点的运动学

论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。

第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。

描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。

§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。

当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。

动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。

也称为矢径r 的矢端曲线。

二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。

§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。

即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。

二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。

点的运动学一，矢量法 矢径：22(),,d d d t dtdtdt====r v r r r v a ，方向为矢端曲线的切线二，直角坐标法()()(),,,x t y t z t =++r i j k i j k 为坐标轴的单位矢量 ,,,x y z d dx dy dz dx dy dz v v v dt dt dtdtdtdtdt==++===r v i j k22222222,,,y x z x y z dv dv dv d d x d y d z a a a dtdtdtdtdtdtdt==++===r a i j k ，由方向余弦来确定方向三，自然法利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动 1，弧坐标 ()s f t =2，自然轴系 =⨯b τn ，切线，主法线和副法线，都是单位矢量 3，曲率曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值，曲率的倒数为曲率半径，即01lims d sdsϕϕρ∆→∆==∆4，点的速度和加速度ds v dt==v ττ，2n d dv d dv d ds dv vvva a dtdtdtdtds dtdtτρ==+=+=+=+v ττa τττn τn直线运动情形 2001,2v v a t s s v t a tττ=+=++ 5，点的速度和加速度在柱坐标、极坐标、球坐标系中的表示方法刚体定轴转动1，定轴转动的运动方程22(),,d d d f t dtdtdtϕωϕϕωα====2各点的速度和加速度（R 为转动半径）s R ϕ=，ds d RR dt dtϕω===v τττ，()2222222,n R d s d va RR a R dtdtτωϕαωρρ======3，矢量表示角速度和角加速度,,,n d d d a a dtdtdtτωα===⨯==⨯+⨯=⨯+⨯=+v ωr ωk αk v ωr a r ωαr ωv τn。

轮子向前滚,轮上一点的运动运动学
本文将探讨轮子向前滚动时，轮子上一点的运动学。

轮子向前滚动时，轮子上一点的速度分为两个分量：切向速度和法向速度。

切向速度是轮子上一点沿着圆周方向的速度，大小等于该点所在圆周的半径乘以轮子的角速度。

法向速度是轮子上一点沿着轮子半径方向的速度，大小等于该点在轮子运动中沿轮子半径移动的距离乘以轮子的角速度。

当轮子向前滚动时，由于轮子的转动，轮子上一点的速度会不断变化。

具体来说，当该点沿圆周方向移动时，切向速度会不断增加；当该点沿轮子半径方向移动时，法向速度会不断减小。

当该点在轮子运动中离开圆心的距离越大时，该点的切向速度越大，法向速度越小。

此外，轮子上一点的运动学还与轮子的半径、角速度、线速度等因素有关。

例如，当轮子的半径增大时，轮子上一点的切向速度也会增大；当角速度增大时，切向速度和法向速度都会增大。

总之，轮子向前滚动时，轮子上一点的运动学是一个复杂而有趣的问题，需要结合几何、物理等多个学科进行深入探讨。

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第五章点的运动学本章将研究点的运动，包括点的运动方程、运动轨迹、速度、加速度等。

点的运动学也是研究刚体运动的基础。

第一节点的运动方程点在取定的坐标系中位置坐标随时间连续变化的规律称为点的运动方程。

点在空间运动的路径称为轨迹。

在某一参考体上建立不同的参考系，点的运动方程有不同的形式。

一、矢量法设点作空间曲线运动，在某一瞬时t ，动点为M，如图5-1所示。

选取参考体上某固定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称r为点M相对于原点O的矢径。

当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即(5-1)上式称为矢量形式表示的点的运动方程。

显然，矢径r的矢端曲线就是动点的运动轨迹。

图5-1二、直角坐标法过点O建立固定的直角坐标系Oxyz，则动点M在任意瞬时的空间位置也可以用它的三个直角坐标x , y , z表示，如图5-1所示。

由于矢径的原点和直角坐标系的原点重合，矢径r可表为(5-2)式中i , j , k 分别为沿三根坐标轴的单位矢量。

坐标x , y , z也是时间的单值连续函数，即(5-3)式(5-3)称为点的直角坐标形式的运动方程，也是点的轨迹的参数方程。

三、自然法当动点相对于所选的参考系的轨迹已知时，可以沿此轨迹确定动点的位置。

在轨迹上任取固定点O 作为原点，选定沿轨迹量取弧长的正负方向，则动点的位置可用弧坐标s 来确定。

如图5-2所示。

动点沿轨迹运动时，弧长s 是时间的单值连续函数(5-4)上式称为点用自然法描述的运动方程。

图5-2以上三种形式的运动方程在使用上各有所侧重。

矢量形式的运动方程常用于公式推导；直角坐标形式的运动方程常用于轨迹未知或轨迹较复杂的情况；当轨迹已知为圆或圆弧时，用自然法则较为方便。

第二节点的速度和加速度动点运动的快慢和方向用速度表示，速度的变化情况则用加速度表示。

下面给出在各坐标系下，速度、加速度的数学表达式。

一、用矢量法表示点的速度和加速度如动点矢量形式的运动方程为r=r(t) ，则动点的速度定义为（5-5）即动点的速度等于动点的矢径r对时间的一阶导数。

1第六章点的运动学1．点以匀速率沿阿基米德螺线由外向内运动，如图所示，则点的加速度（则点的加速度（）。

① 不能确定不能确定② 越来越小越来越小③ 越来越大越来越大④ 等于零等于零正确答案：③2．动点M 作曲线运动，某瞬时点的速度v = 4m/s ，点的切向加速度，点的切向加速度 τa = - 2m/s 2，一秒钟后点的速度大小用v 1表示，则（表示，则（）。

① v 1 = 4m/s ②v 1 = 2m/s ③ v 1 = 6m/s ④v 1 无法确定无法确定 正确答案：④3．动点M 沿其轨迹运动时，下列几种情况中，正确的应该是（沿其轨迹运动时，下列几种情况中，正确的应该是（）。

① 若始终有v ⊥ a ，则必有v 的大小等于常量的大小等于常量② 若始终有v ⊥ a ，则点M 必作匀速圆周运动必作匀速圆周运动③ 若某瞬时有v // a ，则点M 的轨迹必为直线的轨迹必为直线④ 若某瞬时有a 的大小等于零，且点M 作曲线运动，则此时速度必等于零作曲线运动，则此时速度必等于零 正确答案：①4．点的切向加速度与其速度（．点的切向加速度与其速度（ ）的变化率无关，而点的法向加速度与其速度（）的变化率无关，而点的法向加速度与其速度（ ）的变化率无关。

无关。

① 大小大小 ② 方向方向正确答案： ② ①5．点作曲线运动时，“匀变速运动”指的是（“匀变速运动”指的是（）。

① a τ= 常矢量常矢量 ② a τ= 常量常量③ a = 常矢量常矢量 ④ a = 常量常量正确答案： ②6．绳子的一端绕在滑轮上，另一端与置于水平面上的物块B 相连，若物块B 的运动方程为x = kt 2，其中k 为常数，轮子半径为R ，则轮缘上A 点的加速度的大小为（点的加速度的大小为（）。

① k 2② 21222)/4(R t k③ 212442)/164(R t k k +④ R t k k /4222+正确答案： ③27．点作曲线运动时，法向加速度等于零的情况，可能是（．点作曲线运动时，法向加速度等于零的情况，可能是（）或（）或（ ）。