2 nf0t dt sin( t )e j 2 nt dt

TXYL通信原理(第2章)确知信号

TXYL通信原理(第2章)确知信号

正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
Cn的模偶对称
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
(a) 振幅谱
n
Cn的相位奇对称
-5
-4 -3
-2
-1 0 1 2
3 4 5
n
(b) 相位谱
第2章 确知信号
1 (an jbn ) 令 ，将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到 2 j 2nt / T0 s(t ) Cn e C0 an cos2nt / T0 bn sin 2nt / T0

s(t ) s(t T ), 由式(2.2-1) ：
1 Cn T
t
-T
V 0

T
t


0
Ve
j 2nf 0t
1 dt T
V j 2nf 0t e j 2nf0 0
V 1 e j 2nf 0 V 1 e j 2n / T T j 2nf0 j 2n


对比：因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
第2章 确知信号

【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。
0 t 1 t
j 2nf 0t
s(t ) sin(t ) s(t ) f (t 1)
1 Cn T
s(t)
1
由式(2.2-1)：
t

T /2


2
参照式(2.2-28)，上式可以改写为
S( f ) 1 [ ( f f 0 ) ( f f 0 )] 2

第2章-确知信号与随机信号分析基础

第2章-确知信号与随机信号分析基础

f
(t)
n
Fn e
jn 0 t
Fn
n
Fn
1 T0
T0 / 2
f
T0 / 2
(t )e jn0t dt
0 f0 2 f0 3 f0 4 f0
f
2020/12/19
4
二、非周期信号的付氏变换形式
(1)
f (t)
F( j)
1
F( j)ejtd
2
f (t)ejtdt
(逆变换) (正变换)
(2) f (t) F( j)
付里叶变换对
注意：非周期信号的频谱F(ω)是连续谱，周 期信号的频谱Fn是离散谱，这个特征要记住
2020/12/19
5
三、常用信号的频谱
1. 单位冲激函(数 t)
E(t) E 或 (t) 1
物理意义 :变化快的信号如很脉窄冲的等 ,可近似用
数学模型(t)来表示 ,上式说明这类随时化间很变快
1
F ( ) 2 d
1
G ( )d
2
2
2
功率谱密度 P( )(或 P( j ))定义为单位频率上信号 的功率 ,
即S
Fn
n
2
1
2
P( )d
注意 ,由于周期信号的谱线 Fn为离散谱 , 而周期信号为功率
信号 , 在这种情况下 , 就只能用功率 , 而不能用能量 (因为此
时能量为无穷大 ). 因此 , 上面第二个式子中就只 能用功率
f
(t)
Fnejn0t
n
,式中 0
2
T0
,T0为周,期 则
S 1
T 2020/12/19 0
T0 T0

第2章 确知信号(简)

第2章 确知信号(简)

S ( f ) = ∫ s (t )e − j 2πft dt
−∞
∞
【例2.4】试求一个矩形脉冲（能量信号）的频谱密度。
——单位门函数
其时域波形如图（a）所示。 它的傅里叶变换即为其频谱密度：
S ( f ) = Ga ( f ) = ∫
τ /2
−τ / 2
e
− j 2π ft
1 dt = (e jπ f τ − e − jπ f τ ) j 2π f
s (t )
−∞< t < +∞
t
T
第2章 确知信号
2、按照能量是否有限区分： （1）能量信号 归一化功率——电流在单位电阻（1Ω）上消耗的功率：
P = V 2 / R = I 2R = V 2 = I 2
能量信号 功率信号
若s(t)表示电压或电流的时间波形，则瞬时功率为：s2(t) 信号能量为：
第2章 确知信号
1 由式(2.2-1)： Cn = C (nf 0 ) = T0
可求得： C = 1 n T
∫
T0 / 2
−T0 / 2
s (t )e − j 2π nf0t dt
τ /2
∫τ
τ /2
− /2
Ve
− j 2 π nf 0 t
1 dt = T
⎡ V − j 2 π nf 0 t ⎤ e ⎢− ⎥ j 2π nf 0 ⎣ ⎦ −τ / 2
度为无穷小、面积为1的脉冲。
δ函数的频谱密度为：
∆( f ) = ∫ δ (t )e
−∞
∞
− j 2πft
dt = 1 ⋅ ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
第2章 确知信号

