第二章 确知信号

令T 等于信号的周期T0 ，于是平均功率为
T

T / 2
T / 2
s ( t ) dt
2
1
T0


T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2
(2.2-45)
由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:
P 1 T0

T0 / 2
T0 / 2
s ( t ) dt
2

n
T0 / 2 T0 / 2
s (t )e
dt
1 T

T0 / 2
T0 / 2
s ( t )[cos( 2 nf 0 t ) j sin( 2 nf 0 t )] dt 1 T
T

T0 / 2
s ( t ) cos( 2 nf 0 t ) dt j

T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
j n
s ( t ) dt
Cn Cn e
－双边谱，复振幅 |Cn| －振幅， n－相位
(2.2 － 4)
第2章 确知信号

周期性功率信号频谱的性质

对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
C n
1 T0

T0 / 2
T0 / 2
s (t )e
j 2 nf 0 t
2



S ( f ) df
2
(2.2-37)
将|S(f)|2定义为能量谱密度。 式(2.2-37)可以改写为
E



G ( f ) df
(2.2-38)

- j 2 p nf0t
t j 2 p nf0t 0
=
V 1-e T
j2p nf0
=
V j2p n
(1 - e
- j 2 p nt / T
)

Cn是一个复数，原因是信号对于t轴没有对称性， 即信号不是偶函数。曲线略。
jqn
Cn = Cn e 可折算到e
， 其 中 C n 为 各 个 频 谱 的 幅 值 ， 相 位 qn 中去。

抽样函数的极限可视为δ函数，即
d ( t ) = lim
k
k p
Sa (kt )
k p 1 p S a ( k t )＝ lim
k
原因：
当t® ０时， lim
k
1 p
ゥ
lim
k
s in ( k t ) t
=
k c o s (k t) 1

0< E =
ò
s (t )d t (J )
2
能量的时域表示，包含了所有频率的信号。
第2章 确知信号
信号的平均功率：
P = lim
T
1 T
T /2
ò
- T /2
s (t )dt
2
信号分成两类：

能量信号：能量等于一个有限正值，但平均功率为0. 功率信号：平均功率是一个有限值，但能量为无限 大。
Cn = Cn e
C n = C (nf0 ) =
jqn
1 T0
T0 / 2
ò
-T0 / 2
s (t )e
- j 2 p nf0t
dt
, 即 C n本 身 一 般 是 复 数 ， Cn 是 各 个
离 散 谱 的 振 幅 ， θ n 是 相 位 , C n的 单 位 是 V 。

一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
以上分析表明，信号分成两类：

1.能量信号：能量等于一个有限正值，但平 均功率为0。

2.功率信号：平均功率是一个有限值，但能 量为无限大。

注意：能量信号和功率信号的分类对于确知 信号和非确知信号都适用。
at 例：信号 x(t ) e , t 0 ，其中a > 0；说明此信号为能量

即能量信号可以分解为无数个频率为f ，复振幅为 S ( f )df 的 指数信号 e j 2 ft 的线性组合。
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简
称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称 ，即复数共轭，因
0
n ；傅里叶系数 Cn 反 f0 1 T0 n为整数， 式中， 映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此称 Cn 为信 号的频谱。
【例1】试求图所示周期性方波的频谱。
V , s(t ) 0, s(t ) s(t T ), / 2 t / 2 / 2 t (T / 2) t

因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
【例3】试求图中周期波形的频谱。
s(t ) sin( t ) s(t ) f (t 1)
1
0 t 1 t
s(t)
t
由式(2.1-1)：
Cn 1 T