第2章 确知信号

第2章 确知信号

j 2nf 0 t
( 2.2 2)
( 2.2 3)

n
T0 / 2
T0 / 2
s( t )dt
复振幅：Cn Cn e j ，|Cn|—振幅，n—相位 Cn—双边频谱：负频率仅在数学上有意义，物理上并不存在。
2018/10/8
第16页
2.2 确知信号的频域性质
一、功率信号的频谱
周期性功率信号频谱的性质：物理上实信号的频谱和数学上的频谱函
T0 / 2
T0 / 2
s( t ) cos(2nf 0 t )dt j
1 T

T0 / 2
T0 / 2
s( t ) sin( 2nf 0 t )dt Re (C n ) j Im(C n )
而

T0 / 2
T0 / 2
s(t ) sin( 2nf0 t )dt 0 ，所以 Cn为实函数。
随机信号定义：是指其取值不确定、且不能事先确切预知
的信号。这种信号在任何时间的取值自然也是不可能用一个数学公
式准确计算出来的。然而，在一个长时间内观察，这种信号有一定的 统计规律，可以找到它的统计特性。通常，把这种信号看作是一个随 机过程。
2018/10/8
第2页
2.1 确知信号的类型
二、周期信号和非周期信号
Cn 1 T0 1 j 2nf 0 t s ( t ) e dt T0 / 2 T0
T0 / 2
j 2nf 0 t * s ( t ) e dt Cn T0 / 2
T0 / 2

( 2.2 5)
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即： Cn的相位奇对称
2 2 bn (2) 实信号 s(t) 的各次谐波的振幅等于 an

通信原理第2章 确知信号

n 1

它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。

j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1

C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1

T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n

即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C

n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。

确知信号的分析


f (t ) f (t nT )
n 0,1,2,
3、功率信号与能量信号
E
T /2
T / 2
| f (t ) | dt ,
2
当T→∞时，如果E存在，称f(t)为能量信号，此时 平均功率S=0。反之，如果E不存在（无穷大），而 S存在，则称f(t)为功率信号。
二、典型的时间信号举例
1 f (t )dt 2
2



| F ( ) | 2 d
（2）对于周期性功率信号。设周期性功率信 号为
f (t )
1 S T0
n


Vn e jn 0t
2

T0 2 T 0 2
f (t )dt
n


| Vn |
2
2、能量谱密度G ( )和功率谱密度 P ( )
/ 2 0 / 2
t

4


2

0
2
4



2、单边指数信号的频谱
e f (t ) 0
F ( )
at
(t 0) (t 0)
其中 a 0



f (t )e
jt
dt e at e jt dt
0
e ( a j )t dt
F ( )


f (t )e
jt
dt
/2
/ 2
Ee jt dt
sin 2 E 2 F ( ) sin E 2 2
f (t )
E
E

[VIP专享]第2章通信原理确知信号

Cn = Cn e jqn , 即C本n 身一般是复数，
例：对称方波的频谱
稿纸
s(t)
=
ìïïíïïî
V 0
-t /2 £ t /2 t /2<(T-t /2)
s(t) = s(t - T ) -¥ <t<¥
方波的周期为T，脉冲宽度为，t 幅度为 V
解：
ò Cn
=
1 T
τ/2
Ve-
- τ/2
j2pnf0t dt = 1 T
信号的平均功率：
ò P= lim 1 T /2 s2 (t)dt
T T ® ¥
- T/2
信号分成两类：
能量信号：能量等于一个有限正值，但平均功率为 0.
功率信号：平均功率是一个有限值，但能量为无限大。周期信号一般认为有无限长的持续时间，是
功率信号。
2.2 确知信号的频域性质
信号的频率特性有四种：功率信号的频谱；能量信号的频谱密度；能量信号的能量谱密度；功率信
号的功率谱密度。
1. 功率信号的频谱
周期性信号（功率信号）可以用指数形式的傅里叶级数展开：
频谱函数
å s (t ) =
+¥ -¥
Cn
e j2pnt /T0 , w0 =
2p T0
ò Cn
=
C(nf0 ) =
1 T0
T0 / 2
s(t )e-
-T0 / 2
dt j 2pnf0t
第 2 章 确知信号
南京工程学院备课
V ej 2p nf 0
ùt
ú j 2pnf0t úû0
=
V 1-e- j 2pnf0t T j2pnf0
=
V (1- e- j2pnt /T ) j2pn

第二章通信信号分析


f
2
t
（2.1-）
将周期看作无穷大，那么非周期功率信号的 功率可写成类似的形式
P lim1 T
T
T 2
T 2
f 2 t dt
（2.11）
2.2 确知信号的频域性质

功率信号的频谱—离散谱
S ( t ) C n j 2t 1 T0 / 2 j 2nf 0 t C n C ( nf 0 ) dt s( t ) T0 T0 / 2
（ 2.2-2）

能量信号的频谱—连续谱
S ( f ) s( t ) j 2ft dt
（2.2-21）
2.2 确知信号的频域性质

能量信号的能量谱密度 —连续谱 --能量普密度 （2.2-39） G( f ) S ( f ) 2
2 E G f d f S 2 ( t )dt
E 1 π E d
0
（2.13）
3．功率（密度）谱