T /2
T / 2
s (t )e j 2 nf0t dt sin( t )e j 2 nt dt

30
小结(对比表格)
第二章 确知信号
能量(或功率)
能量信号
E s(f)2df
谱密度
| S( f ) |2
功率信号
P Cn 2 n
C(f)2(f n0f)
整理ppt
31
第二章 确知信号
2.3确知信号的时域性质
时域的主要性质有： 自相关性和互相关性
相关性：信号之间的相关程度。
整理ppt
32
偶函数，所以频谱是实函数。
整理ppt
19
第二章 确知信号
2.2.2能量信号的谱密度
设一个能量信号为 s (t ) ，则将它的傅
里叶变换 S( f )定义为它的频谱密度：
S(f) s(t)ej2ftdt
s(t) S(f)ej2ftdt
整理ppt
20
第二章 确知信号
频谱和频谱密度的区别：
功率信号的频谱：傅里叶级数复数形式的系数
例2-9 试求周期性信号 s(t)Acot s()
的自相关函数。
解：先求功率谱密度，再求自相关函数。
信号基频为：
f0
1
2
1
Cn
T0
T0 2 T02
s(t)ej2n0ftdt 1 2
Acots()ejndt t
A[ej sin1(n)ej sin1(n)] ｎ０ ,１ ,２ ,.
2 (1n)
1
T0
TT00//22s2(t)dtN Cn2
即信号功率P
S( f )，则
整理ppt
巴塞伐尔(Parseval)定理 28
第二章 确知信号
（1）能量谱密度
s2(t)d t S(f)2df
即信号能量E

S ( f ) = ∫ s (t )e − j 2πft dt
−∞
∞
【例2.4】试求一个矩形脉冲（能量信号）的频谱密度。
——单位门函数
其时域波形如图（a）所示。 它的傅里叶变换即为其频谱密度：
S ( f ) = Ga ( f ) = ∫
τ /2
−τ / 2
e
− j 2π ft
1 dt = (e jπ f τ − e − jπ f τ ) j 2π f
s (t )
−∞< t < +∞
t
T
第2章 确知信号
2、按照能量是否有限区分： （1）能量信号 归一化功率——电流在单位电阻（1Ω）上消耗的功率：
P = V 2 / R = I 2R = V 2 = I 2
能量信号 功率信号
若s(t)表示电压或电流的时间波形，则瞬时功率为：s2(t) 信号能量为：
第2章 确知信号
1 由式(2.2-1)： Cn = C (nf 0 ) = T0
可求得： C = 1 n T
∫
T0 / 2
−T0 / 2
s (t )e − j 2π nf0t dt
τ /2
∫τ
τ /2
− /2
Ve
− j 2 π nf 0 t
1 dt = T
⎡ V − j 2 π nf 0 t ⎤ e ⎢− ⎥ j 2π nf 0 ⎣ ⎦ −τ / 2
度为无穷小、面积为1的脉冲。
δ函数的频谱密度为：
∆( f ) = ∫ δ (t )e
−∞
∞
− j 2πft
dt = 1 ⋅ ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
第2章 确知信号

•第二节 确知信号的频域分析
例2.3 试求下图中周期波形的频谱。
•s(t) •1
•t
解：
例2.2 试求下图所示周期性方波的频谱。
•s(t)
•-T
解：
•V
•t
•0 •
•T
根据式（2.2－1）可以求出其频谱为：
•通信原理【 第二章 确知 信号】
电路与通信教研室 高渤
•第二节 确知信号的频域分析
因为信号不是偶函数，因此其频谱Cn是复函数。
•通信原理【 第二章 确知 信号】
电路与通信教研室 高渤
•5
•通信原理【 第二章 确知 信号】
电路与通信教研室 高渤
第二节 确知信号的频域分析
一、功率信号的频谱 通过傅立叶级数和傅立叶变换来进行分析。
1、周期性功率信号频谱（函数）的定义 周期功率信号的指数型傅立叶级数（Fourier series） ：
其中，傅立叶级数的系数（频谱函数的定义）为 ：
）。
3、实信号s（t）各次谐波的相位等于
。
4、数学上频谱函数的各次谐波的振幅等于
，
Cn又称为双边谱，|Cn|的值是单边谱的振幅的一半。
•通信原理【 第二章 确知 信号】
电路与通信教研室 高渤
•第二节 确知信号的频域分析
若s（t）是实偶信号，则 Cn为实函数。 因为
而
所以Cn为实函数，即： 傅立叶级数展开式中只含有直流项和余弦项。
•通信原理【 第二章 确知 信号】
电路与通信教研室 高渤
学习内容
•第二章 确知信号
•1 •信号的分类和特性 •2 •确知信号的频域分析 •3 •确知信号的时域分析
•5
•通信原理【 第二章 确知 信号】

j 2nf 0 t
( 2.2 2)
( 2.2 3)

n
T0 / 2
T0 / 2
s( t )dt
复振幅：Cn Cn e j ，|Cn|—振幅，n—相位 Cn—双边频谱：负频率仅在数学上有意义，物理上并不存在。
2018/10/8
第16页
2.2 确知信号的频域性质
一、功率信号的频谱
周期性功率信号频谱的性质：物理上实信号的频谱和数学上的频谱函
T0 / 2
T0 / 2
s( t ) cos(2nf 0 t )dt j
1 T