对周期性功率信号f t 而言，平均功率为
1 T T 2 f t dt Fn
T 2 2 n
2

2
（2.14）
其中 Fn 是周期信号的功率谱，它对应于各频率分 量的功率。式（2.14）是关于周期信号的帕斯瓦 尔定律，其意义请同学们参照非周期信号的相关 定律自行解释。
第2章 确知信号分析
主要内容： 确知信号的特性表达 确知信号的频域分析 确知信号的时域分析 重点： 确知信号的分类 功率信号、能量信号的谱密度 功率信号、能量信号的互相关函数
目
录
2.1 确知信号的类型 2.2 确定信号的频域特性 2.3 确知信号的时域性质
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通信原理
第2章 确知信号
第2章 确知信号
傅里叶变换
欧拉、拉格朗日
傅里叶：周期信号可以用成谐波关系正 弦函数级数表示（狄里赫利证明）
把非周期信号认为是 无限长的周期信号
傅里叶变换
第2章 确知信号
X ( j) F[x(t)] x(t)e jt dt
x(t) F 1[ X ( j)] 1 X ( j)e jtd
2.2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义：
能量信号s(t) 的傅里叶变换：S( f ) s(t)e j2ft dt
S(f)的逆傅里叶变换为原信号：s(t)
S(
f
)e
j 2ft
df
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱；
S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
s(t)
C e j 2nt /T0 n
C0
an cos2nt / T0 bn sin2nt / T0
n
n1
C0
an2 bn2 cos2nt / T0
(2.2 8)
n1
式中 tan 1 bn / an
Cn
1 2
an2 bn2
式(2.2－8)表明：
1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, …)。
单调减小，但总趋势是下降的，最终衰减为0
第2章 确知信号
【例2-1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V , s(t) 0,
/2 t /2 / 2 t (T / 2)
s(t)
s(t) s(t T ),
t
V
由式(2.2-1)：
t
-T
0
T
/2
Cn
1 T
/
2
V
e
j
2nf0t
第2章 确知信号
正弦波某点的相位，只与该点再循环中的位置有关 ，与正弦波频率无关。 如果正弦波在t=0时，相位不为0度，而是为θ，则我 们称该正弦波的初始相位为θ。
第2章 确知信号
第2章 确知信号
第2章 确知信号
第2章 确知信号
深入理解相位
第2章 确知信号
第2章 确知信号
第2章 确知信号
2
利用直接测量到的原始信号，以累加方式来 计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅 和相位。
第2章 确知信号
复数信号处理的好处： 由于对相位的确定，使相关检测成为可能； 对于数字通信，在基带处理带通信号，可以 是有效带宽减少一半，改善A/D、FFT的性能
相位，表示时域上初始相位
第2章 确知信号
相位是指一个波在循环中特定位置的标度。 相位反映了波在特定时刻的状态，通常用角度度量 ，也叫做相角。
若s(t)是实偶信号，则 Cn为实函数。 因为
Cn
1 T0
T0 / 2 s(t)e j2nf0t dt 1
T0 / 2
T
T0 / T0
2 /2
s
(t
)[cos
(2nf
0
t
)
j sin(2nf0t)]dt
1
T
T0 / T0
2 /2
s
(t
)
cos
(2nf
0
t
)
dt
j1 T
T0 / T0
Cn
C(nf0 )
1 T0
T0 / 2 s(t )e j 2nf0t dt
T0 / 2
(2.2 1)
式中，f0 ＝ 1/T0，n为整数，- < n < +。
s(t)
C e j 2nt / T0 n
n
(2.2 2)
C0
1 T0
T0 / 2 s(t )dt
T0 / 2
(2.2 3) 时间平均，直流 分量
2 /2
s
(t
)
s
in(2nf
0
t
)dt
Re(Cn )
j Im( Cn )
而
T0 / 2 T0 / 2
s(t ) sin(2nf 0t )dt
0
所以Cn为实函数。
第2章 确知信号
周期信号频谱特点
离散性：以基频 为间隔分布的离散频谱 谐波性：谱线只在信号基频整数倍 上出现
，称为n次谐波 收敛性：各次谐波振幅尽管不一定随n的增大
s(t
)e
j
2nf0t
dt
Cn*
(2.2 5)
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
|Cn|
Cn的模偶对称
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
(a) 振幅谱 n
Cn的相位奇对称
-5 -4
-2 -1
3
-3
012
45
n
(b) 相位谱
第2章 确知信号
将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到
dt
/ 2
1 T
V
j 2nf 0
e j 2nf0t
/2
V T
e e j 2nf0 / 2
j 2nf0 / 2
j 2nf 0
V
nf0T
sin nf0
V
T
sin c n
T
C
s(t)
C e j 2nf0t n
n
V
T n
sin c n
T
e j 2nf0t
n
第2章 确知信号
正弦波某点的相位，实际就是对应的旋转矢量从实轴正方 向开始逆时针旋转的度数。
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限，
0 E s2 (t)dt
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密
度简称为频谱。
实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇
对称，即复数共轭，因
s(t)e j2ft dt
功率信号：
归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
平均功率P为有限正值：P lim 1 T / 2 s2 (t)dt
T T
T / 2
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于
第2章 确知信号
2.2 确知信号的频域性质
2.2.1 功率信号的频谱
周期性功率信号频谱（函数）的定义
Cn Cn e jn －双边谱，复振幅
(2.2 － 4)
|Cn| －频率为 信号振幅， n－频率为 信号相位
第2章 确知信号
周期性功率信号频谱的性质
对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
1
Cn T0
T0 / 2 T0 / 2st)edt j 2nf0t
1
T0
T0 / 2 T0 / 2
2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 an2 bn2
3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于
称为单边谱。
4. 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。
第2章 确知信号
正负频率分别表示，在时域复平面内，向两个逆、顺时针 不同方向转动的旋转矢量所展现的频率。
第2章 确知信号