T0 / 2
T0 / 2
s( t ) sin( 2nf 0 t )dt Re (C n ) j Im(C n )
而

T0 / 2
T0 / 2
s(t ) sin( 2nf0 t )dt 0 ，所以 Cn为实函数。
随机信号定义：是指其取值不确定、且不能事先确切预知
的信号。这种信号在任何时间的取值自然也是不可能用一个数学公
式准确计算出来的。然而，在一个长时间内观察，这种信号有一定的 统计规律，可以找到它的统计特性。通常，把这种信号看作是一个随 机过程。
2018/10/8
第2页
2.1 确知信号的类型
二、周期信号和非周期信号
Cn 1 T0 1 j 2nf 0 t s ( t ) e dt T0 / 2 T0
T0 / 2
j 2nf 0 t * s ( t ) e dt Cn T0 / 2
T0 / 2

( 2.2 5)
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即： Cn的相位奇对称
2 2 bn (2) 实信号 s(t) 的各次谐波的振幅等于 an

n 1

它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。

j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1

C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1

T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n

即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C

n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。

s( t )e
j 2ft
dt பைடு நூலகம்( t )e

j 2ft
dt ,

S ( f ) S ( f )

14
2.2.2 能量信号的频谱密度

【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。 函数的定义： (t )dt 1
k
即抽样函数的极限就是函数。
t
16
2.2.2 能量信号的频谱密度

函数的性质2：单位冲激函数(t)的频谱密度
( f ) (t )e


j 2ft
dt 1 (t )dt 1


(t)
1
(f)
0
t
0
f
17
2.2.2 能量信号的频谱密度

函数的性质3：
df
P( f ) R( )e j 2f d

T /2
T / 2
s 2 (t )dt
式中：s(t)为连续电压或电流信号
5
2.1 确知信号的类型

若0<E<∞和P→0，则称s(t)为能量有 限信号，简称能量信号，其特征是：信 号的振幅和持续时间均有限，非周期。 若E→∞，和0<p<∞，则称s(t)为功率 有限信号，简称功率信号，其特征是： 信号的持续时间无限。


(t ) 0

t0
函数的频谱密度：
( f ) (t )e
j 2ft
dt 1 (t )dt 1



函数的物理意义： 一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为 1的脉冲。

第二章 确知信号分析
确知信号的频域分析 确知信号的类型 确知信号的时域特性 确知信号的频域特性 确知信号的带宽 信号通过线性系统 信号传输
2.1 确知信号的频域分析
一、周期信号 二、付立叶变换 三、付氏变换的性质 四、常用信号的付氏变换
一、周期信号
f (t ) = f (t + T )
1 T
f (t ) =
功率信号——无限周期信号（续） 无限周期信号（ 功率信号 无限周期信号
无限周期信号的平均功率和功率谱密度 功率谱密度 P (ω ) = 2π 平均功率
1 P= T
n = −∞ ∞
| Fn |2 δ (ω − nωT ) ∑
2 n = −∞
∑ δ (t − nT )
2π T
e
jω 0 t
2πδ (ω − ω0 )
1 cos ω0t = [e jω0t + e − jω0t ] π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] 2 1 π sin ω0t = [e jω0t − e − jω0t ] [δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )] 2j j
f (t) … O … t
f T(t)
T － 2
O
T 2
t
功率信号——无限非周期信号 无限非周期信号(续) 功率信号 无限非周期信号
无限非周期信号的平均功率和功率谱密度 •fT(t)的能量： E =
∫
∞
−∞
1 fT (t )dt = 2π
2
∞
∫
∞
−∞
| FT (ω ) |2 d ω
• 当T ∞时，其平均功率为：
例
求周期余弦信号 的自相关函数和功率谱 f (t ) = E cos(ω0t ) 求复指数信号 f (t ) = E ⋅ e jω t 的自相关函数和功率谱